Bestimmen der Art der Zuordnung einfach erklärt: Funktionen

Stell dir vor, du stehst vor einem Snackautomaten. Du drückst die Taste „A1” und bekommst eine Tüte Chips. Wenn du morgen wieder „A1” drückst, erwartest du natürlich wieder genau diese Chips. Stell dir nun vor, der Automat ist kaputt: Du drückst „A1” und bekommst plötzlich einen Schokoriegel, beim nächsten Mal Gummibärchen. Das ist verwirrend und unzuverlässig!

In der Mathematik mögen wir Zuverlässigkeit. Wenn wir einen Wert in eine mathematische „Maschine” eingeben, wollen wir genau wissen, was herauskommt. Solche zuverlässigen Maschinen nennen wir Funktionen. In diesem Artikel lernst du das Bestimmen der Art der Zuordnung und wie du echte Funktionen von kaputten Zuordnungen unterscheidest – egal ob als Bild (Graph) oder in einer Textaufgabe.

Vorwissen

• Das Koordinatensystem: Ein System mit zwei Achsen, um Punkte darzustellen. Die waagerechte Achse ist die $x$-Achse, die senkrechte Achse ist die $y$-Achse.

  Beispiel: Der Punkt $P(2 | 3)$ bedeutet, wir gehen $2$ Schritte nach rechts auf der $x$-Achse und $3$ Schritte nach oben auf der $y$-Achse.

Aufgabentyp 1: Graphen überprüfen mit dem Senkrechten-Test

Beim Bestimmen der Art der Zuordnung ordnen wir oft einem Wert einen anderen Wert zu. Eine Funktion ist eine ganz besondere, sehr strenge Zuordnung. Die wichtigste Regel lautet:

Jedem x-Wert wird genau ein einziger y-Wert zugeordnet.

Man nennt dies auch eine eindeutige Zuordnung. Wenn ein einziger $\textcolor{#08BFFF}{x}$-Wert plötzlich zwei oder mehr verschiedene $\textcolor{#9570FF}{y}$-Werte als Ergebnis hätte, ist es keine Funktion mehr.

Oft haben wir keine Zahlen, sondern nur ein Bild (einen Graphen). Um herauszufinden, ob dieser Graph eine Funktion ist, nutzen wir einen einfachen visuellen Trick: den Senkrechten-Test.

Stell dir vor, du nimmst ein Lineal, hältst es senkrecht (parallel zur $y$-Achse) und schiebst es von links nach rechts über das Koordinatensystem. Diese senkrechte Linie steht für einen bestimmten $\textcolor{#08BFFF}{x}$-Wert.

Fall 1: Es ist eine Funktion

Wenn die senkrechte Linie den Graphen an jeder Stelle immer nur genau einmal schneidet, dann hat jeder $\textcolor{#08BFFF}{x}$-Wert genau einen $\textcolor{#9570FF}{y}$-Wert. Es ist eine Funktion!

Fall 2: Es ist KEINE Funktion

Wenn du das Lineal verschiebst und eine Stelle findest, an der die senkrechte Linie den Graphen zweimal oder öfter schneidet, ist die Regel gebrochen. Einem $\textcolor{#08BFFF}{x}$-Wert werden hier mehrere $\textcolor{#9570FF}{y}$-Werte zugeordnet. Es ist keine Funktion!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Start und Ziel identifizieren: Mache dir klar, was der $\textcolor{#08BFFF}{x}$-Wert (die Startgröße) und was der $\textcolor{#9570FF}{y}$-Wert (die Zielgröße) ist.
2. Auf Mehrdeutigkeit prüfen: Zeichne gedanklich senkrechte Linien. Schneidet eine Linie den Graphen mehr als einmal?
3. Entscheidung treffen: Gibt es mehrere Ergebnisse, ist es keine Funktion. Gibt es immer nur genau ein Ergebnis, ist es eine Funktion.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Entscheide, ob der abgebildete Graph zu einer Funktion gehört. Begründe deine Entscheidung.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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1. 1
   Schritt 1 & 2
   Start/Ziel identifizieren und prüfen

   Wir betrachten den Graphen und wenden den Senkrechten-Test an. Wir suchen nach einer Stelle auf der $\textcolor{#08BFFF}{x}$-Achse, an der eine senkrechte Linie den Graphen mehr als einmal schneidet.

   

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Entscheidung treffen

   Wie im Bild zu sehen ist, gibt es senkrechte Linien, die den Graphen an drei Stellen schneiden. Einem $\textcolor{#08BFFF}{x}$-Wert werden also drei verschiedene $\textcolor{#9570FF}{y}$-Werte zugeordnet.

Ergebnis:

Der Graph gehört zu keiner Funktion.

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Aufgabentyp 2: Zuordnungen im Alltag überprüfen

Nicht jede Zuordnung ist ein Graph. Oft beschreiben wir Situationen aus dem echten Leben. Auch hier können wir beim Bestimmen der Art der Zuordnung prüfen, ob es sich um eine Funktion handelt.

Wenn wir eine Startgröße einer Zielgröße zuordnen, schreiben wir das mit einem speziellen Pfeil: $\mapsto$

$\textcolor{#08BFFF}{\text{Startgröße}} \mapsto \textcolor{#9570FF}{\text{Zielgröße}}$

Um zu prüfen, ob diese Zuordnung eine Funktion ist, stellen wir uns immer die gleiche Frage: „Gibt es für EINE Startgröße vielleicht MEHRERE verschiedene Zielgrößen?”

Schauen wir uns ein Beispiel aus der Schule an:

Beispiel A: $\textcolor{#08BFFF}{\text{Schüler}} \mapsto \textcolor{#9570FF}{\text{Schülerausweisnummer}}$

• Frage: Kann ein bestimmter $\textcolor{#08BFFF}{\text{Schüler}}$ (z. B. Tom) mehrere verschiedene $\textcolor{#9570FF}{\text{Ausweisnummern}}$ gleichzeitig haben?
• Antwort: Nein. Jeder Schüler hat genau eine eindeutige Nummer.
• Fazit: Es ist eine Funktion.

Beispiel B: $\textcolor{#08BFFF}{\text{Alter in Jahren}} \mapsto \textcolor{#9570FF}{\text{Schüler}}$

• Frage: Kann es für ein bestimmtes $\textcolor{#08BFFF}{\text{Alter}}$ (z. B. $14 \text{ Jahre}$) mehrere verschiedene $\textcolor{#9570FF}{\text{Schüler}}$ geben?
• Antwort: Ja, natürlich! In einer Klasse gibt es viele Schüler, die alle $14 \text{ Jahre}$ alt sind.
• Fazit: Einem Alter werden viele Schüler zugeordnet. Es ist keine Funktion.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Start und Ziel identifizieren: Mache dir klar, was die Startgröße und was die Zielgröße ist.
2. Auf Mehrdeutigkeit prüfen: Frage dich logisch: „Kann ein einzelner Startwert zu mehreren verschiedenen Zielwerten führen?”
3. Entscheidung treffen: Ist die Zuordnung mehrdeutig, ist es keine Funktion. Ist sie eindeutig, ist es eine Funktion.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Die goldene Regel: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem $\textcolor{#08BFFF}{x}$-Wert wird genau ein $\textcolor{#9570FF}{y}$-Wert zugeordnet.
• Im Graphen: Nutze den Senkrechten-Test. Schneidet eine senkrechte Linie den Graphen mehr als einmal, ist es keine Funktion.
• Im Text: Frage dich immer: „Kann ein Startwert zu mehreren verschiedenen Ergebnissen führen?” Wenn ja, ist es keine Funktion.