Sachaufgaben mit Volumen lösen: Schritt für Schritt

• Gesamtvolumen: 800 Liter
• Rate: 10 Liter pro Minute

Beide Werte sind in Litern angegeben. Die Einheiten passen zusammen.

Wir wenden die Formel an:

$\text{Zeit} = \frac{800 \text{ Liter}}{10 \text{ Liter/Minute}} = 80 \text{ Minuten}$

Es dauert 80 Minuten, um das Planschbecken zu füllen.

• Gesamtvolumen: 0,2 m³
• Rate: 50 Liter pro Minute

Die Einheiten sind unterschiedlich (m³ und Liter). Wir müssen umrechnen. Wir wandeln m³ in Liter um.

$0{,}2 \text{ m}^3 = 0{,}2 \cdot 1000 \text{ Liter} = 200 \text{ Liter}$

Jetzt können wir die Formel anwenden:

$\text{Zeit} = \frac{200 \text{ Liter}}{50 \text{ Liter/Minute}} = 4 \text{ Minuten}$

Das Leerpumpen der Regentonne dauert 4 Minuten.

• Gesamtvolumen: 150 cm³
• Rate: 25 cm³ pro Stunde

Beide Einheiten sind cm³. Sie passen.

$\text{Zeit} = \frac{150 \text{ cm}^3}{25 \text{ cm}^3/\text{Stunde}} = 6 \text{ Stunden}$

Der Druckvorgang dauert 6 Stunden.

• Gesamtvolumen: 60 m³
• Rate: 12 m³ pro Stunde

Beide Einheiten sind m³. Sie passen.

$\text{Zeit} = \frac{60 \text{ m}^3}{12 \text{ m}^3/\text{Stunde}} = 5 \text{ Stunden}$

Die Befüllung des Silos dauert 5 Stunden.

• Gesamtvolumen: 30.000 Liter
• Rate: 200 Liter pro Minute

Beide Einheiten sind Liter. Sie passen.

$\text{Zeit} = \frac{30.000 \text{ Liter}}{200 \text{ Liter/Minute}} = 150 \text{ Minuten}$

Das Abpumpen des Heizöls dauert 150 Minuten (oder 2,5 Stunden).

Der Goldbarren ist ein Quader. Wir berechnen sein Volumen:

$V = 10 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^3$

Die Dichte ist 19,3 g/cm³. Die Volumeneinheit cm³ passt.

Wir wenden die Formel an:

$\text{Masse} = 100 \text{ cm}^3 \cdot 19{,}3 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1930 \text{ g}$

Die Aufgabe fragt nach Kilogramm. Wir rechnen um (1000 g = 1 kg):

$1930 \text{ g} = 1{,}93 \text{ kg}$

Der Goldbarren wiegt 1,93 kg.

Zuerst müssen wir alle Maße in die gleiche Einheit bringen. Da die Dichte in g/cm³ gegeben ist, rechnen wir alles in cm um.

Länge: $2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$

Jetzt berechnen wir das Volumen:

$V = 200 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 20.000 \text{ cm}^3$

Die Dichte ist 0,7 g/cm³. Die Einheit cm³ passt.

$\text{Masse} = 20.000 \text{ cm}^3 \cdot 0{,}7 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 14.000 \text{ g}$

Das Gewicht ist 14.000 g, was 14 kg entspricht. Der Holzbalken wiegt 14 kg.

Der Würfel hat eine Kantenlänge von 5 cm. Wir berechnen sein Volumen:

$V = 5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 125 \text{ cm}^3$

Die Dichte ist 2,7 g/cm³. Die Einheit cm³ passt.

$\text{Masse} = 125 \text{ cm}^3 \cdot 2{,}7 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 337{,}5 \text{ g}$

Der Aluminiumwürfel wiegt 337,5 g.

Die Glasplatte ist ein Quader. Wir berechnen ihr Volumen:

$V = 50 \text{ cm} \cdot 30 \text{ cm} \cdot 1 \text{ cm} = 1500 \text{ cm}^3$

Die Dichte ist 2,5 g/cm³. Die Einheit cm³ passt.

$\text{Masse} = 1500 \text{ cm}^3 \cdot 2{,}5 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 3750 \text{ g}$

Wir rechnen in Kilogramm um:

$3750 \text{ g} = 3{,}75 \text{ kg}$

Die Glasplatte hat eine Masse von 3,75 kg.

• Masse: 1030 g
• Volumen: 1 Liter = 1000 cm³

Die Einheiten sind g und cm³. Das passt für die Dichte in g/cm³.

$\text{Dichte} = \frac{1030 \text{ g}}{1000 \text{ cm}^3} = 1{,}03 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

Die Dichte von Milch beträgt ca. 1,03 g/cm³.

Wir berechnen das Gesamtvolumen des Aquariums:

$V_{\text{gesamt}} = 80 \text{ cm} \cdot 40 \text{ cm} \cdot 50 \text{ cm} = 160.000 \text{ cm}^3$

Das Wasser hat die gleiche Länge und Breite, aber nur eine Höhe von 45 cm:

$V_{\text{gefüllt}} = 80 \text{ cm} \cdot 40 \text{ cm} \cdot 45 \text{ cm} = 144.000 \text{ cm}^3$

Wir ziehen die beiden Werte voneinander ab:

$V_{\text{frei}} = 160.000 \text{ cm}^3 - 144.000 \text{ cm}^3 = 16.000 \text{ cm}^3$

Das Volumen des Wassers beträgt 144.000 cm³ (oder 144 Liter). Im Aquarium ist noch ein Volumen von 16.000 cm³ (oder 16 Liter) frei.

Wir berechnen das Gesamtvolumen der Dose:

$V_{\text{gesamt}} = 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 2000 \text{ cm}^3$

Das gefüllte Volumen ist bereits gegeben: $1500 \text{ cm}^3$.

$V_{\text{frei}} = 2000 \text{ cm}^3 - 1500 \text{ cm}^3 = 500 \text{ cm}^3$

In der Dose ist noch ein Volumen von 500 cm³ frei.

Wir berechnen das Gesamtvolumen des Hochbeets:

$V_{\text{gesamt}} = 2 \text{ m} \cdot 1 \text{ m} \cdot 0{,}5 \text{ m} = 1 \text{ m}^3$

Das Beet ist zu drei Vierteln (3/4) gefüllt. Wir berechnen also 3/4 des Gesamtvolumens:

$V_{\text{gefüllt}} = \frac{3}{4} \cdot 1 \text{ m}^3 = 0{,}75 \text{ m}^3$

Wenn 3/4 gefüllt sind, ist noch 1/4 frei. Oder wir rechnen:

$V_{\text{frei}} = 1 \text{ m}^3 - 0{,}75 \text{ m}^3 = 0{,}25 \text{ m}^3$

Das Volumen der Erde beträgt $0{,}75 \text{ m}^3$. Das freie Volumen beträgt $0{,}25 \text{ m}^3$.

Das Gesamtvolumen ist gegeben: 400 Liter. Wir rechnen es in cm³ um, damit es zur Kiste passt.

$V_{\text{gesamt}} = 400 \text{ Liter} \cdot 1000 = 400.000 \text{ cm}^3$

Wir berechnen das Volumen der Kiste:

$V_{\text{gefüllt}} = 50 \text{ cm} \cdot 40 \text{ cm} \cdot 30 \text{ cm} = 60.000 \text{ cm}^3$

$V_{\text{frei}} = 400.000 \text{ cm}^3 - 60.000 \text{ cm}^3 = 340.000 \text{ cm}^3$

Das freie Volumen beträgt 340.000 cm³. In Litern sind das:

$340.000 \text{ cm}^3 : 1000 = 340 \text{ Liter}$

Es bleiben 340 Liter Ladevolumen übrig.

Das Gesamtvolumen der Form ist:

$V_{\text{gesamt}} = 30 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 3000 \text{ cm}^3$

Der Teig füllt die Form nicht komplett. Die Füllhöhe ist die Gesamthöhe minus dem freien Platz oben: $5 \text{ cm} - 1 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$.

Das Volumen des Teiges ist also:

$V_{\text{gefüllt}} = 30 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 2400 \text{ cm}^3$

$V_{\text{frei}} = 3000 \text{ cm}^3 - 2400 \text{ cm}^3 = 600 \text{ cm}^3$

Das Volumen des Teiges beträgt 2400 cm³.

Das Volumen des Kartons ist:

$V_{\text{gesamt}} = 60 \text{ cm} \cdot 40 \text{ cm} \cdot 30 \text{ cm} = 72.000 \text{ cm}^3$

Das Volumen eines Würfels ist:

$V_{\text{Einheit}} = 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 1000 \text{ cm}^3$

Beide Volumina sind in cm³. Das passt.

$\text{Anzahl} = \frac{72.000 \text{ cm}^3}{1000 \text{ cm}^3} = 72$

Es passen 72 kleine Würfel in den Karton.

Das Gesamtvolumen des Sandes ist 1,5 m³.

Das Volumen eines Sacks ist 25 Liter.

Die Einheiten sind m³ und Liter. Wir rechnen das Gesamtvolumen in Liter um:

$V_{\text{gesamt}} = 1{,}5 \text{ m}^3 \cdot 1000 = 1500 \text{ Liter}$

$\text{Anzahl} = \frac{1500 \text{ Liter}}{25 \text{ Liter}} = 60$

Es können 60 Säcke mit dem Sand gefüllt werden.

Wir haben die Masse (1 kg) und die Dichte (0,8 g/cm³). Zuerst müssen wir das Volumen des Zuckers berechnen. Formel: $\text{Volumen} = \text{Masse} / \text{Dichte}$.

Wir rechnen 1 kg in Gramm um: $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$.

$V_{\text{gesamt}} = \frac{1000 \text{ g}}{0{,}8 \text{ g/cm}^3} = 1250 \text{ cm}^3$

Das Volumen eines Teelöffels ist gegeben: $5 \text{ cm}^3$.

Beide Volumina sind in cm³. Das passt.

$\text{Anzahl} = \frac{1250 \text{ cm}^3}{5 \text{ cm}^3} = 250$

Man kann 250 Teelöffel Zucker entnehmen.

Gesamtvolumen: 200 Liter.

Volumen einer Flasche: 0,5 Liter.

Beide sind in Litern. Passt.

$\text{Anzahl} = \frac{200 \text{ Liter}}{0{,}5 \text{ Liter}} = 400$

Man kann 400 Flaschen füllen.

Wir rechnen die Maße des Containers in cm um: 600 cm, 200 cm, 200 cm.

$V_{\text{gesamt}} = 600 \cdot 200 \cdot 200 = 24.000.000 \text{ cm}^3$

$V_{\text{Einheit}} = 50 \cdot 40 \cdot 20 = 40.000 \text{ cm}^3$

Beide sind in cm³. Passt.

$\text{Anzahl} = \frac{24.000.000 \text{ cm}^3}{40.000 \text{ cm}^3} = 600$

Es passen 600 Kisten in den Container. (Hinweis: Dies ist eine rein rechnerische Lösung. In der Praxis kann es durch die Anordnung der Kisten zu ungenutztem Raum kommen.)

Das Gesamtvolumen des Stapels ist:

$V_{\text{gesamt}} = 30 \text{ cm} \cdot 21 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 3150 \text{ cm}^3$

Die Anzahl der Blätter ist 500.

$V_{\text{Blatt}} = \frac{3150 \text{ cm}^3}{500} = 6{,}3 \text{ cm}^3$

Wir rechnen von cm³ in mm³ um:

$6{,}3 \text{ cm}^3 \cdot 1000 = 6300 \text{ mm}^3$

Ein einzelnes Blatt hat ein Volumen von 6300 mm³.

Das Gesamtvolumen ist gegeben: $96 \text{ cm}^3$.

Die Anzahl der Stücke ist 24.

$V_{\text{Stück}} = \frac{96 \text{ cm}^3}{24} = 4 \text{ cm}^3$

$4 \text{ cm}^3 \cdot 1000 = 4000 \text{ mm}^3$

Ein einzelnes Stück hat ein Volumen von 4000 mm³.

Das Gesamtvolumen ist gegeben: $3000 \text{ cm}^3$.

Die Anzahl der Scheiben ist 20.

$V_{\text{Scheibe}} = \frac{3000 \text{ cm}^3}{20} = 150 \text{ cm}^3$

Die Aufgabe verlangt keine Umrechnung. Das Ergebnis ist 150 cm³.

Eine Scheibe hat ein Volumen von 150 cm³.

$V_{\text{gesamt}} = 9 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 108 \text{ cm}^3$

Die Anzahl der Karten ist 52.

$V_{\text{Karte}} = \frac{108 \text{ cm}^3}{52} \approx 2{,}08 \text{ cm}^3$

$2{,}08 \text{ cm}^3 \cdot 1000 = 2080 \text{ mm}^3$

Eine einzelne Karte hat ein Volumen von ungefähr 2080 mm³.

Das Gesamtvolumen ist gegeben: $12.000 \text{ cm}^3$.

Die Anzahl der Klötze ist 100.

$V_{\text{Klotz}} = \frac{12.000 \text{ cm}^3}{100} = 120 \text{ cm}^3$

$120 \text{ cm}^3 \cdot 1000 = 120.000 \text{ mm}^3$

Ein Klotz hat ein Volumen von 120.000 mm³.

• Anfangsvolumen: 450 ml
• Maximalkapazität: 500 ml

• Volumen des Steins: 60 cm³

Wir wissen, dass 1 cm³ = 1 ml ist. Also sind $60 \text{ cm}^3 = 60 \text{ ml}$.

$\text{Endvolumen} = 450 \text{ ml} + 60 \text{ ml} = 510 \text{ ml}$

Das Endvolumen (510 ml) ist größer als die Maximalkapazität (500 ml).

$510 \text{ ml} > 500 \text{ ml}$

Ja, der Becher läuft über.

• Anfangsvolumen: 3,5 Liter
• Maximalkapazität: 4 Liter

Es sind drei Kartoffeln:

$V_{\text{Kartoffeln}} = 3 \cdot 150 \text{ cm}^3 = 450 \text{ cm}^3$

Wir rechnen alles in Liter um. 1 Liter = 1000 cm³.

$450 \text{ cm}^3 = 450 / 1000 \text{ Liter} = 0{,}45 \text{ Liter}$

$\text{Endvolumen} = 3{,}5 \text{ Liter} + 0{,}45 \text{ Liter} = 3{,}95 \text{ Liter}$

Das Endvolumen (3,95 Liter) ist kleiner als die Maximalkapazität (4 Liter).

$3{,}95 \text{ Liter} < 4 \text{ Liter}$

Ja, das passt. Der Topf läuft nicht über.

• Anfangsvolumen: 200 ml
• Maximalkapazität: 250 ml

Volumen eines Eiswürfels: $V = 2 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 8 \text{ cm}^3$.

Volumen von zwei Eiswürfeln: $V_{\text{Eis}} = 2 \cdot 8 \text{ cm}^3 = 16 \text{ cm}^3$.

$16 \text{ cm}^3 = 16 \text{ ml}$

$\text{Endvolumen} = 200 \text{ ml} + 16 \text{ ml} = 216 \text{ ml}$

$216 \text{ ml} < 250 \text{ ml}$

Nein, das Glas läuft nicht über.

Hier ist es einfacher, das freie Volumen zu berechnen und mit dem Gießwasser zu vergleichen.

Das freie Volumen ist ein Quader mit den Maßen 60 cm × 20 cm und einer Höhe von 2 cm (der freie Rand).

$V_{\text{frei}} = 60 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 2400 \text{ cm}^3$

Volumen des Wassers: $2 \text{ Liter}$.

Wir rechnen das Wasser in cm³ um:

$2 \text{ Liter} = 2 \cdot 1000 \text{ cm}^3 = 2000 \text{ cm}^3$

Das Volumen des Wassers (2000 cm³) ist kleiner als das freie Volumen (2400 cm³).

$2000 \text{ cm}^3 < 2400 \text{ cm}^3$

Nein, der Blumenkasten läuft nicht über.

• Anfangsvolumen: 8 Liter
• Maximalkapazität: 10 Liter

$V_{\text{Ziegel}} = 24 \text{ cm} \cdot 11 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm} = 1848 \text{ cm}^3$

Wir rechnen alles in Liter um:

$1848 \text{ cm}^3 = 1{,}848 \text{ Liter}$

$\text{Endvolumen} = 8 \text{ Liter} + 1{,}848 \text{ Liter} = 9{,}848 \text{ Liter}$

$9{,}848 \text{ Liter} < 10 \text{ Liter}$

Nein, der Eimer läuft nicht über.

• Grundfläche: 20 m²
• Höhe: 1,5 m

Die Einheiten m² und m passen zusammen. Das Ergebnis wird in m³ sein.

$\text{Volumen} = 20 \text{ m}^2 \cdot 1{,}5 \text{ m} = 30 \text{ m}^3$

Es sind 30 m³ Wasser im Becken. (Das sind 30.000 Liter.)

• Grundfläche: 2 Hektar
• Höhe: 5 cm

Wir müssen alles in Meter umrechnen, um m³ zu erhalten.

Grundfläche: $2 \text{ Hektar} = 2 \cdot 10.000 \text{ m}^2 = 20.000 \text{ m}^2$

Höhe: $5 \text{ cm} = 5 / 100 \text{ m} = 0{,}05 \text{ m}$

$\text{Volumen} = 20.000 \text{ m}^2 \cdot 0{,}05 \text{ m} = 1000 \text{ m}^3$

Auf dem Acker stehen 1000 m³ Wasser.

• Grundfläche: 536 km²
• Tiefe (Höhe): 90 m

Wir rechnen die Tiefe in km um (1 km = 1000 m).

$90 \text{ m} = 90 / 1000 \text{ km} = 0{,}09 \text{ km}$

$\text{Volumen} = 536 \text{ km}^2 \cdot 0{,}09 \text{ km} = 48{,}24 \text{ km}^3$

Das Wasservolumen des Bodensees beträgt ungefähr 48,24 km³.

• Grundfläche: 80 m²
• Höhe (Dicke): 30 cm

Wir rechnen die Dicke in Meter um.

$30 \text{ cm} = 0{,}3 \text{ m}$

$\text{Volumen} = 80 \text{ m}^2 \cdot 0{,}3 \text{ m} = 24 \text{ m}^3$

Es müssen 24 m³ Beton bestellt werden.

• Grundfläche: 40 cm²
• Höhe: 10 cm

Die Einheiten cm² und cm passen zusammen.

$\text{Volumen} = 40 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 400 \text{ cm}^3$

Das Volumen der Dose beträgt 400 cm³ (oder 400 ml).

Das Volumen des Wachsblocks ist:

$V_{\text{alt}} = 10 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 400 \text{ cm}^3$

Das Volumen der neuen Kerze ist ebenfalls $400 \text{ cm}^3$. Die Formel für ihr Volumen lautet:

$V_{\text{neu}} = 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} \cdot \text{Höhe}$

Wir setzen das Volumen ein und lösen nach der Höhe auf:

$400 \text{ cm}^3 = 100 \text{ cm}^2 \cdot \text{Höhe}$

$\text{Höhe} = \frac{400 \text{ cm}^3}{100 \text{ cm}^2} = 4 \text{ cm}$

Die neue Kerze wird 4 cm hoch.

Wir rechnen alles in mm um, da der Draht sehr dünn ist. Kantenlänge des Würfels: $2 \text{ cm} = 20 \text{ mm}$.

$V_{\text{alt}} = 20 \text{ mm} \cdot 20 \text{ mm} \cdot 20 \text{ mm} = 8000 \text{ mm}^3$

Das Volumen des Drahtes ist auch $8000 \text{ mm}^3$. Die Formel für sein Volumen ist:

$V_{\text{neu}} = 1 \text{ mm} \cdot 1 \text{ mm} \cdot \text{Länge}$

$8000 \text{ mm}^3 = 1 \text{ mm}^2 \cdot \text{Länge}$

$\text{Länge} = 8000 \text{ mm}$

Die Aufgabe fragt nach der Länge in Metern. Wir rechnen um:

$8000 \text{ mm} = 800 \text{ cm} = 8 \text{ m}$

Der Draht wird 8 Meter lang.

Das Volumen des Teigs ist gegeben: $1200 \text{ cm}^3$.

Das Volumen der geformten Pizza ist ebenfalls $1200 \text{ cm}^3$. Die Formel lautet:

$V_{\text{neu}} = 40 \text{ cm} \cdot 30 \text{ cm} \cdot \text{Dicke}$

$1200 \text{ cm}^3 = 1200 \text{ cm}^2 \cdot \text{Dicke}$

$\text{Dicke} = \frac{1200 \text{ cm}^3}{1200 \text{ cm}^2} = 1 \text{ cm}$

Der Pizzaboden ist 1 cm dick.

Das Volumen des Wassers im ersten Behälter ist:

$V_{\text{Wasser}} = 20 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 2000 \text{ cm}^3$

Das Volumen im neuen Behälter ist ebenfalls $2000 \text{ cm}^3$. Die Formel lautet:

$V_{\text{neu}} = 25 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} \cdot \text{Höhe}$

$2000 \text{ cm}^3 = 500 \text{ cm}^2 \cdot \text{Höhe}$

$\text{Höhe} = \frac{2000 \text{ cm}^3}{500 \text{ cm}^2} = 4 \text{ cm}$

Das Wasser steht im neuen Behälter 4 cm hoch.

Das Volumen des Betonblocks ist:

$V_{\text{alt}} = 2 \text{ m} \cdot 1 \text{ m} \cdot 0{,}5 \text{ m} = 1 \text{ m}^3$

Das Volumen des Füllmaterials im Weg ist ebenfalls 1 m³. Die Formel lautet:

$V_{\text{neu}} = 10 \text{ m} \cdot 2 \text{ m} \cdot \text{Höhe}$

$1 \text{ m}^3 = 20 \text{ m}^2 \cdot \text{Höhe}$

$\text{Höhe} = \frac{1 \text{ m}^3}{20 \text{ m}^2} = 0{,}05 \text{ m}$

Die Schicht ist 0,05 m hoch. Das sind 5 cm.