Was ist das Volumen eines Quaders und wie berechnet man es?

Das Volumen eines Quaders gibt an, wie viel Raum er einnimmt. Es wird berechnet mit der Formel V = l · b · h , also Länge mal Breite mal Höhe. Das Ergebnis hat die Einheit hoch 3, zum Beispiel cm³ . Wichtig: Alle drei Maße müssen vor der Rechnung in dieselbe Einheit umgerechnet sein – sonst stimmt das Ergebnis nicht.

Wie berechnet man das Volumen eines Würfels?

Das Volumen eines Würfels berechnet sich mit V = a³ , weil alle drei Kantenlängen gleich lang sind. Du multiplizierst die Kantenlänge a einfach dreimal mit sich selbst: a · a · a . Zum Beispiel hat ein Würfel mit a = 4 dm das Volumen V = 4³ = 64 dm³ . Die Einheit ist entsprechend hoch 3.

Wie findet man eine fehlende Kantenlänge beim Quader?

Wenn du das Volumen und zwei Kantenlängen kennst, stellst du die Formel V = l · b · h um. Zum Beispiel: h = V / (l · b) . Du berechnest zuerst das Produkt der beiden bekannten Kanten (die Grundfläche), dann teilst du das Volumen durch dieses Produkt. Das Ergebnis ist die gesuchte dritte Kantenlänge . Auch hier gilt: Einheiten zuerst angleichen!

Warum müssen alle Einheiten vor der Volumenberechnung angeglichen werden?

Die Volumenformel V = l · b · h funktioniert nur, wenn alle drei Längen in derselben Einheit vorliegen. Mischt man zum Beispiel cm und mm, erhält man ein falsches Ergebnis. Deshalb rechnet man zuerst alle Angaben in eine gemeinsame Einheit um – zum Beispiel alles in Zentimeter – und setzt dann die Werte in die Formel ein.

Wie rechnet man Liter in Kubikdezimeter um?

Die Umrechnung ist einfach: 1 Liter = 1 dm³ . Das bedeutet, du kannst Liter direkt durch Kubikdezimeter ersetzen. Für Milliliter gilt: 1 ml = 1 cm³ . Diese Umrechnungen sind besonders nützlich bei Aufgaben mit Aquarien, Tanks oder Behältern, deren Fassungsvermögen in Liter angegeben ist.

Volumen Quader & Würfel berechnen

Das Volumen von Quadern und Würfeln berechnen gehört zu den grundlegenden Themen in der Geometrie – und ist erstaunlich nützlich im Alltag: Passt das neue Aquarium auf den Schrank? Wie viele Umzugskartons passen in den Transporter? Sobald du die Formel $V = l \cdot b \cdot h$ und ihre Varianten beherrschst, löst du solche Fragen im Handumdrehen. In diesem Artikel erfährst du Schritt für Schritt, wie du das Volumen eines Quaders und eines Würfels berechnest, wie du fehlende Kantenlängen findest und warum das Umrechnen von Einheiten die wichtigste Regel überhaupt ist.

Schnellantwort

Das Volumen eines Quaders ist der Rauminhalt, den er einnimmt. Es berechnet sich als Produkt von Länge, Breite und Höhe: $V = l \cdot b \cdot h$ . Beim Würfel – einem Sonderfall mit gleich langen Kanten $a$ – vereinfacht sich die Formel zu $V = a^3$ . Wichtigste Regel: Alle Längenangaben müssen vor der Rechnung in dieselbe Einheit umgerechnet sein.

Vorwissen

Bevor wir in die 3D-Welt eintauchen, hier ein kurzes Warm-up:

Quader und Würfel: Ein Quader ist eine 3D-Box mit rechteckigen Seiten. Ein Würfel ist ein besonderer Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind.
- Beispiel: Ein Ziegelstein ist ein Quader, ein Spielwürfel ist ein Würfel.
Multiplikation: Du solltest sicher multiplizieren können, auch mit Kommazahlen.
- Beispiel: $4 \cdot 5 \cdot 2 = 40$ oder $1{,}5 \cdot 2 = 3$ .
Längeneinheiten umrechnen: Das ist super wichtig! Du musst wissen, wie man zwischen Millimeter (mm), Zentimeter (cm), Dezimeter (dm) und Meter (m) umrechnet.
- Beispiel: $1 \text{ m} = 10 \text{ dm} = 100 \text{ cm} = 1000 \text{ mm}$ . Um von einer größeren zu einer kleineren Einheit zu kommen, multiplizierst du mit 10 (oder 100, 1000). Umgekehrt teilst du.

Aufgabentyp 1: Volumen eines Quaders mit gemischten Einheiten berechnen

Beim Volumen eines Quaders berechnen ist die Formel der Schlüssel: Das Volumen eines Körpers gibt an, wie viel Raum er einnimmt. Bei einem Quader berechnet man es, indem man die Länge, die Breite und die Höhe miteinander multipliziert.

Die Formel lautet: $V = l \cdot b \cdot h$

Die wichtigste Regel: Bevor du rechnest, müssen alle drei Längen dieselbe Einheit haben! Wenn die Angaben gemischt sind (z. B. cm und mm), musst du sie zuerst umwandeln.

Quader mit Länge, Breite und Höhe beschriftet

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Kantenlängen und Einheiten prüfen: Lies Länge, Breite und Höhe aus der Aufgabe ab und überprüfe, ob alle Angaben in der gleichen Einheit sind.
Einheiten umwandeln (falls nötig): Wähle eine Zieleinheit (meistens die kleinste oder die, die am häufigsten vorkommt) und rechne alle Längen in diese Einheit um.
Werte in die Volumenformel einsetzen: Nimm die Formel $V = l \cdot b \cdot h$ und setze die umgerechneten Zahlen ein.
Volumen berechnen: Multipliziere die drei Zahlen. Das Ergebnis ist das Volumen. Vergiss nicht die richtige Einheit, die jetzt hoch 3 ist (z. B. $\text{cm}^3$ ).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Paket hat die Maße: Länge = $30 \text{ cm}$ , Breite = $2 \text{ dm}$ und Höhe = $150 \text{ mm}$ . Berechne das Volumen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kantenlängen und Einheiten prüfen
Die Längen sind $l = 30 \text{ cm}$ , $b = 2 \text{ dm}$ und $h = 150 \text{ mm}$ . Die Einheiten sind gemischt (cm, dm, mm).
2
Schritt 2
Einheiten umwandeln
Wir wandeln alles in Zentimeter (cm) um.
- Die Länge ist bereits in cm: $l = 30 \text{ cm}$ .
- Die Breite: $1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}$ , also $b = 2 \cdot 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$ .
- Die Höhe: $10 \text{ mm} = 1 \text{ cm}$ , also $h = 150 : 10 \text{ cm} = 15 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Werte in die Volumenformel einsetzen
$V = l \cdot b \cdot h$

$V = 30 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} \cdot 15 \text{ cm}$
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = 600 \text{ cm}^2 \cdot 15 \text{ cm}$

$V = 9000 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Pakets beträgt $9000 \text{ cm}^3$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Goldbarren hat die Maße $l = 0{,}2 \text{ m}$ , $b = 8 \text{ cm}$ und $h = 40 \text{ mm}$ . Berechne sein Volumen in $\text{cm}^3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kantenlängen und Einheiten prüfen
Die Längen sind $l = 0{,}2 \text{ m}$ , $b = 8 \text{ cm}$ und $h = 40 \text{ mm}$ . Die Einheiten sind gemischt.
2
Schritt 2
Einheiten umwandeln
Wir wandeln alles in Zentimeter (cm) um.
- Länge: $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$ , also $l = 0{,}2 \cdot 100 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$ .
- Breite: ist bereits $b = 8 \text{ cm}$ .
- Höhe: $10 \text{ mm} = 1 \text{ cm}$ , also $h = 40 : 10 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Werte in die Volumenformel einsetzen
$V = 20 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm}$
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = 160 \text{ cm}^2 \cdot 4 \text{ cm}$

$V = 640 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Goldbarrens beträgt $640 \text{ cm}^3$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Aquarium ist $1{,}2 \text{ m}$ lang, $5 \text{ dm}$ breit und $60 \text{ cm}$ hoch. Wie viel Volumen hat es in $\text{dm}^3$ (Liter)?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kantenlängen und Einheiten prüfen
Die Längen sind $1{,}2 \text{ m}$ , $5 \text{ dm}$ und $60 \text{ cm}$ . Die Einheiten sind gemischt. Die Zieleinheit ist $\text{dm}^3$ .
2
Schritt 2
Einheiten umwandeln
Wir wandeln alles in Dezimeter (dm) um.
- Länge: $1 \text{ m} = 10 \text{ dm}$ , also $l = 1{,}2 \cdot 10 \text{ dm} = 12 \text{ dm}$ .
- Breite: ist bereits $b = 5 \text{ dm}$ .
- Höhe: $10 \text{ cm} = 1 \text{ dm}$ , also $h = 60 : 10 \text{ dm} = 6 \text{ dm}$ .
Schritt 3
Werte in die Volumenformel einsetzen
$V = 12 \text{ dm} \cdot 5 \text{ dm} \cdot 6 \text{ dm}$
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = 60 \text{ dm}^2 \cdot 6 \text{ dm}$

$V = 360 \text{ dm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Aquariums beträgt $360 \text{ dm}^3$ , was 360 Litern entspricht.

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Brotdose ist $18 \text{ cm}$ lang, $0{,}12 \text{ m}$ breit und $70 \text{ mm}$ hoch. Berechne das Volumen in $\text{cm}^3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kantenlängen und Einheiten prüfen
Die Längen sind $18 \text{ cm}$ , $0{,}12 \text{ m}$ und $70 \text{ mm}$ . Die Einheiten sind gemischt.
2
Schritt 2
Einheiten umwandeln
Wir wandeln alles in Zentimeter (cm) um.
- Länge: ist bereits $l = 18 \text{ cm}$ .
- Breite: $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$ , also $b = 0{,}12 \cdot 100 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$ .
- Höhe: $10 \text{ mm} = 1 \text{ cm}$ , also $h = 70 : 10 \text{ cm} = 7 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Werte in die Volumenformel einsetzen
$V = 18 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} \cdot 7 \text{ cm}$
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = 216 \text{ cm}^2 \cdot 7 \text{ cm}$

$V = 1512 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen der Brotdose beträgt $1512 \text{ cm}^3$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein einzelner Ziegelstein hat die Maße $2{,}4 \text{ dm}$ x $11{,}5 \text{ cm}$ x $71 \text{ mm}$ . Finde das Volumen in $\text{cm}^3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kantenlängen und Einheiten prüfen
Die Längen sind $2{,}4 \text{ dm}$ , $11{,}5 \text{ cm}$ und $71 \text{ mm}$ . Die Einheiten sind gemischt.
2
Schritt 2
Einheiten umwandeln
Wir wandeln alles in Zentimeter (cm) um.
- Länge: $1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}$ , also $l = 2{,}4 \cdot 10 \text{ cm} = 24 \text{ cm}$ .
- Breite: ist bereits $b = 11{,}5 \text{ cm}$ .
- Höhe: $10 \text{ mm} = 1 \text{ cm}$ , also $h = 71 : 10 \text{ cm} = 7{,}1 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Werte in die Volumenformel einsetzen
$V = 24 \text{ cm} \cdot 11{,}5 \text{ cm} \cdot 7{,}1 \text{ cm}$
Schritt 4 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = 276 \text{ cm}^2 \cdot 7{,}1 \text{ cm}$

$V = 1959{,}6 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Ziegelsteins beträgt $1959{,}6 \text{ cm}^3$ .

Aufgabentyp 2: Volumen eines Würfels berechnen

Das Volumen eines Würfels berechnen ist besonders einfach, weil alle Kanten gleich lang sind. Ein Würfel ist ein ganz besonderer Quader: Alle seine Kanten sind exakt gleich lang. Wir nennen diese Kantenlänge einfach $a$ .

Weil Länge, Breite und Höhe alle gleich $a$ sind, wird die Volumenformel viel einfacher:

$V = a \cdot a \cdot a$

Oder als Potenz geschrieben: $V = a^3$

Man sagt auch „a hoch 3".

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Kantenlänge ablesen: Finde die gegebene Kantenlänge $a$ des Würfels.
Werte in die Würfel-Formel einsetzen: Nimm die Formel $V = a^3$ und setze den Wert für $a$ ein.
Volumen berechnen: Rechne $a$ mal $a$ mal $a$ . Das Ergebnis ist das Volumen des Würfels. Achte auf die richtige Einheit (z. B. $\text{m}^3$ ).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Spielwürfel hat eine Kantenlänge von $a = 1{,}5 \text{ cm}$ . Berechne sein Volumen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kantenlänge ablesen
Die Kantenlänge ist $a = 1{,}5 \text{ cm}$ .
Schritt 2
Werte in die Würfel-Formel einsetzen
$V = a^3$

$V = (1{,}5 \text{ cm})^3 = 1{,}5 \text{ cm} \cdot 1{,}5 \text{ cm} \cdot 1{,}5 \text{ cm}$
Schritt 3 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = 2{,}25 \text{ cm}^2 \cdot 1{,}5 \text{ cm}$

$V = 3{,}375 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Spielwürfels beträgt $3{,}375 \text{ cm}^3$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein würfelförmiger Hocker hat eine Kantenlänge von $a = 4 \text{ dm}$ . Was ist sein Volumen?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kantenlänge ablesen
Die Kantenlänge ist $a = 4 \text{ dm}$ .
Schritt 2
Werte in die Würfel-Formel einsetzen
$V = a^3$

$V = (4 \text{ dm})^3 = 4 \text{ dm} \cdot 4 \text{ dm} \cdot 4 \text{ dm}$
Schritt 3 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = 16 \text{ dm}^2 \cdot 4 \text{ dm}$

$V = 64 \text{ dm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Hockers beträgt $64 \text{ dm}^3$ (oder 64 Liter).

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Würfelzucker hat eine Kantenlänge von $a = 12 \text{ mm}$ . Berechne das Volumen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kantenlänge ablesen
Die Kantenlänge ist $a = 12 \text{ mm}$ .
Schritt 2
Werte in die Würfel-Formel einsetzen
$V = a^3$

$V = (12 \text{ mm})^3 = 12 \text{ mm} \cdot 12 \text{ mm} \cdot 12 \text{ mm}$
Schritt 3 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = 144 \text{ mm}^2 \cdot 12 \text{ mm}$

$V = 1728 \text{ mm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Würfelzuckers beträgt $1728 \text{ mm}^3$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ein würfelförmiger Wassertank hat eine Kantenlänge von $a = 2 \text{ m}$ . Wie viele Kubikmeter Wasser fasst er?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kantenlänge ablesen
Die Kantenlänge ist $a = 2 \text{ m}$ .
Schritt 2
Werte in die Würfel-Formel einsetzen
$V = a^3$

$V = (2 \text{ m})^3 = 2 \text{ m} \cdot 2 \text{ m} \cdot 2 \text{ m}$
Schritt 3 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = 4 \text{ m}^2 \cdot 2 \text{ m}$

$V = 8 \text{ m}^3$

Ergebnis:

Der Wassertank fasst $8 \text{ m}^3$ Wasser.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein kleiner Eiswürfel hat eine Kantenlänge von $a = 2{,}5 \text{ cm}$ . Berechne sein Volumen.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kantenlänge ablesen
Die Kantenlänge ist $a = 2{,}5 \text{ cm}$ .
Schritt 2
Werte in die Würfel-Formel einsetzen
$V = a^3$

$V = (2{,}5 \text{ cm})^3 = 2{,}5 \text{ cm} \cdot 2{,}5 \text{ cm} \cdot 2{,}5 \text{ cm}$
Schritt 3 · Ergebnis
Volumen berechnen
$V = 6{,}25 \text{ cm}^2 \cdot 2{,}5 \text{ cm}$

$V = 15{,}625 \text{ cm}^3$

Ergebnis:

Das Volumen des Eiswürfels beträgt $15{,}625 \text{ cm}^3$ .

Aufgabentyp 3: Kantenlängen eines Quaders bei gegebenem Volumen finden

Manchmal kennst du das Volumen und musst herausfinden, welche Maße ein Quader haben könnte. Das ist wie ein kleines Rätsel. Du suchst drei Zahlen (Länge, Breite, Höhe), deren Produkt genau das gegebene Volumen ergibt.

$V = l \cdot b \cdot h$

Wichtig: Es gibt fast immer mehrere richtige Lösungen! Ein Volumen von $12 \text{ cm}^3$ kann zum Beispiel ein Quader mit den Maßen $2 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} \times 3 \text{ cm}$ oder $1 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} \times 3 \text{ cm}$ sein.

Ein guter Trick ist, die Zahl des Volumens in ihre Primfaktoren zu zerlegen und diese dann geschickt zu drei Zahlen zusammenzufassen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gegebenes Volumen notieren: Schreibe das gegebene Volumen $V$ und die zugehörige Einheit auf. Wandle Einheiten wie Liter (l) zuerst um ( $1 \text{ l} = 1 \text{ dm}^3$ ).
Drei passende Zahlen finden: Suche drei Zahlen, die miteinander multipliziert das Volumen $V$ ergeben. Wähle eine einfache erste Zahl für die Länge (z. B. 1, 2 oder 5), teile das Volumen durch diese Zahl und finde zwei Zahlen, die multipliziert dieses Zwischenergebnis ergeben.
Lösung angeben: Gib die gefundenen Kantenlängen an. Vergiss nicht die Einheiten, die zur Volumeneinheit passen (z. B. cm für $\text{cm}^3$ ).
Probe machen: Multipliziere deine drei gefundenen Längen. Kommt das ursprüngliche Volumen heraus? Wenn ja, super!

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Finde mögliche Kantenlängen für einen Quader mit einem Volumen von $V = 18 \text{ cm}^3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebenes Volumen notieren
Das Volumen ist $V = 18 \text{ cm}^3$ . Die Einheit für die Längen wird cm sein.
2
Schritt 2
Drei passende Zahlen finden
Wir suchen drei Zahlen, deren Produkt 18 ist.
- Wir wählen für die Länge $l = 2 \text{ cm}$ .
- Wir rechnen: $18 : 2 = 9$ .
- Jetzt brauchen wir zwei Zahlen, deren Produkt 9 ist. Wir können $b = 3$ und $h = 3$ nehmen.
Schritt 3
Lösung angeben
Eine mögliche Lösung ist: $l = 2 \text{ cm}$ , $b = 3 \text{ cm}$ , $h = 3 \text{ cm}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Probe machen
$2 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 6 \text{ cm}^2 \cdot 3 \text{ cm} = 18 \text{ cm}^3$ . Passt!

Ergebnis:

Eine mögliche Kombination ist $l = 2 \text{ cm}$ , $b = 3 \text{ cm}$ , $h = 3 \text{ cm}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Behälter soll ein Volumen von $V = 50 \text{ m}^3$ haben. Gib mögliche Maße an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebenes Volumen notieren
Das Volumen ist $V = 50 \text{ m}^3$ . Die Einheit für die Längen wird m sein.
2
Schritt 2
Drei passende Zahlen finden
Wir suchen drei Zahlen, deren Produkt 50 ist.
- Wir wählen für die Länge $l = 2 \text{ m}$ .
- Wir rechnen: $50 : 2 = 25$ .
- Jetzt brauchen wir zwei Zahlen, deren Produkt 25 ist. Wir können $b = 5$ und $h = 5$ nehmen.
Schritt 3
Lösung angeben
Eine mögliche Lösung ist: $l = 2 \text{ m}$ , $b = 5 \text{ m}$ , $h = 5 \text{ m}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Probe machen
$2 \text{ m} \cdot 5 \text{ m} \cdot 5 \text{ m} = 10 \text{ m}^2 \cdot 5 \text{ m} = 50 \text{ m}^3$ . Passt!

Ergebnis:

Eine mögliche Kombination ist $l = 2 \text{ m}$ , $b = 5 \text{ m}$ , $h = 5 \text{ m}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Finde mögliche Kantenlängen für eine Schachtel mit einem Volumen von $V = 72 \text{ mm}^3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebenes Volumen notieren
Das Volumen ist $V = 72 \text{ mm}^3$ . Die Einheit für die Längen wird mm sein.
2
Schritt 2
Drei passende Zahlen finden
Wir suchen drei Zahlen, deren Produkt 72 ist.
- Wir wählen für die Länge $l = 3 \text{ mm}$ .
- Wir rechnen: $72 : 3 = 24$ .
- Jetzt brauchen wir zwei Zahlen, deren Produkt 24 ist. Wir können $b = 4$ und $h = 6$ nehmen.
Schritt 3
Lösung angeben
Eine mögliche Lösung ist: $l = 3 \text{ mm}$ , $b = 4 \text{ mm}$ , $h = 6 \text{ mm}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Probe machen
$3 \text{ mm} \cdot 4 \text{ mm} \cdot 6 \text{ mm} = 12 \text{ mm}^2 \cdot 6 \text{ mm} = 72 \text{ mm}^3$ . Passt!

Ergebnis:

Eine mögliche Kombination ist $l = 3 \text{ mm}$ , $b = 4 \text{ mm}$ , $h = 6 \text{ mm}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Tank fasst $24 \text{ Liter}$ . Gib mögliche Kantenlängen in dm an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebenes Volumen notieren
Das Volumen ist $V = 24 \text{ l}$ . Wir wandeln das zuerst um: $1 \text{ l} = 1 \text{ dm}^3$ . Also ist $V = 24 \text{ dm}^3$ . Die Einheit für die Längen wird dm sein.
2
Schritt 2
Drei passende Zahlen finden
Wir suchen drei Zahlen, deren Produkt 24 ist.
- Wir wählen für die Länge $l = 2 \text{ dm}$ .
- Wir rechnen: $24 : 2 = 12$ .
- Jetzt brauchen wir zwei Zahlen, deren Produkt 12 ist. Wir können $b = 3$ und $h = 4$ nehmen.
Schritt 3
Lösung angeben
Eine mögliche Lösung ist: $l = 2 \text{ dm}$ , $b = 3 \text{ dm}$ , $h = 4 \text{ dm}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Probe machen
$2 \text{ dm} \cdot 3 \text{ dm} \cdot 4 \text{ dm} = 6 \text{ dm}^2 \cdot 4 \text{ dm} = 24 \text{ dm}^3$ . Passt!

Ergebnis:

Eine mögliche Kombination ist $l = 2 \text{ dm}$ , $b = 3 \text{ dm}$ , $h = 4 \text{ dm}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Buch hat ein Volumen von $V = 1000 \text{ cm}^3$ . Gib eine mögliche Kombination von Länge, Breite und Höhe an.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebenes Volumen notieren
Das Volumen ist $V = 1000 \text{ cm}^3$ . Die Einheit für die Längen wird cm sein.
2
Schritt 2
Drei passende Zahlen finden
Wir suchen drei Zahlen, deren Produkt 1000 ist. Die Zahl 1000 ist einfach, da $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ . Das wäre ein Würfel. Wir suchen aber einen Quader. Versuchen wir es anders:
- Wir wählen für die Länge $l = 20 \text{ cm}$ .
- Wir rechnen: $1000 : 20 = 50$ .
- Jetzt brauchen wir zwei Zahlen, deren Produkt 50 ist. Wir können $b = 5$ und $h = 10$ nehmen.
Schritt 3
Lösung angeben
Eine mögliche Lösung ist: $l = 20 \text{ cm}$ , $b = 5 \text{ cm}$ , $h = 10 \text{ cm}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Probe machen
$20 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 1000 \text{ cm}^3$ . Passt!

Ergebnis:

Eine mögliche Kombination ist $l = 20 \text{ cm}$ , $b = 5 \text{ cm}$ , $h = 10 \text{ cm}$ .

Aufgabentyp 4: Kantenlänge eines Würfels durch Testen finden

Stell dir vor, du hast eine Kiste mit einem bestimmten Volumen und willst wissen, wie groß der größte Würfel ist, der noch hineinpasst. Du suchst also die größte ganze Zahl für die Kantenlänge $a$ , sodass das Würfelvolumen $V = a^3$ kleiner oder gleich dem Volumen der Kiste ist.

Die Methode dafür nennt sich systematisches Testen. Du probierst einfach der Reihe nach ganze Zahlen für $a$ aus, bis das Ergebnis zu groß wird. Der letzte Wert, der noch gepasst hat, ist deine Antwort.

Wichtig für den Sachzusammenhang: Oft sind Volumen in Milliliter (ml) oder Liter (l) gegeben. Du musst sie zuerst umrechnen:

$1 \text{ ml} = 1 \text{ cm}^3$
$1 \text{ l} = 1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ dm}^3$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Maximales Volumen bestimmen: Lies das maximale Volumen aus der Aufgabe ab. Wandle die Einheit bei Bedarf in eine Kubikeinheit (wie $\text{cm}^3$ oder $\text{dm}^3$ ) um.
Mit einer kleinen Kantenlänge starten: Wähle eine kleine ganze Zahl für die Kantenlänge $a$ (z. B. $a = 1$ ) und berechne das Würfelvolumen $V = a^3$ .
Ergebnis vergleichen: Vergleiche dein berechnetes Volumen mit dem maximalen Volumen. Ist es kleiner oder gleich? Dann passt der Würfel.
Kantenlänge erhöhen und wiederholen: Erhöhe $a$ um 1 und wiederhole Schritt 2 und 3. Mach das so lange, bis das berechnete Volumen größer als das maximale Volumen ist.
Antwort finden: Der Würfel aus dem letzten Schritt war zu groß. Die richtige Antwort ist also die vorherige Kantenlänge, die gerade noch gepasst hat.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Glas fasst $150 \text{ ml}$ . Was ist die maximale Kantenlänge in ganzen Zentimetern für einen Eiswürfel, der noch komplett ins Glas passt?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Maximales Volumen bestimmen
Das maximale Volumen ist $150 \text{ ml}$ . Wir wandeln um: $150 \text{ ml} = 150 \text{ cm}^3$ . Der Eiswürfel darf also maximal $150 \text{ cm}^3$ Volumen haben.
2
Schritt 2 & 3 & 4
Systematisches Testen
Wir testen ganze Zahlen für die Kantenlänge $a$ in cm:
- Test für $a = 4 \text{ cm}$ : $V = 4^3 = 64 \text{ cm}^3$ . Das ist kleiner als $150 \text{ cm}^3$ . Passt.
- Test für $a = 5 \text{ cm}$ : $V = 5^3 = 125 \text{ cm}^3$ . Das ist kleiner als $150 \text{ cm}^3$ . Passt.
- Test für $a = 6 \text{ cm}$ : $V = 6^3 = 216 \text{ cm}^3$ . Das ist größer als $150 \text{ cm}^3$ . Passt nicht.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort finden
Die Kantenlänge $a = 6 \text{ cm}$ ist zu groß. Die letzte passende ganze Zahl war $5 \text{ cm}$ .

Ergebnis:

Die maximale Kantenlänge beträgt $5 \text{ cm}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein würfelförmiges Paket soll in einen Rucksack mit einem Fassungsvermögen von $30 \text{ Litern}$ passen. Was ist die maximale Kantenlänge des Pakets in ganzen Dezimetern?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Maximales Volumen bestimmen
Das maximale Volumen ist $30 \text{ l}$ . Wir wandeln um: $30 \text{ l} = 30 \text{ dm}^3$ . Das Paket darf also maximal $30 \text{ dm}^3$ Volumen haben.
2
Schritt 2 & 3 & 4
Systematisches Testen
Wir testen ganze Zahlen für die Kantenlänge $a$ in dm:
- Test für $a = 2 \text{ dm}$ : $V = 2^3 = 8 \text{ dm}^3$ . Das ist kleiner als $30 \text{ dm}^3$ . Passt.
- Test für $a = 3 \text{ dm}$ : $V = 3^3 = 27 \text{ dm}^3$ . Das ist kleiner als $30 \text{ dm}^3$ . Passt.
- Test für $a = 4 \text{ dm}$ : $V = 4^3 = 64 \text{ dm}^3$ . Das ist größer als $30 \text{ dm}^3$ . Passt nicht.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort finden
Die Kantenlänge $a = 4 \text{ dm}$ ist zu groß. Die letzte passende ganze Zahl war $3 \text{ dm}$ .

Ergebnis:

Die maximale Kantenlänge beträgt $3 \text{ dm}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Ein würfelförmiger Baustein soll in eine Kiste mit dem Innenvolumen von $1000 \text{ cm}^3$ passen. Was ist die maximale Kantenlänge des Bausteins in ganzen Zentimetern?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Maximales Volumen bestimmen
Das maximale Volumen ist $1000 \text{ cm}^3$ .
2
Schritt 2 & 3 & 4
Systematisches Testen
Wir testen ganze Zahlen für die Kantenlänge $a$ in cm:
- Test für $a = 9 \text{ cm}$ : $V = 9^3 = 729 \text{ cm}^3$ . Das ist kleiner als $1000 \text{ cm}^3$ . Passt.
- Test für $a = 10 \text{ cm}$ : $V = 10^3 = 1000 \text{ cm}^3$ . Das ist genau gleich $1000 \text{ cm}^3$ . Passt.
- Test für $a = 11 \text{ cm}$ : $V = 11^3 = 1331 \text{ cm}^3$ . Das ist größer als $1000 \text{ cm}^3$ . Passt nicht.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort finden
Die Kantenlänge $a = 11 \text{ cm}$ ist zu groß. Die letzte passende ganze Zahl war $10 \text{ cm}$ .

Ergebnis:

Die maximale Kantenlänge beträgt $10 \text{ cm}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ein würfelförmiger Blumentopf soll auf eine Fensterbank gestellt werden, die maximal ein Gewicht tragen kann, das einem Erdvolumen von $5 \text{ dm}^3$ entspricht. Was ist die maximale Kantenlänge des Topfes in ganzen Dezimetern?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Maximales Volumen bestimmen
Das maximale Volumen ist $5 \text{ dm}^3$ .
2
Schritt 2 & 3 & 4
Systematisches Testen
Wir testen ganze Zahlen für die Kantenlänge $a$ in dm:
- Test für $a = 1 \text{ dm}$ : $V = 1^3 = 1 \text{ dm}^3$ . Das ist kleiner als $5 \text{ dm}^3$ . Passt.
- Test für $a = 2 \text{ dm}$ : $V = 2^3 = 8 \text{ dm}^3$ . Das ist größer als $5 \text{ dm}^3$ . Passt nicht.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort finden
Die Kantenlänge $a = 2 \text{ dm}$ ist zu groß. Die letzte passende ganze Zahl war $1 \text{ dm}$ .

Ergebnis:

Die maximale Kantenlänge beträgt $1 \text{ dm}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein würfelförmiger Behälter soll in einen Schrank mit einem freien Volumen von $0{,}5 \text{ m}^3$ passen. Was ist die maximale Kantenlänge des Behälters in ganzen Dezimetern?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Maximales Volumen bestimmen
Das maximale Volumen ist $0{,}5 \text{ m}^3$ . Da wir die Kantenlänge in dm suchen, wandeln wir das Volumen in $\text{dm}^3$ um. Wir wissen: $1 \text{ m} = 10 \text{ dm}$ , also $1 \text{ m}^3 = 10^3 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ dm}^3$ . $V_{max} = 0{,}5 \cdot 1000 \text{ dm}^3 = 500 \text{ dm}^3$ .
2
Schritt 2 & 3 & 4
Systematisches Testen
Wir testen ganze Zahlen für die Kantenlänge $a$ in dm:
- Test für $a = 7 \text{ dm}$ : $V = 7^3 = 343 \text{ dm}^3$ . Das ist kleiner als $500 \text{ dm}^3$ . Passt.
- Test für $a = 8 \text{ dm}$ : $V = 8^3 = 512 \text{ dm}^3$ . Das ist größer als $500 \text{ dm}^3$ . Passt nicht.
Schritt 5 · Ergebnis
Antwort finden
Die Kantenlänge $a = 8 \text{ dm}$ ist zu groß. Die letzte passende ganze Zahl war $7 \text{ dm}$ .

Ergebnis:

Die maximale Kantenlänge beträgt $7 \text{ dm}$ .

Aufgabentyp 5: Fehlende Kantenlänge eines Quaders berechnen

Was tust du, wenn du das Volumen eines Quaders und zwei seiner Kantenlängen (z. B. Länge und Breite) kennst, aber die dritte (Höhe) fehlt?

Du musst die Volumenformel umstellen! Die Grundformel ist: $V = l \cdot b \cdot h$

Um die fehlende Höhe zu finden, teilst du das Volumen durch das Produkt der beiden bekannten Längen:

$h = \frac{V}{l \cdot b}$

Das Gleiche funktioniert natürlich auch, wenn die Länge oder die Breite gesucht wird. Und auch hier gilt: Zuerst alle Einheiten angleichen! Das Volumen muss zur Einheit der Längen passen (z. B. $\text{cm}^3$ für Längen in cm).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gegebene Werte und Einheiten prüfen: Notiere das Volumen $V$ und die beiden bekannten Kantenlängen. Überprüfe, ob alle Einheiten zusammenpassen. Wandle sie bei Bedarf um.
Grundfläche berechnen: Multipliziere die beiden bekannten Kantenlängen miteinander. Das Ergebnis ist die Grundfläche $G = l \cdot b$ .
Fehlende Kante berechnen: Teile das Volumen durch die im Schritt 2 berechnete Grundfläche. Das Ergebnis ist die gesuchte Kantenlänge: $h = \frac{V}{G}$ .
Antwort mit korrekter Einheit angeben: Schreibe die Lösung mit der passenden Längeneinheit (z. B. cm) auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Quader hat ein Volumen von $V = 120 \text{ cm}^3$ . Seine Länge beträgt $l = 10 \text{ cm}$ und seine Breite $b = 4 \text{ cm}$ . Wie hoch ist er?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebene Werte und Einheiten prüfen
$V = 120 \text{ cm}^3$ , $l = 10 \text{ cm}$ , $b = 4 \text{ cm}$ . Alle Einheiten passen zusammen.
Schritt 2
Grundfläche berechnen
$G = l \cdot b$

$G = 10 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 40 \text{ cm}^2$
Schritt 3
Fehlende Kante berechnen
$h = \frac{V}{G}$

$h = \frac{120 \text{ cm}^3}{40 \text{ cm}^2} = 3 \text{ cm}$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort mit korrekter Einheit angeben
Die Höhe des Quaders beträgt $3 \text{ cm}$ .

Ergebnis:

Der Quader ist $3 \text{ cm}$ hoch.

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Kiste mit einem Volumen von $V = 60 \text{ dm}^3$ ist $5 \text{ dm}$ hoch und $30 \text{ cm}$ breit. Wie lang ist sie?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebene Werte und Einheiten prüfen
$V = 60 \text{ dm}^3$ , $h = 5 \text{ dm}$ , $b = 30 \text{ cm}$ . Die Einheiten sind gemischt. Wir wandeln die Breite in dm um: $b = 30 \text{ cm} = 3 \text{ dm}$ .
Schritt 2
Bekannte Seiten multiplizieren
Wir kennen Höhe und Breite. Ihr Produkt ist eine Seitenfläche: $A = h \cdot b$ .

$A = 5 \text{ dm} \cdot 3 \text{ dm} = 15 \text{ dm}^2$
Schritt 3
Fehlende Kante berechnen
Die fehlende Länge ist $l = \frac{V}{A}$ .

$l = \frac{60 \text{ dm}^3}{15 \text{ dm}^2} = 4 \text{ dm}$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort mit korrekter Einheit angeben
Die Länge der Kiste beträgt $4 \text{ dm}$ .

Ergebnis:

Die Kiste ist $4 \text{ dm}$ lang.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Aquarium fasst $200 \text{ Liter}$ Wasser. Es ist $1 \text{ m}$ lang und $5 \text{ dm}$ hoch. Wie breit ist es in dm?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebene Werte und Einheiten prüfen
$V = 200 \text{ l} = 200 \text{ dm}^3$ . $l = 1 \text{ m} = 10 \text{ dm}$ . $h = 5 \text{ dm}$ . Alle Einheiten sind jetzt in dm.
Schritt 2
Bekannte Seiten multiplizieren
Wir kennen Länge und Höhe. Ihr Produkt ist eine Seitenfläche: $A = l \cdot h$ .

$A = 10 \text{ dm} \cdot 5 \text{ dm} = 50 \text{ dm}^2$
Schritt 3
Fehlende Kante berechnen
Die fehlende Breite ist $b = \frac{V}{A}$ .

$b = \frac{200 \text{ dm}^3}{50 \text{ dm}^2} = 4 \text{ dm}$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort mit korrekter Einheit angeben
Die Breite des Aquariums beträgt $4 \text{ dm}$ .

Ergebnis:

Das Aquarium ist $4 \text{ dm}$ breit.

Beispiel 4

Aufgabe

Das Volumen eines Smartphones wird mit $V = 96 \text{ cm}^3$ angegeben. Es ist $16 \text{ cm}$ lang und $7{,}5 \text{ cm}$ breit. Wie dick (hoch) ist es in mm?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebene Werte und Einheiten prüfen
$V = 96 \text{ cm}^3$ , $l = 16 \text{ cm}$ , $b = 7{,}5 \text{ cm}$ . Alle Einheiten passen. Die Antwort soll aber in mm sein.
Schritt 2
Grundfläche berechnen
$G = l \cdot b$

$G = 16 \text{ cm} \cdot 7{,}5 \text{ cm} = 120 \text{ cm}^2$
Schritt 3
Fehlende Kante berechnen
$h = \frac{V}{G}$

$h = \frac{96 \text{ cm}^3}{120 \text{ cm}^2} = 0{,}8 \text{ cm}$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort mit korrekter Einheit angeben
Die Höhe ist $0{,}8 \text{ cm}$ . Wir wandeln das in Millimeter um: $0{,}8 \text{ cm} = 8 \text{ mm}$ .

Ergebnis:

Das Smartphone ist $8 \text{ mm}$ dick.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Betonblock hat ein Volumen von $V = 0{,}15 \text{ m}^3$ . Er ist $150 \text{ cm}$ lang und $20 \text{ cm}$ hoch. Wie breit ist der Block in cm?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gegebene Werte und Einheiten prüfen
$V = 0{,}15 \text{ m}^3$ , $l = 150 \text{ cm}$ , $h = 20 \text{ cm}$ . Die Einheiten sind gemischt. Wir wandeln das Volumen in $\text{cm}^3$ um. $1 \text{ m}^3 = (100 \text{ cm})^3 = 1.000.000 \text{ cm}^3$ . $V = 0{,}15 \cdot 1.000.000 \text{ cm}^3 = 150.000 \text{ cm}^3$ .
Schritt 2
Bekannte Seiten multiplizieren
Wir kennen Länge und Höhe. Ihr Produkt ist eine Seitenfläche: $A = l \cdot h$ .

$A = 150 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 3000 \text{ cm}^2$
Schritt 3
Fehlende Kante berechnen
Die fehlende Breite ist $b = \frac{V}{A}$ .

$b = \frac{150.000 \text{ cm}^3}{3000 \text{ cm}^2} = 50 \text{ cm}$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwort mit korrekter Einheit angeben
Die Breite des Betonblocks beträgt $50 \text{ cm}$ .

Ergebnis:

Der Betonblock ist $50 \text{ cm}$ breit.

Wichtige Erkenntnisse

Regel Nr. 1: Immer, immer, immer zuerst alle Längen in die gleiche Einheit umrechnen, bevor du rechnest!
Volumen Quader: $V = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe}$ ( $V = l \cdot b \cdot h$ )
Volumen Würfel: $V = \text{Kante} \cdot \text{Kante} \cdot \text{Kante}$ ( $V = a^3$ )
Fehlende Kante finden: Teile das Volumen durch das Produkt der beiden bekannten Kanten (z. B. $h = V / (l \cdot b)$ ).
Wichtige Umrechnung: $1 \text{ Liter} = 1 \text{ dm}^3$ und $1 \text{ Milliliter} = 1 \text{ cm}^3$ .

Volumen von Quadern und Würfeln berechnen – Schritt für Schritt

Volumen von Quadern und Würfeln berechnen – Schritt für Schritt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Volumen eines Quaders mit gemischten Einheiten berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Volumen eines Würfels berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Kantenlängen eines Quaders bei gegebenem Volumen finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Kantenlänge eines Würfels durch Testen finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 5: Fehlende Kantenlänge eines Quaders berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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