Rationale Zahlen ordnen einfach erklärt: Brüche & Dezimalzahlen

Stell dir vor, du bist bei einem Sportfest. Auf der Anzeigetafel stehen die Zeiten der schnellsten Läufer, aber der Computer hat einen Fehler gemacht: Manche Zeiten stehen dort als Kommazahlen, andere als Brüche!

Wer war nun am schnellsten? Ist $12{,}5$ Sekunden besser als $12\frac{1}{3}$ Sekunden? Um solche Rätsel zu lösen und rationale Zahlen ordnen zu können, müssen wir Brüche und Dezimalzahlen (Kommazahlen) ineinander umwandeln und vergleichen können. In diesem Artikel lernst du die besten Tricks, wie du jede noch so seltsame Zahl knacken und in die richtige Reihenfolge bringen kannst!

Vorwissen

• Brüche erweitern: Man multipliziert Zähler (oben) und Nenner (unten) mit derselben Zahl. Der Wert des Bruchs bleibt gleich. Beispiel: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$
• Dezimalstellen: Brüche mit $10$, $100$ oder $1000$ im Nenner lassen sich direkt als Kommazahl schreiben. Beispiel: $\frac{35}{100} = 0{,}35$ (Fünfunddreißig Hundertstel)
• Negative Zahlen: Auf der Zahlengeraden ist die Zahl kleiner, die weiter links liegt. Bei negativen Zahlen bedeutet ein größerer Betrag (die Zahl ohne Minus) einen kleineren Wert. Beispiel: $-5$ ist kleiner als $-2$.

Aufgabentyp 1: Rationale Zahlen ordnen und umwandeln

Rationale Zahlen können als Bruch oder als Dezimalzahl geschrieben werden. Oft ist es am einfachsten, einen Bruch im Kopf in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Der Trick dabei ist, den Nenner (die untere Zahl) auf eine Stufenzahl wie $10$, $100$ oder $1000$ zu bringen.

Wenn wir zum Beispiel den Bruch $\frac{3}{4}$ haben, überlegen wir: Mit welcher Zahl müssen wir die $4$ malnehmen, um auf $100$ zu kommen? Die Antwort ist 25. Wir erweitern also den gesamten Bruch mit 25:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot \textcolor{#08BFFF}{25}}{4 \cdot \textcolor{#08BFFF}{25}} = \frac{75}{100}$

Da nun eine $100$ im Nenner steht, können wir das Ergebnis direkt als Dezimalzahl aufschreiben: $0{,}75$.

Manche Brüche lassen sich nicht auf $10$, $100$ oder $1000$ erweitern. Der bekannteste Fall ist $\frac{1}{3}$. Egal womit du die $3$ malnimmst, du triffst nie genau die $10$ oder $100$. Wenn du $1$ durch $3$ teilst, erhältst du eine Zahl, die nie aufhört: $0{,}3333...$

Das nennt man eine periodische Dezimalzahl. Man schreibt dafür einen Strich über die Ziffer, die sich wiederholt. Diese wichtige Umwandlung solltest du dir einfach merken:

$\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$

Wenn du verschiedene Zahlenarten (Brüche, normale Kommazahlen und periodische Kommazahlen) der Größe nach sortieren sollst, sieht das auf den ersten Blick sehr verwirrend aus.

Die goldene Regel lautet: Verwandle alle Zahlen in Dezimalzahlen! Sobald alle Zahlen das gleiche Format haben, kannst du sie Ziffer für Ziffer vergleichen.

Besonders aufpassen musst du bei negativen Zahlen. Erinnere dich an die Zahlengerade: Je weiter links eine Zahl steht, desto kleiner ist sie.

Obwohl die Ziffer $8$ größer ist als die $2$, liegt $-0{,}8$ weiter links als $-0{,}2$. Daher ist $-0{,}8$ die kleinere Zahl!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Alles in Dezimalzahlen umwandeln Wandle alle Brüche in Kommazahlen um. Schreibe bei periodischen Zahlen die ersten paar Ziffern aus (z.B. wird $0{,}\overline{4}$ zu $0{,}4444...$).
2. Schritt 2: Mit Nullen auffüllen Hänge an die normalen Dezimalzahlen hinten Nullen an, bis alle Zahlen gleich viele Nachkommastellen haben. Das ändert den Wert der Zahl nicht, macht den Vergleich aber viel leichter (z.B. wird $0{,}4$ zu $0{,}4000$).
3. Schritt 3: Ziffer für Ziffer vergleichen Vergleiche die Zahlen von links nach rechts. Trenne zuerst die negativen von den positiven Zahlen. Denke daran: Bei negativen Zahlen ist die Zahl mit den „größeren“ Ziffern in Wirklichkeit die kleinere Zahl!

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Wann endet eine Dezimalzahl?

Manchmal siehst du einem Bruch schon an, ob er eine normale (endliche) Dezimalzahl wird oder eine periodische (unendliche). Das Geheimnis liegt im Nenner!

Unser Zahlensystem basiert auf der Zahl $10$. Die Zahl $10$ besteht aus den Primfaktoren $2$ und $5$ (denn $2 \cdot 5 = 10$).

Die Regel lautet: Wenn du den Nenner eines vollständig gekürzten Bruchs in seine Primfaktoren zerlegst und dort nur die Zahlen $2$ und/oder $5$ vorkommen, dann wird der Bruch eine endliche Dezimalzahl.

Schauen wir uns den Bruch $\frac{7}{20}$ an. Wir zerlegen die $20$: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5$ Es kommen nur Zweier und Fünfer vor. Der Bruch lässt sich also als endliche Dezimalzahl schreiben ($0{,}35$).

Was passiert, wenn ein anderer Primfaktor auftaucht, zum Beispiel eine $3$, eine $7$ oder eine $11$? Diese Zahlen sind Störfaktoren. Sie sorgen dafür, dass die Dezimalzahl periodisch wird.

Betrachten wir den Nenner $30$: $30 = 2 \cdot \textcolor{#FF7D57}{3} \cdot 5$

Hier taucht die $\textcolor{#FF7D57}{3}$ als Störfaktor auf. Ein Bruch mit dem Nenner $30$ wird normalerweise periodisch. Es gibt nur eine Rettung: Der Zähler (die obere Zahl) muss so groß sein, dass man den Störfaktor wegkürzen kann!

Wenn wir zum Beispiel den Bruch $\frac{9}{30}$ haben, können wir ihn mit $3$ kürzen: $\frac{9}{30} = \frac{9 : 3}{30 : 3} = \frac{3}{10}$

Der Störfaktor ist verschwunden, und wir haben eine schöne endliche Dezimalzahl ($0{,}3$).

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Um Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, erweitere den Nenner auf $10$, $100$ oder $1000$.
• Merke dir: $\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$.
• Um Zahlen zu vergleichen, wandle alle in Dezimalzahlen um und fülle sie mit Nullen auf, bis sie gleich lang sind.
• Bei negativen Zahlen ist Vorsicht geboten: $-0{,}8$ ist kleiner als $-0{,}2$.
• Ein Bruch wird nur dann zu einer endlichen Dezimalzahl, wenn sein gekürzter Nenner ausschließlich aus den Primfaktoren $2$ und/oder $5$ besteht.