Was sind rationale Zahlen und wie ordnet man sie?

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch $\frac{a}{b}$ schreiben lassen, also z. B. $\frac{3}{4}$, $-2{,}5$ oder $0{,}\overline{3}$. Um sie zu ordnen, wandelst du alle Zahlen in Dezimalzahlen um und vergleichst sie dann Ziffer für Ziffer von links nach rechts. Bei negativen Zahlen gilt: Die Zahl mit dem größeren Betrag ist die kleinere Zahl.

Wie wandelst du einen Bruch im Kopf in eine Dezimalzahl um?

Schaue dir den Nenner des Bruchs an und überlege, womit du ihn multiplizieren musst, um eine Zehnerpotenz (10, 100, 1000 …) zu erhalten. Multipliziere dann Zähler und Nenner mit dieser Zahl. Die Anzahl der Nullen im neuen Nenner gibt dir die Anzahl der Nachkommastellen. Beispiel: $\frac{3}{4} \cdot \frac{25}{25} = \frac{75}{100} = 0{,}75$.

Wann ergibt ein Bruch eine endliche Dezimalzahl?

Ein gekürzter Bruch ergibt genau dann eine endliche Dezimalzahl , wenn die Primfaktorzerlegung seines Nenners nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält. Das liegt daran, dass unser Dezimalsystem auf der 10 basiert und $10 = 2 \cdot 5$ gilt. Enthält der Nenner andere Primfaktoren wie 3, 7 oder 11, entsteht zwingend eine periodische Dezimalzahl.

Wie vergleichst du negative rationale Zahlen?

Bei negativen rationalen Zahlen kehrst du die gewohnte Reihenfolge um: Sortiere die Zahlen zuerst, als wären sie positiv. Drehe dann die Reihenfolge komplett um und setze die Minuszeichen wieder davor. Auf dem Zahlenstrahl liegt z. B. $-5$ weiter links als $-2$, also gilt $-5 < -2$ – obwohl 5 als positive Zahl größer als 2 wäre.

Was ist der Unterschied zwischen einer endlichen und einer periodischen Dezimalzahl?

Eine endliche Dezimalzahl hört nach einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen auf, z. B. $0{,}75$ oder $1{,}375$. Eine periodische Dezimalzahl wiederholt eine Ziffernfolge unendlich oft, z. B. $0{,}\overline{3} = 0{,}333...$. Ob ein Bruch endlich oder periodisch ist, hängt ausschließlich von den Primfaktoren seines gekürzten Nenners ab.

Rationale Zahlen ordnen und umwandeln

Q: Was ist der Unterschied zwischen einer endlichen und einer periodischen Dezimalzahl?

Eine endliche Dezimalzahl hört nach einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen auf, z. B. $0{,}75$ oder $1{,}375$. Eine periodische Dezimalzahl wiederholt eine Ziffernfolge unendlich oft, z. B. $0{,}\overline{3} = 0{,}333...$. Ob ein Bruch endlich oder periodisch ist, hängt ausschließlich von den Primfaktoren seines gekürzten Nenners ab.

Hast du dich jemals gefragt, warum ein Rabatt von „1/3" auf einem Preisschild anders aussieht als „33 %", aber fast dasselbe bedeutet? Oder wie dein Handy entscheidet, welcher von zwei GPS-Standorten näher ist, obwohl die Zahlen super kompliziert aussehen? Das ist keine Magie, sondern die Welt der rationalen Zahlen. Wenn du verstehst, wie man Brüche, Dezimalzahlen und negative Zahlen vergleicht und umwandelt, schaltest du einen „Cheat Code" für den Alltag frei. Du kannst Angebote schneller durchschauen, Rezepte leichter anpassen und wirst bei Tests einfach schneller und sicherer. In diesem Artikel lernst du, rationale Zahlen zu ordnen, Brüche im Kopf in Dezimalzahlen umzuwandeln und zu erkennen, welche Brüche endliche Dezimalzahlen ergeben.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Bruch (Zähler und Nenner): Ein Bruch besteht aus einem Zähler (oben) und einem Nenner (unten). Der Nenner sagt, in wie viele gleiche Teile ein Ganzes geteilt wird, und der Zähler sagt, wie viele dieser Teile man nimmt.
- Beispiel: Bei $\frac{3}{4}$ wurde ein Kuchen in 4 Stücke geteilt und du nimmst 3 davon.
Dezimalzahl: Eine andere Schreibweise für einen Bruch, bei der ein Komma verwendet wird, um den ganzen Teil vom gebrochenen Teil zu trennen.
- Beispiel: $0{,}75$ ist dasselbe wie $\frac{3}{4}$ .
Erweitern und Kürzen: Der Wert eines Bruchs ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert (erweitern) oder durch dieselbe Zahl teilt (kürzen).
- Beispiel: $\frac{1}{2}$ erweitert mit 3 ergibt $\frac{3}{6}$ . $\frac{3}{6}$ gekürzt mit 3 ergibt wieder $\frac{1}{2}$ .
Primfaktorzerlegung: Jede ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Das sind ihre „Bausteine".
- Beispiel: Die Primfaktorzerlegung von $12$ ist $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Aufgabentyp 1: Brüche im Kopf in Dezimalzahlen umwandeln

Der erste wichtige Schritt beim Umgang mit rationalen Zahlen ist es, Brüche schnell in Dezimalzahlen umwandeln zu können. Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, gibt es einen einfachen Trick: Wir erweitern den Bruch so, dass im Nenner eine Zehnerpotenz (also 10, 100, 1000, …) steht. Warum? Weil unser Dezimalsystem auf der 10 basiert. Eine Zahl wie $\frac{75}{100}$ bedeutet „75 Hundertstel" und lässt sich direkt als $0{,}75$ schreiben.

Beispiel: Wandeln wir $\frac{3}{4}$ um.

Wir schauen uns den Nenner an: $4$ .
Wir überlegen: Womit muss ich die $4$ multiplizieren, um auf $10$ , $100$ oder $1000$ zu kommen? $4 \cdot 25 = 100$ .
Wir erweitern den ganzen Bruch mit $25$ : $\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100}$ .
Jetzt können wir es direkt ablesen: $\frac{75}{100} = 0{,}75$ .

Manche Brüche kann man nicht so erweitern, z. B. $\frac{1}{3}$ . Das Ergebnis ist eine periodische Dezimalzahl ( $0{,}333...$ ). Solche häufigen Umwandlungen lernt man am besten auswendig.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Nenner analysieren: Sieh dir den Nenner des Bruchs an.
Ziel-Nenner finden: Überlege, ob du den Nenner durch Multiplikation mit einer ganzen Zahl auf 10, 100, 1000 oder eine andere Zehnerpotenz bringen kannst.
Bruch erweitern: Wenn du eine passende Zahl gefunden hast, multipliziere sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dieser Zahl.
Dezimalzahl ablesen: Schreibe den neuen Bruch als Dezimalzahl. Die Anzahl der Nullen im Nenner gibt dir die Anzahl der Nachkommastellen: Nenner 10 → 1 Nachkommastelle, Nenner 100 → 2 Nachkommastellen, Nenner 1000 → 3 Nachkommastellen.
Sonderfälle prüfen: Wenn sich der Nenner nicht auf eine Zehnerpotenz erweitern lässt (z. B. bei Nennern wie 3, 6, 7, 9), prüfe, ob es sich um einen bekannten Bruch handelt, dessen Dezimalwert du auswendig kennst (z. B. $\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$ ).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Wandle den Bruch $\frac{4}{5}$ im Kopf in eine Dezimalzahl um.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Nenner analysieren
Der Nenner ist $5$ .
Schritt 2
Ziel-Nenner finden
Wir können $5$ leicht auf $10$ bringen, indem wir mit $2$ multiplizieren. $5 \cdot 2 = 10$ .
Schritt 3
Bruch erweitern
Wir erweitern den Bruch mit $2$ :

$\frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10}$
Schritt 4 · Ergebnis
Dezimalzahl ablesen
Der Bruch $\frac{8}{10}$ bedeutet „acht Zehntel". Als Dezimalzahl ist das $0{,}8$ .

Ergebnis:

$\frac{4}{5} = 0{,}8$

Beispiel 2

Aufgabe

Wandle den Bruch $\frac{7}{25}$ im Kopf in eine Dezimalzahl um.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Nenner analysieren
Der Nenner ist $25$ .
Schritt 2
Ziel-Nenner finden
Wir können $25$ auf $100$ bringen, indem wir mit $4$ multiplizieren. $25 \cdot 4 = 100$ .
Schritt 3
Bruch erweitern
Wir erweitern den Bruch mit $4$ :

$\frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100}$
Schritt 4 · Ergebnis
Dezimalzahl ablesen
Der Bruch $\frac{28}{100}$ bedeutet „28 Hundertstel". Das sind zwei Nachkommastellen, also $0{,}28$ .

Ergebnis:

$\frac{7}{25} = 0{,}28$

Beispiel 3

Aufgabe

Wandle den Bruch $\frac{5}{4}$ im Kopf in eine Dezimalzahl um.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Nenner analysieren
Der Nenner ist $4$ .
Schritt 2
Ziel-Nenner finden
Wir können $4$ auf $100$ bringen, indem wir mit $25$ multiplizieren. $4 \cdot 25 = 100$ .
Schritt 3
Bruch erweitern
Wir erweitern den Bruch mit $25$ :

$\frac{5 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{125}{100}$
Schritt 4 · Ergebnis
Dezimalzahl ablesen
Der Bruch $\frac{125}{100}$ bedeutet „125 Hundertstel". Das sind zwei Nachkommastellen, also $1{,}25$ .

Ergebnis:

$\frac{5}{4} = 1{,}25$

Beispiel 4

Aufgabe

Wandle den Bruch $\frac{2}{3}$ im Kopf in eine Dezimalzahl um.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Nenner analysieren
Der Nenner ist $3$ .
Schritt 2 & 5 · Ergebnis
Ziel-Nenner finden und Sonderfall prüfen
Wir können $3$ nicht durch Multiplikation mit einer ganzen Zahl auf 10, 100 oder 1000 bringen. Dies ist ein bekannter Sonderfall. Wir wissen (oder lernen auswendig), dass $\frac{1}{3}$ die periodische Dezimalzahl $0{,}\overline{3}$ ist.

Da $\frac{2}{3}$ das Doppelte von $\frac{1}{3}$ ist, ist die Dezimalzahl auch das Doppelte von $0{,}\overline{3}$ .

$2 \cdot 0{,}333... = 0{,}666...$

Ergebnis:

$\frac{2}{3} = 0{,}\overline{6}$

Beispiel 5

Aufgabe

Wandle den Bruch $\frac{11}{8}$ im Kopf in eine Dezimalzahl um.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Nenner analysieren
Der Nenner ist $8$ .
Schritt 2
Ziel-Nenner finden
Wir können $8$ auf $1000$ bringen. Wir wissen, dass $8 \cdot 125 = 1000$ . Das ist eine gute Umrechnung, die man sich merken sollte.
Schritt 3
Bruch erweitern
Wir erweitern den Bruch mit $125$ :

$\frac{11 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{1375}{1000}$
Schritt 4 · Ergebnis
Dezimalzahl ablesen
Der Bruch $\frac{1375}{1000}$ bedeutet „1375 Tausendstel". Das sind drei Nachkommastellen, also $1{,}375$ .

Ergebnis:

$\frac{11}{8} = 1{,}375$

Aufgabentyp 2: Rationale Zahlen ordnen

Um rationale Zahlen wie Brüche, Dezimalzahlen und periodische Zahlen zu vergleichen, ist es am einfachsten, sie alle in dieselbe Form zu bringen. Am besten eignen sich dafür Dezimalzahlen.

Vorgehen bei positiven Zahlen:

Wandle alle Brüche in Dezimalzahlen um.
Schreibe bei periodischen Zahlen die ersten paar sich wiederholenden Ziffern auf (z. B. $0{,}\overline{12} \to 0{,}121212...$ ).
Vergleiche die Zahlen Ziffer für Ziffer von links nach rechts. Die erste Ziffer, bei der sich die Zahlen unterscheiden, entscheidet, welche größer ist.

Sonderfall: Negative Zahlen

Bei negativen Zahlen ist es genau umgekehrt! Die Zahl, die ohne das Minuszeichen (also dem Betrag nach) größer wäre, ist in Wirklichkeit die kleinere Zahl. Stell es dir auf einem Zahlenstrahl vor: $-5$ liegt weiter links als $-2$ , also ist $-5 < -2$ .

Zahlenstrahl mit negativen Zahlen zum Vergleich

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Alles in Dezimalzahlen umwandeln: Rechne jeden Bruch in eine Dezimalzahl um. Schreibe periodische Zahlen mit mindestens 4–5 Nachkommastellen auf, um sie gut vergleichen zu können.
Zahlen untereinander schreiben: Notiere alle Dezimalzahlen so untereinander, dass die Kommas direkt übereinander stehen. Das hilft, die Stellenwerte zu vergleichen. Fülle kürzere Zahlen mit Nullen am Ende auf.
Ziffern von links nach rechts vergleichen: Beginne bei der Ziffer ganz links (vor dem Komma) und vergleiche sie. Sind sie gleich, gehe zur nächsten Ziffer rechts vom Komma, und so weiter. Sobald sich zwei Ziffern unterscheiden, hast du die kleinere bzw. größere Zahl gefunden.
Negative Zahlen beachten: Wenn du negative Zahlen sortierst, sortiere sie zuerst so, als wären sie positiv. Kehre dann die Reihenfolge komplett um und füge die Minuszeichen wieder hinzu.
Endgültige Reihenfolge aufschreiben: Schreibe die sortierte Liste auf. Verwende dabei die ursprünglichen Zahlen aus der Aufgabenstellung (also die Brüche, nicht die umgerechneten Dezimalzahlen).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Sortiere die folgenden Zahlen aufsteigend: $\frac{3}{5}$ ; $0{,}61$ ; $\frac{5}{8}$ ; $0{,}62$ .

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Alles in Dezimalzahlen umwandeln
- $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6$
- $0{,}61$ (ist schon eine Dezimalzahl)
- $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{625}{1000} = 0{,}625$
- $0{,}62$ (ist schon eine Dezimalzahl)
2
Schritt 2
Zahlen untereinander schreiben
Wir füllen mit Nullen auf, um den Vergleich zu erleichtern:
- $0{,}600$
- $0{,}610$
- $0{,}625$
- $0{,}620$
3
Schritt 3
Ziffern vergleichen
Die erste Ziffer nach dem Komma ist bei allen eine $6$ . Wir vergleichen die zweite Ziffer:
- $0$ bei $0{,}600$
- $1$ bei $0{,}610$
- $2$ bei $0{,}625$ und $0{,}620$
Die Reihenfolge beginnt also mit $0{,}600 < 0{,}610$ . Jetzt vergleichen wir $0{,}625$ und $0{,}620$ . Die dritte Ziffer entscheidet: $0 < 5$ , also ist $0{,}620 < 0{,}625$ .

Die vollständige Reihenfolge ist: $0{,}600 < 0{,}610 < 0{,}620 < 0{,}625$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Endgültige Reihenfolge aufschreiben
Wir verwenden die Originalzahlen.

Ergebnis:

$\frac{3}{5} < 0{,}61 < 0{,}62 < \frac{5}{8}$

Beispiel 2

Aufgabe

Sortiere die folgenden Zahlen aufsteigend: $0{,}\overline{7}$ ; $0{,}77$ ; $0{,}7\overline{8}$ ; $0{,}78$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Alles in Dezimalzahlen umwandeln
Wir schreiben die periodischen Zahlen aus:
- $0{,}\overline{7} = 0{,}7777...$
- $0{,}77 = 0{,}7700...$
- $0{,}7\overline{8} = 0{,}7888...$
- $0{,}78 = 0{,}7800...$
2
Schritt 2 & 3
Zahlen vergleichen
- Die erste Nachkommastelle ist bei allen eine $7$ .
- Wir vergleichen die zweite Stelle: $7$ bei den ersten beiden, $8$ bei den letzten beiden. Also sind die Zahlen mit der $7$ kleiner.
- Vergleich von $0{,}7777...$ und $0{,}7700...$ : Die dritte Stelle entscheidet. $0 < 7$ , also ist $0{,}7700... < 0{,}7777...$ .
- Vergleich von $0{,}7888...$ und $0{,}7800...$ : Die dritte Stelle entscheidet. $0 < 8$ , also ist $0{,}7800... < 0{,}7888...$ .
Die Reihenfolge ist: $0{,}77 < 0{,}\overline{7} < 0{,}78 < 0{,}7\overline{8}$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Endgültige Reihenfolge aufschreiben

Ergebnis:

$0{,}77 < 0{,}\overline{7} < 0{,}78 < 0{,}7\overline{8}$

Beispiel 3

Aufgabe

Sortiere die folgenden Zahlen aufsteigend: $-2{,}5$ ; $-\frac{5}{3}$ ; $-2{,}4$ ; $-\frac{9}{4}$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Alles in Dezimalzahlen umwandeln
- $-2{,}5$
- $-\frac{5}{3} = -(5:3) = -1{,}666... = -1{,}\overline{6}$
- $-2{,}4$
- $-\frac{9}{4} = -\frac{225}{100} = -2{,}25$
Schritt 4
Negative Zahlen beachten
Wir sortieren zuerst die positiven Zahlen: $2{,}5$ ; $1{,}\overline{6}$ ; $2{,}4$ ; $2{,}25$ . Die Reihenfolge ist: $1{,}\overline{6} < 2{,}25 < 2{,}4 < 2{,}5$ .

Jetzt kehren wir die Reihenfolge um und fügen die Minuszeichen hinzu: $-2{,}5 < -2{,}4 < -2{,}25 < -1{,}\overline{6}$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Endgültige Reihenfolge aufschreiben
Wir verwenden die Originalzahlen.

Ergebnis:

$-2{,}5 < -2{,}4 < -\frac{9}{4} < -\frac{5}{3}$

Beispiel 4

Aufgabe

Sortiere die folgenden Zahlen aufsteigend: $\frac{2}{9}$ ; $0{,}22$ ; $0{,}\overline{21}$ ; $\frac{1}{5}$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Alles in Dezimalzahlen umwandeln
- $\frac{2}{9} = 2 \cdot \frac{1}{9} = 2 \cdot 0{,}\overline{1} = 0{,}\overline{2} = 0{,}2222...$
- $0{,}22 = 0{,}2200...$
- $0{,}\overline{21} = 0{,}2121...$
- $\frac{1}{5} = 0{,}2 = 0{,}2000...$
2
Schritt 2 & 3
Zahlen vergleichen
Wir vergleichen die Ziffern nach dem Komma:
- Die erste Ziffer ist bei allen eine $2$ .
- Die zweite Ziffer: $2$ , $2$ , $1$ , $0$ .
- Da $0 < 1 < 2$ , können wir die Reihenfolge direkt ablesen.
Die Reihenfolge ist: $0{,}2000... < 0{,}2121... < 0{,}2200... < 0{,}2222...$
Schritt 5 · Ergebnis
Endgültige Reihenfolge aufschreiben

Ergebnis:

$\frac{1}{5} < 0{,}\overline{21} < 0{,}22 < \frac{2}{9}$

Beispiel 5

Aufgabe

Sortiere die folgenden Zahlen aufsteigend: $1{,}1$ ; $\frac{11}{10}$ ; $1{,}\overline{10}$ ; $1{,}101$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Alles in Dezimalzahlen umwandeln
- $1{,}1 = 1{,}1000...$
- $\frac{11}{10} = 1{,}1 = 1{,}1000...$ (Diese beiden sind identisch)
- $1{,}\overline{10} = 1{,}1010...$
- $1{,}101 = 1{,}1010...$ (Diese beiden sind auch identisch)
2
Schritt 2 & 3
Zahlen vergleichen
Wir müssen nur zwei verschiedene Zahlen vergleichen:
- $1{,}1000...$
- $1{,}1010...$
Die ersten drei Ziffern ( $1{,}10$ ) sind gleich. Die vierte Ziffer entscheidet: $0 < 1$ . Also ist $1{,}1000... < 1{,}1010...$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Endgültige Reihenfolge aufschreiben

Ergebnis:

$1{,}1 = \frac{11}{10} < 1{,}101 = 1{,}\overline{10}$

Aufgabentyp 3: Erkennen, welche Brüche endliche Dezimalzahlen ergeben

Ein Bruch ergibt genau dann eine endliche Dezimalzahl (also eine, die nicht unendlich weitergeht), wenn eine bestimmte Bedingung für seinen Nenner erfüllt ist.

Die Regel lautet: Nachdem der Bruch vollständig gekürzt wurde, darf die Primfaktorzerlegung des Nenners nur die Primfaktoren $2$ und $5$ enthalten. Andere Primfaktoren wie 3, 7, 11 usw. sind „verboten".

Warum ist das so? Unser Dezimalsystem basiert auf der 10, und die Primfaktoren von 10 sind $2 \cdot 5$ . Jeder Nenner, der nur aus 2en und 5en besteht, kann durch Erweitern zu einer Zehnerpotenz (10, 100, 1000…) gemacht werden. Und Brüche mit solchen Nennern sind immer endliche Dezimalzahlen.

Beispiel: $\frac{3}{40}$

Primfaktorzerlegung des Nenners: $40 = 4 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ . Der Nenner enthält nur die erlaubten Faktoren $2$ und $5$ .
Ergebnis: Der Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl ( $0{,}075$ ).

Gegenbeispiel: $\frac{1}{12}$

Primfaktorzerlegung des Nenners: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ . Der Nenner enthält den „verbotenen" Faktor $3$ .
Ergebnis: Der Bruch ergibt eine periodische Dezimalzahl ( $0{,}08\overline{3}$ ).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Um alle echten Brüche (Zähler < Nenner) mit einem gegebenen Nenner zu finden, die endliche Dezimalzahlen ergeben:

Primfaktorzerlegung des Nenners: Zerlege den gegebenen Nenner in seine Primfaktoren.
„Störende" Faktoren identifizieren: Suche alle Primfaktoren, die nicht 2 oder 5 sind (z. B. 3, 7, 11, …). Multipliziere diese „störenden" Faktoren miteinander. Das Ergebnis ist die Zahl, die im Nenner „eliminiert" werden muss.
Zähler als Vielfache finden: Damit die „störenden" Faktoren durch Kürzen verschwinden, muss der Zähler ein Vielfaches der in Schritt 2 berechneten Zahl sein.
Alle möglichen Zähler auflisten: Liste alle Vielfachen aus Schritt 3 auf, die kleiner als der gegebene Nenner sind (weil es echte Brüche sein sollen).
Brüche aufschreiben: Schreibe die gefundenen Zähler mit dem ursprünglichen Nenner als Brüche auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ermittle alle echten Brüche mit dem Nenner 24, die sich als endliche Dezimalbrüche schreiben lassen.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Primfaktorzerlegung des Nenners
$24 = 8 \cdot 3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
Schritt 2
„Störende" Faktoren identifizieren
Der Primfaktor $3$ ist weder 2 noch 5. Er ist der störende Faktor.
Schritt 3
Zähler als Vielfache finden
Der Zähler muss ein Vielfaches von $3$ sein, damit die 3 im Nenner weggekürzt werden kann.
Schritt 4
Alle möglichen Zähler auflisten
Wir suchen alle Vielfachen von 3, die kleiner als 24 sind: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21$
Schritt 5 · Ergebnis
Brüche aufschreiben

Ergebnis:

Die gesuchten Brüche sind $\frac{3}{24}, \frac{6}{24}, \frac{9}{24}, \frac{12}{24}, \frac{15}{24}, \frac{18}{24}, \frac{21}{24}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ermittle alle echten Brüche mit dem Nenner 50, die sich als endliche Dezimalbrüche schreiben lassen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Primfaktorzerlegung des Nenners
$50 = 5 \cdot 10 = 5 \cdot 5 \cdot 2$
Schritt 2
„Störende" Faktoren identifizieren
Die Primfaktoren sind nur $2$ und $5$ . Es gibt keine störenden Faktoren.
Schritt 3 & 4
Zähler finden
Da es keine Faktoren gibt, die weggekürzt werden müssen, ergibt jeder Bruch mit Nenner 50 eine endliche Dezimalzahl. Wir müssen also alle Zähler von 1 bis 49 auflisten.
Schritt 5 · Ergebnis
Brüche aufschreiben

Ergebnis:

Alle echten Brüche mit Nenner 50 ergeben endliche Dezimalbrüche. Das sind die Brüche $\frac{1}{50}, \frac{2}{50}, \frac{3}{50}, ..., \frac{49}{50}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Ermittle alle echten Brüche mit dem Nenner 42, die sich als endliche Dezimalbrüche schreiben lassen.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Primfaktorzerlegung des Nenners
$42 = 6 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
Schritt 2
„Störende" Faktoren identifizieren
Die Primfaktoren $3$ und $7$ sind störend. Wir müssen beide eliminieren. Das Produkt der störenden Faktoren ist $3 \cdot 7 = 21$ .
Schritt 3
Zähler als Vielfache finden
Der Zähler muss ein Vielfaches von $21$ sein.
Schritt 4
Alle möglichen Zähler auflisten
Wir suchen alle Vielfachen von 21, die kleiner als 42 sind: Das ist nur die $21$ selbst.
Schritt 5 · Ergebnis
Brüche aufschreiben

Ergebnis:

Der einzige gesuchte Bruch ist $\frac{21}{42}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ermittle alle echten Brüche mit dem Nenner 75, die sich als endliche Dezimalbrüche schreiben lassen.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Primfaktorzerlegung des Nenners
$75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5 \cdot 5$
Schritt 2
„Störende" Faktoren identifizieren
Der störende Primfaktor ist die $3$ .
Schritt 3
Zähler als Vielfache finden
Der Zähler muss ein Vielfaches von $3$ sein.
Schritt 4
Alle möglichen Zähler auflisten
Wir suchen alle Vielfachen von 3, die kleiner als 75 sind. Das sind $3, 6, 9, ..., 72$ . Um die Anzahl zu finden: $72 : 3 = 24$ . Es gibt also 24 solcher Zähler.
Schritt 5 · Ergebnis
Brüche aufschreiben

Ergebnis:

Die gesuchten Brüche sind $\frac{3}{75}, \frac{6}{75}, \frac{9}{75}, ..., \frac{72}{75}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ermittle alle echten Brüche mit dem Nenner 13, die sich als endliche Dezimalbrüche schreiben lassen.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Primfaktorzerlegung des Nenners
$13$ ist eine Primzahl. Ihre einzige Primfaktorzerlegung ist $13$ .
Schritt 2
„Störende" Faktoren identifizieren
Der Primfaktor $13$ ist störend.
Schritt 3
Zähler als Vielfache finden
Der Zähler muss ein Vielfaches von $13$ sein.
Schritt 4
Alle möglichen Zähler auflisten
Wir suchen alle Vielfachen von 13, die kleiner als 13 sind. Es gibt keine solchen positiven ganzen Zahlen.
Schritt 5 · Ergebnis
Brüche aufschreiben

Ergebnis:

Es gibt keine echten Brüche mit dem Nenner 13, die sich als endliche Dezimalbrüche schreiben lassen.

Wichtige Erkenntnisse

Bruch zu Dezimalzahl: Erweitere den Bruch so, dass im Nenner 10, 100 oder 1000 steht. Dann kannst du die Dezimalzahl einfach ablesen.
Zahlen ordnen: Wandle immer alle Zahlen in Dezimalzahlen um. Bei negativen Zahlen gilt: Die Zahl mit dem größeren Betrag (ohne Minus) ist die kleinere Zahl (z. B. $-10 < -1$ ).
Endliche Dezimalzahl: Ein gekürzter Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl, wenn sein Nenner in der Primfaktorzerlegung nur die Faktoren 2 und 5 enthält.

Rationale Zahlen ordnen und umwandeln: So geht's