Was sind rationale Zahlen?

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch p/q mit ganzen Zahlen p und q ≠ 0 schreiben lassen. Dazu gehören ganze Zahlen, Brüche wie 3/4 , endliche Dezimalzahlen wie 0,75 und periodische Dezimalzahlen wie 0,333… Sie lassen sich auf einem Zahlenstrahl darstellen und miteinander vergleichen – am einfachsten, wenn man sie zuerst in Dezimalzahlen umwandelt.

Wie wandelst du einen Bruch in eine Dezimalzahl um?

Du teilst den Zähler durch den Nenner – der Bruchstrich bedeutet nichts anderes als „geteilt durch". Führe die schriftliche Division durch und beobachte die Reste: Ist der Rest irgendwann 0 , hast du eine endliche Dezimalzahl. Wiederholt sich ein Rest, beginnt eine Periode – du notierst die sich wiederholende Ziffernfolge mit einem Periodenstrich.

Was ist der Unterschied zwischen einer endlichen und einer periodischen Dezimalzahl?

Bei einer endlichen Dezimalzahl wird der Rest bei der Division irgendwann 0 – die Nachkommastellen hören auf. Beispiel: 3/8 = 0,375 . Bei einer periodischen Dezimalzahl wiederholt sich ein Rest immer wieder, sodass sich eine Ziffernfolge unendlich oft wiederholt. Beispiel: 1/3 = 0,333… = 0, 3̄ . Die Periode wird mit einem Strich über der Ziffernfolge gekennzeichnet.

Wie vergleichst du rationale Zahlen mit negativen Vorzeichen?

Bei negativen Zahlen gilt die umgekehrte Regel : Die Zahl, die näher an der Null liegt, ist die größere Zahl. Das ist die Zahl mit dem kleineren Betrag. Wandle beide Zahlen zuerst in Dezimalzahlen um, vergleiche dann die Beträge und kehre anschließend das Relationszeichen um. Beispiel: −0,75 < −0,7 , weil der Betrag 0,75 größer ist als 0,70.

Wie rundest du eine periodische Dezimalzahl richtig?

Schreibe die periodische Zahl zunächst mit einigen Nachkommastellen aus, damit du alle relevanten Ziffern siehst. Beispiel: 0,5 3̄ = 0,5333… Markiere dann die Rundungsstelle und schaue dir die Ziffer direkt rechts davon an. Bei 0–4 wird abgerundet, bei 5–9 aufgerundet. Alle Ziffern hinter der Rundungsstelle fallen danach weg.

Rationale Zahlen vergleichen & darstellen

Q: Wie rundest du eine periodische Dezimalzahl richtig?

Schreibe die periodische Zahl zunächst mit einigen Nachkommastellen aus, damit du alle relevanten Ziffern siehst. Beispiel: 0,5 3̄ = 0,5333… Markiere dann die Rundungsstelle und schaue dir die Ziffer direkt rechts davon an. Bei 0–4 wird abgerundet, bei 5–9 aufgerundet. Alle Ziffern hinter der Rundungsstelle fallen danach weg.

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Schnellantwort

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch $\frac{p}{q}$ mit ganzen Zahlen $p$ und $q \neq 0$ schreiben lassen – dazu gehören Brüche, gemischte Zahlen, endliche Dezimalzahlen und periodische Dezimalzahlen. Um rationale Zahlen darzustellen und zu vergleichen, wandelt man sie in eine gemeinsame Form (meistens Dezimalzahlen) um und vergleicht dann die Ziffern von links nach rechts.

Vorwissen

Bevor wir starten, solltest du diese Grundlagen kennen:

Bruch (Zähler/Nenner): Ein Bruch drückt einen Teil eines Ganzen aus.
- Beispiel: Der Bruch $\frac{3}{4}$ bedeutet, dass wir 3 von 4 gleich großen Teilen haben.
Schriftliche Division: Das Verfahren, um eine Zahl durch eine andere zu teilen, besonders wenn es nicht im Kopf geht.
- Beispiel: $125 : 5 = 25$ .
Stellenwertsystem: Jede Ziffer in einer Zahl hat einen bestimmten Wert, abhängig von ihrer Position (Einer, Zehner, Zehntel, Hundertstel).
- Beispiel: In der Zahl $12{,}34$ steht die $3$ für drei Zehntel ( $0{,}3$ ) und die $4$ für vier Hundertstel ( $0{,}04$ ).

Aufgabentyp 1: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Jeder Bruch ist eigentlich nur eine getarnte Geteilt-Aufgabe. Der Bruchstrich bedeutet nichts anderes als „geteilt durch". Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teilst du den Zähler (oben) durch den Nenner (unten). Dabei gibt es zwei mögliche Ergebnisse:

Endliche (abbrechende) Dezimalzahl: Die Division geht irgendwann auf und der Rest ist 0.
- Beispiel: $\frac{1}{4} = 1 : 4 = 0{,}25$ . Hier ist Schluss.
Periodische Dezimalzahl: Die Division geht niemals auf. Ein Rest wiederholt sich immer wieder, wodurch sich auch die Ziffern im Ergebnis unendlich wiederholen. Diese sich wiederholende Ziffernfolge nennt man Periode und kennzeichnet sie mit einem Strich darüber.
- Beispiel: $\frac{1}{3} = 1 : 3 = 0{,}333... = 0{,}\overline{3}$ . Die 3 wiederholt sich ewig.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Divisionsaufgabe aufschreiben: Schreibe die Aufgabe als schriftliche Division: Zähler $:$ Nenner.
Schriftlich dividieren: Beginne mit der Division. Wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist, ist das Ergebnis „0," und du hängst eine Null an den Zähler an, um weiterrechnen zu können.
Reste beobachten: Rechne Schritt für Schritt und achte auf den Rest, der bei jeder Subtraktion entsteht. Wird der Rest 0, hast du eine endliche Dezimalzahl. Wiederholt sich ein Rest, beginnt eine Periode.
Ergebnis notieren: Schreibe das Endergebnis sauber auf, bei periodischen Zahlen mit dem Periodenstrich.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Wandle den Bruch $\frac{3}{8}$ in eine Dezimalzahl um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Divisionsaufgabe aufschreiben
Wir teilen den Zähler durch den Nenner: $3 : 8$ .
Schritt 2 & 3
Schriftlich dividieren und Reste beobachten
Da $3$ kleiner als $8$ ist, schreiben wir „ $0{,}$ " und rechnen mit $30$ .

$30 : 8 = 3$ , Rest $6$ (denn $3 \cdot 8 = 24$ )

Wir hängen eine $0$ an den Rest: $60$ .

$60 : 8 = 7$ , Rest $4$ (denn $7 \cdot 8 = 56$ )

Wir hängen eine $0$ an den Rest: $40$ .

$40 : 8 = 5$ , Rest 0.

Die Division ist beendet.

Schriftliche Division von 3 durch 8
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Die Dezimalzahl ist eine endliche Dezimalzahl.

Ergebnis:

$\frac{3}{8} = 0{,}375$

Beispiel 2

Aufgabe

Wandle den Bruch $\frac{5}{11}$ in eine Dezimalzahl um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Divisionsaufgabe aufschreiben
Wir teilen $5$ durch $11$ .
Schritt 2 & 3
Schriftlich dividieren und Reste beobachten
$5 : 11 \to 0{,}$

$50 : 11 = 4$ , Rest $6$

$60 : 11 = 5$ , Rest $5$

Der Rest ist jetzt wieder $5$ , genau wie am Anfang. Das bedeutet, die Rechnung wiederholt sich von nun an. Die Ziffernfolge $45$ wird sich unendlich wiederholen.

Schriftliche Division von 5 durch 11 mit Periode
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Wir setzen den Periodenstrich über die Ziffern $4$ und $5$ .

Ergebnis:

$\frac{5}{11} = 0{,}\overline{45}$

Beispiel 3

Aufgabe

Schreibe den gemischten Bruch $2 \frac{4}{5}$ als Dezimalzahl.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Divisionsaufgabe aufschreiben
Wir teilen $4$ durch $5$ .
Schritt 2 & 3
Schriftlich dividieren
$4 : 5 \to 0{,}$

$40 : 5 = 8$ , Rest $0$ .

Die Division ist beendet.
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Bruchteil $\frac{4}{5}$ ist $0{,}8$ . Jetzt addieren wir die ganze Zahl hinzu.

$2 + 0{,}8 = 2{,}8$

Ergebnis:

$2 \frac{4}{5} = 2{,}8$

Beispiel 4

Aufgabe

Wandle $\frac{7}{6}$ in eine Dezimalzahl um.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Divisionsaufgabe aufschreiben
Wir teilen $7$ durch $6$ .
Schritt 2 & 3
Schriftlich dividieren und Reste beobachten
$7 : 6 = 1$ , Rest $1$

Wir setzen ein Komma und hängen eine $0$ an den Rest: $10$ .

$10 : 6 = 1$ , Rest $4$

Wir hängen eine $0$ an den Rest: $40$ .

$40 : 6 = 6$ , Rest $4$

Der Rest ist jetzt wieder $4$ . Das bedeutet, die Ziffer $6$ wird sich von nun an wiederholen. Die Periode beginnt also erst nach der ersten Nachkommastelle.

Schriftliche Division von 7 durch 6 mit verschobener Periode
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Der Periodenstrich kommt nur über die $6$ .

Ergebnis:

$\frac{7}{6} = 1{,}1\overline{6}$

Beispiel 5

Aufgabe

Schreibe $\frac{1}{7}$ als Dezimalzahl. Runde auf 6 Nachkommastellen, falls nötig.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Divisionsaufgabe aufschreiben
Wir teilen $1$ durch $7$ .
Schritt 2 & 3
Schriftlich dividieren und Reste beobachten
$1 : 7 \to 0{,}$

$10 : 7 = 1$ , Rest $3$

$30 : 7 = 4$ , Rest $2$

$20 : 7 = 2$ , Rest $6$

$60 : 7 = 8$ , Rest $4$

$40 : 7 = 5$ , Rest $5$

$50 : 7 = 7$ , Rest $1$

Der Rest ist jetzt wieder $1$ , genau wie am Anfang. Die gesamte Ziffernfolge $142857$ wird sich wiederholen.
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis notieren
Wir setzen den Periodenstrich über die gesamte Ziffernfolge.

Ergebnis:

$\frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857}$