Was sind ganze Zahlen und wie multipliziert man sie?

Ganze Zahlen umfassen alle positiven Zahlen, negativen Zahlen und die Null – zum Beispiel $-5, -1, 0, 3, 100$. Bei der Multiplikation ganzer Zahlen gelten zwei Grundregeln: Plus mal Plus und Minus mal Minus ergeben immer ein positives Ergebnis, während Plus mal Minus oder Minus mal Plus ein negatives Ergebnis liefern. Diese Vorzeichenregeln lassen sich auf beliebig lange Multiplikationsketten ausdehnen.

Wie bestimmst du das Vorzeichen eines Produkts mit vielen Faktoren?

Zähle einfach alle negativen Faktoren in der Multiplikationskette. Ist die Anzahl gerade (2, 4, 6, …), ist das Ergebnis positiv . Ist die Anzahl ungerade (1, 3, 5, …), ist das Ergebnis negativ . Danach multiplizierst du die Beträge aller Zahlen ohne Vorzeichen und setzt das ermittelte Vorzeichen davor.

Was ist die Null-Regel bei der Multiplikation?

Die Null-Regel besagt: Sobald in einer Multiplikationskette die Zahl 0 als Faktor auftaucht, ist das gesamte Produkt sofort 0 – egal wie viele andere Zahlen noch dabei sind. Du musst dann gar nicht weiterrechnen. Beispiel: $15 \cdot (-4) \cdot 23 \cdot 0 \cdot (-123) = 0$.

Wie findest du einen fehlenden Faktor in einer Gleichung?

Um einen fehlenden Faktor zu finden, gehst du in zwei Schritten vor: Erstens bestimmst du das Vorzeichen der Lücke, indem du die Vorzeichen des bekannten Faktors und des Ergebnisses vergleichst. Zweitens berechnest du den Betrag , indem du den Betrag des Ergebnisses durch den Betrag des bekannten Faktors dividierst. Dann setzt du beides zusammen.

Warum ergibt Minus mal Minus ein positives Ergebnis?

Das liegt an den fundamentalen Vorzeichenregeln der Mathematik. Wenn du eine negative Zahl mit einer anderen negativen Zahl multiplizierst, heben sich die Minuszeichen gegenseitig auf – ähnlich wie eine doppelte Verneinung in der Sprache. Formal gilt: $(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)$. Das lässt sich auch über die Distributivgesetze der ganzen Zahlen beweisen.

Produkte mit ganzen Zahlen

Produkte mit ganzen Zahlen begegnen dir in der Schule ständig – ob bei langen Multiplikationsketten mit Minuszeichen oder beim Finden eines fehlenden Faktors in einer Gleichung. Wer die zwei entscheidenden Regeln kennt, spart sich Zeit in der Prüfung und vermeidet die häufigsten Vorzeichenfehler. In diesem Artikel lernst du Schritt für Schritt, wie du Produkte ganzer Zahlen berechnen und fehlende Faktoren bestimmen kannst.

Schnellantwort

Produkte mit ganzen Zahlen lassen sich mit zwei einfachen Regeln lösen: Die Null-Regel besagt, dass das Ergebnis einer Multiplikation sofort 0 ist, sobald einer der Faktoren 0 ist. Die Vorzeichen-Regel besagt, dass du nur die negativen Faktoren zählst – ist ihre Anzahl gerade, ist das Ergebnis positiv; ist sie ungerade, ist das Ergebnis negativ. Danach multiplizierst du einfach die Beträge.

Vorwissen

Bevor wir starten, solltest du diese Grundlagen kennen:

Ganze Zahlen: Das sind alle positiven Zahlen, negativen Zahlen und die Null.
- Beispiel: $-5, -1, 0, 3, 100$ sind alles ganze Zahlen.
Multiplikationsregeln für zwei Zahlen: Du solltest wissen, wie sich die Vorzeichen bei der Multiplikation von zwei Zahlen verhalten.
- Beispiele:
  - $(+3) \cdot (+4) = +12$ (Plus mal Plus ergibt Plus)
  - $(-3) \cdot (-4) = +12$ (Minus mal Minus ergibt Plus)
  - $(+3) \cdot (-4) = -12$ (Plus mal Minus ergibt Minus)
  - $(-3) \cdot (+4) = -12$ (Minus mal Plus ergibt Minus)

Aufgabentyp 1: Produkte mit vielen ganzen Zahlen berechnen

Wenn du viele ganze Zahlen miteinander multiplizierst, musst du nicht jede einzelne Rechnung Schritt für Schritt durchführen. Es gibt zwei einfache Regeln, die dir helfen, das Ergebnis schnell zu finden.

Regel 1: Die Null-Regel Sobald in einer Kette von Multiplikationen die Zahl 0 auftaucht, ist das gesamte Ergebnis immer 0. Du musst dann gar nicht weiterrechnen.

Beispiel: $15 \cdot (-4) \cdot 23 \cdot 0 \cdot (-123) = 0$

Regel 2: Die Vorzeichen-Regel (wenn keine Null dabei ist) Um das Vorzeichen des Ergebnisses zu bestimmen, zählst du einfach, wie viele negative Zahlen (Faktoren) in der Aufgabe vorkommen.

Ist die Anzahl der negativen Zahlen gerade (2, 4, 6, ...), ist das Ergebnis positiv (+).
Ist die Anzahl der negativen Zahlen ungerade (1, 3, 5, ...), ist das Ergebnis negativ (-).

Nachdem du das Vorzeichen bestimmt hast, multiplizierst du einfach alle Zahlen so, als hätten sie kein Vorzeichen (ihre Beträge).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Auf Null prüfen: Schaue dir die gesamte Multiplikationskette an. Wenn du eine 0 siehst, ist das Ergebnis 0 und du bist fertig.
Negative Faktoren zählen: Wenn keine 0 dabei ist, zähle alle Zahlen mit einem Minuszeichen davor.
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen: Gerade Anzahl an Minuszeichen → Ergebnis ist positiv. Ungerade Anzahl → Ergebnis ist negativ.
Zahlenwerte (Beträge) multiplizieren: Rechne die Aufgabe aus, aber ignoriere dabei alle Vorzeichen. Du kannst die Reihenfolge der Zahlen ändern, um es dir einfacher zu machen (Kommutativgesetz).
Ergebnis zusammensetzen: Setze das in Schritt 3 bestimmte Vorzeichen vor das in Schritt 4 berechnete Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $(-2) \cdot (-5) \cdot (-3) \cdot (-10)$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Auf Null prüfen
In der Rechnung kommt keine 0 vor.
Schritt 2
Negative Faktoren zählen
Wir haben vier negative Zahlen: $(-2), (-5), (-3), (-10)$ . Die Anzahl ist 4.
Schritt 3
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Die Zahl 4 ist gerade. Daher ist das Ergebnis positiv (+).
Schritt 4
Zahlenwerte (Beträge) multiplizieren
Wir multiplizieren die Zahlen ohne Vorzeichen: $2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 10$

Wir können umsortieren, um es einfacher zu machen: $(2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 10)$

$= 10 \cdot 30$

$= 300$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist positiv und der Wert ist 300. Das Ergebnis ist also 300.

Ergebnis:

$(-2) \cdot (-5) \cdot (-3) \cdot (-10) = 300$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $5 \cdot (-2) \cdot 3 \cdot (-1) \cdot (-4)$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Auf Null prüfen
In der Rechnung kommt keine 0 vor.
Schritt 2
Negative Faktoren zählen
Wir haben drei negative Zahlen: $(-2), (-1), (-4)$ . Die Anzahl ist 3.
Schritt 3
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Die Zahl 3 ist ungerade. Daher ist das Ergebnis negativ (-).
Schritt 4
Zahlenwerte (Beträge) multiplizieren
Wir multiplizieren die Zahlen ohne Vorzeichen: $5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4$

Wir sortieren um: $(5 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 1 \cdot 4)$

$= 10 \cdot 12$

$= 120$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist negativ und der Wert ist 120. Das Ergebnis ist also -120.

Ergebnis:

$5 \cdot (-2) \cdot 3 \cdot (-1) \cdot (-4) = -120$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $(-12) \cdot 345 \cdot (-99) \cdot 0 \cdot 7$

Fortschritt

1 / 1

Schritt 1 · Ergebnis
Auf Null prüfen
Ja, die Zahl $0$ ist in der Multiplikationskette enthalten.

Nach der Null-Regel ist das Ergebnis des gesamten Terms sofort $0$ . Wir müssen nicht weiterrechnen.

Ergebnis:

$(-12) \cdot 345 \cdot (-99) \cdot 0 \cdot 7 = 0$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Auf Null prüfen
In der Rechnung kommt keine 0 vor.
Schritt 2
Negative Faktoren zählen
Wir haben fünf negative Zahlen. Die Anzahl ist 5.
Schritt 3
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Die Zahl 5 ist ungerade. Daher ist das Ergebnis negativ (-).
Schritt 4
Zahlenwerte (Beträge) multiplizieren
Wir multiplizieren die Zahlen ohne Vorzeichen: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist negativ und der Wert ist 1. Das Ergebnis ist also -1.

Ergebnis:

$(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $20 \cdot (-5) \cdot 2 \cdot (-10)$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Auf Null prüfen
In der Rechnung kommt keine 0 vor.
Schritt 2
Negative Faktoren zählen
Wir haben zwei negative Zahlen: $(-5), (-10)$ . Die Anzahl ist 2.
Schritt 3
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Die Zahl 2 ist gerade. Daher ist das Ergebnis positiv (+).
Schritt 4
Zahlenwerte (Beträge) multiplizieren
Wir multiplizieren die Zahlen ohne Vorzeichen: $20 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 10$

Wir sortieren um: $(20 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 10)$

$= 100 \cdot 20$

$= 2000$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist positiv und der Wert ist 2000. Das Ergebnis ist also 2000.

Ergebnis:

$20 \cdot (-5) \cdot 2 \cdot (-10) = 2000$

Aufgabentyp 2: Fehlenden Faktor in einer Gleichung finden

Manchmal fehlt eine Zahl in einer Multiplikationsaufgabe und du musst sie finden. Das ist wie ein kleines Rätsel, das du in zwei Teilen löst: Zuerst findest du das richtige Vorzeichen, dann die richtige Zahl.

Teil 1: Das Vorzeichen der Lücke bestimmen

Schau dir den bekannten Faktor und das Ergebnis an, um das Vorzeichen der fehlenden Zahl zu finden. Es gelten die bekannten Regeln, nur rückwärts angewendet:

$(+) \cdot ? = (+)$ → Die Lücke muss positiv sein.
$(+) \cdot ? = (-)$ → Die Lücke muss negativ sein.
$(-) \cdot ? = (-)$ → Die Lücke muss positiv sein.
$(-) \cdot ? = (+)$ → Die Lücke muss negativ sein.

Teil 2: Die Zahl (den Betrag) der Lücke bestimmen

Um die Zahl für die Lücke zu finden, teilst du den Betrag des Ergebnisses durch den Betrag des bekannten Faktors.

Beispiel: $(-8) \cdot \square = 64$

Vorzeichen: $(-) \cdot ? = (+)$ . Die Lücke muss also negativ sein.
Zahl: $64 \div 8 = 8$ .
Lösung: Die fehlende Zahl ist $-8$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Vorzeichen analysieren: Vergleiche das Vorzeichen des bekannten Faktors mit dem Vorzeichen des Ergebnisses.
Vorzeichen der Lücke bestimmen: Nutze die Vorzeichenregeln, um zu entscheiden, ob die Zahl in der Lücke positiv oder negativ sein muss.
Betrag der Lücke berechnen: Dividiere den Betrag (Zahlenwert ohne Vorzeichen) des Ergebnisses durch den Betrag des bekannten Faktors.
Lösung eintragen: Setze das in Schritt 2 bestimmte Vorzeichen und den in Schritt 3 berechneten Betrag zusammen und schreibe die Zahl in die Lücke.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Fülle die Lücke: $(+9) \cdot \square = -45$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Vorzeichen analysieren
Der bekannte Faktor ist positiv ( $+9$ ), das Ergebnis ist negativ ( $-45$ ).
Schritt 2
Vorzeichen der Lücke bestimmen
Die Regel lautet: $(+) \cdot ? = (-)$ . Die Lücke muss also negativ sein.
Schritt 3
Betrag der Lücke berechnen
Wir teilen die Beträge: $45 \div 9 = 5$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Lösung eintragen
Das Vorzeichen ist negativ, der Betrag ist 5. Die Lösung ist -5.

Ergebnis:

$(+9) \cdot (-5) = -45$ ✓

Beispiel 2

Aufgabe

Fülle die Lücke: $(-8) \cdot \square = 64$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Vorzeichen analysieren
Der bekannte Faktor ist negativ ( $-8$ ), das Ergebnis ist positiv ( $+64$ ).
Schritt 2
Vorzeichen der Lücke bestimmen
Die Regel lautet: $(-) \cdot ? = (+)$ . Die Lücke muss also negativ sein.
Schritt 3
Betrag der Lücke berechnen
Wir teilen die Beträge: $64 \div 8 = 8$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Lösung eintragen
Das Vorzeichen ist negativ, der Betrag ist 8. Die Lösung ist -8.

Ergebnis:

$(-8) \cdot (-8) = 64$ ✓

Beispiel 3

Aufgabe

Fülle die Lücke: $(-4) \cdot \square = -36$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Vorzeichen analysieren
Der bekannte Faktor ist negativ ( $-4$ ), das Ergebnis ist negativ ( $-36$ ).
Schritt 2
Vorzeichen der Lücke bestimmen
Die Regel lautet: $(-) \cdot ? = (-)$ . Die Lücke muss also positiv sein.
Schritt 3
Betrag der Lücke berechnen
Wir teilen die Beträge: $36 \div 4 = 9$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Lösung eintragen
Das Vorzeichen ist positiv, der Betrag ist 9. Die Lösung ist 9 (oder +9).

Ergebnis:

$(-4) \cdot (+9) = -36$ ✓

Beispiel 4

Aufgabe

Fülle die Lücke: $\square \cdot 7 = 56$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Vorzeichen analysieren
Der bekannte Faktor ist positiv ( $+7$ ), das Ergebnis ist positiv ( $+56$ ).
Schritt 2
Vorzeichen der Lücke bestimmen
Die Regel lautet: $? \cdot (+) = (+)$ . Die Lücke muss also positiv sein.
Schritt 3
Betrag der Lücke berechnen
Wir teilen die Beträge: $56 \div 7 = 8$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Lösung eintragen
Das Vorzeichen ist positiv, der Betrag ist 8. Die Lösung ist 8.

Ergebnis:

$(+8) \cdot 7 = 56$ ✓

Beispiel 5

Aufgabe

Fülle die Lücke: $12 \cdot \square = -144$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Vorzeichen analysieren
Der bekannte Faktor ist positiv ( $+12$ ), das Ergebnis ist negativ ( $-144$ ).
Schritt 2
Vorzeichen der Lücke bestimmen
Die Regel lautet: $(+) \cdot ? = (-)$ . Die Lücke muss also negativ sein.
Schritt 3
Betrag der Lücke berechnen
Wir teilen die Beträge: $144 \div 12 = 12$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Lösung eintragen
Das Vorzeichen ist negativ, der Betrag ist 12. Die Lösung ist -12.

Ergebnis:

$12 \cdot (-12) = -144$ ✓

Wichtige Erkenntnisse

Null-Regel: Ist ein Faktor in einer Multiplikation 0, ist das gesamte Ergebnis immer 0.
Vorzeichen-Regel: Zähle die negativen Faktoren. Gerade Anzahl → Ergebnis ist positiv. Ungerade Anzahl → Ergebnis ist negativ.
Fehlende Zahl finden: Bestimme zuerst das Vorzeichen der Lücke und berechne dann den Zahlenwert durch Division.

Produkte mit ganzen Zahlen einfach erklärt