Was sind ganze Zahlen und wie multipliziert man sie?

Ganze Zahlen sind alle positiven und negativen Zahlen ohne Komma, einschließlich der Null (z. B. -5, 0, 42). Beim Multiplizieren ganzer Zahlen rechnest du die Beträge wie gewohnt und bestimmst das Vorzeichen nach der Vorzeichenregel : Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, unterschiedliche Vorzeichen ergeben Minus. Beispiel: $(-9) \cdot (-4) = +36$, weil beide Zahlen negativ sind. Jede Multiplikation mit Null ergibt immer Null – unabhängig vom Vorzeichen der anderen Zahl.

Wie berechnet man Potenzen mit negativer Basis und Klammern?

Steht die negative Basis in Klammern , gehört das Minuszeichen fest zur Basis und wird bei jeder Multiplikation mitgerechnet. Du schreibst die Potenz als Kette von Multiplikationen aus und multiplizierst schrittweise von links nach rechts. Beispiel: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = +9 \cdot (-3) = -27$. Die Klammern zeigen klar: Das Minuszeichen gehört zur Basis und wird mitpotenziert .

Was ist der Unterschied zwischen $(-4)^2$ und $-4^2$?

Das ist der wichtigste Unterschied bei Potenzen mit negativen Zahlen: Bei $(-4)^2$ steht das Minuszeichen in der Klammer und gehört zur Basis – die Rechnung lautet $(-4) \cdot (-4) = +16$. Bei $-4^2$ ohne Klammer gilt „Potenz vor Strich": Zuerst wird $4^2 = 16$ berechnet, dann das Minus davor gesetzt – Ergebnis: $-16$. Das Fehlen der Klammer führt also zu einem komplett anderen Ergebnis.

Wann ist das Ergebnis einer Potenz mit negativer Basis positiv oder negativ?

Bei einer Potenz mit negativer Basis in Klammern hängt das Vorzeichen des Ergebnisses vom Exponenten ab: Ist der Exponent gerade (2, 4, 6, …), ist das Ergebnis immer positiv – z. B. $(-2)^4 = +16$. Ist der Exponent ungerade (3, 5, 7, …), ist das Ergebnis immer negativ – z. B. $(-2)^5 = -32$. Bei Potenzen ohne Klammer ist das Ergebnis grundsätzlich immer negativ (außer die Basis ist 0).

Warum ergibt minus mal minus ein Pluszeichen?

Die Regel „Minus mal Minus ergibt Plus" folgt aus den Vorzeichenregeln der Multiplikation . Stell dir vor, eine negative Zahl kehrt eine Richtung um – zweimal umkehren landet wieder in der Ausgangsrichtung. Formal: Das Produkt zweier negativer Zahlen muss positiv sein, damit die Rechengesetze (wie das Distributivgesetz) widerspruchsfrei funktionieren. Ein einfaches Beispiel: $(-2) \cdot (-3) = +6$, weil beide Vorzeichen gleich sind.

Ganze Zahlen multiplizieren & potenzieren

Das Multiplizieren und Potenzieren ganzer Zahlen gehört zu den wichtigsten Grundlagen in der Mathematik. Wer die Vorzeichenregeln einmal sicher beherrscht, vermeidet unzählige Flüchtigkeitsfehler in Tests und Klausuren – und legt das Fundament für komplexere Themen wie Algebra oder Funktionen. In diesem Artikel lernst du Schritt für Schritt, wie du ganze Zahlen multiplizierst, Potenzen mit negativer Basis in Klammern berechnest und was sich ändert, wenn die Klammern fehlen.

Vorwissen

Bevor es losgeht, solltest du dich mit diesen Grundlagen wohlfühlen:

Ganze Zahlen: Das sind alle positiven und negativen Zahlen ohne Komma, einschließlich der Null (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...).
- Beispiel: -5, 0 und 42 sind ganze Zahlen. 3,5 ist keine ganze Zahl.
Multiplikation: Die Grundrechenart des „Malnehmens".
- Beispiel: $4 \cdot 5$ bedeutet, dass du die 4 fünfmal mit sich selbst addierst ( $4+4+4+4+4$ ), was 20 ergibt.
Potenz: Eine abkürzende Schreibweise für wiederholtes Multiplizieren derselben Zahl.
- Beispiel: $3^4$ ist eine Kurzschreibweise für $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ .

Aufgabentyp 1: Ganze Zahlen multiplizieren

Beim Multiplizieren von ganzen Zahlen rechnest du wie gewohnt, musst aber eine zusätzliche Regel für die Vorzeichen beachten. Das Ergebnis ist entweder positiv (+) oder negativ (-).

Es gibt vier einfache Regeln für die Vorzeichen:

Positiv mal Positiv ergibt Positiv.
- Beispiel: $(+2) \cdot (+3) = +6$
Positiv mal Negativ ergibt Negativ.
- Beispiel: $(+2) \cdot (-3) = -6$
Negativ mal Positiv ergibt Negativ.
- Beispiel: $(-2) \cdot (+3) = -6$
Negativ mal Negativ ergibt Positiv.
- Beispiel: $(-2) \cdot (-3) = +6$

Merkregel: Haben beide Zahlen das gleiche Vorzeichen, ist das Ergebnis positiv. Haben sie unterschiedliche Vorzeichen, ist das Ergebnis negativ.

Sonderfall: Jede Multiplikation mit Null ergibt immer Null.

Beispiel: $(-5) \cdot 0 = 0$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Bestimme das Vorzeichen des Ergebnisses: Schau dir die Vorzeichen der beiden Zahlen an – gleiche Vorzeichen ergeben positiv, unterschiedliche Vorzeichen ergeben negativ.
Multipliziere die Zahlen ohne Vorzeichen: Ignoriere die Vorzeichen und multipliziere die Beträge wie gewohnt.
Setze das Ergebnis zusammen: Nimm das Vorzeichen aus Schritt 1 und die Zahl aus Schritt 2 – das ist dein Endergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne: $(+5) \cdot (-7)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir multiplizieren eine positive Zahl ( $+5$ ) mit einer negativen Zahl ( $-7$ ). Unterschiedliche Vorzeichen ergeben ein negatives Ergebnis.
Schritt 2
Zahlen ohne Vorzeichen multiplizieren
$5 \cdot 7 = 35$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist negativ ( $-$ ), die Zahl ist 35. Das Ergebnis ist also $-35$ .

Ergebnis:

$(+5) \cdot (-7) = -35$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne: $(-9) \cdot (-4)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir multiplizieren eine negative Zahl ( $-9$ ) mit einer negativen Zahl ( $-4$ ). Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis.
Schritt 2
Zahlen ohne Vorzeichen multiplizieren
$9 \cdot 4 = 36$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist positiv ( $+$ ), die Zahl ist 36. Das Ergebnis ist also $+36$ oder einfach $36$ .

Ergebnis:

$(-9) \cdot (-4) = 36$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne: $(-12) \cdot (+6)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir multiplizieren eine negative Zahl ( $-12$ ) mit einer positiven Zahl ( $+6$ ). Unterschiedliche Vorzeichen ergeben ein negatives Ergebnis.
Schritt 2
Zahlen ohne Vorzeichen multiplizieren
$12 \cdot 6 = 72$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist negativ ( $-$ ), die Zahl ist 72. Das Ergebnis ist also $-72$ .

Ergebnis:

$(-12) \cdot (+6) = -72$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne: $(+8) \cdot (+11)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir multiplizieren eine positive Zahl ( $+8$ ) mit einer positiven Zahl ( $+11$ ). Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis.
Schritt 2
Zahlen ohne Vorzeichen multiplizieren
$8 \cdot 11 = 88$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist positiv ( $+$ ), die Zahl ist 88. Das Ergebnis ist also $+88$ oder einfach $88$ .

Ergebnis:

$(+8) \cdot (+11) = 88$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne: $0 \cdot (-23)$

Fortschritt

1 / 1

Schritt 1 · Ergebnis
Sonderfall erkennen
Dies ist ein Sonderfall. Jede Zahl, die mit 0 multipliziert wird, ergibt 0. Das Vorzeichen der anderen Zahl spielt keine Rolle.

Ergebnis:

$0 \cdot (-23) = 0$

Aufgabentyp 2: Potenz mit negativer Zahl in Klammern

Wenn eine negative Zahl potenziert wird und dabei in Klammern steht, gehört das Minuszeichen fest zur Basis. Das bedeutet, das Minuszeichen wird bei jeder Multiplikation mit einbezogen.

Beispiel: $(-5)^2$

Die Basis ist $(-5)$ .
Der Exponent ist 2.
Die Rechnung lautet: $(-5) \cdot (-5)$

Hier gilt die Regel „Minus mal Minus ergibt Plus", also ist das Ergebnis $+25$ .

Regel für das Vorzeichen des Ergebnisses:

Bei einem geraden Exponenten (2, 4, 6, ...) ist das Ergebnis immer positiv.
- Beispiel: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = +16$
Bei einem ungeraden Exponenten (3, 5, 7, ...) ist das Ergebnis immer negativ.
- Beispiel: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schreibe die Potenz als Multiplikation aus: Die Basis ist die Zahl in der Klammer einschließlich des Minuszeichens – wiederhole sie so oft, wie der Exponent angibt.
Multipliziere schrittweise von links nach rechts: Beachte bei jedem Schritt die Vorzeichenregeln.
Notiere das Endergebnis mit dem korrekten Vorzeichen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne den Wert von $(-5)^2$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz als Multiplikation ausschreiben
Die Basis ist $(-5)$ , der Exponent ist 2. Wir schreiben also: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5)$
Schritt 2
Schrittweise multiplizieren
Wir multiplizieren negativ mal negativ, das Ergebnis ist positiv. $5 \cdot 5 = 25$
Schritt 3 · Ergebnis
Endergebnis notieren

Ergebnis:

$(-5)^2 = 25$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne den Wert von $(-3)^3$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz als Multiplikation ausschreiben
Die Basis ist $(-3)$ , der Exponent ist 3. $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)$
Schritt 2
Schrittweise multiplizieren
Zuerst die ersten beiden Faktoren: $(-3) \cdot (-3) = +9$ . Jetzt das Zwischenergebnis mit dem letzten Faktor: $(+9) \cdot (-3) = -27$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Endergebnis notieren

Ergebnis:

$(-3)^3 = -27$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Wert von $(-1)^4$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz als Multiplikation ausschreiben
Die Basis ist $(-1)$ , der Exponent ist 4. $(-1)^4 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)$
Schritt 2
Schrittweise multiplizieren
$(-1) \cdot (-1) = +1$ $(+1) \cdot (-1) = -1$ $(-1) \cdot (-1) = +1$

Alternativ: Da der Exponent 4 gerade ist, wissen wir, dass das Ergebnis positiv sein muss. $1^4 = 1$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Endergebnis notieren

Ergebnis:

$(-1)^4 = 1$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne den Wert von $(-10)^3$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz als Multiplikation ausschreiben
Die Basis ist $(-10)$ , der Exponent ist 3. $(-10)^3 = (-10) \cdot (-10) \cdot (-10)$
Schritt 2
Schrittweise multiplizieren
$(-10) \cdot (-10) = +100$ $(+100) \cdot (-10) = -1000$

Alternativ: Da der Exponent 3 ungerade ist, wissen wir, dass das Ergebnis negativ sein muss. $10^3 = 1000$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Endergebnis notieren

Ergebnis:

$(-10)^3 = -1000$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne den Wert von $(-2)^5$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz als Multiplikation ausschreiben
Die Basis ist $(-2)$ , der Exponent ist 5. $(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
Schritt 2
Schrittweise multiplizieren
$(-2) \cdot (-2) = +4$ $(+4) \cdot (-2) = -8$ $(-8) \cdot (-2) = +16$ $(+16) \cdot (-2) = -32$
Schritt 3 · Ergebnis
Endergebnis notieren

Ergebnis:

$(-2)^5 = -32$

Aufgabentyp 3: Potenz einer negativen Zahl ohne Klammern

Wenn eine negative Zahl potenziert wird und dabei keine Klammern stehen, ändert sich die Regel komplett. Hier gilt die Grundregel „Potenzrechnung vor Strichrechnung".

Das bedeutet:

Zuerst wird die Potenz berechnet, als ob die Zahl positiv wäre.
Danach wird das Minuszeichen vor das Ergebnis gesetzt.

Beispiel: $-4^2$

Das Minuszeichen steht separat.
Die Potenz ist $4^2$ .
Die Rechnung lautet: $-(4 \cdot 4)$

Zuerst berechnen wir $4 \cdot 4 = 16$ . Dann setzen wir das Minus davor. Das Ergebnis ist $-16$ .

Achtung, großer Unterschied!

$(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = +16$
$-4^2 = -(4 \cdot 4) = -16$

Das Fehlen der Klammer führt zu einem völlig anderen Ergebnis!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Betrachte die Potenz isoliert: Ignoriere das Minuszeichen und betrachte nur die Potenz (z. B. bei $-4^2$ nur $4^2$ ).
Berechne den Wert der Potenz: Berechne den Wert dieser Potenz, als wäre es eine normale Aufgabe mit positiven Zahlen.
Füge das Minuszeichen an: Setze das Minuszeichen, das du in Schritt 1 ignoriert hast, vor das Ergebnis aus Schritt 2 – das ist dein Endergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ermittle den Wert des Terms $-4^2$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz isoliert betrachten
Wir betrachten nur die Potenz $4^2$ .
Schritt 2
Wert der Potenz berechnen
$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$
Schritt 3 · Ergebnis
Minuszeichen anfügen
Wir setzen das Minuszeichen vor das Ergebnis.

Ergebnis:

$-4^2 = -16$

Beispiel 2

Aufgabe

Ermittle den Wert des Terms $-2^3$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz isoliert betrachten
Wir betrachten nur die Potenz $2^3$ .
Schritt 2
Wert der Potenz berechnen
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Schritt 3 · Ergebnis
Minuszeichen anfügen
Wir setzen das Minuszeichen vor das Ergebnis.

Ergebnis:

$-2^3 = -8$

Beispiel 3

Aufgabe

Ermittle den Wert des Terms $-1^6$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz isoliert betrachten
Wir betrachten nur die Potenz $1^6$ .
Schritt 2
Wert der Potenz berechnen
$1^6 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
Schritt 3 · Ergebnis
Minuszeichen anfügen
Wir setzen das Minuszeichen vor das Ergebnis.

Ergebnis:

$-1^6 = -1$

Beispiel 4

Aufgabe

Ermittle den Wert des Terms $-5^3$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz isoliert betrachten
Wir betrachten nur die Potenz $5^3$ .
Schritt 2
Wert der Potenz berechnen
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
Schritt 3 · Ergebnis
Minuszeichen anfügen
Wir setzen das Minuszeichen vor das Ergebnis.

Ergebnis:

$-5^3 = -125$

Beispiel 5

Aufgabe

Ermittle den Wert des Terms $-10^4$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Potenz isoliert betrachten
Wir betrachten nur die Potenz $10^4$ .
Schritt 2
Wert der Potenz berechnen
$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$
Schritt 3 · Ergebnis
Minuszeichen anfügen
Wir setzen das Minuszeichen vor das Ergebnis.

Ergebnis:

$-10^4 = -10000$

Wichtige Erkenntnisse

Multiplikation: Gleiche Vorzeichen (z. B. $- \cdot -$ ) ergeben Plus. Unterschiedliche Vorzeichen (z. B. $+ \cdot -$ ) ergeben Minus.
Potenzen mit Klammer: Bei $(-a)^n$ wird das Minuszeichen mitpotenziert. Das Ergebnis ist bei geraden Exponenten positiv und bei ungeraden Exponenten negativ.
Potenzen ohne Klammer: Bei $-a^n$ gilt „Potenz vor Strich". Berechne zuerst $a^n$ und setze dann ein Minus davor. Das Ergebnis ist immer negativ (außer die Basis ist 0).
Der Klammer-Check ist entscheidend: $(-2)^2 = 4$ , aber $-2^2 = -4$ .

Ganze Zahlen multiplizieren und potenzieren einfach erklärt

Ganze Zahlen multiplizieren und potenzieren einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Ganze Zahlen multiplizieren

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Potenz mit negativer Zahl in Klammern

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Potenz einer negativen Zahl ohne Klammern

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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