Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren – einfach erklärt

Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren – das klingt zunächst kompliziert, ist aber mit dem richtigen Trick in Sekunden im Kopf lösbar. Stell dir vor, du siehst eine Aufgabe wie $2^5 \cdot 5^5$. Das auszurechnen wäre super nervig: $32 \cdot 3125 = ?$. Aber es gibt einen Mathe-Hack, einen echten „Cheat Code", mit dem du das in 5 Sekunden im Kopf lösen kannst. Diese Regel verwandelt komplizierte Multiplikationen in super einfaches Kopfrechnen. Statt mühsam zu tippen, siehst du die Lösung sofort. Lass uns diesen Trick gemeinsam lernen!

Schnellantwort

Wenn du zwei oder mehr Potenzen mit unterschiedlichen Basen, aber demselben Exponenten multiplizierst, multiplizierst du einfach die Basen miteinander und behältst den gemeinsamen Exponenten bei. Die Formel lautet: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Diese Regel gilt für ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche und Variablen – immer dann, wenn die Exponenten übereinstimmen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz zwei wichtige Grundlagen:

• Aufbau einer Potenz: Eine Potenz besteht aus einer Basis (die große Zahl unten) und einem Exponenten (die kleine Zahl oben).

  • Beispiel: Bei $3^{4}$ ist $3$ die Basis und $4$ der Exponent.

• Brüche multiplizieren: Man multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.

  • Formel: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
  • Beispiel: $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$

Aufgabentyp 1: Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren

Wenn du zwei oder mehr Potenzen multiplizierst, die zwar unterschiedliche Basen, aber den gleichen Exponenten haben, gibt es eine einfache Regel.

Die Regel lautet: Du multiplizierst die Basen miteinander und behältst den gemeinsamen Exponenten einfach bei.

Als Formel:

$a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$

Diese Regel funktioniert für alle Arten von Zahlen: ganze Zahlen, Brüche, Dezimalzahlen und sogar für negative Exponenten.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Exponenten prüfen: Stelle sicher, dass die Exponenten der Potenzen, die multipliziert werden, wirklich identisch sind. Wenn nicht, kannst du diese Regel nicht anwenden.
2. Basen multiplizieren: Nimm die Basen der Potenzen und multipliziere sie miteinander. Das ist eine normale Multiplikation.
3. Ergebnis als Potenz schreiben: Schreibe das Ergebnis der Multiplikation aus Schritt 2 in eine Klammer und schreibe den ursprünglichen, gemeinsamen Exponenten oben rechts an die Klammer. Fertig!

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe:

Multipliziere die Potenzen und gib das Ergebnis als eine einzige Potenz an: $2^{3} \cdot 5^{3}$

Lösung:

Schritt 1: Exponenten prüfen

Beide Potenzen haben den Exponenten $3$. Die Regel ist also anwendbar.

Schritt 2: Basen multiplizieren

Wir multiplizieren die beiden Basen miteinander.

$2 \cdot 5 = 10$

Schritt 3: Ergebnis als Potenz schreiben

Wir nehmen das Ergebnis ($10$) als neue Basis und behalten den gemeinsamen Exponenten $3$ bei.

$(10)^{3}$

Ergebnis: $2^{3} \cdot 5^{3} = 10^{3}$

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Beispiel 2

Aufgabe:

Multipliziere die Potenzen und vereinfache so weit wie möglich: $0{,}4^{-2} \cdot 1{,}5^{-2}$

Lösung:

Schritt 1: Exponenten prüfen

Beide Potenzen haben den Exponenten $-2$. Die Regel funktioniert auch bei negativen Exponenten.

Schritt 2: Basen multiplizieren

Wir multiplizieren die Basen.

$0{,}4 \cdot 1{,}5 = 0{,}6$

Schritt 3: Ergebnis als Potenz schreiben

Wir nehmen das Ergebnis ($0{,}6$) als neue Basis und behalten den gemeinsamen Exponenten $-2$ bei.

$(0{,}6)^{-2}$

Ergebnis: $0{,}4^{-2} \cdot 1{,}5^{-2} = 0{,}6^{-2}$

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Beispiel 3

Aufgabe:

Multipliziere die Potenzen und gib das Ergebnis als eine einzige Potenz an: $\left(\frac{2}{3}\right)^{4} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{4}$

Lösung:

Schritt 1: Exponenten prüfen

Beide Potenzen haben den Exponenten $4$. Die Regel ist anwendbar.

Schritt 2: Basen multiplizieren

Wir multiplizieren die Basen, die in diesem Fall Brüche sind.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15}$

Den Bruch können wir noch kürzen, indem wir Zähler und Nenner durch 3 teilen:

$\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

Schritt 3: Ergebnis als Potenz schreiben

Wir nehmen den gekürzten Bruch $\left(\frac{2}{5}\right)$ als neue Basis und behalten den gemeinsamen Exponenten $4$ bei.

$\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$

Ergebnis: $\left(\frac{2}{3}\right)^{4} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{4} = \left(\frac{2}{5}\right)^{4}$

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Beispiel 4

Aufgabe:

Vereinfache den Term so weit wie möglich: $x^{5} \cdot 4^{5}$

Lösung:

Schritt 1: Exponenten prüfen

Beide Potenzen haben den Exponenten $5$. Die Regel gilt auch für Variablen.

Schritt 2: Basen multiplizieren

Wir multiplizieren die Basen.

$x \cdot 4 = 4x$

Schritt 3: Ergebnis als Potenz schreiben

Wir nehmen das Ergebnis ($4x$) als neue Basis und behalten den gemeinsamen Exponenten $5$ bei.

$(4x)^{5}$

Ergebnis: $x^{5} \cdot 4^{5} = (4x)^{5}$

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Beispiel 5

Aufgabe:

Fasse zu einer einzigen Potenz zusammen: $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$

Lösung:

Schritt 1: Exponenten prüfen

Alle drei Potenzen haben den Exponenten $2$. Die Regel ist also auch für mehr als zwei Faktoren anwendbar.

Schritt 2: Basen multiplizieren

Wir multiplizieren alle Basen miteinander.

$2 \cdot 3 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$

Schritt 3: Ergebnis als Potenz schreiben

Wir nehmen das Ergebnis ($30$) als neue Basis und behalten den gemeinsamen Exponenten $2$ bei.

$(30)^{2}$

Ergebnis: $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} = 30^{2}$

Wichtige Erkenntnisse

• Die Regel: Um Potenzen mit gleichem Exponenten zu multiplizieren, multipliziert man ihre Basen und behält den Exponenten bei.
• Die Formel: $a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$
• Gültig für alle Zahlenarten: ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche, Variablen und auch negative Exponenten.
• Achtung: Verwechsle diese Regel nicht mit der Regel für gleiche Basen! Bei gleichen Basen werden die Exponenten addiert (z. B. $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3}$). Hier bleiben die Exponenten gleich.