Potenzen mit gleicher Basis: Multiplizieren, Addieren, Subtrahieren

Die Grundrechenoperationen mit Potenzen mit gleicher Basis gehören zu den wichtigsten Potenzgesetzen in der Schulmathematik. Stell dir vor, du müsstest $7^8 \cdot 7^5$ von Hand ausrechnen – das wären riesige Zahlen! Mit den richtigen Regeln schreibst du stattdessen einfach $7^{13}$. Diese Potenzgesetze sind wie ein Cheat Code, der dir massiv Zeit spart und komplizierte Rechnungen super einfach macht. In diesem Artikel lernst du, wie du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, addierst und subtrahierst – Schritt für Schritt, mit vielen durchgerechneten Beispielen.

Schnellantwort

Potenzen mit gleicher Basis lassen sich nach festen Regeln vereinfachen: Beim Multiplizieren behältst du die Basis bei und addierst die Exponenten ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Beim Addieren und Subtrahieren kannst du nur dann zusammenfassen, wenn Basis und Exponent identisch sind – dann werden die Koeffizienten (die Zahlen vor der Potenz) addiert oder subtrahiert.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

• Was ist eine Potenz? Eine Potenz besteht aus einer Basis und einem Exponenten (der Hochzahl).

  • Beispiel: Bei der Potenz $3^4$ ist die $3$ die Basis und die $4$ der Exponent. Das bedeutet: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.

• Gleiche Basis: Zwei Potenzen haben die gleiche Basis, wenn die untere Zahl identisch ist.

  • Beispiel: $7^2$ und $7^5$ haben die gleiche Basis (7). Aber $7^2$ und $4^2$ haben unterschiedliche Basen.

• Ausklammern: Wenn ein Term in einer Summe oder Differenz mehrfach vorkommt, kann man ihn ausklammern.

  • Beispiel: $5 \cdot x + 2 \cdot x = (5+2) \cdot x = 7x$. Hier wird das $x$ ausgeklammert.

Aufgabentyp 1: Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Wenn du Potenzen multiplizierst, die die gleiche Basis haben, gibt es eine ganz einfache Regel. Du musst nicht alles mühsam ausrechnen.

Die Regel lautet: Behalte die Basis bei und addiere die Exponenten.

Formel: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Einfaches Beispiel: $2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^5$ Mit der Regel geht es schneller: $2^{2+3} = 2^5$. Das funktioniert immer, auch mit negativen oder Kommazahlen!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Basen prüfen: Stelle sicher, dass die Basen der Potenzen, die du multiplizieren willst, wirklich identisch sind. Wenn nicht, funktioniert diese Regel nicht.
2. Basis beibehalten: Schreibe die gemeinsame Basis als Basis für dein Ergebnis hin.
3. Exponenten addieren: Addiere die Exponenten der ursprünglichen Potenzen. Achte dabei auf die Vorzeichen (Plus und Minus)!

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Berechne $3^4 \cdot 3^2$ und gib das Ergebnis als eine Potenz an.

Lösung im Detail:

Schritt 1: Basen prüfen

Die Basis ist bei beiden Potenzen $3$. Sie sind also gleich.

Schritt 2: Basis beibehalten

Die Basis des Ergebnisses ist ebenfalls $3$.

Schritt 3: Exponenten addieren

Wir addieren die Exponenten $4$ und $2$.

$3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2}$

$= 3^6$

Ergebnis: $3^4 \cdot 3^2 = 3^6$

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Beispiel 2

Aufgabe: Berechne $5^7 \cdot 5^{-3}$ und gib das Ergebnis als eine Potenz an.

Lösung im Detail:

Schritt 1: Basen prüfen

Die Basis ist bei beiden Potenzen $5$. Sie sind gleich.

Schritt 2: Basis beibehalten

Die Basis des Ergebnisses ist $5$.

Schritt 3: Exponenten addieren

Wir addieren die Exponenten $7$ und $-3$. Achtung beim Vorzeichen!

$5^7 \cdot 5^{-3} = 5^{7+(-3)}$

$= 5^{7-3}$

$= 5^4$

Ergebnis: $5^7 \cdot 5^{-3} = 5^4$

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Beispiel 3

Aufgabe: Berechne $0{,}2^3 \cdot 0{,}2^2$ und gib das Ergebnis als eine Potenz an.

Lösung im Detail:

Schritt 1: Basen prüfen

Die Basis ist bei beiden Potenzen $0{,}2$. Sie sind gleich.

Schritt 2: Basis beibehalten

Die Basis des Ergebnisses ist $0{,}2$.

Schritt 3: Exponenten addieren

Wir addieren die Exponenten $3$ und $2$.

$0{,}2^3 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}2^{3+2}$

$= 0{,}2^5$

Ergebnis: $0{,}2^3 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}2^5$

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Beispiel 4

Aufgabe: Berechne $\left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-4}$ und gib das Ergebnis als eine Potenz an.

Lösung im Detail:

Schritt 1: Basen prüfen

Die Basis ist bei beiden Potenzen der Bruch $\frac{1}{2}$. Die Basen sind gleich.

Schritt 2: Basis beibehalten

Die Basis des Ergebnisses ist $\frac{1}{2}$.

Schritt 3: Exponenten addieren

Wir addieren die Exponenten $5$ und $-4$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{5+(-4)}$

$= \left(\frac{1}{2}\right)^{5-4}$

$= \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$

Ergebnis: $\left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{1}{2}\right)^1$ oder einfach $\frac{1}{2}$.

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Beispiel 5

Aufgabe: Vereinfache den Term $x^2 \cdot x^8$.

Lösung im Detail:

Schritt 1: Basen prüfen

Die Basis ist in beiden Fällen die Variable $x$. Die Basen sind also gleich.

Schritt 2: Basis beibehalten

Die Basis des Ergebnisses ist $x$.

Schritt 3: Exponenten addieren

Wir addieren die Exponenten $2$ und $8$.

$x^2 \cdot x^8 = x^{2+8}$

$= x^{10}$

Ergebnis: $x^2 \cdot x^8 = x^{10}$

Aufgabentyp 2: Potenzen mit gleicher Basis addieren und subtrahieren

Beim Addieren und Subtrahieren von Potenzen musst du strenger sein. Es reicht nicht, wenn nur die Basis gleich ist.

Die Regel lautet: Du kannst Potenzen nur dann zusammenfassen, wenn sowohl die Basis als auch der Exponent identisch sind!

Wenn das der Fall ist, kannst du die gemeinsame Potenz ausklammern und die Zahlen davor (die Koeffizienten) addieren oder subtrahieren.

Formel: $b \cdot a^x + c \cdot a^x = (b+c) \cdot a^x$

Wichtiger Hinweis: Ein Term wie $3^4 + 3^2$ kann nicht weiter vereinfacht werden, weil die Exponenten (4 und 2) unterschiedlich sind!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Basis und Exponent prüfen: Vergleiche die Potenzen. Sind Basis UND Exponent bei den Termen, die du zusammenfassen willst, exakt gleich?
2. Gemeinsame Potenz ausklammern: Behandle die identische Potenz wie eine Variable (z. B. wie ein „x"). Du klammerst sie aus.
3. Koeffizienten addieren/subtrahieren: Rechne mit den Zahlen, die vor den Potenzen stehen (den Koeffizienten). Das Ergebnis schreibst du vor die ausgeklammerte Potenz.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Vereinfache den Term $5 \cdot 10^2 - 2 \cdot 10^2$ so weit wie möglich.

Lösung im Detail:

Schritt 1: Basis und Exponent prüfen

Beide Terme enthalten die Potenz $10^2$. Basis (10) und Exponent (2) sind identisch. Wir können also vereinfachen.

Schritt 2: Gemeinsame Potenz ausklammern

Wir klammern $10^2$ aus.

$5 \cdot 10^2 - 2 \cdot 10^2 = (5-2) \cdot 10^2$

Schritt 3: Koeffizienten subtrahieren

Wir berechnen die Differenz in der Klammer.

$(5-2) = 3$

Das Ergebnis ist also $3 \cdot 10^2$.

$3 \cdot 10^2 = 3 \cdot 100 = 300$

Ergebnis: $5 \cdot 10^2 - 2 \cdot 10^2 = 300$

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Beispiel 2

Aufgabe: Vereinfache den Term $-2x^6 + 5x^6$ so weit wie möglich.

Lösung im Detail:

Schritt 1: Basis und Exponent prüfen

Beide Terme enthalten die Potenz $x^6$. Basis ($x$) und Exponent (6) sind identisch.

Schritt 2: Gemeinsame Potenz ausklammern

Wir klammern $x^6$ aus.

$-2 \cdot x^6 + 5 \cdot x^6 = (-2+5) \cdot x^6$

Schritt 3: Koeffizienten addieren

Wir berechnen die Summe in der Klammer.

$(-2+5) = 3$

Das Ergebnis ist $3x^6$.

Ergebnis: $-2x^6 + 5x^6 = 3x^6$

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Beispiel 3

Aufgabe: Vereinfache den Term $3y^{-3} + y^{-3}$ so weit wie möglich.

Lösung im Detail:

Schritt 1: Basis und Exponent prüfen

Beide Terme enthalten die Potenz $y^{-3}$. Basis ($y$) und Exponent ($-3$) sind identisch.

Wichtiger Hinweis: Der Term $y^{-3}$ ist das Gleiche wie $1 \cdot y^{-3}$. Der Koeffizient ist also 1.

Schritt 2: Gemeinsame Potenz ausklammern

Wir klammern $y^{-3}$ aus.

$3 \cdot y^{-3} + 1 \cdot y^{-3} = (3+1) \cdot y^{-3}$

Schritt 3: Koeffizienten addieren

Wir berechnen die Summe in der Klammer.

$(3+1) = 4$

Das Ergebnis ist $4y^{-3}$.

Ergebnis: $3y^{-3} + y^{-3} = 4y^{-3}$

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Beispiel 4

Aufgabe: Vereinfache den Term $1{,}2 \cdot 4^5 + 0{,}8 \cdot 4^5$ so weit wie möglich.

Lösung im Detail:

Schritt 1: Basis und Exponent prüfen

Beide Terme enthalten die Potenz $4^5$. Basis (4) und Exponent (5) sind identisch.

Schritt 2: Gemeinsame Potenz ausklammern

Wir klammern $4^5$ aus.

$1{,}2 \cdot 4^5 + 0{,}8 \cdot 4^5 = (1{,}2+0{,}8) \cdot 4^5$

Schritt 3: Koeffizienten addieren

Wir berechnen die Summe in der Klammer.

$(1{,}2+0{,}8) = 2$

Das Ergebnis ist $2 \cdot 4^5$.

Ergebnis: $1{,}2 \cdot 4^5 + 0{,}8 \cdot 4^5 = 2 \cdot 4^5$

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Beispiel 5

Aufgabe: Kann man den Term $7x^3 - 2x^2$ vereinfachen? Begründe deine Antwort.

Lösung im Detail:

Schritt 1: Basis und Exponent prüfen

• Der erste Term hat die Potenz $x^3$. Die Basis ist $x$, der Exponent ist $3$.
• Der zweite Term hat die Potenz $x^2$. Die Basis ist $x$, der Exponent ist $2$.

Die Basen sind zwar gleich, aber die Exponenten sind unterschiedlich (3 vs. 2).

Ergebnis: Nein, der Term $7x^3 - 2x^2$ kann nicht weiter vereinfacht werden, weil die Exponenten der Potenzen nicht identisch sind.

Wichtige Erkenntnisse

• Multiplizieren: Wenn die Basis gleich ist, behalte die Basis bei und addiere die Exponenten.

  • $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

• Addieren/Subtrahieren: Nur wenn Basis UND Exponent gleich sind, kannst du die Zahlen davor (Koeffizienten) addieren/subtrahieren.

  • $b \cdot a^x + c \cdot a^x = (b+c) \cdot a^x$

• Achtung, Falle! Vermische die Regeln nicht! $x^2 + x^3$ ist NICHT $x^5$. Es kann nicht vereinfacht werden.