Oberfläche im Alltag anwenden: Prismen & Materialverbrauch

Wir zerlegen die L-Form in zwei Rechtecke. Ein stehendes Rechteck (A1) und ein liegendes (A2).

• Maße von A1: Höhe = 6 cm, Breite = 2 cm
• Maße von A2: Die Breite ist $5 \text{ cm} - 2 \text{ cm} = 3 \text{ cm}$, die Höhe ist 2 cm.

$A_1 = 6 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 12 \text{ cm}^2$

$A_2 = 3 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 6 \text{ cm}^2$

Die gesamte Grundfläche ist die Summe der beiden Teilflächen:

$G = A_1 + A_2 = 12 \text{ cm}^2 + 6 \text{ cm}^2 = 18 \text{ cm}^2$

Wir addieren alle Seitenlängen der L-Form:

$U = 6 \text{ cm} + 5 \text{ cm} + 2 \text{ cm} + (5-2) \text{ cm} + (6-2) \text{ cm} + 2 \text{ cm}$

$U = 6 + 5 + 2 + 3 + 4 + 2 = 22 \text{ cm}$

Die Höhe des Prismas ist $h = 10 \text{ cm}$.

$M = U \cdot h$

$M = 22 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 220 \text{ cm}^2$

$O = 2 \cdot G + M$

$O = 2 \cdot 18 \text{ cm}^2 + 220 \text{ cm}^2$

$O = 36 \text{ cm}^2 + 220 \text{ cm}^2 = 256 \text{ cm}^2$

Wir verwenden die Ergänzungsmethode für die Grundfläche. Wir stellen uns ein großes Rechteck vor und ziehen das ausgeschnittene Rechteck in der Mitte ab.

• Großes Rechteck: $A_{groß} = 8 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 48 \text{ cm}^2$
• Ausgeschnittenes Rechteck: $A_{klein} = 4 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 16 \text{ cm}^2$

Die Grundfläche ist die Differenz:

$G = A_{groß} - A_{klein} = 48 \text{ cm}^2 - 16 \text{ cm}^2 = 32 \text{ cm}^2$

Wir addieren alle äußeren und inneren Kanten der U-Form:

$U = 6 \text{ cm} + 8 \text{ cm} + 6 \text{ cm} + 2 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 2 \text{ cm} = 36 \text{ cm}$

Die Höhe des Prismas ist $h = 12 \text{ cm}$.

$M = U \cdot h$

$M = 36 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 432 \text{ cm}^2$

$O = 2 \cdot G + M$

$O = 2 \cdot 32 \text{ cm}^2 + 432 \text{ cm}^2$

$O = 64 \text{ cm}^2 + 432 \text{ cm}^2 = 496 \text{ cm}^2$

Die Grundfläche besteht aus 5 Quadraten. Wir berechnen die Fläche eines Quadrats und multiplizieren sie mit 5.

• Fläche eines Quadrats: $A_{Quadrat} = 4 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 16 \text{ cm}^2$

Die gesamte Grundfläche ist:

$G = 5 \cdot A_{Quadrat} = 5 \cdot 16 \text{ cm}^2 = 80 \text{ cm}^2$

Das Kreuz hat 12 Außenkanten. Jede Kante hat die Länge einer Quadratseite, also 4 cm.

$U = 12 \cdot 4 \text{ cm} = 48 \text{ cm}$

Die Höhe des Prismas ist $h = 8 \text{ cm}$.

$M = U \cdot h$

$M = 48 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} = 384 \text{ cm}^2$

$O = 2 \cdot G + M$

$O = 2 \cdot 80 \text{ cm}^2 + 384 \text{ cm}^2$

$O = 160 \text{ cm}^2 + 384 \text{ cm}^2 = 544 \text{ cm}^2$

Wir zerlegen die Haus-Form in ein Rechteck und ein Dreieck.

• Fläche des Rechtecks: $A_{Rechteck} = 10 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2$
• Fläche des Dreiecks: Die Grundseite des Dreiecks ist die Breite des Rechtecks (10 cm). $A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 20 \text{ cm}^2$

Die gesamte Grundfläche ist die Summe der beiden:

$G = A_{Rechteck} + A_{Dreieck} = 60 \text{ cm}^2 + 20 \text{ cm}^2 = 80 \text{ cm}^2$

Wir addieren die fünf Außenseiten der Haus-Form. Die obere Seite des Rechtecks gehört nicht zum Umfang!

$U = 6 \text{ cm} (\text{links}) + 10 \text{ cm} (\text{unten}) + 6 \text{ cm} (\text{rechts}) + 6{,}4 \text{ cm} (\text{schräg rechts}) + 6{,}4 \text{ cm} (\text{schräg links})$

$U = 6 + 10 + 6 + 6{,}4 + 6{,}4 = 34{,}8 \text{ cm}$

Die Höhe des Prismas ist $h = 20 \text{ cm}$.

$M = U \cdot h$

$M = 34{,}8 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 696 \text{ cm}^2$

$O = 2 \cdot G + M$

$O = 2 \cdot 80 \text{ cm}^2 + 696 \text{ cm}^2$

$O = 160 \text{ cm}^2 + 696 \text{ cm}^2 = 856 \text{ cm}^2$

Wir zerlegen die T-Form in zwei Rechtecke: den oberen Balken (A1) und den senkrechten Balken (A2).

• Oberer Balken: $A_1 = 12 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2$
• Senkrechter Balken: $A_2 = 4 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} = 32 \text{ cm}^2$

Die gesamte Grundfläche ist:

$G = A_1 + A_2 = 36 \text{ cm}^2 + 32 \text{ cm}^2 = 68 \text{ cm}^2$

Wir gehen einmal um die T-Form herum. Die Breite des oberen Balkens, die auf dem unteren aufliegt, zählt nicht mit.

$U = 12 (\text{oben}) + 3 (\text{rechts oben}) + (12-4)/2 (\text{rechts Mitte}) + 8 (\text{rechts unten}) + 4 (\text{unten}) + 8 (\text{links unten}) + (12-4)/2 (\text{links Mitte}) + 3 (\text{links oben})$

$U = 12 + 3 + 4 + 8 + 4 + 8 + 4 + 3 = 46 \text{ cm}$

Die Höhe (Länge) des Trägers ist $h = 50 \text{ cm}$.

$M = U \cdot h$

$M = 46 \text{ cm} \cdot 50 \text{ cm} = 2300 \text{ cm}^2$

$O = 2 \cdot G + M$

$O = 2 \cdot 68 \text{ cm}^2 + 2300 \text{ cm}^2$

$O = 136 \text{ cm}^2 + 2300 \text{ cm}^2 = 2436 \text{ cm}^2$

• Grundfläche G: Das Dreieck ist rechtwinklig. Die Katheten sind 6 cm und 8 cm. $G = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2$

• Umfang U: $U = 6 \text{ cm} + 8 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 24 \text{ cm}$

• Mantelfläche M: Die Höhe ist $h = 15 \text{ cm}$. $M = U \cdot h = 24 \text{ cm} \cdot 15 \text{ cm} = 360 \text{ cm}^2$

• Gesamtoberfläche O: $O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 24 \text{ cm}^2 + 360 \text{ cm}^2 = 48 \text{ cm}^2 + 360 \text{ cm}^2 = 408 \text{ cm}^2$

Der Papierbogen ist ein Rechteck.

$A_{Material} = 40 \text{ cm} \cdot 60 \text{ cm} = 2400 \text{ cm}^2$

$A_{Abfall} = A_{Material} - O$

$A_{Abfall} = 2400 \text{ cm}^2 - 408 \text{ cm}^2 = 1992 \text{ cm}^2$

• Umfang U der quadratischen Basis: $U = 4 \cdot 5 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$

• Mantelfläche M: Die Höhe (Länge) ist $h = 100 \text{ cm}$. $M = U \cdot h = 20 \text{ cm} \cdot 100 \text{ cm} = 2000 \text{ cm}^2$

Die benötigte Fläche ist also $2000 \text{ cm}^2$.

Die Folie wird so von der Rolle geschnitten, dass sie um den Träger passt. Die Breite des abgerollten Stücks ist der Umfang (20 cm), die Länge ist die Länge des Trägers (100 cm). Man schneidet also ein Stück von 20 cm × 100 cm. Die Rollenbreite ist 30 cm. Man schneidet also ein 100 cm langes Stück von der 30 cm breiten Rolle. Das abgeschnittene Stück hat die Fläche:

$A_{Material} = 30 \text{ cm} \cdot 100 \text{ cm} = 3000 \text{ cm}^2$

$A_{Abfall} = A_{Material} - M$

$A_{Abfall} = 3000 \text{ cm}^2 - 2000 \text{ cm}^2 = 1000 \text{ cm}^2$

Der offene Würfel besteht aus 5 Quadraten mit je 20 cm Seitenlänge.

• Fläche eines Quadrats: $A_{Quadrat} = 20 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 400 \text{ cm}^2$

• Benötigte Fläche (Oberfläche des offenen Würfels): $O = 5 \cdot A_{Quadrat} = 5 \cdot 400 \text{ cm}^2 = 2000 \text{ cm}^2$

Das Blech ist quadratisch.

$A_{Material} = 50 \text{ cm} \cdot 50 \text{ cm} = 2500 \text{ cm}^2$

$A_{Abfall} = A_{Material} - O$

$A_{Abfall} = 2500 \text{ cm}^2 - 2000 \text{ cm}^2 = 500 \text{ cm}^2$

• Grundfläche G: Die Fläche eines Dreiecks. $G = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 8{,}7 \text{ cm} = 43{,}5 \text{ cm}^2$

• Umfang U: Das Dreieck ist gleichseitig. $U = 3 \cdot 10 \text{ cm} = 30 \text{ cm}$

• Mantelfläche M: Die Höhe des Prismas ist $h = 20 \text{ cm}$. $M = U \cdot h = 30 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 600 \text{ cm}^2$

• Gesamtoberfläche O: $O = 2 \cdot G + M = 2 \cdot 43{,}5 \text{ cm}^2 + 600 \text{ cm}^2 = 87 \text{ cm}^2 + 600 \text{ cm}^2 = 687 \text{ cm}^2$

$A_{Material} = 50 \text{ cm} \cdot 50 \text{ cm} = 2500 \text{ cm}^2$

$A_{Abfall} = A_{Material} - O$

$A_{Abfall} = 2500 \text{ cm}^2 - 687 \text{ cm}^2 = 1813 \text{ cm}^2$

Es wird nur die Mantelfläche benötigt. Der Umfang U und die Höhe h sind gegeben.

$M = U \cdot h = 25 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 250 \text{ cm}^2$

Das Lederstück ist rund (ein Kreis). Die Fläche eines Kreises ist $A = \pi \cdot r^2$. Der Durchmesser ist 30 cm, also ist der Radius $r = 15 \text{ cm}$.

$A_{Material} = \pi \cdot (15 \text{ cm})^2 = 3{,}14 \cdot 225 \text{ cm}^2 = 706{,}5 \text{ cm}^2$

$A_{Abfall} = A_{Material} - M$

$A_{Abfall} = 706{,}5 \text{ cm}^2 - 250 \text{ cm}^2 = 456{,}5 \text{ cm}^2$