Was ist ein Körpernetz und wozu braucht man es?

Ein Körpernetz ist die flach ausgeklappte, zweidimensionale Version eines dreidimensionalen Körpers. Wenn du ein Netz ausschneidest und zusammenfältest, entsteht genau der zugehörige Körper. Der Gesamtflächeninhalt aller Teile des Netzes entspricht dem Oberflächeninhalt des Körpers. Netze helfen dir, den Oberflächeninhalt einfach zu berechnen: Du musst nur die einzelnen 2D-Flächen addieren, anstatt kompliziertere Formeln auswendig zu lernen.

Wie berechnet man den Oberflächeninhalt eines Prismas aus dem Netz?

Für ein Prisma gilt die Formel O = 2 · A Grundfläche + A Mantelfläche . Gehe in vier Schritten vor: Einheiten prüfen und ggf. umrechnen. Flächeninhalt der Grundfläche berechnen (z. B. Dreieck oder Trapez). Alle Rechtecke der Mantelfläche einzeln berechnen und addieren. Ergebnisse in die Hauptformel einsetzen. Die Breiten der Rechtecke in der Mantelfläche entsprechen immer den Seitenlängen der Grundfläche.

Wie berechnet man den Oberflächeninhalt einer Pyramide?

Für eine Pyramide gilt O = A Grundfläche + A Mantelfläche . Die Grundfläche ist meist ein Quadrat oder Rechteck, die Mantelfläche besteht aus Dreiecken. Bei einer quadratischen Pyramide gibt es vier gleiche Dreiecke: A Mantelfläche = 4 · (½ · g · h) . Beachte, dass hier – anders als beim Prisma – die Grundfläche nur einmal gezählt wird.

Warum verdreifacht sich der Oberflächeninhalt nicht, wenn man eine Seite verdreifacht?

Wenn du nur eine Seite eines Quaders veränderst, werden zwar einige Rechteckflächen größer, aber andere bleiben unverändert. Zum Beispiel: Bei einem Quader mit den Seiten a , b und c werden beim Verdreifachen von a nur die Terme ab und ac verdreifacht – der Term bc bleibt gleich. Deshalb steigt der Oberflächeninhalt nie um denselben Faktor wie die veränderte Seite.

Was muss man beim Ablesen von Maßen aus einem Netz besonders beachten?

Besonders wichtig: Prüfe immer, ob alle Maße dieselbe Einheit haben. Sind z. B. manche Längen in Millimetern und andere in Zentimetern angegeben, musst du zuerst umrechnen. Außerdem kann ein Kästchen auf dem Gitter mehr als 1 cm bedeuten – lies die Angabe zur Kästchengröße genau durch, bevor du rechnest.

Oberflächeninhalt aus Netzen berechnen

Den Oberflächeninhalt aus Netzen berechnen ist eine der wichtigsten Fähigkeiten in der Geometrie – und gleichzeitig ein echter Alltagshack: Wer weiß, wie viel Fläche eine 3D-Form bedeckt, kann genau berechnen, wie viel Papier zum Einpacken, wie viel Farbe zum Streichen oder wie viel Glas für ein Aquarium gebraucht wird. Du lernst hier, wie man eine 3D-Form in ihre 2D-Teile zerlegt – fast wie ein Level-Designer für ein Videospiel, der eine 3D-Welt aus flachen Bausteinen erschafft. Mit den richtigen Formeln und einem klaren Schema gelingt dir das Oberflächeninhalt berechnen in jedem Aufgabentyp.

Schnellantwort

Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist die Summe der Flächeninhalte aller seiner Außenflächen. Ein Körpernetz ist die ausgeklappte, flache (2D-)Version eines 3D-Körpers – sein Gesamtflächeninhalt entspricht genau dem Oberflächeninhalt des Körpers. Für ein Prisma gilt $O = 2 \cdot A_{\text{Grundfläche}} + A_{\text{Mantelfläche}}$ , für eine Pyramide $O = A_{\text{Grundfläche}} + A_{\text{Mantelfläche}}$ .

Vorwissen

Bevor wir in die 3D-Welt eintauchen, wiederholen wir kurz, wie man den Flächeninhalt von 2D-Formen berechnet. Das ist unser Handwerkszeug!

Flächeninhalt eines Rechtecks
- Formel: $A = a \cdot b$ (Länge mal Breite)
- Beispiel: Ein Rechteck mit den Seiten $a = 5 \text{ cm}$ und $b = 3 \text{ cm}$ hat einen Flächeninhalt von $A = 5 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 15 \text{ cm}^2$ .
Flächeninhalt eines Quadrats
- Formel: $A = a \cdot a = a^2$
- Beispiel: Ein Quadrat mit der Seitenlänge $a = 4 \text{ cm}$ hat einen Flächeninhalt von $A = 4 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 16 \text{ cm}^2$ .
Flächeninhalt eines Dreiecks
- Formel: $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ (Hälfte mal Grundseite mal Höhe)
- Beispiel: Ein Dreieck mit der Grundseite $g = 6 \text{ cm}$ und der Höhe $h = 4 \text{ cm}$ hat einen Flächeninhalt von $A = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm}^2$ .
Flächeninhalt eines Trapezes
- Formel: $A = \frac{a+c}{2} \cdot h$ (Durchschnitt der parallelen Seiten mal Höhe)
- Beispiel: Ein Trapez mit den parallelen Seiten $a = 7 \text{ cm}$ und $c = 3 \text{ cm}$ und der Höhe $h = 5 \text{ cm}$ hat einen Flächeninhalt von $A = \frac{7 \text{ cm} + 3 \text{ cm}}{2} \cdot 5 \text{ cm} = 25 \text{ cm}^2$ .

Aufgabentyp 1: Auswirkung von Skalierung auf den Oberflächeninhalt

Manchmal ändern wir die Maße eines Körpers, z. B. machen wir eine Verpackung länger. Eine häufige Fehlannahme ist: „Wenn ich eine Seite verdreifache, verdreifacht sich auch die Oberfläche." Das ist falsch! Lass uns sehen, warum.

Der Oberflächeninhalt eines Quaders mit Länge $a$ , Breite $b$ und Höhe $c$ ist die Summe aller sechs Rechteckflächen:

$O = 2 \cdot (ab + ac + bc)$

Wenn wir nun die Länge $a$ verdreifachen, wird sie zu $3a$ . Die neue Oberfläche ist:

$O_{neu} = 2 \cdot ((3a)b + (3a)c + bc)$

Siehst du das Problem? Die ersten beiden Terme in der Klammer werden verdreifacht, aber der letzte Term ( $bc$ ) bleibt unverändert. Deshalb wird die gesamte Oberfläche nicht einfach verdreifacht.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Ursprünglichen Oberflächeninhalt berechnen

Nutze die Formel $O = 2 \cdot (ab + ac + bc)$ , um den Oberflächeninhalt des ursprünglichen Quaders zu berechnen.

Schritt 2: Neue Maße bestimmen

Ändere die angegebene Seitenlänge gemäß der Aufgabenstellung (z. B. verdoppeln, halbieren).

Schritt 3: Neuen Oberflächeninhalt berechnen

Setze die neuen Maße in die Oberflächenformel ein und berechne den neuen Wert.

Schritt 4: Behauptung überprüfen

Vergleiche den neuen Oberflächeninhalt mit dem Wert, der laut der Behauptung herauskommen müsste (z. B. das Dreifache des ursprünglichen Werts). Stelle fest, ob die Behauptung stimmt oder nicht.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Quader hat die Maße $a = 5 \text{ cm}$ , $b = 4 \text{ cm}$ und $c = 2 \text{ cm}$ . Die Länge $a$ wird verdoppelt. Jemand behauptet, der Oberflächeninhalt verdoppelt sich dadurch auch. Überprüfe diese Behauptung.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Ursprünglichen Oberflächeninhalt berechnen
Wir verwenden die Formel $O = 2 \cdot (ab + ac + bc)$ .

$O_{alt} = 2 \cdot (5 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 4 \cdot 2)$

$O_{alt} = 2 \cdot (20 + 10 + 8)$

$O_{alt} = 2 \cdot 38 = 76 \text{ cm}^2$
Schritt 2
Neue Maße bestimmen
Die Länge $a$ wird verdoppelt: $a_{neu} = 2 \cdot 5 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$ .

Die neuen Maße sind $a_{neu} = 10 \text{ cm}$ , $b = 4 \text{ cm}$ , $c = 2 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Neuen Oberflächeninhalt berechnen
$O_{neu} = 2 \cdot (10 \cdot 4 + 10 \cdot 2 + 4 \cdot 2)$

$O_{neu} = 2 \cdot (40 + 20 + 8)$

$O_{neu} = 2 \cdot 68 = 136 \text{ cm}^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Behauptung überprüfen
Die Behauptung war, dass sich der Oberflächeninhalt verdoppelt. Das Doppelte des alten Oberflächeninhalts wäre:

$2 \cdot O_{alt} = 2 \cdot 76 \text{ cm}^2 = 152 \text{ cm}^2$

Der tatsächlich berechnete neue Oberflächeninhalt ist aber $136 \text{ cm}^2$ . Da $136 \text{ cm}^2 \neq 152 \text{ cm}^2$ , ist die Behauptung falsch.

Ergebnis:

Die Behauptung ist falsch – der Oberflächeninhalt steigt von $76 \text{ cm}^2$ auf $136 \text{ cm}^2$ , nicht auf $152 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Ziegelstein hat die Maße $l = 24 \text{ cm}$ , $b = 12 \text{ cm}$ und $h = 6 \text{ cm}$ . Für ein spezielles Bauprojekt wird die Höhe halbiert. Ein Azubi meint, man bräuchte dann auch nur halb so viel Farbe, um ihn anzumalen. Stimmt das?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Ursprünglichen Oberflächeninhalt berechnen
$O_{alt} = 2 \cdot (24 \cdot 12 + 24 \cdot 6 + 12 \cdot 6)$

$O_{alt} = 2 \cdot (288 + 144 + 72)$

$O_{alt} = 2 \cdot 504 = 1008 \text{ cm}^2$
Schritt 2
Neue Maße bestimmen
Die Höhe $h$ wird halbiert: $h_{neu} = 6 \text{ cm} / 2 = 3 \text{ cm}$ .

Die neuen Maße sind $l = 24 \text{ cm}$ , $b = 12 \text{ cm}$ , $h_{neu} = 3 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Neuen Oberflächeninhalt berechnen
$O_{neu} = 2 \cdot (24 \cdot 12 + 24 \cdot 3 + 12 \cdot 3)$

$O_{neu} = 2 \cdot (288 + 72 + 36)$

$O_{neu} = 2 \cdot 396 = 792 \text{ cm}^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Behauptung überprüfen
Die Behauptung war, dass sich der Oberflächeninhalt halbiert. Die Hälfte des alten Oberflächeninhalts wäre:

$O_{alt} / 2 = 1008 \text{ cm}^2 / 2 = 504 \text{ cm}^2$

Der neue Oberflächeninhalt ist aber $792 \text{ cm}^2$ . Da $792 \text{ cm}^2 \neq 504 \text{ cm}^2$ , ist die Behauptung des Azubis falsch.

Ergebnis:

Die Behauptung ist falsch – der Oberflächeninhalt sinkt von $1008 \text{ cm}^2$ auf $792 \text{ cm}^2$ , nicht auf $504 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Würfel hat eine Kantenlänge von $10 \text{ cm}$ . Eine Seite wird auf $30 \text{ cm}$ verdreifacht, sodass ein Quader entsteht. Behauptung: Der Oberflächeninhalt verdreifacht sich auch. Richtig oder falsch?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Ursprünglichen Oberflächeninhalt berechnen
Ein Würfel hat 6 gleiche quadratische Flächen. Die Formel ist $O = 6 \cdot a^2$ .

$O_{alt} = 6 \cdot (10 \text{ cm})^2 = 6 \cdot 100 \text{ cm}^2 = 600 \text{ cm}^2$
Schritt 2
Neue Maße bestimmen
Eine Kante wird verdreifacht. Der Würfel wird zum Quader mit den Maßen $a = 30 \text{ cm}$ , $b = 10 \text{ cm}$ , $c = 10 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Neuen Oberflächeninhalt berechnen
$O_{neu} = 2 \cdot (30 \cdot 10 + 30 \cdot 10 + 10 \cdot 10)$

$O_{neu} = 2 \cdot (300 + 300 + 100)$

$O_{neu} = 2 \cdot 700 = 1400 \text{ cm}^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Behauptung überprüfen
Die Behauptung war, dass sich der Oberflächeninhalt verdreifacht. Das Dreifache des alten Oberflächeninhalts wäre:

$3 \cdot O_{alt} = 3 \cdot 600 \text{ cm}^2 = 1800 \text{ cm}^2$

Der neue Oberflächeninhalt ist aber $1400 \text{ cm}^2$ . Da $1400 \text{ cm}^2 \neq 1800 \text{ cm}^2$ , ist die Behauptung falsch.

Ergebnis:

Die Behauptung ist falsch – der Oberflächeninhalt steigt auf $1400 \text{ cm}^2$ , nicht auf $1800 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Eine Schachtel ist $20 \text{ cm}$ lang, $15 \text{ cm}$ breit und $10 \text{ cm}$ hoch. Um sie stabiler zu machen, wird die Breite um $5 \text{ cm}$ vergrößert. Ein Designer behauptet, der Materialverbrauch (Oberfläche) steigt um 25%. Überprüfe das.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Ursprünglichen Oberflächeninhalt berechnen
$O_{alt} = 2 \cdot (20 \cdot 15 + 20 \cdot 10 + 15 \cdot 10)$

$O_{alt} = 2 \cdot (300 + 200 + 150)$

$O_{alt} = 2 \cdot 650 = 1300 \text{ cm}^2$
Schritt 2
Neue Maße bestimmen
Die Breite wird um $5 \text{ cm}$ vergrößert: $b_{neu} = 15 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$ .

Die neuen Maße sind $l = 20 \text{ cm}$ , $b_{neu} = 20 \text{ cm}$ , $h = 10 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Neuen Oberflächeninhalt berechnen
$O_{neu} = 2 \cdot (20 \cdot 20 + 20 \cdot 10 + 20 \cdot 10)$

$O_{neu} = 2 \cdot (400 + 200 + 200)$

$O_{neu} = 2 \cdot 800 = 1600 \text{ cm}^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Behauptung überprüfen
Die Behauptung ist ein Anstieg um 25%. Berechnen wir, was das wäre:

$O_{erwartet} = O_{alt} + 0{,}25 \cdot O_{alt} = 1{,}25 \cdot 1300 \text{ cm}^2 = 1625 \text{ cm}^2$

Der neue Oberflächeninhalt ist aber $1600 \text{ cm}^2$ . Die Behauptung ist also (knapp) falsch. Der Anstieg ist etwas geringer als 25%.

Ergebnis:

Die Behauptung ist knapp falsch – der tatsächliche Anstieg führt zu $1600 \text{ cm}^2$ , nicht zu $1625 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Aquarium hat die Maße $L=100 \text{ cm}$ , $B=50 \text{ cm}$ , $H=50 \text{ cm}$ . Es ist oben offen. Nun wird ein neues, längeres Modell mit $L=150 \text{ cm}$ gebaut. Behauptung: Die benötigte Glasfläche (Boden + 4 Seiten) steigt um 50%, genau wie die Länge. Stimmt das?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Ursprüngliche Glasfläche berechnen
Die Fläche besteht aus dem Boden ( $L \cdot B$ ) und vier Seiten ( $2 \cdot LH + 2 \cdot BH$ ).

$A_{glas, alt} = (100 \cdot 50) + 2 \cdot (100 \cdot 50) + 2 \cdot (50 \cdot 50)$

$A_{glas, alt} = 5000 + 2 \cdot 5000 + 2 \cdot 2500$

$A_{glas, alt} = 5000 + 10000 + 5000 = 20000 \text{ cm}^2$
Schritt 2
Neue Maße bestimmen
Die Länge wird auf $150 \text{ cm}$ erhöht. $L_{neu} = 150 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Neue Glasfläche berechnen
$A_{glas, neu} = (150 \cdot 50) + 2 \cdot (150 \cdot 50) + 2 \cdot (50 \cdot 50)$

$A_{glas, neu} = 7500 + 2 \cdot 7500 + 2 \cdot 2500$

$A_{glas, neu} = 7500 + 15000 + 5000 = 27500 \text{ cm}^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Behauptung überprüfen
Die Behauptung ist ein Anstieg um 50%. Berechnen wir das:

$A_{erwartet} = 1{,}5 \cdot A_{glas, alt} = 1{,}5 \cdot 20000 \text{ cm}^2 = 30000 \text{ cm}^2$

Der tatsächliche neue Flächeninhalt ist $27500 \text{ cm}^2$ . Die Behauptung ist also falsch. Der Anstieg ist geringer als 50%.

Ergebnis:

Die Behauptung ist falsch – die Glasfläche steigt auf $27500 \text{ cm}^2$ , nicht auf $30000 \text{ cm}^2$ .

Aufgabentyp 2: Oberflächeninhalt von Prismen aus Netzen berechnen

Ein Prisma ist ein Körper mit zwei identischen, parallelen Flächen, der Grund- und Deckfläche. Diese können Dreiecke, Vierecke oder andere Polygone sein. Die Flächen, die sie verbinden, sind immer Rechtecke und bilden zusammen die Mantelfläche.

Ein Körpernetz ist die ausgebreitete, flache Version des Körpers. Um den Oberflächeninhalt zu finden, müssen wir nur die Flächeninhalte aller Teile im Netz zusammenzählen.

Die Formel lautet immer:

$O_{Prisma} = 2 \cdot A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Einheiten prüfen und umrechnen

Stelle sicher, dass alle Längenangaben im Netz die gleiche Einheit haben. Wenn nicht, rechne sie um (z. B. Millimeter in Zentimeter).

Schritt 2: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen

Identifiziere die Form der Grundfläche (z. B. Dreieck, Trapez) und berechne ihren Flächeninhalt ( $A_{Grundfläche}$ ) mit der passenden Formel.

Schritt 3: Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen

Die Mantelfläche besteht aus allen Rechtecken im Netz. Berechne den Flächeninhalt jedes Rechtecks und addiere sie zusammen, um $A_{Mantelfläche}$ zu erhalten.

Schritt 4: Gesamten Oberflächeninhalt berechnen

Setze die Ergebnisse in die Hauptformel ein: $O = 2 \cdot A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt des Körpers, der durch dieses Netz dargestellt wird. Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Netz eines dreieckigen Prismas mit Maßen

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Einheiten prüfen
Alle Maße sind in cm angegeben. Keine Umrechnung nötig.
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $6 \text{ cm}$ und $8 \text{ cm}$ .

$A_{Grundfläche} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2$
Schritt 3
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche besteht aus drei Rechtecken. Die Breiten entsprechen den Dreiecksseiten ( $6, 8, 10 \text{ cm}$ ), die Höhe ist $12 \text{ cm}$ .

$A_1 = 6 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 72 \text{ cm}^2$

$A_2 = 8 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 96 \text{ cm}^2$

$A_3 = 10 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 120 \text{ cm}^2$

$A_{Mantelfläche} = 72 + 96 + 120 = 288 \text{ cm}^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 2 \cdot A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$

$O = 2 \cdot 24 \text{ cm}^2 + 288 \text{ cm}^2$

$O = 48 \text{ cm}^2 + 288 \text{ cm}^2 = 336 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt $336 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Das Netz eines Prismas hat eine trapezförmige Grundfläche. Die parallelen Seiten des Trapezes sind $7 \text{ cm}$ und $3 \text{ cm}$ lang, die Höhe des Trapezes beträgt $4 \text{ cm}$ . Die Höhe des Prismas ist $10 \text{ cm}$ . Die nicht-parallelen Seiten des Trapezes sind beide $5 \text{ cm}$ lang. Berechne den Oberflächeninhalt.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Einheiten prüfen
Alle Maße sind in cm. Keine Umrechnung nötig.
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Die Grundfläche ist ein Trapez.

$A_{Grundfläche} = \frac{a+c}{2} \cdot h_{Trapez} = \frac{7 \text{ cm} + 3 \text{ cm}}{2} \cdot 4 \text{ cm}$

$A_{Grundfläche} = \frac{10}{2} \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 5 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 20 \text{ cm}^2$
Schritt 3
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche besteht aus vier Rechtecken. Die Breiten sind die vier Seiten des Trapezes ( $7, 3, 5, 5 \text{ cm}$ ), die Höhe ist $10 \text{ cm}$ .

$A_1 = 7 \cdot 10 = 70 \text{ cm}^2$

$A_2 = 3 \cdot 10 = 30 \text{ cm}^2$

$A_3 = 5 \cdot 10 = 50 \text{ cm}^2$

$A_4 = 5 \cdot 10 = 50 \text{ cm}^2$

$A_{Mantelfläche} = 70 + 30 + 50 + 50 = 200 \text{ cm}^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 2 \cdot A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$

$O = 2 \cdot 20 \text{ cm}^2 + 200 \text{ cm}^2$

$O = 40 \text{ cm}^2 + 200 \text{ cm}^2 = 240 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Der Oberflächeninhalt des Trapezprismas beträgt $240 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Toblerone-Karton (Prisma mit gleichseitigem Dreieck als Grundfläche) wird ausgerollt. Jede Seite des Dreiecks ist $5 \text{ cm}$ lang, die Höhe des Dreiecks beträgt ca. $4{,}33 \text{ cm}$ . Die Länge des Kartons (Höhe des Prismas) ist $20 \text{ cm}$ . Berechne die Pappe-Fläche.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Einheiten prüfen
Alle Maße sind in cm. Keine Umrechnung nötig.
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Die Grundfläche ist ein Dreieck.

$A_{Grundfläche} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ cm} \cdot 4{,}33 \text{ cm} = 10{,}825 \text{ cm}^2$
Schritt 3
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche besteht aus drei identischen Rechtecken, da das Dreieck gleichseitig ist. Die Breite ist $5 \text{ cm}$ , die Höhe $20 \text{ cm}$ .

$A_{Rechteck} = 5 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2$

$A_{Mantelfläche} = 3 \cdot 100 \text{ cm}^2 = 300 \text{ cm}^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 2 \cdot A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$

$O = 2 \cdot 10{,}825 \text{ cm}^2 + 300 \text{ cm}^2$

$O = 21{,}65 \text{ cm}^2 + 300 \text{ cm}^2 = 321{,}65 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Die Pappe-Fläche beträgt $321{,}65 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt für das gezeigte Netz. Eine Seitenlänge ist in Millimetern angegeben.

Netz eines Quaders mit gemischten Einheiten

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Einheiten prüfen und umrechnen
Die Maße sind $4 \text{ cm}$ , $5 \text{ cm}$ und $60 \text{ mm}$ . Wir rechnen Millimeter in Zentimeter um: $60 \text{ mm} = 6 \text{ cm}$ .

Das Prisma ist ein Quader mit den Maßen $a=5 \text{ cm}$ , $b=4 \text{ cm}$ und $c=6 \text{ cm}$ .
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Die Grundfläche ist ein Rechteck.

$A_{Grundfläche} = 5 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 20 \text{ cm}^2$
Schritt 3
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche besteht aus vier Rechtecken. Zwei mit $5 \times 6$ und zwei mit $4 \times 6$ .

$A_1 = 5 \cdot 6 = 30 \text{ cm}^2$

$A_2 = 4 \cdot 6 = 24 \text{ cm}^2$

$A_{Mantelfläche} = 2 \cdot 30 \text{ cm}^2 + 2 \cdot 24 \text{ cm}^2 = 60 + 48 = 108 \text{ cm}^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 2 \cdot A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$

$O = 2 \cdot 20 \text{ cm}^2 + 108 \text{ cm}^2$

$O = 40 \text{ cm}^2 + 108 \text{ cm}^2 = 148 \text{ cm}^2$

Alternativ mit der Quaderformel: $O = 2(5\cdot4 + 5\cdot6 + 4\cdot6) = 2(20+30+24) = 2(74) = 148 \text{ cm}^2$ .

Ergebnis:

Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt $148 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Zelt hat die Form eines Prismas mit einer fünfeckigen Grundfläche. Das Netz besteht aus zwei Fünfecken und fünf Rechtecken. Jede Seite des Fünfecks ist $2 \text{ m}$ lang. Die Höhe des Zeltes (Prismas) ist $3 \text{ m}$ . Der Flächeninhalt eines Fünfecks ist mit $6{,}88 \text{ m}^2$ gegeben. Berechne die gesamte Zeltplane (Oberfläche).

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Einheiten prüfen
Alle Maße sind in m. Keine Umrechnung nötig.
Schritt 2
Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Der Flächeninhalt der fünfeckigen Grundfläche ist bereits gegeben.

$A_{Grundfläche} = 6{,}88 \text{ m}^2$
Schritt 3
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche besteht aus fünf identischen Rechtecken, da das Fünfeck regelmäßig ist. Die Breite jedes Rechtecks ist $2 \text{ m}$ , die Höhe ist $3 \text{ m}$ .

$A_{Rechteck} = 2 \text{ m} \cdot 3 \text{ m} = 6 \text{ m}^2$

$A_{Mantelfläche} = 5 \cdot 6 \text{ m}^2 = 30 \text{ m}^2$
Schritt 4 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 2 \cdot A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$

$O = 2 \cdot 6{,}88 \text{ m}^2 + 30 \text{ m}^2$

$O = 13{,}76 \text{ m}^2 + 30 \text{ m}^2 = 43{,}76 \text{ m}^2$

Ergebnis:

Die gesamte Zeltplane beträgt $43{,}76 \text{ m}^2$ .

Aufgabentyp 3: Netz eines Prismas vervollständigen und Oberfläche berechnen

Manchmal ist ein Körpernetz unvollständig gezeichnet. Deine Aufgabe ist es, es im Kopf oder auf dem Papier zu vervollständigen und dann den Oberflächeninhalt zu berechnen.

Bei einem dreiseitigen Prisma (Grundfläche ist ein Dreieck) besteht das vollständige Netz immer aus:

Zwei identischen Dreiecken (Grund- und Deckfläche).
Drei Rechtecken (die Mantelfläche).

Die Breiten der drei Rechtecke müssen genau den drei Seitenlängen des Dreiecks entsprechen. Die Höhe aller Rechtecke ist gleich – das ist die Höhe des Prismas.

Vollständiges Netz eines dreiseitigen Prismas auf Gitter

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Netz im Kopf oder auf Papier vervollständigen

Zeichne die fehlenden Flächen (meist die Rechtecke der Mantelfläche) an die passenden Kanten der Grundfläche.

Schritt 2: Maße aus dem Gitter ablesen

Zähle die Kästchen, um alle benötigten Längen zu bestimmen: die Grundseite und Höhe des Dreiecks, die Seitenlängen des Dreiecks und die Höhe des Prismas (Länge der Rechtecke).

Schritt 3: Flächeninhalt der Grund- und Deckfläche berechnen

Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks ( $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ ) und verdopple ihn.

Schritt 4: Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen

Berechne den Flächeninhalt jedes einzelnen Rechtecks und addiere die Ergebnisse.

Schritt 5: Gesamten Oberflächeninhalt berechnen

Addiere die Fläche der Grund- und Deckflächen zur Mantelfläche: $O = A_{Grund/Deck} + A_{Mantel}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Das unvollständige Netz eines Prismas ist auf einem Gitter gezeichnet (1 Kästchen = 1 cm). Vervollständige es und berechne den Oberflächeninhalt.

Unvollständiges Prismanetz auf Karopapier

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Netz vervollständigen
Wir fügen drei Rechtecke hinzu, die die beiden Dreiecke verbinden. Die Breiten der Rechtecke müssen den Seitenlängen des Dreiecks ( $3, 4, 5 \text{ cm}$ ) entsprechen.
2
Schritt 2
Maße aus dem Gitter ablesen
- Dreieck: Katheten sind $g=4 \text{ cm}$ und $h=3 \text{ cm}$ . Die dritte Seite (Hypotenuse) ist $5 \text{ cm}$ .
- Prisma: Die Höhe (Länge der Rechtecke) ist $6 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Flächeninhalt der Grund- und Deckfläche berechnen
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 6 \text{ cm}^2$

$A_{Grund/Deck} = 2 \cdot 6 \text{ cm}^2 = 12 \text{ cm}^2$
Schritt 4
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
$A_1 = 3 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 18 \text{ cm}^2$

$A_2 = 4 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2$

$A_3 = 5 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 30 \text{ cm}^2$

$A_{Mantel} = 18 + 24 + 30 = 72 \text{ cm}^2$
Schritt 5 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 12 \text{ cm}^2 + 72 \text{ cm}^2 = 84 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt $84 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein unvollständiges Netz zeigt zwei gleichseitige Dreiecke mit einer Seitenlänge von 2 cm und einer Höhe von 1,73 cm. Die Höhe des Prismas soll 5 cm betragen. Ergänze das Netz und berechne die Oberfläche.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Netz vervollständigen
Wir fügen drei identische Rechtecke hinzu, da das Dreieck gleichseitig ist. Die Breite jedes Rechtecks ist 2 cm.
2
Schritt 2
Maße bestimmen
- Dreieck: Seite $a=2 \text{ cm}$ , Höhe $h=1{,}73 \text{ cm}$ .
- Prisma: Höhe $H=5 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Flächeninhalt der Grund- und Deckfläche berechnen
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ cm} \cdot 1{,}73 \text{ cm} = 1{,}73 \text{ cm}^2$

$A_{Grund/Deck} = 2 \cdot 1{,}73 \text{ cm}^2 = 3{,}46 \text{ cm}^2$
Schritt 4
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche besteht aus 3 gleichen Rechtecken mit den Maßen $2 \text{ cm} \times 5 \text{ cm}$ .

$A_{Rechteck} = 2 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 10 \text{ cm}^2$

$A_{Mantel} = 3 \cdot 10 \text{ cm}^2 = 30 \text{ cm}^2$
Schritt 5 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 3{,}46 \text{ cm}^2 + 30 \text{ cm}^2 = 33{,}46 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Die Oberfläche des gleichseitigen Dreiecks-Prismas beträgt $33{,}46 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben sind die beiden dreieckigen Endstücke eines Keils. Die Maße sind: Grundseite 8 cm, Höhe 3 cm, beide Schrägen 5 cm. Der Keil ist 10 cm lang. Berechne seine Oberfläche.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Netz vervollständigen
Der Keil ist ein Prisma. Wir stellen uns das Netz vor: zwei Dreiecke und drei Rechtecke.
2
Schritt 2
Maße bestimmen
- Dreieck (gleichschenklig): Grundseite $g=8 \text{ cm}$ , Höhe $h=3 \text{ cm}$ , Schenkel $s=5 \text{ cm}$ .
- Prisma: Höhe $H=10 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Flächeninhalt der Grund- und Deckfläche berechnen
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 12 \text{ cm}^2$

$A_{Grund/Deck} = 2 \cdot 12 \text{ cm}^2 = 24 \text{ cm}^2$
Schritt 4
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
Die Mantelfläche besteht aus einem Rechteck (Boden) und zwei identischen Rechtecken (Seiten).

$A_{Boden} = 8 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 80 \text{ cm}^2$

$A_{Seite} = 5 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 50 \text{ cm}^2$

$A_{Mantel} = 80 + 2 \cdot 50 = 80 + 100 = 180 \text{ cm}^2$
Schritt 5 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 24 \text{ cm}^2 + 180 \text{ cm}^2 = 204 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Die Oberfläche des Keils beträgt $204 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Hausdach-förmiges Prisma hat eine Grundfläche von 6 m × 10 m. Die Giebeldreiecke haben eine Grundseite von 6 m und eine Höhe von 4 m. Die schrägen Dachseiten sind 5 m lang. Berechne die Oberfläche des Prismas (ohne Boden).

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Netz vorstellen
Zwei Dreiecke (Giebel) und zwei Rechtecke (Dachflächen). Der Boden fehlt.
2
Schritt 2
Maße bestimmen
- Dreieck: Grundseite $g=6 \text{ m}$ , Höhe $h=4 \text{ m}$ , Schenkel $s=5 \text{ m}$ .
- Prisma: Höhe (Länge des Hauses) $H=10 \text{ m}$ .
Schritt 3
Flächeninhalt der Giebelflächen berechnen
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ m} \cdot 4 \text{ m} = 12 \text{ m}^2$

$A_{Giebel} = 2 \cdot 12 \text{ m}^2 = 24 \text{ m}^2$
Schritt 4
Flächeninhalt der Dachflächen berechnen
Die Mantelfläche besteht nur aus den beiden Dachflächen. Der Boden fehlt.

$A_{Dachseite} = 5 \text{ m} \cdot 10 \text{ m} = 50 \text{ m}^2$

$A_{Mantel} = 2 \cdot 50 \text{ m}^2 = 100 \text{ m}^2$
Schritt 5 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = A_{Giebel} + A_{Mantel} = 24 \text{ m}^2 + 100 \text{ m}^2 = 124 \text{ m}^2$

Ergebnis:

Die Oberfläche des Dachprismas (ohne Boden) beträgt $124 \text{ m}^2$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Auf einem Gitter (1 Kästchen = 1 cm) ist ein unvollständiges Netz gezeichnet. Es zeigt ein Dreieck mit Grundseite 6 und Höhe 2, sowie ein Rechteck mit den Seiten 6 × 4. Vervollständige das Netz zu einem Prisma und berechne die Oberfläche.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Netz vervollständigen
Das gegebene Rechteck ist Teil der Mantelfläche. Die Höhe des Prismas ist also 4 cm. Wir brauchen ein zweites Dreieck und zwei weitere Rechtecke.
2
Schritt 2
Maße aus dem Gitter ablesen
- Dreieck: Grundseite $g=6 \text{ cm}$ , Höhe $h=2 \text{ cm}$ . Die Schenkellänge berechnen wir mit Pythagoras: $s = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61 \text{ cm}$ .
- Prisma: Höhe $H=4 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Flächeninhalt der Grund- und Deckfläche berechnen
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 6 \text{ cm}^2$

$A_{Grund/Deck} = 2 \cdot 6 \text{ cm}^2 = 12 \text{ cm}^2$
Schritt 4
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
$A_1 = 6 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2$

$A_2 = 3{,}61 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 14{,}44 \text{ cm}^2$

$A_3 = 3{,}61 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 14{,}44 \text{ cm}^2$

$A_{Mantel} = 24 + 14{,}44 + 14{,}44 = 52{,}88 \text{ cm}^2$
Schritt 5 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 12 \text{ cm}^2 + 52{,}88 \text{ cm}^2 = 64{,}88 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Die Oberfläche des Prismas beträgt $64{,}88 \text{ cm}^2$ .

Aufgabentyp 4: Netz einer Pyramide vervollständigen und Oberfläche berechnen

Eine Pyramide hat eine Grundfläche und eine Spitze. Die Seitenflächen sind immer Dreiecke, die sich an der Spitze treffen und die Mantelfläche bilden.

Bei einer quadratischen Pyramide besteht das vollständige Netz immer aus:

Einem Quadrat (die Grundfläche).
Vier identischen, gleichschenkligen Dreiecken (die Mantelfläche).

Die Grundseite jedes Dreiecks muss genau so lang sein wie die Seite des Quadrats.

Die Formel für die Oberfläche ist einfach die Summe der Teile:

$O_{Pyramide} = A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$

Netz einer quadratischen Pyramide mit vier Seitendreiecken

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Netz vervollständigen

Zeichne die fehlenden Dreiecke an die freien Seiten der quadratischen Grundfläche.

Schritt 2: Maße aus dem Gitter ablesen

Zähle die Kästchen, um die Seitenlänge des Quadrats sowie die Grundseite und Höhe der Dreiecke zu bestimmen.

Schritt 3: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen

Berechne den Flächeninhalt des Quadrats ( $A = a^2$ ).

Schritt 4: Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen

Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks ( $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ ) und multipliziere ihn mit vier.

Schritt 5: Gesamten Oberflächeninhalt berechnen

Addiere die Grundfläche und die Mantelfläche: $O = A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$ .

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Das unvollständige Netz einer Pyramide ist auf einem Gitter gezeichnet (1 Kästchen = 1 cm). Vervollständige es und berechne den Oberflächeninhalt.

Unvollständiges Pyramidennetz auf Karopapier

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Netz vervollständigen
Wir fügen an die beiden freien Seiten des Quadrats zwei weitere identische Dreiecke an.
2
Schritt 2
Maße aus dem Gitter ablesen
- Quadrat: Seitenlänge $a = 6 \text{ cm}$ .
- Dreieck: Grundseite $g = 6 \text{ cm}$ , Höhe $h = 4 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
$A_{Grundfläche} = 6 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2$
Schritt 4
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm}^2$

$A_{Mantelfläche} = 4 \cdot 12 \text{ cm}^2 = 48 \text{ cm}^2$
Schritt 5 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 36 \text{ cm}^2 + 48 \text{ cm}^2 = 84 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt $84 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Kirchturmdach hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche von 8 m × 8 m. Die Höhe der dreieckigen Dachflächen beträgt 10 m. Berechne die zu deckende Dachfläche (nur die Mantelfläche).

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Netz vorstellen
Wir brauchen nur die vier Dreiecke der Mantelfläche.
2
Schritt 2
Maße bestimmen
- Dreieck: Grundseite $g = 8 \text{ m}$ , Höhe $h = 10 \text{ m}$ .
Schritt 3
Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Dieser Schritt entfällt, da die Grundfläche nicht Teil des Dachs ist.
Schritt 4
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ m} \cdot 10 \text{ m} = 40 \text{ m}^2$

$A_{Mantelfläche} = 4 \cdot 40 \text{ m}^2 = 160 \text{ m}^2$
Schritt 5 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
Die zu deckende Dachfläche beträgt $160 \text{ m}^2$ .

Ergebnis:

Die zu deckende Dachfläche beträgt $160 \text{ m}^2$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Dekoration besteht aus einer Pyramide mit einer Grundfläche von 10 cm × 10 cm. Die Höhe der Seitendreiecke ist 12 cm. Die Pyramide soll gold besprüht werden. Wie viel Fläche muss besprüht werden?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Netz vorstellen
Ein Quadrat und vier Dreiecke.
2
Schritt 2
Maße bestimmen
- Quadrat: $a = 10 \text{ cm}$ .
- Dreieck: $g = 10 \text{ cm}$ , $h = 12 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
$A_{Grundfläche} = 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2$
Schritt 4
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2$

$A_{Mantelfläche} = 4 \cdot 60 \text{ cm}^2 = 240 \text{ cm}^2$
Schritt 5 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 100 \text{ cm}^2 + 240 \text{ cm}^2 = 340 \text{ cm}^2$

Die zu besprühende Fläche beträgt $340 \text{ cm}^2$ .

Ergebnis:

Die zu besprühende Fläche beträgt $340 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Auf einem Gitter (1 Kästchen = 2 cm) ist das Netz einer Pyramide gezeichnet. Das Quadrat ist 3 × 3 Kästchen groß. Die Höhe der Dreiecke ist 4 Kästchen. Berechne den Oberflächeninhalt.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Netz ist vollständig
2
Schritt 2
Maße umrechnen und bestimmen
- Quadrat: Seitenlänge $a = 3 \text{ Kästchen} \cdot 2 \text{ cm/Kästchen} = 6 \text{ cm}$ .
- Dreieck: Grundseite $g = 6 \text{ cm}$ , Höhe $h = 4 \text{ Kästchen} \cdot 2 \text{ cm/Kästchen} = 8 \text{ cm}$ .
Schritt 3
Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
$A_{Grundfläche} = 6 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2$
Schritt 4
Flächeninhalt der Mantelfläche berechnen
$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2$

$A_{Mantelfläche} = 4 \cdot 24 \text{ cm}^2 = 96 \text{ cm}^2$
Schritt 5 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = 36 \text{ cm}^2 + 96 \text{ cm}^2 = 132 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt $132 \text{ cm}^2$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Papiermodell einer Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit $50 \text{ cm}^2$ Flächeninhalt. Die Mantelfläche beträgt insgesamt $120 \text{ cm}^2$ . Wie groß ist die Gesamtoberfläche?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2 entfallen.
Schritt 3
Flächeninhalt der Grundfläche
$A_{Grundfläche} = 50 \text{ cm}^2$
Schritt 4
Flächeninhalt der Mantelfläche
$A_{Mantelfläche} = 120 \text{ cm}^2$
Schritt 5 · Ergebnis
Gesamten Oberflächeninhalt berechnen
$O = A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$

$O = 50 \text{ cm}^2 + 120 \text{ cm}^2 = 170 \text{ cm}^2$

Ergebnis:

Die Gesamtoberfläche des Papiermodells beträgt $170 \text{ cm}^2$ .

Wichtige Erkenntnisse

Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist die Summe der Flächeninhalte aller seiner Außenflächen.
Ein Körpernetz ist die ausgeklappte 2D-Version eines 3D-Körpers. Seine Gesamtfläche ist der Oberflächeninhalt.
Prisma: $O = 2 \cdot A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$ . Die Mantelfläche besteht aus Rechtecken.
Pyramide: $O = A_{Grundfläche} + A_{Mantelfläche}$ . Die Mantelfläche besteht aus Dreiecken.
Achtung bei Skalierung: Wenn du nur eine Seite eines Quaders veränderst, ändert sich der Oberflächeninhalt nicht um den gleichen Faktor!
Immer prüfen: Haben alle Maße die gleiche Einheit? Wenn nicht, zuerst umrechnen!

Oberflächeninhalt aus Netzen berechnen – einfach erklärt