Was sind lineare Funktionen im Sachkontext?

Lineare Funktionen im Sachkontext beschreiben reale Situationen, in denen sich eine Größe gleichmäßig verändert – zum Beispiel die Kosten eines Handytarifs oder der Wasserstand in einem Tank. Die Grundformel lautet f(x) = mx + b . Dabei ist m die Änderungsrate (z. B. Liter pro Stunde) und b der Startwert oder die Grundgebühr. Aus einem Alltagstext lässt sich so schnell eine Gleichung aufstellen, ein Graph zeichnen oder eine Vorhersage treffen.

Wie findest du Steigung und y-Achsenabschnitt in einem Text?

Die Steigung m erkennst du an Formulierungen wie „pro Minute", „pro Kilometer" oder „jährlich" – sie beschreibt, wie schnell sich etwas verändert. Nimmt der Wert ab, ist m negativ. Den y-Achsenabschnitt b findest du als Startwert, Anfangsmenge oder Grundgebühr – also den Wert, der zum Zeitpunkt x = 0 gilt. Beide Werte setzt du direkt in f(x) = mx + b ein.

Wie zeichnest du eine Gerade, wenn zwei Punkte gegeben sind?

Wenn zwei Wertepaare aus einem Text gegeben sind, schreibst du sie als Punkte P₁(x₁ | y₁) und P₂(x₂ | y₂) auf. Dann zeichnest du ein beschriftetes Koordinatensystem, trägst beide Punkte ein und verbindest sie mit einem Lineal zu einer Geraden. Die Gerade kannst du über die Punkte hinaus verlängern, um weitere Werte ablesen zu können.

Wie beschreibst du einen Graphen einer linearen Funktion im Sachkontext?

Beim Beschreiben eines Graphen gehst du in vier Schritten vor: Zuerst klärst du, was auf den Achsen dargestellt wird. Dann beschreibst du den y-Achsenabschnitt als Startwert der Situation. Danach erklärst du den Verlauf – steigt oder fällt die Gerade? Schließlich beschreibst du die Nullstelle , falls vorhanden, als den Moment, an dem der Wert null wird. Bei mehreren Geraden vergleichst du Startpunkte und Steigungen.

Was bedeutet die Nullstelle im Sachkontext?

Die Nullstelle ist der Punkt, an dem die Gerade die x-Achse schneidet, also wo y = 0 gilt. Im Sachkontext bedeutet das: Der Wert hat null erreicht. Typische Beispiele sind ein leerer Akku, ein leerer Tank oder eine vollständig abgebrannte Kerze. Du liest die Nullstelle direkt am Graphen ab oder berechnest sie, indem du f(x) = 0 setzt und nach x auflöst.

Lineare Funktionen im Sachkontext

Lineare Funktionen im Sachkontext begegnen dir überall im Alltag – ob beim Handytarif, beim Akku-Stand oder bei der Fahrzeit. Mit der Formel $f(x) = mx + b$ kannst du vorhersagen, wann dein Akku leer ist, wie viel Geld du gespart hast oder welcher Tarif am Ende günstiger ist. Das ist kein Raten, das ist Mathe. Lineare Funktionen sind wie ein Cheat-Code für den Alltag: Sie helfen dir, Muster zu erkennen, klügere Entscheidungen zu treffen und zu verstehen, wie die Welt um dich herum funktioniert.

Schnellantwort

Lineare Funktionen im Sachkontext beschreiben reale Situationen, in denen sich eine Größe gleichmäßig verändert. Die Grundformel lautet $f(x) = mx + b$ , wobei m die Änderungsrate (z. B. Kosten pro km, Liter pro Stunde) und b den Startwert oder die Grundgebühr angibt. Aus einem Text lässt sich so schnell eine Gleichung aufstellen, ein Graph zeichnen oder ein Graph beschreiben.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz drei wichtige Grundlagen:

Allgemeine Form einer linearen Funktion: Das ist die „Bauanleitung" für jede Gerade.
- Formel: $f(x) = m \cdot x + b$
- Beispiel: $f(x) = 2x + 3$ ist eine lineare Funktion mit der Steigung $m=2$ und dem y-Achsenabschnitt $b=3$ .
Punkte im Koordinatensystem: Jeder Punkt hat eine x- und eine y-Koordinate, wie eine Adresse auf einer Karte.
- Beispiel: Der Punkt $P(4|5)$ bedeutet: Gehe 4 Schritte nach rechts auf der x-Achse und 5 Schritte nach oben auf der y-Achse.
Lineare Gleichungen lösen: Das brauchen wir, um unbekannte Werte zu berechnen.
- Beispiel: Um die Gleichung $11 = 3x + 5$ zu lösen, ziehst du zuerst 5 ab ( $6 = 3x$ ) und teilst dann durch 3, um $x=2$ zu erhalten.

Aufgabentyp 1: Funktionsgleichung aus einem Text aufstellen

In Textaufgaben zu linearen Funktionen im Sachkontext verstecken sich alle Informationen, die du für eine lineare Funktionsgleichung $f(x) = mx + b$ brauchst. Du musst nur lernen, die Hinweise zu finden.

Die Steigung m ist immer eine Rate oder eine Änderung pro Zeiteinheit. Achte auf Wörter wie „pro Minute", „pro Kilometer" oder „jährlich". Sie beschreibt, wie schnell sich etwas verändert.
Der y-Achsenabschnitt b ist der Startwert oder die Grundgebühr. Das ist der Wert am Anfang (z. B. zum Zeitpunkt 0) oder ein fester Betrag, der immer anfällt.

Stell dir vor, ein Taxi hat eine Grundgebühr von 5 € und kostet 2 € pro Kilometer. Die Funktion für die Kosten wäre dann:

$f(x) = 2x + 5$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Variablen festlegen – Überlege, welche Größen voneinander abhängen. Was ist $x$ (oft die Zeit) und was ist $f(x)$ (z. B. Temperatur, Kosten, Höhe)?
Steigung m finden – Suche nach einer Angabe, die eine Veränderung beschreibt, oft mit „pro …" (z. B. „15 € pro GB"). Das ist deine Steigung m.
y-Achsenabschnitt b finden – Suche nach dem Startwert, einer Grundgebühr oder dem Wert zum Zeitpunkt Null. Das ist dein b.
Funktionsgleichung aufstellen – Setze die gefundenen Werte für m und b in $f(x) = mx + b$ ein.
Gegebenen Wert einsetzen und berechnen – Ist ein x-Wert (z. B. „nach 10 Minuten") oder ein y-Wert (z. B. „wann werden 100 °C erreicht?") gegeben? Setze ihn ein und löse nach der gesuchten Variable auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Kerze ist zu Beginn 25 cm hoch. Pro Stunde brennt sie um 2 cm ab. Stelle eine Funktion auf, die die Höhe der Kerze in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Berechne, nach wie vielen Stunden die Kerze nur noch 15 cm hoch ist.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Variablen festlegen
- $x$ ist die Zeit in Stunden.
- $f(x)$ ist die Höhe der Kerze in cm.
Schritt 2
Steigung m finden
Die Kerze brennt pro Stunde um 2 cm ab. Da die Höhe abnimmt, ist die Steigung negativ. Also ist $m = -2$ .
Schritt 3
y-Achsenabschnitt b finden
Zu Beginn ist die Kerze 25 cm hoch. Das ist der Startwert. Also ist $b = 25$ .
Schritt 4
Funktionsgleichung aufstellen
Wir setzen $m$ und $b$ in $f(x) = mx + b$ ein:

$f(x) = -2x + 25$
Schritt 5 · Ergebnis
Gegebenen Wert einsetzen und berechnen
Wir wollen wissen, wann die Kerze 15 cm hoch ist. Das ist ein y-Wert, also $f(x) = 15$ .

Wir setzen das in unsere Funktion ein:

$15 = -2x + 25$

Jetzt lösen wir nach $x$ auf:

$15 = -2x + 25 \quad | -25$

$-10 = -2x \quad | :(-2)$

$5 = x$

Ergebnis:

Nach 5 Stunden ist die Kerze noch 15 cm hoch.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Handytarif kostet eine monatliche Grundgebühr von 10 €. Jede Gigabyte Datenvolumen kostet zusätzlich 3 €. Stelle eine Funktion für die monatlichen Kosten auf und berechne die Kosten bei einem Verbrauch von 8 GB.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Variablen festlegen
- $x$ ist das verbrauchte Datenvolumen in GB.
- $f(x)$ sind die monatlichen Kosten in €.
Schritt 2
Steigung m finden
Jede Gigabyte kostet 3 €. Das ist die Rate. Also ist $m = 3$ .
Schritt 3
y-Achsenabschnitt b finden
Die Grundgebühr beträgt 10 €. Das ist der feste Startwert. Also ist $b = 10$ .
Schritt 4
Funktionsgleichung aufstellen
Wir setzen $m$ und $b$ in $f(x) = mx + b$ ein:

$f(x) = 3x + 10$
Schritt 5 · Ergebnis
Gegebenen Wert einsetzen und berechnen
Wir wollen die Kosten für 8 GB berechnen. Das ist ein x-Wert, also $x = 8$ .

Wir setzen das in unsere Funktion ein:

$f(8) = 3 \cdot 8 + 10$

$f(8) = 24 + 10$

$f(8) = 34$

Ergebnis:

Bei einem Verbrauch von 8 GB betragen die Kosten 34 €.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Schwimmbecken enthält bereits 5000 Liter Wasser. Eine Pumpe füllt es mit 2000 Litern pro Stunde. Stelle eine Funktion auf, die die Wassermenge im Becken beschreibt. Wie viel Wasser ist nach 3,5 Stunden im Becken?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Variablen festlegen
- $x$ ist die Zeit in Stunden.
- $f(x)$ ist die Wassermenge in Litern.
Schritt 2
Steigung m finden
Die Pumpe füllt mit 2000 Litern pro Stunde. Das ist die Änderungsrate. Also ist $m = 2000$ .
Schritt 3
y-Achsenabschnitt b finden
Das Becken enthält bereits 5000 Liter. Das ist der Startwert. Also ist $b = 5000$ .
Schritt 4
Funktionsgleichung aufstellen
Wir setzen $m$ und $b$ in $f(x) = mx + b$ ein:

$f(x) = 2000x + 5000$
Schritt 5 · Ergebnis
Gegebenen Wert einsetzen und berechnen
Wir wollen die Wassermenge nach 3,5 Stunden wissen. Das ist ein x-Wert, also $x = 3.5$ .

Wir setzen das in unsere Funktion ein:

$f(3.5) = 2000 \cdot 3.5 + 5000$

$f(3.5) = 7000 + 5000$

$f(3.5) = 12000$

Ergebnis:

Nach 3,5 Stunden sind 12000 Liter Wasser im Becken.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 80 km/h. Zu Beginn der Beobachtung ist es bereits 50 km von zu Hause entfernt. Stelle eine Funktion auf, die die Entfernung von zu Hause beschreibt. Wann ist das Auto 290 km entfernt?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Variablen festlegen
- $x$ ist die Zeit in Stunden.
- $f(x)$ ist die Entfernung von zu Hause in km.
Schritt 2
Steigung m finden
Das Auto fährt mit 80 km/h. Das ist die Rate der Entfernungsänderung. Also ist $m = 80$ .
Schritt 3
y-Achsenabschnitt b finden
Zu Beginn ist es bereits 50 km entfernt. Das ist der Startwert. Also ist $b = 50$ .
Schritt 4
Funktionsgleichung aufstellen
Wir setzen $m$ und $b$ in $f(x) = mx + b$ ein:

$f(x) = 80x + 50$
Schritt 5 · Ergebnis
Gegebenen Wert einsetzen und berechnen
Wir wollen wissen, wann das Auto 290 km entfernt ist. Das ist ein y-Wert, also $f(x) = 290$ .

Wir setzen das in unsere Funktion ein:

$290 = 80x + 50$

Jetzt lösen wir nach $x$ auf:

$290 = 80x + 50 \quad | -50$

$240 = 80x \quad | :80$

$3 = x$

Ergebnis:

Nach 3 Stunden ist das Auto 290 km von zu Hause entfernt.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Unternehmen macht im Gründungsjahr (Jahr 0) einen Verlust von 20.000 €. Jedes Jahr steigt der Gewinn um 15.000 €. Stelle eine Funktion auf, die den Gewinn des Unternehmens beschreibt. In welchem Jahr macht das Unternehmen erstmals einen Gewinn von 40.000 €?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Variablen festlegen
- $x$ ist die Anzahl der Jahre nach der Gründung.
- $f(x)$ ist der Gewinn in €.
Schritt 2
Steigung m finden
Der Gewinn steigt jedes Jahr um 15.000 €. Das ist die Rate. Also ist $m = 15000$ .
Schritt 3
y-Achsenabschnitt b finden
Im Gründungsjahr gab es einen Verlust von 20.000 €. Ein Verlust ist ein negativer Gewinn. Also ist $b = -20000$ .
Schritt 4
Funktionsgleichung aufstellen
Wir setzen $m$ und $b$ in $f(x) = mx + b$ ein:

$f(x) = 15000x - 20000$
Schritt 5 · Ergebnis
Gegebenen Wert einsetzen und berechnen
Wir wollen wissen, wann der Gewinn 40.000 € beträgt. Das ist ein y-Wert, also $f(x) = 40000$ .

Wir setzen das in unsere Funktion ein:

$40000 = 15000x - 20000$

Jetzt lösen wir nach $x$ auf:

$40000 = 15000x - 20000 \quad | +20000$

$60000 = 15000x \quad | :15000$

$4 = x$

Ergebnis:

Im 4. Jahr nach der Gründung macht das Unternehmen einen Gewinn von 40.000 €.

Aufgabentyp 2: Gerade aus Sachkontext zeichnen und Werte ablesen

Manchmal bekommst du bei linearen Funktionen im Sachkontext keine Steigung und keinen Startwert, sondern zwei konkrete Messpunkte aus einer Situation. Zum Beispiel:

„Nach 2 Stunden war der Akku bei 60 %. Nach 5 Stunden war er nur noch bei 15 %."

Jeder dieser Messpunkte ist ein Punkt im Koordinatensystem. Du kannst sie direkt einzeichnen und mit einem Lineal zu einer Geraden verbinden. Sobald die Gerade gezeichnet ist, kannst du beliebige andere Werte einfach ablesen.

Aus „Nach 2 Stunden … 60 %" wird der Punkt $P_1(2 | 60)$ .
Aus „Nach 5 Stunden … 15 %" wird der Punkt $P_2(5 | 15)$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zwei Punkte aus dem Text identifizieren – Lies den Text und finde zwei Paare von zusammengehörigen Werten. Jedes Paar bildet eine x- und eine y-Koordinate.
Punkte aufschreiben – Schreibe die beiden Wertepaare als Koordinatenpunkte auf: $P_1(x_1 | y_1)$ und $P_2(x_2 | y_2)$ .
Koordinatensystem vorbereiten – Zeichne ein Koordinatensystem. Beschrifte die Achsen passend zum Sachkontext (z. B. x-Achse: „Tage", y-Achse: „Follower"). Wähle eine sinnvolle Einteilung für beide Achsen, damit deine Punkte gut Platz haben.
Punkte einzeichnen und Gerade ziehen – Zeichne die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ein. Verbinde sie mit einem Lineal zu einer geraden Linie und ziehe sie über die Punkte hinaus.
Wert ablesen – Gehe zum gegebenen Wert auf der x- oder y-Achse. Gehe von dort senkrecht (oder waagerecht) zur gezeichneten Geraden. Von diesem Punkt auf der Geraden gehst du im rechten Winkel zur anderen Achse und liest dort den gesuchten Wert ab.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein wachsender Bambus ist nach 3 Tagen 12 cm hoch und nach 5 Tagen 20 cm hoch. Zeichne die zugehörige Gerade in ein Koordinatensystem. Lies an der Geraden ab, wie hoch der Bambus nach 6 Tagen ist.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1 & 2
Zwei Punkte identifizieren und aufschreiben
- Nach 3 Tagen 12 cm hoch $\to$ $P_1(3 | 12)$
- Nach 5 Tagen 20 cm hoch $\to$ $P_2(5 | 20)$
Schritt 3 & 4
Koordinatensystem zeichnen, Punkte einzeichnen und Gerade ziehen
Wir zeichnen ein Koordinatensystem, tragen die Punkte $P_1$ und $P_2$ ein und verbinden sie zu einer Geraden.

Bambus-Gerade mit P1 und P2 eingezeichnet
Schritt 5 · Ergebnis
Wert ablesen
Wir suchen die Höhe nach 6 Tagen. Wir gehen auf der x-Achse zu $x=6$ , von dort senkrecht nach oben zur Geraden und dann waagerecht nach links zur y-Achse. Wir lesen den Wert $y=24$ ab.

Bambus-Gerade mit abgelesenem Wert bei x=6

Ergebnis:

Nach 6 Tagen ist der Bambus 24 cm hoch.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Taxiunternehmen berechnet seine Preise wie folgt: Eine Fahrt von 10 km kostet 23 €, eine Fahrt von 15 km kostet 33 €. Zeichne den Graphen, der die Kosten in Abhängigkeit von der Strecke darstellt. Lies ab, wie viel eine 5 km lange Fahrt kostet.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1 & 2
Zwei Punkte identifizieren und aufschreiben
- 10 km kosten 23 € $\to$ $P_1(10 | 23)$
- 15 km kosten 33 € $\to$ $P_2(15 | 33)$
Schritt 3 & 4
Koordinatensystem zeichnen, Punkte einzeichnen und Gerade ziehen
Wir zeichnen ein Koordinatensystem, tragen die Punkte $P_1$ und $P_2$ ein und verbinden sie.

Taxikosten-Gerade mit P1 und P2 eingezeichnet
Schritt 5 · Ergebnis
Wert ablesen
Wir suchen die Kosten für 5 km. Wir gehen auf der x-Achse zu $x=5$ , von dort nach oben zur Geraden und dann nach links zur y-Achse. Wir lesen den Wert $y=13$ ab.

Taxikosten-Gerade mit abgelesenem Wert bei x=5

Ergebnis:

Eine 5 km lange Fahrt kostet 13 €.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Wassertank leckt. Um 14:00 Uhr sind noch 800 Liter im Tank, um 16:00 Uhr nur noch 500 Liter. Zeichne eine Gerade, die den Wasserverlust darstellt (wähle 14:00 Uhr als Startzeitpunkt $x=0$ ). Lies ab, wann der Tank leer ist.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1 & 2
Zwei Punkte identifizieren und aufschreiben
Wir setzen 14:00 Uhr als $x=0$ . Dann ist 16:00 Uhr $x=2$ (Stunden).
- Um 14:00 Uhr (x=0) sind 800 Liter im Tank $\to$ $P_1(0 | 800)$
- Um 16:00 Uhr (x=2) sind 500 Liter im Tank $\to$ $P_2(2 | 500)$
Schritt 3 & 4
Koordinatensystem zeichnen, Punkte einzeichnen und Gerade ziehen
Wir zeichnen das Koordinatensystem, tragen die Punkte ein und verbinden sie.

Wassertank-Gerade mit Messpunkten bei 800 und 500 Litern
Schritt 5 · Ergebnis
Wert ablesen
Wir wollen wissen, wann der Tank leer ist. „Leer" bedeutet, der Wasserstand ist 0 Liter. Das ist der Schnittpunkt mit der x-Achse (die Nullstelle). Wir lesen auf der x-Achse den Wert $x \approx 5{,}3$ Stunden ab.

Wassertank-Gerade mit Nullstelle bei ca. 5,3 Stunden

Ergebnis:

Der Tank ist nach ca. 5,3 Stunden (also gegen 19:20 Uhr) leer.

Beispiel 4

Aufgabe

Bei einem Experiment wird eine Flüssigkeit erhitzt. Nach 5 Minuten hat sie eine Temperatur von 40 °C, nach 15 Minuten hat sie 70 °C. Zeichne den Graphen und lies ab, welche Temperatur die Flüssigkeit zu Beginn ( $x=0$ ) hatte.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1 & 2
Zwei Punkte identifizieren und aufschreiben
- Nach 5 Minuten 40 °C $\to$ $P_1(5 | 40)$
- Nach 15 Minuten 70 °C $\to$ $P_2(15 | 70)$
Schritt 3 & 4
Koordinatensystem zeichnen, Punkte einzeichnen und Gerade ziehen
Wir zeichnen das Koordinatensystem, tragen die Punkte ein und verbinden sie. Wir verlängern die Gerade nach links, bis sie die y-Achse schneidet.

Temperatur-Gerade verlängert bis zur y-Achse
Schritt 5 · Ergebnis
Wert ablesen
Wir suchen die Temperatur zu Beginn ( $x=0$ ). Das ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Wir lesen auf der y-Achse den Wert $y=25$ ab.

Temperatur-Gerade mit abgelesenem y-Achsenabschnitt 25°C

Ergebnis:

Die Flüssigkeit hatte zu Beginn eine Temperatur von 25 °C.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Bergsteiger befindet sich auf 2000 m Höhe. Nach 2 Stunden Abstieg ist er auf 1400 m Höhe. Zeichne eine Gerade, die seine Höhe über die Zeit darstellt. Lies ab, auf welcher Höhe er sich nach insgesamt 3 Stunden befindet.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1 & 2
Zwei Punkte identifizieren und aufschreiben
- Zu Beginn (x=0) ist er auf 2000 m Höhe $\to$ $P_1(0 | 2000)$
- Nach 2 Stunden ist er auf 1400 m Höhe $\to$ $P_2(2 | 1400)$
Schritt 3 & 4
Koordinatensystem zeichnen, Punkte einzeichnen und Gerade ziehen
Wir zeichnen das Koordinatensystem, tragen die Punkte ein und verbinden sie.

Abstiegs-Gerade des Bergsteigers von 2000 m
Schritt 5 · Ergebnis
Wert ablesen
Wir suchen die Höhe nach 3 Stunden. Wir gehen auf der x-Achse zu $x=3$ , von dort nach oben zur Geraden und dann nach links zur y-Achse. Wir lesen den Wert $y=1100$ ab.

Abstiegs-Gerade mit abgelesenem Wert 1100 m nach 3 Stunden

Ergebnis:

Nach 3 Stunden befindet er sich auf 1100 m Höhe.

Aufgabentyp 3: Graphen im Sachkontext beschreiben

Ein Graph kann eine ganze Geschichte erzählen, ohne ein einziges Wort zu verwenden. Um diese Geschichte zu verstehen, musst du die wichtigsten Merkmale des Graphen entschlüsseln und in die Sprache des Sachkontextes übersetzen.

Die wichtigsten Merkmale sind:

Der y-Achsenabschnitt: Wo kreuzt die Gerade die y-Achse? Das ist immer der Startwert der Geschichte (z. B. die Anfangshöhe, das Startguthaben).
Die Nullstelle: Wo kreuzt die Gerade die x-Achse? Das ist der Punkt, an dem der Wert Null wird (z. B. der Akku ist leer, das Ziel ist erreicht, das Guthaben ist aufgebraucht).
Die Steigung: Geht die Gerade nach oben oder nach unten? Eine positive Steigung bedeutet, dass etwas mehr wird (Wachstum, Zunahme). Eine negative Steigung bedeutet, dass etwas weniger wird (Abnahme, Verbrauch).

Wenn du zwei Geraden vergleichst, achte darauf: Welche startet höher? Welche ist steiler (verändert sich schneller)? Welche erreicht die x-Achse zuerst?

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Achsenbeschriftung verstehen – Schau dir an, was auf der x-Achse und was auf der y-Achse dargestellt wird. Das gibt dir den Rahmen für deine Geschichte (z. B. „Dieser Graph zeigt die Höhe über die Zeit").
Startpunkt (y-Achsenabschnitt) beschreiben – Finde den Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet ( $x=0$ ). Beschreibe, was dieser Wert im Sachkontext bedeutet. Beispiel: „Die Kerze war am Anfang 20 cm hoch."
Verlauf (Steigung) beschreiben – Beobachte, ob die Gerade steigt oder fällt. Beschreibe diesen Prozess. Beispiel: „Die Temperatur nimmt mit der Zeit gleichmäßig zu." oder „Der Wasserstand sinkt konstant."
Endpunkt (Nullstelle) beschreiben – Finde den Punkt, an dem die Gerade die x-Achse schneidet ( $y=0$ ), falls vorhanden. Beschreibe, was an diesem Punkt passiert. Beispiel: „Nach 10 Stunden ist die Kerze vollständig abgebrannt."
Graphen vergleichen (falls mehrere vorhanden) – Vergleiche die Startpunkte, die Steigungen und die Endpunkte der verschiedenen Geraden. Beispiel: „Person A startet weiter oben, aber Person B ist schneller und kommt deshalb früher am Boden an."

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der Graph zeigt die Wassermenge in zwei Badewannen (A und B) während des Befüllens. Beschreibe und vergleiche den Füllvorgang für beide Wannen.

Zwei Geraden für Badewanne A und B beim Befüllen

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Achsenbeschriftung verstehen
Der Graph zeigt die Wassermenge in Litern über die Zeit in Minuten.
2
Schritt 2
Startpunkte beschreiben
- Wanne A beginnt bei $y=50$ . Das bedeutet, zu Beginn waren bereits 50 Liter in der Wanne.
- Wanne B beginnt bei $y=20$ . Das bedeutet, zu Beginn waren nur 20 Liter in der Wanne.
Schritt 3
Verlauf beschreiben
Beide Geraden steigen an, also werden beide Wannen befüllt. Die Gerade von Wanne B ist steiler als die von Wanne A. Das bedeutet, Wanne B wird schneller befüllt.
Schritt 4 · Ergebnis
Endpunkte beschreiben
Die Geraden haben keine Nullstellen im positiven Bereich, was Sinn macht, da die Wannen voller und nicht leerer werden.

Ergebnis:

Obwohl in Wanne A anfangs mehr Wasser war, wird Wanne B schneller befüllt. Nach kurzer Zeit überholt die Wassermenge in Wanne B die in Wanne A (am Schnittpunkt der Geraden).

Beispiel 2

Aufgabe

Der Graph zeigt die verbleibende Akkuladung von Leas und Toms Handy über die Zeit. Beschreibe und vergleiche die Situation.

Zwei Geraden für Leas und Toms Akkustand über Zeit

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Achsenbeschriftung verstehen
Der Graph zeigt den Akkustand in Prozent über die Zeit in Stunden.
2
Schritt 2
Startpunkte beschreiben
- Leas Handy startet bei 100 %. Es war also voll aufgeladen.
- Toms Handy startet bei 80 %. Es war nicht ganz voll.
Schritt 3
Verlauf beschreiben
Beide Geraden fallen. Das bedeutet, bei beiden Handys entlädt sich der Akku. Die Gerade von Lea ist steiler. Das bedeutet, ihr Akku entlädt sich schneller als Toms.
4
Schritt 4 · Ergebnis
Endpunkte (Nullstellen) beschreiben
- Leas Gerade schneidet die x-Achse bei $x=5$ . Ihr Akku ist also nach 5 Stunden leer.
- Toms Gerade schneidet die x-Achse bei $x=8$ . Sein Akku ist erst nach 8 Stunden leer.

Ergebnis:

Obwohl Lea mit einem volleren Akku startet, verbraucht ihr Handy mehr Strom. Deshalb ist ihr Akku früher leer als der von Tom.

Beispiel 3

Aufgabe

Zwei Autofahrer, Maja und Ben, fahren auf der Autobahn. Der Graph zeigt ihre Entfernung von zu Hause. Beschreibe die Fahrt der beiden.

Zwei Geraden für Majas und Bens Entfernung von zu Hause

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Achsenbeschriftung verstehen
Der Graph zeigt die Entfernung von zu Hause in km über die Zeit in Stunden.
2
Schritt 2
Startpunkte beschreiben
- Majas Gerade startet bei (0,0). Sie fährt also direkt von zu Hause los.
- Bens Gerade startet bei (0,50). Er war zu Beginn der Messung bereits 50 km von zu Hause entfernt.
Schritt 3 · Ergebnis
Verlauf beschreiben
Beide Geraden steigen an, also entfernen sich beide von zu Hause. Die Gerade von Maja ist steiler. Das bedeutet, Maja fährt schneller als Ben.

Ergebnis:

Ben hat anfangs einen Vorsprung von 50 km. Da Maja aber schneller fährt, holt sie ihn ein. Der Schnittpunkt der Geraden zeigt den Zeitpunkt, an dem Maja Ben überholt.

Beispiel 4

Aufgabe

Der Graph zeigt die Kosten für zwei verschiedene Stromtarife (Tarif A und Tarif B) in Abhängigkeit vom Verbrauch. Beschreibe die Tarife.

Zwei Geraden für Stromtarif A und B in Abhängigkeit vom Verbrauch

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Achsenbeschriftung verstehen
Der Graph zeigt die monatlichen Kosten in Euro in Abhängigkeit vom Stromverbrauch in Kilowattstunden (kWh).
2
Schritt 2
Startpunkte beschreiben
- Tarif A startet bei 20 €. Das bedeutet, es gibt eine hohe Grundgebühr von 20 €, auch wenn man keinen Strom verbraucht.
- Tarif B startet bei 5 €. Hier gibt es eine niedrige Grundgebühr von nur 5 €.
Schritt 3 · Ergebnis
Verlauf beschreiben
Beide Geraden steigen, da mehr Verbrauch mehr kostet. Die Gerade von Tarif A ist flacher. Das bedeutet, der Preis pro verbrauchter kWh ist hier niedriger. Die Gerade von Tarif B ist steiler, der Preis pro kWh ist also höher.

Ergebnis:

Tarif B ist für Leute mit sehr geringem Verbrauch günstiger, wegen der niedrigen Grundgebühr. Tarif A lohnt sich für Leute mit hohem Verbrauch, da der Preis pro kWh günstiger ist. Der Schnittpunkt zeigt, bei welchem Verbrauch beide Tarife gleich viel kosten.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Heißluftballon und ein Gleitschirmflieger verlieren an Höhe. Der Graph zeigt ihre jeweilige Höhe über dem Boden. Beschreibe die Situation.

Zwei Geraden für Ballon und Gleitschirmflieger beim Sinken

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Achsenbeschriftung verstehen
Der Graph zeigt die Höhe in Metern über die Zeit in Minuten.
2
Schritt 2
Startpunkte beschreiben
- Der Heißluftballon startet auf einer Höhe von 800 m.
- Der Gleitschirmflieger startet auf einer niedrigeren Höhe von 600 m.
Schritt 3
Verlauf beschreiben
Beide Geraden fallen, also verlieren beide an Höhe. Die Gerade des Gleitschirmfliegers ist steiler. Das bedeutet, er sinkt schneller als der Ballon.
4
Schritt 4 · Ergebnis
Endpunkte (Nullstellen) beschreiben
- Der Gleitschirmflieger erreicht den Boden (Höhe 0 m) nach 10 Minuten.
- Der Ballon erreicht den Boden erst nach 20 Minuten.

Ergebnis:

Obwohl der Ballon höher startet, sinkt er langsamer. Der Gleitschirmflieger startet tiefer und sinkt viel schneller, weshalb er deutlich früher landet.

Wichtige Erkenntnisse

Die Grundformel für lineare Zusammenhänge im Sachkontext ist immer $f(x) = mx + b$ .
Die Steigung m ist die Änderungsrate (z. B. „pro Stunde", „pro Stück"). Eine Abnahme bedeutet eine negative Steigung.
Der y-Achsenabschnitt b ist der Startwert oder eine feste Grundgebühr.
Zwei Wertepaare aus einem Text (z. B. nach 2 h $\to$ 5 km) sind zwei Punkte, mit denen du eine Gerade zeichnen kannst.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Anfang der Geschichte ( $x=0$ ).
Der Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) ist das Ende, an dem der Wert Null wird ( $y=0$ ).

Lineare Funktionen im Sachkontext einfach erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Funktionsgleichung aus einem Text aufstellen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Gerade aus Sachkontext zeichnen und Werte ablesen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Graphen im Sachkontext beschreiben

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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