Was ist das Additionsverfahren beim LGS?

Das Additionsverfahren ist eine Methode, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Du multiplizierst eine oder beide Gleichungen so, dass die Koeffizienten einer Variablen zu Gegenzahlen werden. Dann addierst du die Gleichungen – diese Variable fällt weg. Aus der verbleibenden Gleichung kannst du die erste Variable berechnen und anschließend die zweite durch Einsetzen bestimmen.

Wie erkennst du, dass ein LGS keine Lösung hat?

Wenn du beim Additionsverfahren beide Gleichungen addierst und beide Variablen wegfallen , schau auf die rechte Seite der übrigen Gleichung. Steht dort eine Zahl ungleich null – zum Beispiel 0 = −3 – handelt es sich um einen Widerspruch . Diese Aussage ist immer falsch, also hat das LGS keine Lösung . Geometrisch bedeutet das: Die beiden Geraden sind parallel und schneiden sich nie.

Wie erkennst du, dass ein LGS unendlich viele Lösungen hat?

Fallen beim Additionsverfahren beide Variablen weg und lautet das Ergebnis 0 = 0 , ist das eine wahre Aussage . Sie gilt für jeden beliebigen x- und y-Wert, daher hat das LGS unendlich viele Lösungen. Geometrisch beschreiben beide Gleichungen dieselbe Gerade – jeder Punkt darauf ist eine Lösung.

Wie gehst du bei einem LGS mit Parameter vor?

Behandle den Parameter (z. B. a , k , t ) zunächst wie eine gewöhnliche Zahl und führe das Additionsverfahren durch. Du erhältst eine Gleichung der Form 0 = Ausdruck mit Parameter . Für unendlich viele Lösungen muss dieser Ausdruck gleich null sein, für keine Lösung darf er nicht null sein. Löse anschließend nach dem Parameter auf.

Was ist der Unterschied zwischen keiner Lösung und unendlich vielen Lösungen beim LGS?

Der Unterschied liegt im Ergebnis nach dem Addieren: Bei keiner Lösung entsteht ein Widerspruch wie 0 = 5 – eine falsch Aussage. Bei unendlich vielen Lösungen entsteht eine wahre Aussage wie 0 = 0 . In beiden Fällen fallen alle Variablen weg; nur das Ergebnis auf der rechten Seite entscheidet, welcher Fall vorliegt.

LGS Lösungen bestimmen: Additionsverfahren

Lineare Gleichungssysteme klingen erstmal super theoretisch – aber im Grunde ist es wie Detektivarbeit. Du hast zwei Hinweise (die Gleichungen) und suchst nach einer Lösung, die für beide Hinweise gleichzeitig gilt. Manchmal gibt es genau einen Täter (eine Lösung), manchmal eine ganze Bande (unendlich viele Lösungen) und manchmal war es niemand (keine Lösung). Das Additionsverfahren ist dein cleverstes Werkzeug, um diese Fälle beim LGS schnell und sicher zu unterscheiden. Es ist ein systematischer Trick, der dir in jeder Klausur wertvolle Punkte sichert.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Lineares Gleichungssystem (LGS): Das sind zwei oder mehr lineare Gleichungen, die zusammengehören. Wir suchen Zahlen für die Variablen, die alle Gleichungen gleichzeitig wahr machen.
- Beispiel: $\text{(I)}: x + y = 3$ und $\text{(II)}: 2x - y = 0$
Äquivalenzumformung: Das bedeutet, du darfst eine Gleichung verändern, solange sich ihre Lösung nicht ändert. Das Wichtigste für uns: Du darfst die gesamte Gleichung (beide Seiten!) mit derselben Zahl multiplizieren oder durch sie teilen.
- Beispiel: Die Gleichung $x + 2y = 5$ ist gleichwertig zu $2x + 4y = 10$ (alles wurde mit 2 multipliziert).
Gegenzahlen: Das sind zwei Zahlen, die zusammen Null ergeben.
- Beispiel: 5 und $-5$ sind Gegenzahlen, denn $5 + (-5) = 0$ . Genauso sind $-3y$ und $+3y$ Gegenzahlen.

Aufgabentyp 1: Genau eine Lösung bestimmen

Das ist der Standardfall beim LGS mit dem Additionsverfahren. Zwei Geraden, die sich in genau einem Punkt schneiden. Unser Ziel beim Additionsverfahren ist es, eine Variable zu eliminieren, um die andere berechnen zu können. Wenn wir am Ende für jede Variable genau einen Wert herausbekommen, gibt es genau eine Lösung.

So sieht das Ergebnis aus: Nach dem Rechnen erhältst du eine klare Lösung, z.B. $x=2$ und $y=3$ . Das ist der Schnittpunkt (2|3).

Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gleichungen vorbereiten: Multipliziere eine oder beide Gleichungen so, dass die Koeffizienten einer Variablen zu Gegenzahlen werden (z.B. $3y$ und $-3y$ ).
Gleichungen addieren: Addiere die linke Seite der ersten Gleichung zur linken Seite der zweiten und die rechte Seite der ersten zur rechten Seite der zweiten. Die Variable mit den Gegenzahlen fällt dadurch weg.
Erste Variable berechnen: Die neue Gleichung hat nur noch eine Variable. Löse sie nach dieser Variable auf.
Zweite Variable berechnen: Setze den eben berechneten Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und löse nach der zweiten Variable auf.
Lösungsmenge angeben: Gib die Lösung als Zahlenpaar (x|y) an und formuliere den Antwortsatz, dass es genau eine Lösung gibt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 6x - 3y = 8$

$\text{(II)}: 1,5x + 1,5y = 0,5$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir wollen, dass eine Variable wegfällt. Die Koeffizienten von y sind $-3$ und $1,5$ . Wenn wir die zweite Gleichung mit 2 multiplizieren, wird aus $1,5y$ der Wert $3y$ , was die Gegenzahl zu $-3y$ ist.

$\text{(II)}: 1,5x + 1,5y = 0,5 \quad | \cdot 2$

$\text{(II')}: 3x + 3y = 1$
Schritt 2
Gleichungen addieren
Jetzt addieren wir die Gleichung (I) und die neue Gleichung (II').

$\begin{array}{crcl}& (I) & 6x - 3y & = & 8 \\+ & (II') & 3x + 3y & = & 1 \\ \hline & & 9x + 0y & = & 9 \end{array}$
Schritt 3
Erste Variable berechnen
Es bleibt $9x = 9$ übrig. Das lösen wir nach x auf.

$9x = 9 \quad | \div 9$

$x = 1$
Schritt 4
Zweite Variable berechnen
Wir setzen $x=1$ in die ursprüngliche Gleichung (I) ein.

$6x - 3y = 8$

$6 \cdot (1) - 3y = 8$

$6 - 3y = 8 \quad | - 6$

$-3y = 2 \quad | \div (-3)$

$y = -\frac{2}{3}$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Wir haben einen eindeutigen Wert für x und y. Die Lösung ist (1 | -2/3).

Ergebnis:

Das LGS hat genau eine Lösung.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 2x + 4y = 10$

$\text{(II)}: 3x - 2y = 1$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Die Koeffizienten von y sind $4$ und $-2$ . Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit 2, damit aus $-2y$ die Gegenzahl $-4y$ wird.

$\text{(II)}: 3x - 2y = 1 \quad | \cdot 2$

$\text{(II')}: 6x - 4y = 2$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$\begin{array}{crcl}& (I) & 2x + 4y & = & 10 \\+ & (II') & 6x - 4y & = & 2 \\ \hline & & 8x + 0y & = & 12 \end{array}$
Schritt 3
Erste Variable berechnen
$8x = 12 \quad | \div 8$

$x = \frac{12}{8} = 1,5$
Schritt 4
Zweite Variable berechnen
Wir setzen $x=1,5$ in die ursprüngliche Gleichung (I) ein.

$2 \cdot (1,5) + 4y = 10$

$3 + 4y = 10 \quad | - 3$

$4y = 7 \quad | \div 4$

$y = \frac{7}{4} = 1,75$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Die Lösung ist (1,5 | 1,75).

Ergebnis:

Das LGS hat genau eine Lösung.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 5x + 3y = 9$

$\text{(II)}: 2x - y = 8$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Die Koeffizienten von y sind $3$ und $-1$ . Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit 3, damit aus $-1y$ die Gegenzahl $-3y$ wird.

$\text{(II)}: 2x - y = 8 \quad | \cdot 3$

$\text{(II')}: 6x - 3y = 24$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$\begin{array}{crcl}& (I) & 5x + 3y & = & 9 \\+ & (II') & 6x - 3y & = & 24 \\ \hline & & 11x + 0y & = & 33 \end{array}$
Schritt 3
Erste Variable berechnen
$11x = 33 \quad | \div 11$

$x = 3$
Schritt 4
Zweite Variable berechnen
Wir setzen $x=3$ in die ursprüngliche Gleichung (II) ein.

$2 \cdot (3) - y = 8$

$6 - y = 8 \quad | - 6$

$-y = 2 \quad | \cdot (-1)$

$y = -2$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Die Lösung ist (3 | -2).

Ergebnis:

Das LGS hat genau eine Lösung.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: -x + 2y = 5$

$\text{(II)}: x + y = 1$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Die Koeffizienten von x sind $-1$ und $1$ . Sie sind bereits Gegenzahlen! Wir müssen nichts vorbereiten.
Schritt 2
Gleichungen addieren
$\begin{array}{crcl}& (I) & -x + 2y & = & 5 \\+ & (II) & x + y & = & 1 \\ \hline & & 0x + 3y & = & 6 \end{array}$
Schritt 3
Erste Variable berechnen
$3y = 6 \quad | \div 3$

$y = 2$
Schritt 4
Zweite Variable berechnen
Wir setzen $y=2$ in die ursprüngliche Gleichung (II) ein.

$x + 2 = 1 \quad | - 2$

$x = -1$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Die Lösung ist (-1 | 2).

Ergebnis:

Das LGS hat genau eine Lösung.

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 4x - 5y = 23$

$\text{(II)}: 3x + 2y = 6$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Hier ist es nicht so einfach. Wir müssen beide Gleichungen multiplizieren. Wir eliminieren y. Die Koeffizienten sind $-5$ und $2$ . Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 10. Wir multiplizieren (I) mit 2 und (II) mit 5.

$\text{(I)}: 4x - 5y = 23 \quad | \cdot 2 \quad \to \quad \text{(I')}: 8x - 10y = 46$

$\text{(II)}: 3x + 2y = 6 \quad | \cdot 5 \quad \to \quad \text{(II')}: 15x + 10y = 30$

Jetzt haben wir $-10y$ und $10y$ .
Schritt 2
Gleichungen addieren
$\begin{array}{crcl}& (I') & 8x - 10y & = & 46 \\+ & (II') & 15x + 10y & = & 30 \\ \hline & & 23x + 0y & = & 76 \end{array}$
Schritt 3
Erste Variable berechnen
$23x = 76 \quad | \div 23$

$x = \frac{76}{23}$
Schritt 4
Zweite Variable berechnen
Wir setzen $x=\frac{76}{23}$ in die ursprüngliche Gleichung (II) ein.

$3 \cdot (\frac{76}{23}) + 2y = 6$

$\frac{228}{23} + 2y = 6 \quad | - \frac{228}{23}$

$2y = \frac{138}{23} - \frac{228}{23} = -\frac{90}{23} \quad | \div 2$

$y = -\frac{45}{23}$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Die Lösung ist $(\frac{76}{23} | -\frac{45}{23})$ .

Ergebnis:

Das LGS hat genau eine Lösung.

Aufgabentyp 2: Keine Lösung bestimmen

Manchmal passen die Hinweise einfach nicht zusammen. Geometrisch bedeutet das, die beiden Geraden sind parallel zueinander. Sie haben die gleiche Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte und werden sich daher niemals schneiden.

So sieht das Ergebnis aus: Beim Additionsverfahren passiert etwas Seltsames: Nicht nur eine, sondern beide Variablen fallen weg. Übrig bleibt eine Aussage, die immer falsch ist, ein sogenannter Widerspruch.

Beispiel: $0 = -3$

Diese Gleichung ist offensichtlich falsch. Wenn das passiert, wissen wir sofort: Es gibt keine Lösung.

Zwei parallele Geraden ohne Schnittpunkt

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gleichungen vorbereiten: Multipliziere eine oder beide Gleichungen so, dass die Koeffizienten einer Variablen zu Gegenzahlen werden (z.B. $2x$ und $-2x$ ).
Gleichungen addieren: Addiere die beiden Gleichungen. Du wirst feststellen, dass beide Variablen wegfallen.
Widerspruch erkennen: Auf der linken Seite steht jetzt eine 0. Auf der rechten Seite steht eine Zahl, die nicht Null ist (z.B. 5, $-3$ , …). Die Gleichung lautet also z.B. $0 = 5$ . Das ist eine falsche Aussage.
Schlussfolgerung ziehen: Da die resultierende Aussage ein Widerspruch ist, kann das Gleichungssystem keine Lösung haben.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 1,5x - 12y = 0$

$\text{(II)}: -\frac{3}{2}x + 12y = -3$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir schauen uns die Koeffizienten an. Bei y haben wir $-12$ und $12$ . Das sind bereits Gegenzahlen. Perfekt!

Außerdem ist $1,5x$ das Gleiche wie $\frac{3}{2}x$ . Die x-Koeffizienten sind also auch schon Gegenzahlen.
Schritt 2
Gleichungen addieren
Wir addieren (I) und (II) direkt.

$\begin{array}{crcl}& (I) & 1,5x - 12y & = & 0 \\+ & (II) & -1,5x + 12y & = & -3 \\ \hline & & 0x + 0y & = & -3 \end{array}$
Schritt 3
Widerspruch erkennen
Das Ergebnis ist die Gleichung:

$0 = -3$

Das ist eine falsche Aussage, denn 0 ist nicht gleich -3.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Weil wir einen Widerspruch erhalten haben, gibt es keine Werte für x und y, die beide Gleichungen erfüllen können.

Ergebnis:

Das LGS hat keine Lösung.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 2x - 4y = 6$

$\text{(II)}: -x + 2y = -4$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir wollen x eliminieren. Die Koeffizienten sind $2$ und $-1$ . Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit 2.

$\text{(II)}: -x + 2y = -4 \quad | \cdot 2$

$\text{(II')}: -2x + 4y = -8$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$\begin{array}{crcl}& (I) & 2x - 4y & = & 6 \\+ & (II') & -2x + 4y & = & -8 \\ \hline & & 0x + 0y & = & -2 \end{array}$
Schritt 3
Widerspruch erkennen
Das Ergebnis ist die Gleichung:

$0 = -2$

Dies ist eine falsche Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Der Widerspruch zeigt, dass das LGS keine Lösung hat.

Ergebnis:

Das LGS hat keine Lösung.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: y = 3x + 5$

$\text{(II)}: 6x - 2y = 2$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Zuerst bringen wir Gleichung (I) in die gleiche Form wie (II), also $ax + by = c$ .

$\text{(I)}: y = 3x + 5 \quad | - 3x$

$\text{(I')}: -3x + y = 5$

Jetzt vergleichen wir (I') mit (II): $\text{(I')}: -3x + 1y = 5$ und $\text{(II)}: 6x - 2y = 2$ . Wir multiplizieren (I') mit 2.

$\text{(I')}: -3x + y = 5 \quad | \cdot 2$

$\text{(I'')}: -6x + 2y = 10$
Schritt 2
Gleichungen addieren
Wir addieren (I'') und (II).

$\begin{array}{crcl}& (I'') & -6x + 2y & = & 10 \\+ & (II) & 6x - 2y & = & 2 \\ \hline & & 0x + 0y & = & 12 \end{array}$
Schritt 3
Widerspruch erkennen
Das Ergebnis ist die Gleichung:

$0 = 12$

Dies ist eine falsche Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Der Widerspruch zeigt, dass das LGS keine Lösung hat.

Ergebnis:

Das LGS hat keine Lösung.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 4x - 6y = 8$

$\text{(II)}: 6x - 9y = 10$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir wollen x eliminieren. Die Koeffizienten sind $4$ und $6$ . Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 12. Wir multiplizieren (I) mit 3 und (II) mit -2, um Gegenzahlen zu erhalten.

$\text{(I)}: 4x - 6y = 8 \quad | \cdot 3 \quad \to \quad \text{(I')}: 12x - 18y = 24$

$\text{(II)}: 6x - 9y = 10 \quad | \cdot (-2) \quad \to \quad \text{(II')}: -12x + 18y = -20$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$\begin{array}{crcl}& (I') & 12x - 18y & = & 24 \\+ & (II') & -12x + 18y & = & -20 \\ \hline & & 0x + 0y & = & 4 \end{array}$
Schritt 3
Widerspruch erkennen
Das Ergebnis ist die Gleichung:

$0 = 4$

Dies ist eine falsche Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Der Widerspruch zeigt, dass das LGS keine Lösung hat.

Ergebnis:

Das LGS hat keine Lösung.

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: x = 5y - 1$

$\text{(II)}: 2x - 10y = 3$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir formen Gleichung (I) um.

$\text{(I)}: x = 5y - 1 \quad | - 5y$

$\text{(I')}: x - 5y = -1$

Jetzt vergleichen wir (I') mit (II). Wir multiplizieren (I') mit -2.

$\text{(I')}: x - 5y = -1 \quad | \cdot (-2)$

$\text{(I'')}: -2x + 10y = 2$
Schritt 2
Gleichungen addieren
Wir addieren (I'') und (II).

$\begin{array}{crcl}& (I'') & -2x + 10y & = & 2 \\+ & (II) & 2x - 10y & = & 3 \\ \hline & & 0x + 0y & = & 5 \end{array}$
Schritt 3
Widerspruch erkennen
Das Ergebnis ist die Gleichung:

$0 = 5$

Dies ist eine falsche Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Der Widerspruch zeigt, dass das LGS keine Lösung hat.

Ergebnis:

Das LGS hat keine Lösung.

Aufgabentyp 3: Unendlich viele Lösungen bestimmen

Dieser Fall tritt auf, wenn beide Gleichungen nur auf den ersten Blick unterschiedlich aussehen, aber in Wirklichkeit dieselbe Gerade beschreiben. Eine Gleichung ist nur ein Vielfaches der anderen. Jeder Punkt auf dieser Geraden ist eine Lösung.

So sieht das Ergebnis aus: Ähnlich wie beim Fall „keine Lösung" fallen auch hier beide Variablen beim Addieren weg. Der Unterschied ist, dass am Ende eine Aussage übrig bleibt, die immer wahr ist.

Beispiel: $0 = 0$

Diese Gleichung ist immer wahr. Wenn das passiert, wissen wir: Es gibt unendlich viele Lösungen.

Zwei deckungsgleiche Geraden mit unendlich vielen Lösungen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gleichungen vorbereiten: Multipliziere eine oder beide Gleichungen so, dass die Koeffizienten einer Variablen zu Gegenzahlen werden (z.B. 4y und $-4y$ ).
Gleichungen addieren: Addiere die beiden Gleichungen. Du wirst feststellen, dass beide Variablen wegfallen.
Wahre Aussage erkennen: Auf der linken Seite steht jetzt eine 0. Auf der rechten Seite steht ebenfalls eine 0. Die Gleichung lautet also $0 = 0$ . Das ist eine wahre Aussage.
Schlussfolgerung ziehen: Da die resultierende Aussage immer wahr ist, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 2x - 3y = 4$

$\text{(II)}: -2x + 3y = -4$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Die Koeffizienten von x ( $2$ und $-2$ ) und y ( $-3$ und $3$ ) sind bereits Gegenzahlen. Wir können direkt addieren.
Schritt 2
Gleichungen addieren
$\begin{array}{crcl}& (I) & 2x - 3y & = & 4 \\+ & (II) & -2x + 3y & = & -4 \\ \hline & & 0x + 0y & = & 0 \end{array}$
Schritt 3
Wahre Aussage erkennen
Das Ergebnis ist die Gleichung:

$0 = 0$

Das ist eine wahre Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Weil wir eine wahre Aussage erhalten haben, gibt es unendlich viele Lösungen.

Ergebnis:

Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 4x + 8y = 12$

$\text{(II)}: x + 2y = 3$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir wollen x eliminieren. Die Koeffizienten sind $4$ und $1$ . Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit -4.

$\text{(II)}: x + 2y = 3 \quad | \cdot (-4)$

$\text{(II')}: -4x - 8y = -12$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$\begin{array}{crcl}& (I) & 4x + 8y & = & 12 \\+ & (II') & -4x - 8y & = & -12 \\ \hline & & 0x + 0y & = & 0 \end{array}$
Schritt 3
Wahre Aussage erkennen
Das Ergebnis ist die Gleichung:

$0 = 0$

Dies ist eine wahre Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Die wahre Aussage zeigt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Ergebnis:

Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 3x - y = 7$

$\text{(II)}: -1,5x + 0,5y = -3,5$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir wollen y eliminieren. Die Koeffizienten sind $-1$ und $0,5$ . Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit 2.

$\text{(II)}: -1,5x + 0,5y = -3,5 \quad | \cdot 2$

$\text{(II')}: -3x + y = -7$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$\begin{array}{crcl}& (I) & 3x - y & = & 7 \\+ & (II') & -3x + y & = & -7 \\ \hline & & 0x + 0y & = & 0 \end{array}$
Schritt 3
Wahre Aussage erkennen
Das Ergebnis ist die Gleichung:

$0 = 0$

Dies ist eine wahre Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Die wahre Aussage zeigt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Ergebnis:

Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: y = 2x - 3$

$\text{(II)}: 4x - 2y = 6$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir formen Gleichung (I) um.

$\text{(I)}: y = 2x - 3 \quad | - 2x$

$\text{(I')}: -2x + y = -3$

Jetzt vergleichen wir (I') mit (II). Wir multiplizieren (I') mit -2.

$\text{(I')}: -2x + y = -3 \quad | \cdot (-2)$

$\text{(I'')}: 4x - 2y = 6$

Die Gleichungen (I'') und (II) sind identisch. Wir addieren sie trotzdem, um das Ergebnis formal zu zeigen. Wir addieren (I'') und die mit -1 multiplizierte Gleichung (II).

$\text{(II)}: 4x - 2y = 6 \quad | \cdot (-1) \quad \to \quad \text{(II')}: -4x + 2y = -6$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$\begin{array}{crcl}& (I'') & 4x - 2y & = & 6 \\+ & (II') & -4x + 2y & = & -6 \\ \hline & & 0x + 0y & = & 0 \end{array}$
Schritt 3
Wahre Aussage erkennen
$0 = 0$

Dies ist eine wahre Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen

Ergebnis:

Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 5x + 10y = 15$

$\text{(II)}: 3x + 6y = 9$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichungen vorbereiten
Wir wollen x eliminieren. Die Koeffizienten sind $5$ und $3$ . Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 15. Wir multiplizieren (I) mit 3 und (II) mit -5.

$\text{(I)}: 5x + 10y = 15 \quad | \cdot 3 \quad \to \quad \text{(I')}: 15x + 30y = 45$

$\text{(II)}: 3x + 6y = 9 \quad | \cdot (-5) \quad \to \quad \text{(II')}: -15x - 30y = -45$
Schritt 2
Gleichungen addieren
$\begin{array}{crcl}& (I') & 15x + 30y & = & 45 \\+ & (II') & -15x - 30y & = & -45 \\ \hline & & 0x + 0y & = & 0 \end{array}$
Schritt 3
Wahre Aussage erkennen
$0 = 0$

Dies ist eine wahre Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen

Ergebnis:

Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Aufgabentyp 4: LGS mit Parameter lösen

Manchmal enthält eine Gleichung einen zusätzlichen Buchstaben, einen sogenannten Parameter (z.B. a, k, t). Deine Aufgabe ist es, den Wert dieses Parameters so zu bestimmen, dass das LGS eine bestimmte Anzahl von Lösungen hat (z.B. unendlich viele).

Die Strategie:

Behandle den Parameter zunächst wie eine ganz normale Zahl.
Führe das Additionsverfahren wie gewohnt durch. Am Ende erhältst du eine Gleichung, in der der Parameter noch vorkommt (z.B. $0 = a + 3$ ).
Überlege, was diese Gleichung bedeuten muss, um die Anforderung zu erfüllen:
- Für unendlich viele Lösungen muss eine wahre Aussage entstehen, also $0 = 0$ .
- Für keine Lösung muss eine falsche Aussage entstehen, also $0 = \text{irgendwas anderes}$ .
Löse die kleine Gleichung nach dem Parameter auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Additionsverfahren durchführen: Bereite die Gleichungen vor und addiere sie, so wie du es gelernt hast. Behandle den Parameter dabei wie eine feste Zahl. Das Ziel ist, dass beide Variablen wegfallen.
Ergebnisgleichung aufstellen: Nach der Addition erhältst du eine Gleichung der Form $0 = \text{Ausdruck mit Parameter}$ , zum Beispiel $0 = a + 3$ .
Bedingung formulieren: Soll es unendlich viele Lösungen geben? Dann muss der Ausdruck auf der rechten Seite gleich Null sein. Soll es keine Lösung geben? Dann darf der Ausdruck auf der rechten Seite nicht Null sein.
Parameter berechnen: Löse die in Schritt 3 formulierte Gleichung (oder Ungleichung) nach dem Parameter auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist das LGS:

$\text{(I)}: -4x + y = 2$

$\text{(II)}: 6x - 1,5y = a$

Bestimme den Wert von $a$ , für den das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Additionsverfahren durchführen
Wir wollen y eliminieren. Die Koeffizienten sind $1$ und $-1,5$ . Wir multiplizieren Gleichung (I) mit 1,5.

$\text{(I)}: -4x + y = 2 \quad | \cdot 1,5$

$\text{(I')}: -6x + 1,5y = 3$

Jetzt addieren wir (I') und (II).

$\begin{array}{crcl}& (I') & -6x + 1,5y & = & 3 \\+ & (II) & 6x - 1,5y & = & a \\ \hline & & 0x + 0y & = & 3+a \end{array}$
Schritt 2
Ergebnisgleichung aufstellen
Die resultierende Gleichung ist $0 = 3 + a$ .
Schritt 3
Bedingung formulieren
Für unendlich viele Lösungen muss eine wahre Aussage entstehen, also $0 = 0$ . Der rechte Teil der Gleichung muss also Null sein.

Bedingung: $3 + a = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Parameter berechnen
Wir lösen die Bedingung nach $a$ auf.

$3 + a = 0 \quad | - 3$

$a = -3$

Ergebnis:

Für $a = -3$ hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist das LGS:

$\text{(I)}: 2x - 3y = 5$

$\text{(II)}: -4x + 6y = k$

Bestimme den Wert von $k$ , für den das LGS keine Lösung hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Additionsverfahren durchführen
Wir wollen x eliminieren. Wir multiplizieren Gleichung (I) mit 2.

$\text{(I)}: 2x - 3y = 5 \quad | \cdot 2$

$\text{(I')}: 4x - 6y = 10$

Jetzt addieren wir (I') und (II).

$\begin{array}{crcl}& (I') & 4x - 6y & = & 10 \\+ & (II) & -4x + 6y & = & k \\ \hline & & 0x + 0y & = & 10+k \end{array}$
Schritt 2
Ergebnisgleichung aufstellen
Die resultierende Gleichung ist $0 = 10 + k$ .
Schritt 3
Bedingung formulieren
Für keine Lösung muss eine falsche Aussage entstehen, also $0 \neq 0$ . Der rechte Teil der Gleichung darf also nicht Null sein.

Bedingung: $10 + k \neq 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Parameter berechnen
Wir lösen die Bedingung nach $k$ auf.

$10 + k \neq 0 \quad | - 10$

$k \neq -10$

Ergebnis:

Für alle Werte von $k$ außer $-10$ hat das LGS keine Lösung. (Wenn k=-10 wäre, gäbe es unendlich viele Lösungen).

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist das LGS:

$\text{(I)}: 3x + ay = 6$

$\text{(II)}: 6x + 4y = 12$

Bestimme den Wert von $a$ , für den das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Additionsverfahren durchführen
Wir wollen x eliminieren. Wir multiplizieren Gleichung (I) mit -2.

$\text{(I)}: 3x + ay = 6 \quad | \cdot (-2)$

$\text{(I')}: -6x - 2ay = -12$

Jetzt addieren wir (I') und (II).

$\begin{array}{crcl}& (I') & -6x - 2ay & = & -12 \\+ & (II) & 6x + 4y & = & 12 \\ \hline & & 0x - 2ay + 4y & = & 0 \end{array}$
Schritt 2
Ergebnisgleichung aufstellen
Die resultierende Gleichung ist $-2ay + 4y = 0$ . Wir können y ausklammern: $y(-2a + 4) = 0$ .
Schritt 3
Bedingung formulieren
Damit dies für jedes beliebige y eine wahre Aussage ( $0=0$ ) ist, muss der Ausdruck in der Klammer Null sein. Denn wenn die Klammer Null ist, steht da $y \cdot 0 = 0$ , was immer stimmt.

Bedingung: $-2a + 4 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Parameter berechnen
$-2a + 4 = 0 \quad | - 4$

$-2a = -4 \quad | \div (-2)$

$a = 2$

Ergebnis:

Für $a = 2$ hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist das LGS:

$\text{(I)}: x - 2y = 3$

$\text{(II)}: -3x + by = -8$

Bestimme den Wert von $b$ , für den das LGS keine Lösung hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Additionsverfahren durchführen
Wir wollen x eliminieren. Wir multiplizieren Gleichung (I) mit 3.

$\text{(I)}: x - 2y = 3 \quad | \cdot 3$

$\text{(I')}: 3x - 6y = 9$

Jetzt addieren wir (I') und (II).

$\begin{array}{crcl}& (I') & 3x - 6y & = & 9 \\+ & (II) & -3x + by & = & -8 \\ \hline & & 0x - 6y + by & = & 1 \end{array}$
Schritt 2
Ergebnisgleichung aufstellen
Die Gleichung ist $-6y + by = 1$ . Wir klammern y aus: $y(-6 + b) = 1$ .
Schritt 3
Bedingung formulieren
Für keine Lösung muss ein Widerspruch entstehen. Wenn der Ausdruck in der Klammer Null wird, steht da $y \cdot 0 = 1$ , also $0 = 1$ . Das ist der gesuchte Widerspruch.

Bedingung: $-6 + b = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Parameter berechnen
$-6 + b = 0 \quad | + 6$

$b = 6$

Ergebnis:

Für $b = 6$ hat das LGS keine Lösung.

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben ist das LGS:

$\text{(I)}: 5x - 2y = c$

$\text{(II)}: -10x + 4y = 6$

Bestimme den Wert von $c$ , für den das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Additionsverfahren durchführen
Wir wollen x eliminieren. Wir multiplizieren Gleichung (I) mit 2.

$\text{(I)}: 5x - 2y = c \quad | \cdot 2$

$\text{(I')}: 10x - 4y = 2c$

Jetzt addieren wir (I') und (II).

$\begin{array}{crcl}& (I') & 10x - 4y & = & 2c \\+ & (II) & -10x + 4y & = & 6 \\ \hline & & 0x + 0y & = & 2c+6 \end{array}$
Schritt 2
Ergebnisgleichung aufstellen
Die resultierende Gleichung ist $0 = 2c + 6$ .
Schritt 3
Bedingung formulieren
Für unendlich viele Lösungen muss eine wahre Aussage ( $0=0$ ) entstehen. Der rechte Teil muss also Null sein.

Bedingung: $2c + 6 = 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Parameter berechnen
$2c + 6 = 0 \quad | - 6$

$2c = -6 \quad | \div 2$

$c = -3$

Ergebnis:

Für $c = -3$ hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Wichtige Erkenntnisse

Ziel des Additionsverfahrens: Eine Variable durch geschicktes Addieren der Gleichungen eliminieren.
Genau eine Lösung: Du erhältst eindeutige Werte für $x$ und $y$ .
Keine Lösung: Beide Variablen fallen weg und es entsteht eine falsche Aussage (z.B. $0 = 5$ ).
Unendlich viele Lösungen: Beide Variablen fallen weg und es entsteht eine wahre Aussage (z.B. $0 = 0$ ).
Aufgaben mit Parameter: Behandle den Parameter wie eine Zahl und bestimme seinen Wert ganz am Schluss, um die gewünschte Lösungsanzahl zu erzwingen.

LGS Anzahl der Lösungen: Additionsverfahren erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Genau eine Lösung bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Keine Lösung bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Unendlich viele Lösungen bestimmen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: LGS mit Parameter lösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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