Additionsverfahren einfach erklärt: LGS sicher lösen

Stell dir vor, du kaufst 2 Burger und 1 Portion Pommes für $10 \text{ €}$. Dein Freund kauft 2 Burger und 3 Portionen Pommes für $14 \text{ €}$. Wie viel kostet ein Burger und wie viel die Pommes?

Du könntest raten, oder du nutzt einen cleveren Trick: Wenn du die beiden Bestellungen vergleichst, ist der einzige Unterschied $2$ Portionen Pommes und $4 \text{ €}$ beim Preis. Das bedeutet, $2$ Portionen Pommes müssen genau $4 \text{ €}$ kosten!

Dieses logische Kombinieren von Informationen ist das Herzstück des Additionsverfahrens. Es hilft uns, lineare Gleichungssysteme (LGS) schnell zu lösen, indem wir eine Unbekannte einfach verschwinden lassen.

Vorwissen

• Gleichungen umformen: Man darf eine Gleichung auf beiden Seiten mit derselben Zahl multiplizieren.

  Beispiel: $x - y = 2 \quad | \cdot (-3)$ wird zu $-3x + 3y = -6$.

• Lineare Gleichungen lösen: Man isoliert die Variable durch einfache Umformungen.

  Beispiel: $10y = -5 \quad | \div 10$ wird zu $y = -0{,}5$.

Aufgabentyp 1: Das Additionsverfahren anwenden

Wenn wir zwei Gleichungen haben, dürfen wir diese "addieren". Das bedeutet, wir rechnen die linke Seite plus die linke Seite und die rechte Seite plus die rechte Seite.

Warum machen wir das? Unser Ziel ist es, dass beim Addieren eine der beiden Variablen (entweder $x$ oder $y$) genau null ergibt und somit verschwindet!

Damit das klappt, brauchen wir vor einer Variablen Gegenzahlen (wie $\textcolor{#08BFFF}{3}$ und $\textcolor{#08BFFF}{-3}$). Wenn wir dann addieren, heben sie sich auf: $\textcolor{#08BFFF}{3x} + (\textcolor{#08BFFF}{-3x}) = 0$. Oft müssen wir eine Gleichung vorher mit einer Zahl multiplizieren, um diese Gegenzahlen künstlich zu erzeugen.

Grafische Bedeutung: Jede Gleichung steht für eine Gerade im Koordinatensystem. Wenn wir Gleichungen addieren, erschaffen wir eine völlig neue Gerade. Das Besondere daran: Diese neue Gerade verläuft exakt durch denselben Schnittpunkt wie die alten Geraden! Dieser Schnittpunkt ist unsere Lösung.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Variablen ordnen: Bringe beide Gleichungen in die Form, dass $x$ und $y$ auf der linken Seite stehen und die reinen Zahlen auf der rechten Seite. Schreibe sie genau untereinander.
2. Gegenzahlen erzeugen: Multipliziere eine (oder beide) Gleichungen so, dass vor einer Variablen (z. B. $x$) in beiden Gleichungen dieselbe Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen steht (z. B. $3$ und $-3$).
3. Gleichungen addieren: Addiere die beiden Gleichungen senkrecht von oben nach unten. Eine Variable fällt nun weg. Löse die neue Gleichung nach der übrig gebliebenen Variablen auf.
4. Zweite Variable berechnen: Setze das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein und berechne die andere Variable.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Welches Verfahren ist das beste?

Du kennst nun drei Wege, um ein LGS zu lösen: das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Alle drei führen immer zum selben, richtigen Ergebnis!

Aber je nachdem, wie das LGS aufgeschrieben ist, ist ein bestimmter Weg viel schneller und spart dir Rechenarbeit. Schau dir die Gleichungen genau an, bevor du loslegst:

• Gleichsetzungsverfahren: Perfekt, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst sind.

  Beispiel: $(I): \textcolor{#9570FF}{y} = 2x + 1$ und $(II): \textcolor{#9570FF}{y} = 4x - 3$

• Einsetzungsverfahren: Ideal, wenn genau eine Gleichung bereits nach $x$ oder $y$ aufgelöst ist.

  Beispiel: $(I): \textcolor{#53E5D6}{x} = 3y + 1$ und $(II): 25x + 6y = 106$

• Additionsverfahren: Am besten, wenn $x$ und $y$ in beiden Gleichungen schön untereinander auf der linken Seite stehen.

  Beispiel: $(I): \textcolor{#FFCE51}{3x + 7y} = 1$ und $(II): \textcolor{#FFCE51}{x - y} = 2$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Verfahren auswählen: Prüfe, ob die Gleichungen bereits nach einer Variablen aufgelöst sind oder ob die Variablen untereinander stehen.
2. Einsetzen und auflösen: Wende das passende Verfahren an, um eine Variable zu eliminieren und die andere zu berechnen.
3. Zweite Variable berechnen: Setze das Zwischenergebnis in eine der Ausgangsgleichungen ein.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Beim Additionsverfahren multiplizieren wir Gleichungen so, dass vor einer Variablen Gegenzahlen (z. B. $3$ und $-3$) stehen.
• Durch das senkrechte Addieren der Gleichungen fällt diese Variable weg.
• Verfahren clever wählen:
  • Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst ($y = \dots$ und $y = \dots$).
  • Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung ist nach einer Variablen aufgelöst ($x = \dots$).
  • Additionsverfahren: Die Variablen stehen geordnet untereinander ($ax + by = c$).