Additionsverfahren einfach erklärt: LGS lösen

Die Koeffizienten sind nicht entgegengesetzt. Wir wollen die Variable $x$ eliminieren. In Gleichung (I) haben wir $3x$. Um in Gleichung (II) den Gegenspieler $-3x$ zu erzeugen, müssen wir die gesamte Gleichung (II) mit $-3$ multiplizieren.

$\text{(II)}: x - y = 2 \quad | \cdot (-3)$

Das ergibt die neue Gleichung (II'):

$\text{(II')}: -3 \cdot x - (-3) \cdot y = -3 \cdot 2$

$\text{(II')}: -3x + 3y = -6$

Jetzt addieren wir Gleichung (I) und die neue Gleichung (II').

$\begin{array}{ll} \text{(I)}: & 3x + 7y = 1 \\ \text{(II')}: & -3x + 3y = -6 \\ \hline \text{(I)+(II')}: & (3x - 3x) + (7y + 3y) = 1 + (-6) \end{array}$

Die $x$-Terme heben sich auf. Wir lösen die entstandene Gleichung nach $y$ auf.

$10y = -5 \quad | :10$

$y = -0{,}5$

Wir setzen $y = -0{,}5$ in die ursprüngliche, einfachere Gleichung (II) ein.

$\text{(II)}: x - y = 2$

$x - (-0{,}5) = 2$

$x + 0{,}5 = 2 \quad | -0{,}5$

$x = 1{,}5$

Die Lösung des LGS ist $(1{,}5 | -0{,}5)$.

Wir schauen uns die Koeffizienten an. Bei der Variablen $y$ haben wir $-2y$ und $+2y$. Sie sind bereits entgegengesetzt. Perfekt, wir müssen nichts multiplizieren!

Wir können die Gleichungen direkt addieren.

$\begin{array}{ll} \text{(I)}: & 5x - 2y = 10 \\ \text{(II)}: & 3x + 2y = 22 \\ \hline \text{(I)+(II)}: & (5x + 3x) + (-2y + 2y) = 10 + 22 \end{array}$

Die $y$-Terme fallen weg. Wir lösen nach $x$ auf.

$8x = 32 \quad | :8$

$x = 4$

Wir setzen $x = 4$ in die Gleichung (I) ein.

$\text{(I)}: 5x - 2y = 10$

$5 \cdot (4) - 2y = 10$

$20 - 2y = 10 \quad | -20$

$-2y = -10 \quad | :(-2)$

$y = 5$

Die Lösung des LGS ist $(4 | 5)$.

Hier ist kein Koeffizient ein direktes Vielfaches des anderen. Wir müssen beide Gleichungen anpassen. Wir entscheiden uns, die Variable $x$ zu eliminieren. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6. Wir wollen also $+6x$ und $-6x$ erzeugen.

• Wir multiplizieren Gleichung (I) mit $3$.
• Wir multiplizieren Gleichung (II) mit $-2$.

$\text{(I)}: 2x + 3y = 7 \quad | \cdot 3 \quad \to \quad \text{(I')}: 6x + 9y = 21$

$\text{(II)}: 3x + 5y = 11 \quad | \cdot (-2) \quad \to \quad \text{(II')}: -6x - 10y = -22$

Jetzt addieren wir die beiden neuen Gleichungen (I') und (II').

$\begin{array}{ll} \text{(I')}: & 6x + 9y = 21 \\ \text{(II')}: & -6x - 10y = -22 \\ \hline \text{(I')+(II')}: & (6x - 6x) + (9y - 10y) = 21 - 22 \end{array}$

Die $x$-Terme fallen weg. Wir lösen nach $y$ auf.

$-y = -1 \quad | \cdot (-1)$

$y = 1$

Wir setzen $y = 1$ in die ursprüngliche Gleichung (I) ein.

$\text{(I)}: 2x + 3y = 7$

$2x + 3 \cdot (1) = 7$

$2x + 3 = 7 \quad | -3$

$2x = 4 \quad | :2$

$x = 2$

Die Lösung des LGS ist $(2 | 1)$.

Wir wollen die Variable $b$ eliminieren. In Gleichung (I) steht $3b$. Wir brauchen also in Gleichung (II) den Term $-3b$. Dazu multiplizieren wir Gleichung (II) mit $-3$.

$\text{(II)}: b + 3l = 9 \quad | \cdot (-3)$

$\text{(II')}: -3b - 9l = -27$

Wir addieren (I) und (II').

$\begin{array}{ll} \text{(I)}: & 3b + 2l = 13 \\ \text{(II')}: & -3b - 9l = -27 \\ \hline \text{(I)+(II')}: & (3b - 3b) + (2l - 9l) = 13 - 27 \end{array}$

Die $b$-Terme fallen weg. Wir lösen nach $l$ auf.

$-7l = -14 \quad | :(-7)$

$l = 2$

Eine Limonade kostet also 2 €.

Wir setzen $l = 2$ in die ursprüngliche Gleichung (II) ein.

$\text{(II)}: b + 3l = 9$

$b + 3 \cdot (2) = 9$

$b + 6 = 9 \quad | -6$

$b = 3$

Ein Burger kostet also 3 €.

Die Lösung ist $(3 | 2)$. Ein Burger kostet 3 € und eine Limonade 2 €.

Wir wollen die Variable $y$ eliminieren. In Gleichung (I) haben wir $-y$ (also $-1y$) und in Gleichung (II) $+4y$. Um Gegenspieler zu erzeugen, müssen wir aus $-y$ ein $-4y$ machen. Dazu multiplizieren wir die gesamte Gleichung (I) mit $4$.

$\text{(I)}: \frac{1}{2}x - y = 1 \quad | \cdot 4$

$\text{(I')}: 4 \cdot \frac{1}{2}x - 4 \cdot y = 4 \cdot 1$

$\text{(I')}: 2x - 4y = 4$

Jetzt addieren wir die neue Gleichung (I') und die ursprüngliche Gleichung (II).

$\begin{array}{ll} \text{(I')}: & 2x - 4y = 4 \\ \text{(II)}: & x + 4y = 14 \\ \hline \text{(I')+(II)}: & (2x + x) + (-4y + 4y) = 4 + 14 \end{array}$

Die $y$-Terme heben sich auf. Wir lösen nach $x$ auf.

$3x = 18 \quad | :3$

$x = 6$

Wir setzen $x = 6$ in die ursprüngliche Gleichung (II) ein.

$\text{(II)}: x + 4y = 14$

$6 + 4y = 14 \quad | -6$

$4y = 8 \quad | :4$

$y = 2$

Die Lösung des LGS ist $(6 | 2)$.

Die Gleichung (I) ist bereits nach der Variable $x$ aufgelöst. Das ist das perfekte Signal für das Einsetzungsverfahren. Wir können den Term für $x$ direkt in Gleichung (II) einsetzen.

Wir setzen den Term $3y + 1$ für $x$ in Gleichung (II) ein:

$\text{(II)}: 25x + 6y = 106$

$25 \cdot (3y + 1) + 6y = 106$

Jetzt lösen wir nach $y$ auf:

$75y + 25 + 6y = 106$

$81y + 25 = 106 \quad | -25$

$81y = 81 \quad | :81$

$y = 1$

Nun setzen wir $y=1$ in die umgestellte Gleichung (I) ein, um $x$ zu finden:

$\text{(I)}: x = 3y + 1$

$x = 3 \cdot (1) + 1$

$x = 4$

Die Lösung des LGS ist $(4 | 1)$. Wir haben das Einsetzungsverfahren gewählt, weil eine Gleichung bereits nach einer Variable aufgelöst war.

Die Variablen stehen sauber untereinander. Die Koeffizienten von $x$ sind $+4$ und $-4$. Sie sind bereits entgegengesetzt. Das ist ein klares Signal für das Additionsverfahren.

Wir addieren die beiden Gleichungen direkt:

$\begin{array}{ll} \text{(I)}: & 4x - 3y = 11 \\ \text{(II)}: & -4x + 5y = -13 \\ \hline \text{(I)+(II)}: & (4x - 4x) + (-3y + 5y) = 11 - 13 \end{array}$

$2y = -2 \quad | :2$

$y = -1$

Wir setzen $y = -1$ in Gleichung (I) ein:

$\text{(I)}: 4x - 3y = 11$

$4x - 3 \cdot (-1) = 11$

$4x + 3 = 11 \quad | -3$

$4x = 8 \quad | :4$

$x = 2$

Die Lösung ist $(2 | -1)$. Das Additionsverfahren war am besten geeignet, da die Koeffizienten von $x$ bereits entgegengesetzt waren.

Beide Gleichungen sind nach derselben Variable, $y$, aufgelöst. Das ist der Idealfall für das Gleichsetzungsverfahren.

Wir setzen die rechten Seiten der Gleichungen gleich:

$2x - 3 = -0{,}5x + 2 \quad | +0{,}5x$

$2{,}5x - 3 = 2 \quad | +3$

$2{,}5x = 5 \quad | :2{,}5$

$x = 2$

Wir setzen $x=2$ in die erste Gleichung ein:

$\text{(I)}: y = 2x - 3$

$y = 2 \cdot (2) - 3$

$y = 4 - 3$

$y = 1$

Die Lösung ist $(2 | 1)$. Das Gleichsetzungsverfahren war am besten, da beide Gleichungen bereits nach $y$ aufgelöst waren.

Hier sind zwei Wege gut möglich:

• Weg A (Einsetzen): Man kann Gleichung (I) sehr leicht nach $y$ umstellen: $y = 5 - 2x$. Dann kann man das Einsetzungsverfahren nutzen.
• Weg B (Addieren): Die Terme stehen gut untereinander. Man könnte Gleichung (I) mit 4 multiplizieren, um $4y$ zu erhalten, was der Gegenspieler zu $-4y$ in (II) ist.

Beide Wege sind gut. Wir wählen hier das Additionsverfahren, da es oft weniger fehleranfällig bei der Substitution ist.

Wir multiplizieren Gleichung (I) mit 4:

$\text{(I)}: 2x + y = 5 \quad | \cdot 4$

$\text{(I')}: 8x + 4y = 20$

Jetzt addieren wir (I') und (II):

$\begin{array}{ll} \text{(I')}: & 8x + 4y = 20 \\ \text{(II)}: & 3x - 4y = 2 \\ \hline \text{(I')+(II)}: & 11x = 22 \end{array}$

$11x = 22 \quad | :11$

$x = 2$

Wir setzen $x=2$ in die ursprüngliche Gleichung (I) ein:

$\text{(I)}: 2x + y = 5$

$2 \cdot (2) + y = 5$

$4 + y = 5 \quad | -4$

$y = 1$

Die Lösung ist $(2 | 1)$. Wir haben das Additionsverfahren gewählt, weil die Terme gut untereinander standen und die Vorbereitung einfach war.

Die Gleichung (II) ist bereits nach der Variable $l$ aufgelöst. Das ist ein klares Signal für das Einsetzungsverfahren.

Wir setzen $b + 3$ für $l$ in Gleichung (I) ein:

$\text{(I)}: 2l + 2b = 34$

$2 \cdot (b + 3) + 2b = 34$

$2b + 6 + 2b = 34$

$4b + 6 = 34 \quad | -6$

$4b = 28 \quad | :4$

$b = 7$

Die Breite ist 7 cm. Jetzt berechnen wir die Länge mit Gleichung (II):

$\text{(II)}: l = b + 3$

$l = 7 + 3$

$l = 10$

Die Länge ist 10 cm.

Das Rechteck ist 10 cm lang und 7 cm breit. Das Einsetzungsverfahren war ideal, da eine Bedingung direkt als aufgelöste Gleichung formuliert werden konnte.

Alice multipliziert Gleichung (II) mit -2:

$\text{(II)}: 4x + 3y = 10 \quad | \cdot (-2)$

$\text{(II')}: -8x - 6y = -20$

Jetzt addiert sie (I) und (II'):

$\begin{array}{ll} \text{(I)}: & x + 6y = 13 \\ \text{(II')}: & -8x - 6y = -20 \\ \hline \text{(I)+(II')}: & -7x = -7 \end{array}$

$x = 1$

Die neue Gleichung lautet $x = 1$. Das ist die Gleichung einer senkrechten Geraden durch $x=1$.

Alice zeichnet die ursprüngliche Gerade (I) und die neue Gerade ($x=1$). Wir suchen also eine Abbildung, die die Gerade zu $x+6y=13$ und eine senkrechte Gerade bei $x=1$ zeigt.

Abbildung B zeigt die ursprüngliche Gerade (I) (die blaue Linie) und eine senkrechte Gerade bei $x=1$. Das passt genau zu Alices Vorgehen.

Bob multipliziert Gleichung (I) mit -4:

$\text{(I)}: x + 6y = 13 \quad | \cdot (-4)$

$\text{(I')}: -4x - 24y = -52$

Jetzt addiert er (I') und (II):

$\begin{array}{ll} \text{(I')}: & -4x - 24y = -52 \\ \text{(II)}: & 4x + 3y = 10 \\ \hline \text{(I')+(II)}: & -21y = -42 \end{array}$

$y = 2$

Die neue Gleichung lautet $y = 2$. Das ist die Gleichung einer waagerechten Geraden durch $y=2$.

Bob zeichnet die ursprüngliche Gerade (II) und die neue Gerade ($y=2$). Wir suchen also eine Abbildung, die die Gerade zu $4x+3y=10$ und eine waagerechte Gerade bei $y=2$ zeigt.

Abbildung D zeigt die ursprüngliche Gerade (II) (die grüne Linie) und eine waagerechte Gerade bei $y=2$. Das passt genau zu Bobs Vorgehen.

Carla übernimmt Bobs erstes Ergebnis: die neue Gleichung $y=2$.

Jetzt setzt sie $y=2$ in Gleichung (II) ein:

$\text{(II)}: 4x + 3y = 10$

$4x + 3 \cdot (2) = 10$

$4x + 6 = 10 \quad | -6$

$4x = 4 \quad | :4$

$x = 1$

Carla hat am Ende zwei Gleichungen:

1. $y = 2$ (eine waagerechte Gerade)
2. $x = 1$ (eine senkrechte Gerade)

Carla zeichnet diese beiden neuen Geraden. Wir suchen eine Abbildung, die eine waagerechte Gerade bei $y=2$ und eine senkrechte Gerade bei $x=1$ zeigt.

Abbildung C zeigt genau diese beiden Geraden. Ihr Schnittpunkt $(1|2)$ ist die Lösung des LGS.

Wir addieren die beiden Gleichungen direkt, da wir $-x$ und $+x$ haben.

$\begin{array}{ll} \text{(I)}: & y - x = 1 \\ \text{(II)}: & y + x = 3 \\ \hline \text{(I)+(II)}: & (y+y) + (-x+x) = 1+3 \end{array}$

$2y = 4$

$y = 2$

Die neue Gleichung ist $y = 2$. Dies ist die Gleichung einer waagerechten Geraden, die die y-Achse bei 2 schneidet. Sie verrät uns direkt die y-Koordinate der Lösung.

Wir addieren die beiden Gleichungen direkt, da wir $+y$ und $-y$ haben.

$\begin{array}{ll} \text{(I)}: & 2x + y = 5 \\ \text{(II)}: & x - y = 1 \\ \hline \text{(I)+(II)}: & (2x+x) + (y-y) = 5+1 \end{array}$

$3x = 6$

$x = 2$

Die neue Gleichung ist $x = 2$. Dies ist die Gleichung einer senkrechten Geraden, die die x-Achse bei 2 schneidet. Sie verrät uns direkt die x-Koordinate der Lösung.