Komplexe Terme berechnen: Schritt für Schritt erklärt

• Anfangshöhe: $1200\,\text{m}$
• Änderung 1 (Aufstieg): $+450\,\text{m}$
• Änderung 2 (Abstieg): $-250\,\text{m}$

Wir beginnen mit der Anfangshöhe und addieren den Aufstieg und subtrahieren den Abstieg.

Term: $1200 + 450 - 250$

Wir rechnen von links nach rechts.

$1200 + 450 = 1650$

$1650 - 250 = 1400$

• Anfangsguthaben: $500\,€$
• Änderung 1 (Miete): $-350\,€$
• Änderung 2 (Rückzahlung): $+75{,}50\,€$

Wir starten mit dem Anfangsguthaben, ziehen die Miete ab und addieren die Rückzahlung.

Term: $500 - 350 + 75{,}50$

Wir rechnen von links nach rechts.

$500 - 350 = 150$

$150 + 75{,}50 = 225{,}50$

• Anfangsmenge: $2000\,\text{L}$
• Änderung pro Minute (Zufluss): $+50\,\text{L}$
• Änderung pro Minute (Abfluss): $-5\,\text{L}$
• Dauer: $15$ Minuten

Wir starten mit der Anfangsmenge. Die Gesamtänderung pro Minute ist $(50 - 5)$. Diese Änderung passiert 15 Mal. Also müssen wir die Netto-Änderung mit der Dauer multiplizieren und zum Anfangswert addieren.

Term: $2000 + (50 - 5) \cdot 15$

Wir folgen den Rechenregeln (Klammer zuerst).

$50 - 5 = 45$

Der Term wird zu: $2000 + 45 \cdot 15$

Jetzt Punkt- vor Strichrechnung.

$45 \cdot 15 = 675$

Der Term wird zu: $2000 + 675$

$2000 + 675 = 2675$

• Anfangsladung: $80\,\%$
• Änderung 1 (Nutzung): $-15\,\%$
• Änderung 2 (Laden): $+ \frac{1}{2}$ des Wertes nach der Nutzung.

Zuerst berechnen wir den Akkustand nach der Nutzung: $(80 - 15)$. Die Hälfte dieses Wertes wird dann addiert. Der Term muss diese Reihenfolge abbilden.

Term: $(80 - 15) + \frac{1}{2} \cdot (80 - 15)$

Wir berechnen zuerst die Klammer.

$80 - 15 = 65$

Der Term wird zu: $65 + \frac{1}{2} \cdot 65$

Jetzt Punkt- vor Strichrechnung.

$\frac{1}{2} \cdot 65 = 32{,}5$

Der Term wird zu: $65 + 32{,}5$

$65 + 32{,}5 = 97{,}5$

• Kosten Pizzen: $5 \cdot 12{,}50\,€$
• Kosten Cola: $3 \cdot 2{,}20\,€$
• Anzahl Personen: $4$

Zuerst müssen die Gesamtkosten berechnet werden. Das ist die Summe aus den Pizzakosten und den Colakosten. Dieser Gesamtbetrag wird dann durch die Anzahl der Personen geteilt.

Term: $(5 \cdot 12{,}50 + 3 \cdot 2{,}20) : 4$

Wir berechnen zuerst die Klammer, darin die Punktrechnungen.

$5 \cdot 12{,}50 = 62{,}50$

$3 \cdot 2{,}20 = 6{,}60$

Die Klammer wird zu: $(62{,}50 + 6{,}60) = 69{,}10$

Der Term wird zu: $69{,}10 : 4$

$69{,}10 : 4 = 17{,}275$

Da es um Geld geht, runden wir auf zwei Nachkommastellen: $17{,}28\,€$.

Alle Zahlen sind bereits in einer einfachen Form (ganze Zahlen oder Brüche).

Die innerste Klammer ist $(8 - 2)$.

$8 - 2 = 6$

Der Term vereinfacht sich zu: $[6 \cdot \frac{1}{3} + 5] : 7$

Jetzt berechnen wir den Inhalt der eckigen Klammer. Darin gilt Punkt- vor Strichrechnung.

Punktrechnung: $6 \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Strichrechnung: $2 + 5 = 7$

Der Term vereinfacht sich zu: $7 : 7$

$7 : 7 = 1$

Wir wandeln die Dezimalzahl $0{,}5$ in einen Bruch um: $0{,}5 = \frac{1}{2}$.

Der Term lautet: $10 - [2 + (\frac{3}{4} \cdot 8)] \cdot \frac{1}{2}$

Die innerste Klammer ist $(\frac{3}{4} \cdot 8)$.

$\frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{3 \cdot 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Der Term vereinfacht sich zu: $10 - [2 + 6] \cdot \frac{1}{2}$

Jetzt berechnen wir den Inhalt der eckigen Klammer.

$2 + 6 = 8$

Der Term vereinfacht sich zu: $10 - 8 \cdot \frac{1}{2}$

Wir beachten Punkt- vor Strichrechnung.

Punktrechnung: $8 \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Strichrechnung: $10 - 4 = 6$

Wir wandeln die Dezimalzahl $0{,}25$ in einen Bruch um: $0{,}25 = \frac{1}{4}$.

Der Term lautet: $[(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) : (1 - \frac{1}{2})] \cdot 100$

Wir haben zwei innere Klammern, die wir parallel berechnen können.

Erste Klammer: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Zweite Klammer: $1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Der Term vereinfacht sich zu: $[\frac{1}{2} : \frac{1}{2}] \cdot 100$

Jetzt berechnen wir den Inhalt der eckigen Klammer.

$\frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1$

Der Term vereinfacht sich zu: $1 \cdot 100$

$1 \cdot 100 = 100$

Alle Zahlen sind bereits in einer einfachen Form.

Die innerste Klammer ist $(\frac{1}{2} + 1)$.

$\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2}$

Der Term vereinfacht sich zu: $5 \cdot [\frac{7}{2} - (\frac{3}{2})^2]$

Jetzt berechnen wir den Inhalt der eckigen Klammer. Darin gilt Potenz vor Strichrechnung.

Potenz: $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$

Strichrechnung: $\frac{7}{2} - \frac{9}{4} = \frac{14}{4} - \frac{9}{4} = \frac{5}{4}$

Der Term vereinfacht sich zu: $5 \cdot \frac{5}{4}$

$5 \cdot \frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 5}{4} = \frac{25}{4}$

Alle Zahlen sind bereits ganze Zahlen.

Wir haben zwei innere Klammern in getrennten Teilen des Terms.

Erste Klammer: $(3 - 4) = -1$

Zweite Klammer: $(8 - 1) = 7$

Der Term vereinfacht sich zu: $[-1 \cdot 5 + 6] : [7 - 7]$

Jetzt berechnen wir den Inhalt beider eckiger Klammern.

Erste eckige Klammer: $[-1 \cdot 5 + 6]$. Punkt- vor Strichrechnung: $-1 \cdot 5 = -5$. Dann $-5 + 6 = 1$.

Zweite eckige Klammer: $[7 - 7] = 0$.

Der Term vereinfacht sich zu: $1 : 0$

Die Division durch Null ist in der Mathematik nicht definiert.

Zuerst wird die Klammer $(5+3)$ berechnet. Die letzte Operation ist die Division durch 2. Der Term ist also ein Quotient.

Es gibt keine Potenzen oder komplizierten Zahlen.

Klammer zuerst: $5 + 3 = 8$.

Dann die Division: $8 : 2 = 4$.

Nach den Rechenregeln wird zuerst die Potenz ($3^2$), dann die Multiplikation ($\cdot 2$) berechnet. Die letzte Operation ist die Addition ($5 + ...$). Der Term ist also eine Summe.

Wir berechnen die Potenz: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Der Term wird zu: $5 + 9 \cdot 2$.

Punkt- vor Strichrechnung: $9 \cdot 2 = 18$.

Dann die Addition: $5 + 18 = 23$.

Zuerst werden die beiden Klammern berechnet. Die letzte Operation ist die Subtraktion zwischen den Ergebnissen der Klammern. Der Term ist also eine Differenz.

Wir wandeln $0{,}5$ in $\frac{1}{2}$ um.

Wir berechnen die Potenz: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Der Term lautet nun: $\frac{1}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4})$.

Wir berechnen die verbleibende Klammer: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.

Dann die Subtraktion: $\frac{1}{8} - \frac{1}{8} = 0$.

Zuerst werden die inneren Klammern berechnet. Die letzte Operation ist die Multiplikation der eckigen Klammer mit $(\frac{4}{5})$. Der Term ist also ein Produkt.

Es gibt keine Potenzen.

Innerste Klammer: $(2+3) = 5$.

Der Term wird zu: $[10 - 5] \cdot \frac{4}{5}$.

Eckige Klammer: $[10 - 5] = 5$.

Der Term wird zu: $5 \cdot \frac{4}{5}$.

Multiplikation: $5 \cdot \frac{4}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

Zuerst wird die Klammer berechnet (darin Potenz vor Strich). Dann die Division. Die letzte Operation ist die Addition. Der Term ist also eine Summe.

Wir wandeln $2\frac{1}{2}$ in $\frac{5}{2}$ um.

Wir berechnen die Potenz in der Klammer: $3^2 = 9$.

Der Term lautet nun: $\frac{5}{2} + \frac{3}{2} : (4 - 9)$.

Klammer berechnen: $(4 - 9) = -5$.

Der Term wird zu: $\frac{5}{2} + \frac{3}{2} : (-5)$.

Punkt- vor Strichrechnung: $\frac{3}{2} : (-5) = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{3}{10}$.

Der Term wird zu: $\frac{5}{2} + (-\frac{3}{10}) = \frac{25}{10} - \frac{3}{10} = \frac{22}{10}$.

Gekürzt: $\frac{11}{5}$.

• Ohne Klammer (Referenzwert): $10 - 4 \cdot 2 = 10 - 8 = 2$
• Variante 1: $(10 - 4) \cdot 2$

• Variante 1: $(10 - 4) \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$

Die möglichen Ergebnisse sind $2$ und $12$.

• Kleinstes Ergebnis: $2$ (ohne zusätzliche Klammer)
• Größtes Ergebnis: $12$

• Ohne Klammer (Referenzwert): $12 : 6 - 3 = 2 - 3 = -1$
• Variante 1: $12 : (6 - 3)$

• Variante 1: $12 : (6 - 3) = 12 : 3 = 4$

Die möglichen Ergebnisse sind $-1$ und $4$.

• Kleinstes Ergebnis: $-1$
• Größtes Ergebnis: $4$

• Ohne Klammer (Referenzwert): $5 + 2 \cdot 3 - 1 = 5 + 6 - 1 = 10$
• Variante 1: $(5 + 2) \cdot 3 - 1$
• Variante 2: $5 + 2 \cdot (3 - 1)$
• Variante 3: $(5 + 2 \cdot 3) - 1$ (nicht sinnvoll, ändert nichts)
• Variante 4: $5 + (2 \cdot 3 - 1)$ (nicht sinnvoll, ändert nichts)
• Variante 5: $(5+2) \cdot (3-1)$ (nicht erlaubt, nur ein Klammerpaar)

Wir untersuchen Variante 1 und 2.

• Variante 1: $(5 + 2) \cdot 3 - 1 = 7 \cdot 3 - 1 = 21 - 1 = 20$
• Variante 2: $5 + 2 \cdot (3 - 1) = 5 + 2 \cdot 2 = 5 + 4 = 9$

Die möglichen Ergebnisse sind $10$, $20$ und $9$.

• Kleinstes Ergebnis: $9$
• Größtes Ergebnis: $20$

• Ohne Klammer (Referenzwert): $\frac{1}{2} \cdot 8 - 2 : \frac{1}{2} = 4 - 4 = 0$
• Variante 1: $(\frac{1}{2} \cdot 8 - 2) : \frac{1}{2}$
• Variante 2: $\frac{1}{2} \cdot (8 - 2) : \frac{1}{2}$
• Variante 3: $\frac{1}{2} \cdot 8 - (2 : \frac{1}{2})$ (nicht sinnvoll, ändert nichts)

• Variante 1: $(\frac{1}{2} \cdot 8 - 2) : \frac{1}{2} = (4 - 2) : \frac{1}{2} = 2 : \frac{1}{2} = 2 \cdot 2 = 4$
• Variante 2: $\frac{1}{2} \cdot (8 - 2) : \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 6 : \frac{1}{2} = 3 : \frac{1}{2} = 3 \cdot 2 = 6$

Die möglichen Ergebnisse sind $0$, $4$ und $6$.

• Kleinstes Ergebnis: $0$
• Größtes Ergebnis: $6$

• Ohne Klammer (Referenzwert): $-4 \cdot 2 + 10 : 2 = -8 + 5 = -3$
• Variante 1: $-4 \cdot (2 + 10) : 2$
• Variante 2: $(-4 \cdot 2 + 10) : 2$
• Variante 3: $-4 \cdot (2 + 10 : 2)$ (nicht sinnvoll, ändert nichts)

• Variante 1: $-4 \cdot (2 + 10) : 2 = -4 \cdot 12 : 2 = -48 : 2 = -24$
• Variante 2: $(-4 \cdot 2 + 10) : 2 = (-8 + 10) : 2 = 2 : 2 = 1$

Die möglichen Ergebnisse sind $-3$, $-24$ und $1$.

• Kleinstes Ergebnis: $-24$
• Größtes Ergebnis: $1$