Mathematische Terme einfach erklärt: Grundlagen

Der Term ist ein Produkt. Die Hauptrechnung ist also eine Multiplikation (·).

• Erster Faktor: Die Summe aus $1{,}5$ und $\frac{1}{2}$. Das übersetzt sich zu $1{,}5 + \frac{1}{2}$.
• Zweiter Faktor: Die Differenz aus $3$ und $5$. Das übersetzt sich zu $3 - 5$.

Wir setzen die Bauteile mit der Multiplikation zusammen und setzen Klammern um die einzelnen Rechnungen: $T = (1{,}5 + \frac{1}{2}) \cdot (3 - 5)$

Wir berechnen zuerst die Klammern:

• Erste Klammer: $1{,}5 + \frac{1}{2} = 1{,}5 + 0{,}5 = 2$
• Zweite Klammer: $3 - 5 = -2$

Jetzt multiplizieren wir die Ergebnisse: $T = 2 \cdot (-2) = -4$

Der Term ist eine Differenz. Die Hauptrechnung ist also eine Subtraktion (-).

• Minuend: Der Quotient aus $-10$ und $0{,}5$. Das übersetzt sich zu $(-10) : 0{,}5$.
• Subtrahend: Das Produkt aus $7$ und $-2$. Das übersetzt sich zu $7 \cdot (-2)$.

Wir setzen die Bauteile mit der Subtraktion zusammen: $T = ((-10) : 0{,}5) - (7 \cdot (-2))$

Wir berechnen zuerst die Klammern:

• Erste Klammer: $(-10) : 0{,}5 = -20$ (denn 0,5 passt 20-mal in 10)
• Zweite Klammer: $7 \cdot (-2) = -14$

Jetzt subtrahieren wir die Ergebnisse. Minus und Minus ergibt Plus. $T = -20 - (-14) = -20 + 14 = -6$

Der Term ist eine Summe. Die Hauptrechnung ist also eine Addition (+).

• Erster Summand: Das Produkt aus $\frac{2}{3}$ und $6$. Das übersetzt sich zu $\frac{2}{3} \cdot 6$.
• Zweiter Summand: Die Zahl $-5$.

Wir setzen die Bauteile zusammen. Um den ersten Summanden setzen wir eine Klammer. $T = (\frac{2}{3} \cdot 6) + (-5)$

Wir berechnen zuerst die Klammer:

• Erste Klammer: $\frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Jetzt addieren wir den zweiten Summanden: $T = 4 + (-5) = 4 - 5 = -1$

Der Term ist ein Quotient. Die Hauptrechnung ist also eine Division (:).

• Dividend: Die Differenz aus $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{4}$. Das übersetzt sich zu $\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$.
• Divisor: Die Summe aus $0{,}1$ und $0{,}15$. Das übersetzt sich zu $0{,}1 + 0{,}15$.

Wir setzen die Bauteile mit der Division zusammen: $T = (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) : (0{,}1 + 0{,}15)$

Wir berechnen zuerst die Klammern:

• Erste Klammer: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
• Zweite Klammer: $0{,}1 + 0{,}15 = 0{,}25$

Jetzt dividieren wir die Ergebnisse. Wir wandeln $0{,}25$ in einen Bruch um: $0{,}25 = \frac{1}{4}$. $T = \frac{1}{4} : \frac{1}{4} = 1$

Der Satz „Addiere zum ... die ..." bedeutet, die Hauptrechenart ist eine Summe (+).

• Erster Summand: Das Produkt aus $-0{,}5$ und $10$. Das übersetzt sich zu $-0{,}5 \cdot 10$.
• Zweiter Summand: Die Differenz aus $8$ und $12$. Das übersetzt sich zu $8 - 12$.

Wir setzen die Bauteile zusammen: $T = (-0{,}5 \cdot 10) + (8 - 12)$

Wir berechnen zuerst die Klammern:

• Erste Klammer: $-0{,}5 \cdot 10 = -5$
• Zweite Klammer: $8 - 12 = -4$

Jetzt addieren wir die Ergebnisse: $T = -5 + (-4) = -5 - 4 = -9$

Die Aufgabe besteht nur aus Additionen. Wir dürfen also Zahlen vertauschen und neu gruppieren.

Wir suchen Zahlen, deren Nachkommastellen zusammen 1 ergeben.

• 1,8 und 8,2 passen gut zusammen, denn $0{,}8 + 0{,}2 = 1{,}0$.
• 6,9 und 3,1 passen auch gut zusammen, denn $0{,}9 + 0{,}1 = 1{,}0$.

Wir sortieren die Rechnung neu: $T = (1{,}8 + 8{,}2) + (6{,}9 + 3{,}1)$

• Erste Klammer: $1{,}8 + 8{,}2 = 10{,}0$
• Zweite Klammer: $6{,}9 + 3{,}1 = 10{,}0$

Jetzt addieren wir die Ergebnisse: $T = 10 + 10 = 20$

Die Aufgabe besteht nur aus Multiplikationen. Wir dürfen also vertauschen und neu gruppieren.

Wir suchen Zahlen, die ein rundes Produkt ergeben.

• 25 und 4 sind ein klassisches Paar, denn $25 \cdot 4 = 100$.

Wir sortieren die Rechnung neu: $T = (25 \cdot 4) \cdot 1{,}7$

• Klammer: $25 \cdot 4 = 100$

Jetzt multiplizieren wir das Ergebnis mit der übrigen Zahl: $T = 100 \cdot 1{,}7 = 170$

Es ist eine Multiplikation von Brüchen. Der beste Trick ist Kürzen.

Wir schreiben alles auf einen Bruchstrich: $T = \frac{5 \cdot 9 \cdot 8}{12 \cdot 10 \cdot 3}$

Jetzt kürzen wir Schritt für Schritt:

• Die 5 oben mit der 10 unten (beide durch 5): $\frac{\cancel{5}^1 \cdot 9 \cdot 8}{12 \cdot \cancel{10}^2 \cdot 3}$
• Die 9 oben mit der 3 unten (beide durch 3): $\frac{1 \cdot \cancel{9}^3 \cdot 8}{12 \cdot 2 \cdot \cancel{3}^1}$
• Die 8 oben mit der 12 unten (beide durch 4): $\frac{1 \cdot 3 \cdot \cancel{8}^2}{\cancel{12}^3 \cdot 2 \cdot 1}$
• Die 3 oben mit der 3 unten (beide durch 3): $\frac{1 \cdot \cancel{3}^1 \cdot 2}{\cancel{3}^1 \cdot 2 \cdot 1}$
• Die 2 oben mit der 2 unten (beide durch 2): $\frac{1 \cdot 1 \cdot \cancel{2}^1}{1 \cdot \cancel{2}^1 \cdot 1}$

Was übrig bleibt, ist: $T = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{1}{1} = 1$

Es werden zwei Zahlen nacheinander subtrahiert.

Der Trick ist, zuerst die Zahlen zu addieren, die abgezogen werden. Das sind 5,8 und 2,2.

Summe der Subtrahenden: $5{,}8 + 2{,}2 = 8{,}0$

Jetzt ziehen wir diese Summe in einem Schritt von der Anfangszahl ab. $T = 12{,}5 - (5{,}8 + 2{,}2)$

$T = 12{,}5 - 8{,}0 = 4{,}5$

Wir haben eine Differenz von zwei Produkten. Der Faktor 18 ist in beiden Produkten gleich. Hier können wir das Distributivgesetz (Ausklammern) anwenden.

Wir ziehen den gemeinsamen Faktor 18 vor eine Klammer: $T = 18 \cdot (\frac{5}{6} - \frac{1}{3})$

Zuerst die Klammer. Wir bringen die Brüche auf den gleichen Nenner (6): $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$

Klammer berechnen: $\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Jetzt die Multiplikation: $T = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$

Wir untersuchen die Klammer $(5 + 3)$.

Ohne die Klammer lautet der Term: $5 + 3 \cdot 2$.

• Mit Klammer: Zuerst die Klammer: $5 + 3 = 8$. Dann $8 \cdot 2 = 16$.
• Ohne Klammer: „Punkt vor Strich". Zuerst die Multiplikation: $3 \cdot 2 = 6$. Dann $5 + 6 = 11$.

Die Ergebnisse sind unterschiedlich. Die Rechenreihenfolge ändert sich. Daher ist die Klammer unverzichtbar.

Wir untersuchen die Klammer $(4 : 2)$.

Ohne die Klammer lautet der Term: $10 - 4 : 2$.

• Mit Klammer: Zuerst die Klammer: $4 : 2 = 2$. Dann $10 - 2 = 8$.
• Ohne Klammer: „Punkt vor Strich". Zuerst die Division: $4 : 2 = 2$. Dann $10 - 2 = 8$.

Die Rechenreihenfolge und das Ergebnis sind identisch. Die Klammer bestätigt nur die natürliche Regel. Daher ist die Klammer verzichtbar.

• Ohne sie: $20 : 2 + 3$. Man würde zuerst $20:2=10$ rechnen, dann $10+3=13$.
• Mit ihr: Zuerst $2+3=5$, dann $20:5=4$.

Die Reihenfolge ändert sich. Die Klammer ist unverzichtbar.

• Ohne sie: $... - 4 \cdot 1$. Man würde wegen „Punkt vor Strich" sowieso zuerst $4 \cdot 1$ rechnen.
• Mit ihr: Man rechnet zuerst $4 \cdot 1$.

Die Reihenfolge ändert sich nicht. Die Klammer ist verzichtbar.

• Ohne sie: $[8 - 3 \cdot 5] + 2$. In der eckigen Klammer würde man wegen „Punkt vor Strich" zuerst $3 \cdot 5$ rechnen.
• Mit ihr: Man rechnet zuerst $8 - 3$.

Die Reihenfolge ändert sich. Die Klammer ist unverzichtbar.

• Ohne sie: $(8 - 3) \cdot 5 + 2$. Man würde wegen „Punkt vor Strich" sowieso zuerst die Klammer $(8-3)$ und dann die Multiplikation mit 5 berechnen, bevor man 2 addiert.
• Mit ihr: Man rechnet zuerst den Inhalt der eckigen Klammer.

Die Reihenfolge ändert sich nicht. Die Klammer ist verzichtbar.

Wir untersuchen die Klammer $(8 - 2)$.

Ohne die Klammer lautet der Term: $15 - 8 - 2$.

• Mit Klammer: Zuerst die Klammer: $8 - 2 = 6$. Dann $15 - 6 = 9$.
• Ohne Klammer: Man rechnet von links nach rechts: $15 - 8 = 7$, dann $7 - 2 = 5$.

Die Ergebnisse sind unterschiedlich. Eine Klammer nach einem Minuszeichen ist fast immer unverzichtbar, weil sie sicherstellt, dass das Ergebnis der Klammer als Ganzes abgezogen wird. Daher ist die Klammer unverzichtbar.