Gleichungen nach einer Variable auflösen – einfach erklärt

Gleichungen nach einer Variable auflösen ist eine der wichtigsten Grundlagen im Matheunterricht. Stell dir vor, du spielst ein Game und willst das nächste Level erreichen. Dafür brauchst du eine bestimmte Anzahl an Punkten, aber das Spiel sagt dir nur: „Deine aktuelle Punktzahl plus 500 Bonuspunkte ergibt die 2000, die du brauchst." Wie viele Punkte hast du wirklich? Das ist eine Gleichung! Und sie zu lösen ist wie ein Cheat-Code für Mathe. Es ist keine komplizierte Magie, sondern eine simple Logik, die dir hilft, fast jedes Mathe-Problem zu knacken. Wenn du das hier meisterst, hast du den Schlüssel für die nächsten Jahre im Matheunterricht in der Hand.

Schnellantwort

Eine Gleichung nach einer Variable auflösen bedeutet, die Variable allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens zu stellen. Dazu nutzt du sogenannte Äquivalenzumformungen: Du wendest auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation an, sodass die Lösung erhalten bleibt. Das Grundprinzip ist das Waage-Bild – was du auf einer Seite tust, musst du auch auf der anderen Seite tun.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Begriffe:

• Variable: Ein Buchstabe (wie x, y oder a), der als Platzhalter für eine unbekannte Zahl dient.

  • Beispiel: In der Gleichung $x + 5 = 8$ ist $x$ die Variable. Wir wollen herausfinden, welche Zahl sich hinter $x$ verbirgt.

• Term: Eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.

  • Beispiel: In $3x + 2 = 11$ sind $3x + 2$ und $11$ die beiden Terme.

• Gleichheitszeichen (=): Stell dir eine Waage vor, die im Gleichgewicht ist. Was links vom = steht, hat exakt den gleichen Wert wie das, was rechts steht.

• Umkehroperation: Jede Rechenart hat eine Gegenoperation, die sie rückgängig macht.

  • Beispiel: Die Umkehroperation von Addition (+) ist Subtraktion (-). Die Umkehroperation von Multiplikation ($\cdot$) ist Division (:).

Aufgabentyp 1: Auflösen mit Strichrechnung (Addition & Subtraktion)

Das Ziel ist immer, die Variable (z. B. $x$) allein auf einer Seite der Gleichung zu haben. Stell dir die Gleichung wie eine Waage vor. Wenn du auf einer Seite etwas wegnimmst oder hinzufügst, musst du dasselbe auch auf der anderen Seite tun, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt.

Wenn bei deiner Variable eine Zahl addiert wird, musst du diese Zahl auf beiden Seiten subtrahieren. Wenn eine Zahl subtrahiert wird, musst du sie auf beiden Seiten addieren.

Das nennt man Äquivalenzumformung. Du veränderst die Gleichung so, dass die Lösung gleich bleibt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Finde die störende Zahl: Schau dir die Seite mit der Variable an. Welche Zahl wird dort addiert oder subtrahiert?
2. Wende die Umkehroperation an: Schreibe hinter die Gleichung einen senkrechten Strich | und die passende Umkehroperation (bei $+ 5$ schreibst du | - 5, bei $- 3$ schreibst du | + 3).
3. Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus: Rechne auf beiden Seiten. Die störende Zahl auf der Variablenseite fällt weg.
4. Ergebnis notieren: Schreibe die finale Zeile auf, in der die Variable allein steht, z. B. $x = 4$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Löse die Gleichung: $x + 3 = 7$

Lösung:

Schritt 1: Finde die störende Zahl

Auf der Seite der Variable $x$ stört die $+ 3$.

Schritt 2: Wende die Umkehroperation an

Die Umkehroperation von Addition ist Subtraktion. Wir müssen also 3 subtrahieren.

$x + 3 = 7 \ | \textcolor{#08BFFF}{-3}$

Schritt 3: Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus

$x + 3 \textcolor{#08BFFF}{- 3} = 7 \textcolor{#08BFFF}{- 3}$

$x = 4$

Schritt 4: Ergebnis notieren

Ergebnis: $x = 4$

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Beispiel 2

Aufgabe: Löse die Gleichung: $a - 5 = 11$

Lösung:

Schritt 1: Finde die störende Zahl

Auf der Seite der Variable $a$ stört die $- 5$.

Schritt 2: Wende die Umkehroperation an

Die Umkehroperation von Subtraktion ist Addition. Wir müssen also 5 addieren.

$a - 5 = 11 \ | \textcolor{#08BFFF}{+5}$

Schritt 3: Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus

$a - 5 \textcolor{#08BFFF}{+ 5} = 11 \textcolor{#08BFFF}{+ 5}$

$a = 16$

Schritt 4: Ergebnis notieren

Ergebnis: $a = 16$

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Beispiel 3

Aufgabe: Löse die Gleichung: $12 = y + 8$

Lösung:

Schritt 1: Finde die störende Zahl

Die Variable $y$ ist auf der rechten Seite. Dort stört die $+ 8$.

Schritt 2: Wende die Umkehroperation an

Die Umkehroperation ist Subtraktion.

$12 = y + 8 \ | \textcolor{#08BFFF}{-8}$

Schritt 3: Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus

$12 \textcolor{#08BFFF}{- 8} = y + 8 \textcolor{#08BFFF}{- 8}$

$4 = y$

Schritt 4: Ergebnis notieren

Ergebnis: $y = 4$

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Beispiel 4

Aufgabe: Löse die Gleichung: $b + 9 - 2 = 10$

Lösung:

Schritt 1: Vereinfache zuerst

Bevor wir umformen, können wir die linke Seite zusammenfassen: $9 - 2 = 7$.

$b + 7 = 10$

Schritt 2: Finde die störende Zahl

Jetzt stört die $+ 7$.

Schritt 3: Wende die Umkehroperation an

$b + 7 = 10 \ | \textcolor{#08BFFF}{-7}$

Schritt 4: Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus

$b + 7 \textcolor{#08BFFF}{- 7} = 10 \textcolor{#08BFFF}{- 7}$

$b = 3$

Schritt 5: Ergebnis notieren

Ergebnis: $b = 3$

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Beispiel 5

Aufgabe: Löse die Gleichung: $-4 + z = -1$

Lösung:

Schritt 1: Finde die störende Zahl

Auf der Seite der Variable $z$ stört die $- 4$.

Schritt 2: Wende die Umkehroperation an

Die Umkehroperation ist Addition.

$-4 + z = -1 \ | \textcolor{#08BFFF}{+4}$

Schritt 3: Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus

$-4 + z \textcolor{#08BFFF}{+ 4} = -1 \textcolor{#08BFFF}{+ 4}$

$z = 3$

Schritt 4: Ergebnis notieren

Ergebnis: $z = 3$

Aufgabentyp 2: Auflösen mit Punktrechnung (Multiplikation & Division)

Das Prinzip der Waage gilt auch hier. Um die Variable zu isolieren, nutzen wir wieder die Umkehroperation.

Wenn deine Variable mit einer Zahl multipliziert wird (z. B. $3x$), musst du durch diese Zahl auf beiden Seiten dividieren. Wenn deine Variable durch eine Zahl dividiert wird (z. B. $x/4$), musst du mit dieser Zahl auf beiden Seiten multiplizieren.

Denk daran: $3x$ ist nur eine Kurzschreibweise für $3 \cdot x$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Finde den störenden Faktor oder Divisor: Schau dir die Seite mit der Variable an. Mit welcher Zahl wird sie multipliziert oder durch welche wird sie geteilt?
2. Wende die Umkehroperation an: Schreibe die passende Umkehroperation hinter den |-Strich (bei $\cdot 4$ schreibst du | : 4, bei : 2 schreibst du | · 2).
3. Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus: Der Faktor oder Divisor auf der Seite der Variable wird zu 1 und auf der anderen Seite verändert sich der Wert.
4. Ergebnis notieren: Schreibe die finale Lösung auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Löse die Gleichung: $8 \cdot d = 56$

Lösung:

Schritt 1: Finde den störenden Faktor

Die Variable $d$ wird mit $8$ multipliziert.

Schritt 2: Wende die Umkehroperation an

Die Umkehroperation von Multiplikation ist Division.

$8 \cdot d = 56 \ | \textcolor{#08BFFF}{:8}$

Schritt 3: Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus

$\frac{8 \cdot d}{\textcolor{#08BFFF}{8}} = \frac{56}{\textcolor{#08BFFF}{8}}$

$d = 7$

Schritt 4: Ergebnis notieren

Ergebnis: $d = 7$

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Beispiel 2

Aufgabe: Löse die Gleichung: $\frac{k}{4} = 5$

Lösung:

Schritt 1: Finde den störenden Divisor

Die Variable $k$ wird durch $4$ geteilt.

Schritt 2: Wende die Umkehroperation an

Die Umkehroperation von Division ist Multiplikation.

$\frac{k}{4} = 5 \ | \textcolor{#08BFFF}{\cdot 4}$

Schritt 3: Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus

$\frac{k}{4} \textcolor{#08BFFF}{\cdot 4} = 5 \textcolor{#08BFFF}{\cdot 4}$

$k = 20$

Schritt 4: Ergebnis notieren

Ergebnis: $k = 20$

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Beispiel 3

Aufgabe: Löse die Gleichung: $-4 \cdot c = 12$

Lösung:

Schritt 1: Finde den störenden Faktor

Die Variable $c$ wird mit $-4$ multipliziert.

Schritt 2: Wende die Umkehroperation an

Wir müssen durch die gesamte Zahl, also -4, dividieren.

$-4 \cdot c = 12 \ | \textcolor{#08BFFF}{:(-4)}$

Schritt 3: Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus

$\frac{-4 \cdot c}{\textcolor{#08BFFF}{-4}} = \frac{12}{\textcolor{#08BFFF}{-4}}$

$c = -3$

Schritt 4: Ergebnis notieren

Ergebnis: $c = -3$

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Beispiel 4

Aufgabe: Löse die Gleichung: $0 = 25 \cdot x$

Lösung:

Schritt 1: Finde den störenden Faktor

Die Variable $x$ wird mit $25$ multipliziert.

Schritt 2: Wende die Umkehroperation an

$0 = 25 \cdot x \ | \textcolor{#08BFFF}{:25}$

Schritt 3: Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus

$\frac{0}{\textcolor{#08BFFF}{25}} = \frac{25 \cdot x}{\textcolor{#08BFFF}{25}}$

$0 = x$

Schritt 4: Ergebnis notieren

Ergebnis: $x = 0$

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Beispiel 5

Aufgabe: Löse die Gleichung: $\frac{y}{-3} = -6$

Lösung:

Schritt 1: Finde den störenden Divisor

Die Variable $y$ wird durch $-3$ geteilt.

Schritt 2: Wende die Umkehroperation an

Wir müssen mit -3 multiplizieren.

$\frac{y}{-3} = -6 \ | \textcolor{#08BFFF}{\cdot (-3)}$

Schritt 3: Führe die Operation auf BEIDEN Seiten aus

$\frac{y}{-3} \textcolor{#08BFFF}{\cdot (-3)} = -6 \textcolor{#08BFFF}{\cdot (-3)}$

$y = 18$

Schritt 4: Ergebnis notieren

Ergebnis: $y = 18$

Aufgabentyp 3: Auflösen mit Punkt- und Strichrechnung

Meistens musst du mehrere Schritte kombinieren. Die goldene Regel lautet: „Rückwärts durch die Rechenregeln!"

Normalerweise gilt „Punkt vor Strich". Beim Auflösen einer Gleichung machen wir es umgekehrt:

1. Zuerst kümmerst du dich um die Strichrechnung (Addition und Subtraktion), um den Term mit der Variable zu isolieren.
2. Danach kümmerst du dich um die Punktrechnung (Multiplikation und Division), um die Variable komplett allein zu stellen.

Ein weiterer wichtiger erster Schritt ist immer: Vereinfache zuerst beide Seiten so weit wie möglich! Fasse also gleiche Variablen (z. B. $3x$ und $4x$) und reine Zahlen zusammen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Vereinfachen (falls nötig): Fasse auf beiden Seiten alle Terme zusammen, die zusammengehören (z. B. alle x-Terme und alle Zahlen).
2. Alle Variablen auf eine Seite bringen: Nutze Addition oder Subtraktion, um alle Terme mit der gesuchten Variable auf eine Seite zu bringen.
3. Alle Zahlen auf die andere Seite bringen: Nutze erneut Addition oder Subtraktion, um alle reinen Zahlen auf die andere Seite zu bringen.
4. Variable isolieren: Nutze Multiplikation oder Division, um den Faktor vor der Variable zu entfernen.
5. Ergebnis notieren.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Löse die Gleichung: $3x + 4x = 14$

Lösung:

Schritt 1: Vereinfachen

Wir fassen die x-Terme auf der linken Seite zusammen.

$\textcolor{#9570FF}{3x + 4x} = 14$

$7x = 14$

Schritt 2 & 3 entfallen, da die Variablen schon auf einer und die Zahlen auf der anderen Seite sind.

Schritt 4: Variable isolieren

$x$ wird mit 7 multipliziert, also teilen wir durch 7.

$7x = 14 \ | \textcolor{#08BFFF}{:7}$

$\frac{7x}{\textcolor{#08BFFF}{7}} = \frac{14}{\textcolor{#08BFFF}{7}}$

$x = 2$

Schritt 5: Ergebnis notieren

Ergebnis: $x = 2$

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Beispiel 2

Aufgabe: Löse die Gleichung: $y = -12 - 3y$

Lösung:

Schritt 1 entfällt, da es nichts zu vereinfachen gibt.

Schritt 2: Alle Variablen auf eine Seite bringen

Wir wollen den Term $\textcolor{#08BFFF}{-3y}$ von der rechten Seite nach links bringen. Die Umkehroperation ist $+3y$.

$y = -12 - 3y \ | \textcolor{#08BFFF}{+3y}$

$y \textcolor{#08BFFF}{+ 3y} = -12 - 3y \textcolor{#08BFFF}{+ 3y}$

$4y = -12$

Schritt 3 entfällt.

Schritt 4: Variable isolieren

$y$ wird mit 4 multipliziert, also teilen wir durch 4.

$4y = -12 \ | \textcolor{#08BFFF}{:4}$

$\frac{4y}{\textcolor{#08BFFF}{4}} = \frac{-12}{\textcolor{#08BFFF}{4}}$

$y = -3$

Schritt 5: Ergebnis notieren

Ergebnis: $y = -3$

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Beispiel 3

Aufgabe: Löse die Gleichung: $-5 - 2z = 4 - 5z$

Lösung:

Schritt 2: Alle Variablen auf eine Seite bringen

Wir bringen $\textcolor{#08BFFF}{-5z}$ mit $+5z$ auf die linke Seite.

$-5 - 2z = 4 - 5z \ | \textcolor{#08BFFF}{+5z}$

$-5 - 2z \textcolor{#08BFFF}{+ 5z} = 4 - 5z \textcolor{#08BFFF}{+ 5z}$

$-5 + 3z = 4$

Schritt 3: Alle Zahlen auf die andere Seite bringen

Wir bringen die $\textcolor{#53E5D6}{-5}$ mit $+5$ auf die rechte Seite.

$-5 + 3z = 4 \ | \textcolor{#53E5D6}{+5}$

$-5 + 3z \textcolor{#53E5D6}{+ 5} = 4 \textcolor{#53E5D6}{+ 5}$

$3z = 9$

Schritt 4: Variable isolieren

Wir teilen durch 3.

$3z = 9 \ | \textcolor{#1E90FF}{:3}$

$z = 3$

Schritt 5: Ergebnis notieren

Ergebnis: $z = 3$

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Beispiel 4

Aufgabe: Löse die Gleichung: $10 + 4a = 2$

Lösung:

Schritt 3: Alle Zahlen auf die andere Seite bringen

Die Variablen sind schon links. Wir bringen die $\textcolor{#08BFFF}{10}$ mit $-10$ auf die rechte Seite.

$10 + 4a = 2 \ | \textcolor{#08BFFF}{-10}$

$10 + 4a \textcolor{#08BFFF}{- 10} = 2 \textcolor{#08BFFF}{- 10}$

$4a = -8$

Schritt 4: Variable isolieren

Wir teilen durch 4.

$4a = -8 \ | \textcolor{#53E5D6}{:4}$

$a = -2$

Schritt 5: Ergebnis notieren

Ergebnis: $a = -2$

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Beispiel 5

Aufgabe: Löse die Gleichung: $\frac{b}{2} - 3 = 1$

Lösung:

Schritt 3: Alle Zahlen auf die andere Seite bringen

Zuerst kümmern wir uns um die Strichrechnung. Wir bringen die $\textcolor{#08BFFF}{-3}$ mit $+3$ auf die rechte Seite.

$\frac{b}{2} - 3 = 1 \ | \textcolor{#08BFFF}{+3}$

$\frac{b}{2} - 3 \textcolor{#08BFFF}{+ 3} = 1 \textcolor{#08BFFF}{+ 3}$

$\frac{b}{2} = 4$

Schritt 4: Variable isolieren

Jetzt kümmern wir uns um die Punktrechnung. $b$ wird durch 2 geteilt, also multiplizieren wir mit 2.

$\frac{b}{2} = 4 \ | \textcolor{#53E5D6}{\cdot 2}$

$\frac{b}{2} \textcolor{#53E5D6}{\cdot 2} = 4 \textcolor{#53E5D6}{\cdot 2}$

$b = 8$

Schritt 5: Ergebnis notieren

Ergebnis: $b = 8$

Aufgabentyp 4: Gleichung mit mehreren Variablen

Manchmal hast du Gleichungen mit mehreren verschiedenen Variablen, wie in Formeln (z. B. für Flächen oder Volumen). Das Ziel ist hier nicht, eine einzige Zahl als Lösung zu finden, sondern die Gleichung so umzustellen, dass eine bestimmte Variable allein auf einer Seite steht.

Der Trick ist: Behandle alle anderen Variablen so, als wären sie ganz normale Zahlen.

Die Regeln der Äquivalenzumformung bleiben exakt die gleichen. Du sortierst und isolierst die gewünschte Variable, genau wie du es mit $x$ tun würdest.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Zielvariable identifizieren: Lies die Aufgabenstellung genau: Nach welcher Variable sollst du umstellen?
2. Alle Terme mit der Zielvariable auf eine Seite: Nutze Addition und Subtraktion, um alle Terme, die deine Zielvariable enthalten, auf eine Seite zu bringen.
3. Alle anderen Terme auf die andere Seite: Bringe alle Terme, die deine Zielvariable nicht enthalten, auf die andere Seite.
4. Zielvariable isolieren: Wenn die Zielvariable mit anderen Variablen oder Zahlen multipliziert wird, teile durch den gesamten Faktor. Wenn sie geteilt wird, multipliziere.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Stelle die Gleichung $a - 4b = 5b - 2a$ nach $a$ um.

Lösung:

Schritt 1: Zielvariable identifizieren

Wir wollen nach $\textcolor{#9570FF}{a}$ umstellen.

Schritt 2: Alle Terme mit $a$ auf eine Seite

Wir bringen $\textcolor{#08BFFF}{-2a}$ mit $+2a$ auf die linke Seite.

$a - 4b = 5b - 2a \ | \textcolor{#08BFFF}{+2a}$

$a \textcolor{#08BFFF}{+ 2a} - 4b = 5b$

$3a - 4b = 5b$

Schritt 3: Alle anderen Terme auf die andere Seite

Wir bringen $\textcolor{#53E5D6}{-4b}$ mit $+4b$ auf die rechte Seite.

$3a - 4b = 5b \ | \textcolor{#53E5D6}{+4b}$

$3a = 5b \textcolor{#53E5D6}{+ 4b}$

$3a = 9b$

Schritt 4: Zielvariable isolieren

$a$ wird mit 3 multipliziert, also teilen wir durch 3.

$3a = 9b \ | \textcolor{#1E90FF}{:3}$

$a = \frac{9b}{3}$

Ergebnis: $a = 3b$

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Beispiel 2

Aufgabe: Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet $U = 2l + 2b$. Stelle die Formel nach der Länge $l$ um.

Lösung:

Schritt 1: Zielvariable identifizieren

Wir stellen nach $\textcolor{#9570FF}{l}$ um.

Schritt 3: Alle anderen Terme auf die andere Seite

Zuerst bringen wir den Term ohne $l$, also $\textcolor{#08BFFF}{2b}$, mit $-2b$ auf die linke Seite.

$U = 2l + 2b \ | \textcolor{#08BFFF}{-2b}$

$U \textcolor{#08BFFF}{- 2b} = 2l$

Schritt 4: Zielvariable isolieren

$l$ wird mit 2 multipliziert, also teilen wir durch 2.

$U - 2b = 2l \ | \textcolor{#53E5D6}{:2}$

$\frac{U - 2b}{\textcolor{#53E5D6}{2}} = l$

Ergebnis: Die umgestellte Formel lautet $l = \frac{U - 2b}{2}$.

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Beispiel 3

Aufgabe: Stelle die Geradengleichung $y = m \cdot x + t$ nach $x$ um.

Lösung:

Schritt 1: Zielvariable identifizieren

Wir stellen nach $\textcolor{#9570FF}{x}$ um.

Schritt 3: Alle anderen Terme auf die andere Seite

Zuerst bringen wir das $\textcolor{#08BFFF}{t}$ mit $-t$ nach links.

$y = m \cdot x + t \ | \textcolor{#08BFFF}{-t}$

$y \textcolor{#08BFFF}{- t} = m \cdot x$

Schritt 4: Zielvariable isolieren

$x$ wird mit $m$ multipliziert, also teilen wir durch $m$.

$y - t = m \cdot x \ | \textcolor{#53E5D6}{:m}$

$\frac{y - t}{\textcolor{#53E5D6}{m}} = x$

Ergebnis: Die umgestellte Formel lautet $x = \frac{y - t}{m}$.

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Beispiel 4

Aufgabe: Stelle die Formel $F = m \cdot a$ nach $a$ um.

Lösung:

Schritt 1: Zielvariable identifizieren

Wir stellen nach $\textcolor{#9570FF}{a}$ um.

Schritt 4: Zielvariable isolieren

$a$ ist bereits fast isoliert. Es wird nur mit $m$ multipliziert. Also teilen wir durch $m$.

$F = m \cdot a \ | \textcolor{#08BFFF}{:m}$

$\frac{F}{\textcolor{#08BFFF}{m}} = a$

Ergebnis: Die umgestellte Formel lautet $a = \frac{F}{m}$.

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Beispiel 5

Aufgabe: Stelle die Gleichung $c = \frac{a+b}{2}$ nach $a$ um.

Lösung:

Schritt 1: Zielvariable identifizieren

Wir stellen nach $\textcolor{#9570FF}{a}$ um.

Schritt 4: Zielvariable isolieren (Teil 1)

Zuerst müssen wir den Bruch auflösen. Der gesamte Term $(a+b)$ wird durch 2 geteilt. Also multiplizieren wir mit 2.

$c = \frac{a+b}{2} \ | \textcolor{#08BFFF}{\cdot 2}$

$c \textcolor{#08BFFF}{\cdot 2} = a+b$

$2c = a+b$

Schritt 3: Alle anderen Terme auf die andere Seite

Jetzt bringen wir das $\textcolor{#53E5D6}{b}$ mit $-b$ auf die linke Seite.

$2c = a+b \ | \textcolor{#53E5D6}{-b}$

$2c \textcolor{#53E5D6}{- b} = a$

Ergebnis: Die umgestellte Formel lautet $a = 2c - b$.

Aufgabentyp 5: Lineare Gleichungen mit Klammern lösen

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable (z. B. $x$) nur in ihrer Grundform vorkommt, also nicht als $x^2$, $x^3$ oder $\sqrt{x}$. Alle bisherigen Beispiele waren lineare Gleichungen.

Manchmal enthalten diese Gleichungen Klammern. Die Regel hier ist einfach: Klammern müssen zuerst weg!

Dazu verwendest du das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz). Das bedeutet, du multiplizierst die Zahl vor der Klammer mit jedem Glied in der Klammer.

Beispiel: $\textcolor{#08BFFF}{2} \cdot (x+3) = \textcolor{#08BFFF}{2} \cdot x + \textcolor{#08BFFF}{2} \cdot 3 = 2x + 6$.

Sobald die Klammern aufgelöst sind, löst du die Gleichung wie gewohnt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Klammern auflösen: Multipliziere die Zahl vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer. Achte auf die Vorzeichen!
2. Vereinfachen: Fasse auf beiden Seiten der Gleichung gleiche Terme zusammen.
3. Variablen auf eine Seite, Zahlen auf die andere: Nutze Addition und Subtraktion, um die Gleichung zu sortieren.
4. Variable isolieren: Nutze Multiplikation oder Division, um die Variable allein zu stellen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Löse die Gleichung: $2 \cdot (x+2) = -0{,}5x + 9$

Lösung:

Schritt 1: Klammern auflösen

Wir multiplizieren die 2 mit dem $x$ und der 2.

$\textcolor{#08BFFF}{2} \cdot (x+2) = -0{,}5x + 9$

$\textcolor{#08BFFF}{2}x + \textcolor{#08BFFF}{4} = -0{,}5x + 9$

Schritt 3: Variablen auf eine Seite, Zahlen auf die andere

Zuerst die x-Terme nach links:

$2x + 4 = -0{,}5x + 9 \ | \textcolor{#53E5D6}{+0{,}5x}$

$2{,}5x + 4 = 9$

Jetzt die Zahlen nach rechts:

$2{,}5x + 4 = 9 \ | \textcolor{#9570FF}{-4}$

$2{,}5x = 5$

Schritt 4: Variable isolieren

$2{,}5x = 5 \ | \textcolor{#1E90FF}{:2{,}5}$

$x = 2$

Ergebnis: $x = 2$

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Beispiel 2

Aufgabe: Löse die Gleichung: $3(y-4) = 6$

Lösung:

Schritt 1: Klammern auflösen

$3 \cdot (y-4) = 6$

$3y - 12 = 6$

Schritt 3: Zahlen auf die andere Seite

$3y - 12 = 6 \ | \textcolor{#08BFFF}{+12}$

$3y = 18$

Schritt 4: Variable isolieren

$3y = 18 \ | \textcolor{#53E5D6}{:3}$

$y = 6$

Ergebnis: $y = 6$

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Beispiel 3

Aufgabe: Löse die Gleichung: $5(a+1) = 3(a+3)$

Lösung:

Schritt 1: Klammern auflösen

Wir lösen die Klammern auf beiden Seiten auf.

$5a + 5 = 3a + 9$

Schritt 3: Variablen auf eine Seite, Zahlen auf die andere

Zuerst die a-Terme nach links:

$5a + 5 = 3a + 9 \ | \textcolor{#08BFFF}{-3a}$

$2a + 5 = 9$

Jetzt die Zahlen nach rechts:

$2a + 5 = 9 \ | \textcolor{#53E5D6}{-5}$

$2a = 4$

Schritt 4: Variable isolieren

$2a = 4 \ | \textcolor{#9570FF}{:2}$

$a = 2$

Ergebnis: $a = 2$

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Beispiel 4

Aufgabe: Löse die Gleichung: $-4(z-2) = 16$

Lösung:

Schritt 1: Klammern auflösen

Achte auf das Vorzeichen! $-4$ mal $-2$ ergibt $+8$.

$-4z + 8 = 16$

Schritt 3: Zahlen auf die andere Seite

$-4z + 8 = 16 \ | \textcolor{#08BFFF}{-8}$

$-4z = 8$

Schritt 4: Variable isolieren

$-4z = 8 \ | \textcolor{#53E5D6}{:(-4)}$

$z = -2$

Ergebnis: $z = -2$

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Beispiel 5

Aufgabe: Löse die Gleichung: $10 - (x+3) = 5$

Lösung:

Schritt 1: Klammern auflösen

Ein Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen in der Klammer um. Aus $(x+3)$ wird $-x-3$.

$10 - x - 3 = 5$

Schritt 2: Vereinfachen

Wir fassen die Zahlen auf der linken Seite zusammen: $10 - 3 = 7$.

$7 - x = 5$

Schritt 3: Zahlen auf die andere Seite

$7 - x = 5 \ | \textcolor{#08BFFF}{-7}$

$-x = -2$

Schritt 4: Variable isolieren

$-x$ ist das Gleiche wie $-1 \cdot x$. Wir teilen also durch -1.

$-x = -2 \ | \textcolor{#53E5D6}{:(-1)}$

$x = 2$

Ergebnis: $x = 2$

Wichtige Erkenntnisse

• Das Waage-Prinzip: Was du auf einer Seite der Gleichung tust, musst du auch auf der anderen Seite tun.
• Umkehroperation: Nutze immer die Gegenoperation, um etwas zu entfernen (+ vs. -, $\cdot$ vs. :).
• Reihenfolge beim Auflösen: Erst Strichrechnung (addieren/subtrahieren), dann Punktrechnung (multiplizieren/dividieren).
• Klammern zuerst: Wenn Klammern da sind, löse sie als Allererstes mit dem Distributivgesetz auf.
• Immer vereinfachen: Fasse gleiche Terme zusammen, wann immer es geht. Das macht die Gleichung übersichtlicher.