Äquivalenzumformungen einfach erklärt: Schritt für Schritt

Hast du dich jemals gefragt, warum du in Mathe immer „dasselbe auf beiden Seiten" machen musst? Das ist keine willkürliche Regel, sondern der Generalschlüssel, um fast jedes Gleichungsrätsel zu knacken. Stell dir eine Gleichung wie eine perfekt ausbalancierte Waage vor. Wenn du auf eine Seite einen Apfel legst, musst du auf die andere Seite auch einen legen, sonst kippt sie um. Das ist das ganze Geheimnis der Äquivalenzumformungen von Gleichungen! Wenn du dieses eine Prinzip – das Gleichgewicht – meisterst, kannst du jede Gleichung nach x auflösen, ohne ins Schwitzen zu kommen. Das ist dein Cheat-Code für bessere Noten.

Schnellantwort

Eine Äquivalenzumformung ist ein Schritt, der eine Gleichung verändert, ohne ihre Lösung zu ändern. Die Waage bleibt im Gleichgewicht. Die vier grundlegenden Äquivalenzumformungen sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – angewendet jeweils auf beide Seiten der Gleichung gleichzeitig. Ziel ist immer, die Variable (z. B. x) zu isolieren.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

• Variable: Ein Buchstabe (meistens x), der als Platzhalter für eine unbekannte Zahl dient.

  • Beispiel: In der Gleichung $x + 5 = 8$ ist die Variable $x$ der Platzhalter für die Zahl 3.

• Gleichung: Eine mathematische Aussage, die besagt, dass zwei Terme den gleichen Wert haben. Man erkennt sie immer am Gleichheitszeichen (=).

  • Beispiel: $4 + 3 = 7$ ist eine wahre Gleichung.

• Terme zusammenfassen: Du kannst Terme mit der gleichen Variable addieren oder subtrahieren.

  • Beispiel: $5x + 2x$ wird zu $7x$. Aber $5x + 2$ kann man nicht weiter vereinfachen.

• Distributivgesetz (Ausmultiplizieren): Wenn eine Zahl vor einer Klammer steht, musst du sie mit jedem Teil in der Klammer multiplizieren.

  • Formel: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
  • Beispiel: $3 \cdot (x + 4)$ wird zu $3 \cdot x + 3 \cdot 4 = 3x + 12$.

Aufgabentyp 1: Addieren auf beiden Seiten

Eine Äquivalenzumformung ist ein Schritt, der eine Gleichung verändert, ohne ihre Lösung zu ändern. Die Waage bleibt im Gleichgewicht.

Die einfachste Umformung ist die Addition. Wenn du auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl oder denselben Term addierst, bleibt die Gleichung gültig.

Stell dir vor, du hast die Gleichung $x - 3 = 5$. Um das $x$ allein zu bekommen, stört die $-3$. Was ist das Gegenteil von $-3$? Genau, $+3$! Also addieren wir auf beiden Seiten 3.

$x - 3 \textcolor{#08BFFF}{+ 3} = 5 \textcolor{#08BFFF}{+ 3}$

$x = 8$

Der senkrechte Strich $|$ hinter der Gleichung zeigt an, welche Umformung du durchführst. Man nennt ihn Kommandostrich oder Äquivalenzstrich.

$x - 3 = 5 \mid \textcolor{#08BFFF}{+ 3}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleichung analysieren: Schau dir die Gleichung an und überlege, welchen Term du durch Addition „neutralisieren" kannst, um die Variable zu isolieren.
2. Kommando notieren: Schreibe die Additions-Anweisung mit einem Kommandostrich hinter die Gleichung. Zum Beispiel: $| \textcolor{#08BFFF}{+ 5}$.
3. Auf beiden Seiten addieren: Füge die Zahl oder den Term auf der linken UND auf der rechten Seite der Gleichung hinzu.
4. Terme vereinfachen: Fasse die Terme auf beiden Seiten zusammen, um die neue, vereinfachte Gleichung zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#08BFFF}{+10}$ auf die Gleichung $5 = x - 10$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Gleichung analysieren und Kommando notieren

Die gegebene Gleichung ist $5 = x - 10$. Die Anweisung lautet, $+10$ anzuwenden.

$5 = x - 10 \mid \textcolor{#08BFFF}{+ 10}$

Schritt 3: Auf beiden Seiten addieren

Wir fügen die $10$ auf beiden Seiten hinzu.

$5 \textcolor{#08BFFF}{+ 10} = x - 10 \textcolor{#08BFFF}{+ 10}$

Schritt 4: Terme vereinfachen

Jetzt rechnen wir beide Seiten aus.

$15 = x$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $15 = x$.

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Beispiel 2

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#53E5D6}{+4x}$ auf die Gleichung $8 - 5x = 12$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Gleichung analysieren und Kommando notieren

Die Gleichung ist $8 - 5x = 12$. Wir sollen $+4x$ anwenden.

$8 - 5x = 12 \mid \textcolor{#53E5D6}{+ 4x}$

Schritt 3: Auf beiden Seiten addieren

Wir addieren den Term $4x$ auf beiden Seiten.

$8 - 5x \textcolor{#53E5D6}{+ 4x} = 12 \textcolor{#53E5D6}{+ 4x}$

Schritt 4: Terme vereinfachen

Wir fassen die x-Terme auf der linken Seite zusammen.

$8 - x = 12 + 4x$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $8 - x = 12 + 4x$.

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Beispiel 3

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#9570FF}{+7}$ auf die Gleichung $-2 = y - 7$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Gleichung analysieren und Kommando notieren

Die Gleichung lautet $-2 = y - 7$. Die Anweisung ist $+7$.

$-2 = y - 7 \mid \textcolor{#9570FF}{+ 7}$

Schritt 3: Auf beiden Seiten addieren

Wir addieren die $7$ auf beiden Seiten.

$-2 \textcolor{#9570FF}{+ 7} = y - 7 \textcolor{#9570FF}{+ 7}$

Schritt 4: Terme vereinfachen

Wir berechnen die Summen.

$5 = y$

Ergebnis: Die neue Gleichung ist $5 = y$.

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Beispiel 4

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#08BFFF}{+2a}$ auf die Gleichung $3a + 5 = 10 - 2a$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Gleichung analysieren und Kommando notieren

Die Gleichung ist $3a + 5 = 10 - 2a$. Wir sollen $+2a$ anwenden.

$3a + 5 = 10 - 2a \mid \textcolor{#08BFFF}{+ 2a}$

Schritt 3: Auf beiden Seiten addieren

Wir addieren $2a$ auf beiden Seiten.

$3a + 5 \textcolor{#08BFFF}{+ 2a} = 10 - 2a \textcolor{#08BFFF}{+ 2a}$

Schritt 4: Terme vereinfachen

Wir fassen die a-Terme auf der linken Seite und auf der rechten Seite zusammen.

$5a + 5 = 10$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $5a + 5 = 10$.

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Beispiel 5

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#53E5D6}{+20}$ auf die Gleichung $z - 20 = 0$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Gleichung analysieren und Kommando notieren

Die Gleichung lautet $z - 20 = 0$. Die Anweisung ist $+20$.

$z - 20 = 0 \mid \textcolor{#53E5D6}{+ 20}$

Schritt 3: Auf beiden Seiten addieren

Wir addieren die $20$ auf beiden Seiten.

$z - 20 \textcolor{#53E5D6}{+ 20} = 0 \textcolor{#53E5D6}{+ 20}$

Schritt 4: Terme vereinfachen

Wir berechnen die Summen.

$z = 20$

Ergebnis: Die neue Gleichung ist $z = 20$.

Aufgabentyp 2: Subtrahieren auf beiden Seiten

Genau wie die Addition ist auch die Subtraktion eine Äquivalenzumformung. Du kannst von beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl oder denselben Term abziehen, ohne die Lösung zu verändern. Die Waage bleibt im Gleichgewicht.

Nehmen wir die Gleichung $x + 8 = 15$. Um das $x$ zu isolieren, stört die $+8$. Das Gegenteil von $+8$ ist $-8$. Also subtrahieren wir auf beiden Seiten 8.

$x + 8 \textcolor{#9570FF}{- 8} = 15 \textcolor{#9570FF}{- 8}$

$x = 7$

Auch hier notieren wir die Anweisung mit dem Kommandostrich:

$x + 8 = 15 \mid \textcolor{#9570FF}{- 8}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleichung analysieren: Finde heraus, welchen Term du durch Subtraktion entfernen kannst, um die Variable allein zu stellen.
2. Kommando notieren: Schreibe die Subtraktions-Anweisung hinter die Gleichung. Zum Beispiel: $| \textcolor{#9570FF}{- 3x}$.
3. Auf beiden Seiten subtrahieren: Ziehe die Zahl oder den Term auf der linken UND auf der rechten Seite der Gleichung ab.
4. Terme vereinfachen: Fasse die Terme auf beiden Seiten zusammen, um die neue Gleichung zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#9570FF}{-5x}$ auf die Gleichung $-10 - 8x = 4x$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Gleichung analysieren und Kommando notieren

Die Gleichung ist $-10 - 8x = 4x$. Die Anweisung lautet $-5x$.

$-10 - 8x = 4x \mid \textcolor{#9570FF}{- 5x}$

Schritt 3: Auf beiden Seiten subtrahieren

Wir ziehen $5x$ auf beiden Seiten ab.

$-10 - 8x \textcolor{#9570FF}{- 5x} = 4x \textcolor{#9570FF}{- 5x}$

Schritt 4: Terme vereinfachen

Wir fassen die x-Terme auf beiden Seiten zusammen.

$-10 - 13x = -x$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $-10 - 13x = -x$.

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Beispiel 2

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#08BFFF}{-9}$ auf die Gleichung $y + 9 = 20$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Gleichung analysieren und Kommando notieren

Die Gleichung ist $y + 9 = 20$. Wir sollen $-9$ anwenden.

$y + 9 = 20 \mid \textcolor{#08BFFF}{- 9}$

Schritt 3: Auf beiden Seiten subtrahieren

Wir ziehen $9$ auf beiden Seiten ab.

$y + 9 \textcolor{#08BFFF}{- 9} = 20 \textcolor{#08BFFF}{- 9}$

Schritt 4: Terme vereinfachen

Wir berechnen die Differenzen.

$y = 11$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $y = 11$.

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Beispiel 3

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#53E5D6}{-2a}$ auf die Gleichung $7a - 5 = 12 + 3a$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Gleichung analysieren und Kommando notieren

Die Gleichung ist $7a - 5 = 12 + 3a$. Die Anweisung ist $-2a$.

$7a - 5 = 12 + 3a \mid \textcolor{#53E5D6}{- 2a}$

Schritt 3: Auf beiden Seiten subtrahieren

Wir ziehen $2a$ auf beiden Seiten ab.

$7a - 5 \textcolor{#53E5D6}{- 2a} = 12 + 3a \textcolor{#53E5D6}{- 2a}$

Schritt 4: Terme vereinfachen

Wir fassen die a-Terme auf beiden Seiten zusammen.

$5a - 5 = 12 + a$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $5a - 5 = 12 + a$.

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Beispiel 4

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#9570FF}{-15}$ auf die Gleichung $25 = z + 15$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Gleichung analysieren und Kommando notieren

Die Gleichung lautet $25 = z + 15$. Die Anweisung ist $-15$.

$25 = z + 15 \mid \textcolor{#9570FF}{- 15}$

Schritt 3: Auf beiden Seiten subtrahieren

Wir ziehen $15$ auf beiden Seiten ab.

$25 \textcolor{#9570FF}{- 15} = z + 15 \textcolor{#9570FF}{- 15}$

Schritt 4: Terme vereinfachen

Wir berechnen die Differenzen.

$10 = z$

Ergebnis: Die neue Gleichung ist $10 = z$.

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Beispiel 5

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#08BFFF}{-x}$ auf die Gleichung $3x = 10 + x$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Gleichung analysieren und Kommando notieren

Die Gleichung ist $3x = 10 + x$. Wir sollen $-x$ anwenden.

$3x = 10 + x \mid \textcolor{#08BFFF}{- x}$

Schritt 3: Auf beiden Seiten subtrahieren

Wir ziehen $x$ auf beiden Seiten ab.

$3x \textcolor{#08BFFF}{- x} = 10 + x \textcolor{#08BFFF}{- x}$

Schritt 4: Terme vereinfachen

Wir fassen die x-Terme zusammen.

$2x = 10$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $2x = 10$.

Aufgabentyp 3: Multiplizieren auf beiden Seiten

Auch die Multiplikation mit einer Zahl (außer 0) ist eine Äquivalenzumformung.

Achtung: Hier passiert der häufigste Fehler! Du musst die gesamte Seite der Gleichung multiplizieren, nicht nur einen Teil davon. Am sichersten ist es, wenn du gedanklich eine Klammer um jede Seite setzt.

Beispiel: $\frac{x}{3} + 2 = 5$. Um den Bruch loszuwerden, multiplizieren wir mit 3.

$(\frac{x}{3} + 2) \textcolor{#08BFFF}{\cdot 3} = (5) \textcolor{#08BFFF}{\cdot 3}$

Jetzt wenden wir das Distributivgesetz an:

$(\frac{x}{3} \textcolor{#08BFFF}{\cdot 3}) + (2 \textcolor{#08BFFF}{\cdot 3}) = 15$

$x + 6 = 15$

Die Anweisung lautet:

$\frac{x}{3} + 2 = 5 \quad | \textcolor{#08BFFF}{\cdot 3}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleichung analysieren: Überlege, mit welcher Zahl du multiplizieren musst. Oft will man damit einen Bruch auflösen.
2. Kommando notieren: Schreibe die Multiplikations-Anweisung hinter die Gleichung. Zum Beispiel: $| \textcolor{#08BFFF}{\cdot 4}$.
3. Beide Seiten multiplizieren (mit Klammern!): Setze zur Sicherheit Klammern um die linke und die rechte Seite und schreibe die Multiplikation dahinter.
4. Klammern ausmultiplizieren: Nutze das Distributivgesetz, um die Klammern aufzulösen. Denk daran, jeden Term in der Klammer zu multiplizieren.
5. Terme vereinfachen: Rechne alles aus, um die neue Gleichung zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#08BFFF}{\cdot 4}$ auf die Gleichung $x-2 = 3x + 4$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Kommando notieren

$x-2 = 3x + 4 \mid \textcolor{#08BFFF}{\cdot 4}$

Schritt 3: Beide Seiten multiplizieren (mit Klammern!)

$(x-2) \textcolor{#08BFFF}{\cdot 4} = (3x + 4) \textcolor{#08BFFF}{\cdot 4}$

Schritt 4: Klammern ausmultiplizieren

Wir wenden das Distributivgesetz auf beiden Seiten an.

$x \textcolor{#08BFFF}{\cdot 4} - 2 \textcolor{#08BFFF}{\cdot 4} = 3x \textcolor{#08BFFF}{\cdot 4} + 4 \textcolor{#08BFFF}{\cdot 4}$

Schritt 5: Terme vereinfachen

$4x - 8 = 12x + 16$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $4x - 8 = 12x + 16$.

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Beispiel 2

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#53E5D6}{\cdot 5}$ auf die Gleichung $\frac{y}{5} = 10$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Kommando notieren

$\frac{y}{5} = 10 \mid \textcolor{#53E5D6}{\cdot 5}$

Schritt 3: Beide Seiten multiplizieren

$\frac{y}{5} \textcolor{#53E5D6}{\cdot 5} = 10 \textcolor{#53E5D6}{\cdot 5}$

Schritt 4 & 5: Vereinfachen

Auf der linken Seite heben sich $\cdot 5$ und $\div 5$ auf.

$y = 50$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $y = 50$.

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Beispiel 3

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#9570FF}{\cdot (-2)}$ auf die Gleichung $4 - 3z = 8$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Kommando notieren

$4 - 3z = 8 \mid \textcolor{#9570FF}{\cdot (-2)}$

Schritt 3: Beide Seiten multiplizieren (mit Klammern!)

$(4 - 3z) \textcolor{#9570FF}{\cdot (-2)} = 8 \textcolor{#9570FF}{\cdot (-2)}$

Schritt 4: Klammern ausmultiplizieren

$4 \textcolor{#9570FF}{\cdot (-2)} - 3z \textcolor{#9570FF}{\cdot (-2)} = -16$

Schritt 5: Terme vereinfachen

$-8 + 6z = -16$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $-8 + 6z = -16$.

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Beispiel 4

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#08BFFF}{\cdot 10}$ auf die Gleichung $0{,}5a + 1{,}2 = 3$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Kommando notieren

$0{,}5a + 1{,}2 = 3 \mid \textcolor{#08BFFF}{\cdot 10}$

Schritt 3: Beide Seiten multiplizieren (mit Klammern!)

$(0{,}5a + 1{,}2) \textcolor{#08BFFF}{\cdot 10} = 3 \textcolor{#08BFFF}{\cdot 10}$

Schritt 4: Klammern ausmultiplizieren

$0{,}5a \textcolor{#08BFFF}{\cdot 10} + 1{,}2 \textcolor{#08BFFF}{\cdot 10} = 30$

Schritt 5: Terme vereinfachen

$5a + 12 = 30$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $5a + 12 = 30$.

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Beispiel 5

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#53E5D6}{\cdot (-1)}$ auf die Gleichung $-x = 5 - y$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Kommando notieren

$-x = 5 - y \mid \textcolor{#53E5D6}{\cdot (-1)}$

Schritt 3: Beide Seiten multiplizieren (mit Klammern!)

$(-x) \textcolor{#53E5D6}{\cdot (-1)} = (5 - y) \textcolor{#53E5D6}{\cdot (-1)}$

Schritt 4: Klammern ausmultiplizieren

$x = 5 \textcolor{#53E5D6}{\cdot (-1)} - y \textcolor{#53E5D6}{\cdot (-1)}$

Schritt 5: Terme vereinfachen

$x = -5 + y$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $x = -5 + y$.

Aufgabentyp 4: Dividieren auf beiden Seiten

Die Division durch eine Zahl (außer 0) ist die vierte grundlegende Äquivalenzumformung.

Genau wie bei der Multiplikation gilt auch hier: Du musst die gesamte Seite der Gleichung dividieren. Das bedeutet, jeder einzelne Term auf einer Seite muss durch die Zahl geteilt werden.

Beispiel: $6x + 9 = 15$. Wir sehen, dass alle Zahlen durch 3 teilbar sind. Also dividieren wir durch 3.

$(6x + 9) \textcolor{#9570FF}{\div 3} = 15 \textcolor{#9570FF}{\div 3}$

Jetzt teilen wir jeden Term einzeln:

$(6x \textcolor{#9570FF}{\div 3}) + (9 \textcolor{#9570FF}{\div 3}) = 5$

$2x + 3 = 5$

Die Anweisung lautet:

$6x + 9 = 15 \mid \textcolor{#9570FF}{\div 3}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleichung analysieren: Überlege, durch welche Zahl du dividieren musst. Oft will man damit den Faktor vor der Variable entfernen (z. B. bei $4x = 12$ durch 4 teilen).
2. Kommando notieren: Schreibe die Divisions-Anweisung hinter die Gleichung. Zum Beispiel: $| \textcolor{#9570FF}{\div (-2)}$.
3. Beide Seiten dividieren: Teile die komplette linke und die komplette rechte Seite durch die Zahl. Du kannst das mit einem Bruchstrich oder dem $\div$-Zeichen schreiben.
4. Jeden Term dividieren: Stelle sicher, dass du jeden Term auf beiden Seiten durch die Zahl teilst.
5. Terme vereinfachen: Rechne alles aus, um die neue Gleichung zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#9570FF}{\div (-3)}$ auf die Gleichung $2x+3 = 0$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Kommando notieren

$2x+3 = 0 \mid \textcolor{#9570FF}{\div (-3)}$

Schritt 3: Beide Seiten dividieren

$(2x+3) \textcolor{#9570FF}{\div (-3)} = 0 \textcolor{#9570FF}{\div (-3)}$

Schritt 4: Jeden Term dividieren

Wir teilen jeden Term der linken Seite durch $-3$.

$2x \textcolor{#9570FF}{\div (-3)} + 3 \textcolor{#9570FF}{\div (-3)} = 0$

Schritt 5: Terme vereinfachen

Wir schreiben die Division als Bruch.

$-\frac{2}{3}x - 1 = 0$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $-\frac{2}{3}x - 1 = 0$.

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Beispiel 2

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#08BFFF}{\div 7}$ auf die Gleichung $7x = 49$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Kommando notieren

$7x = 49 \mid \textcolor{#08BFFF}{\div 7}$

Schritt 3: Beide Seiten dividieren

$7x \textcolor{#08BFFF}{\div 7} = 49 \textcolor{#08BFFF}{\div 7}$

Schritt 4 & 5: Vereinfachen

$x = 7$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $x = 7$.

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Beispiel 3

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#53E5D6}{\div 10}$ auf die Gleichung $20y - 50 = 100$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Kommando notieren

$20y - 50 = 100 \mid \textcolor{#53E5D6}{\div 10}$

Schritt 3: Beide Seiten dividieren

$(20y - 50) \textcolor{#53E5D6}{\div 10} = 100 \textcolor{#53E5D6}{\div 10}$

Schritt 4: Jeden Term dividieren

$20y \textcolor{#53E5D6}{\div 10} - 50 \textcolor{#53E5D6}{\div 10} = 10$

Schritt 5: Terme vereinfachen

$2y - 5 = 10$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $2y - 5 = 10$.

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Beispiel 4

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#9570FF}{\div (-5)}$ auf die Gleichung $-5a - 15 = 25$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Kommando notieren

$-5a - 15 = 25 \mid \textcolor{#9570FF}{\div (-5)}$

Schritt 3: Beide Seiten dividieren

$(-5a - 15) \textcolor{#9570FF}{\div (-5)} = 25 \textcolor{#9570FF}{\div (-5)}$

Schritt 4: Jeden Term dividieren

$-5a \textcolor{#9570FF}{\div (-5)} - 15 \textcolor{#9570FF}{\div (-5)} = -5$

Schritt 5: Terme vereinfachen

$a + 3 = -5$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $a + 3 = -5$.

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Beispiel 5

Aufgabe: Wende die Äquivalenzumformung $\textcolor{#08BFFF}{\div 2}$ auf die Gleichung $12 + 8z = 2$ an.

Lösung:

Schritt 1 & 2: Kommando notieren

$12 + 8z = 2 \mid \textcolor{#08BFFF}{\div 2}$

Schritt 3: Beide Seiten dividieren

$(12 + 8z) \textcolor{#08BFFF}{\div 2} = 2 \textcolor{#08BFFF}{\div 2}$

Schritt 4: Jeden Term dividieren

$12 \textcolor{#08BFFF}{\div 2} + 8z \textcolor{#08BFFF}{\div 2} = 1$

Schritt 5: Terme vereinfachen

$6 + 4z = 1$

Ergebnis: Die neue Gleichung lautet $6 + 4z = 1$.

Aufgabentyp 5: Äquivalenzumformung erkennen

Manchmal musst du wie ein Detektiv arbeiten und herausfinden, welche Äquivalenzumformung zwischen zwei Zeilen einer Rechnung stattgefunden hat. Das ist einfacher, als es klingt.

Du vergleichst einfach die Gleichung vorher mit der Gleichung nachher und überlegst, welche Rechenoperation dich von A nach B bringt.

Der Trick: Schau dir zuerst die einfachere Seite der Gleichung an (z. B. die Seite ohne Variable). Wie kommst du von der alten Zahl zur neuen? Meistens gibt es zwei Möglichkeiten (z. B. Addition/Subtraktion oder Multiplikation/Division). Dann testest du diese Möglichkeiten auf der komplizierteren Seite und schaust, welche davon zum richtigen Ergebnis führt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleichungen vergleichen: Lege die Zeile vor der Umformung und die Zeile danach nebeneinander.
2. Hypothese für die einfache Seite aufstellen: Nimm die Seite der Gleichung, die einfacher aussieht. Finde heraus, wie sich der Term verändert hat. Beispiel: Von $10$ zu $8$. Mögliche Umformungen: $\textcolor{#08BFFF}{-2}$ oder $\textcolor{#53E5D6}{\cdot 0{,}8}$.
3. Hypothesen auf der anderen Seite testen: Wende die möglichen Umformungen auf die zweite, kompliziertere Seite der Gleichung an. Beispiel: Die andere Seite ist $5x$. Wir testen: Test 1: $5x \textcolor{#08BFFF}{- 2}$ (bleibt $5x-2$). Test 2: $5x \textcolor{#53E5D6}{\cdot 0{,}8}$ (wird zu $4x$).
4. Ergebnis überprüfen: Vergleiche deine Testergebnisse mit der tatsächlichen zweiten Zeile in der Aufgabe. Die Umformung, die zum richtigen Ergebnis führt, ist die gesuchte Lösung.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Gib die fehlende Äquivalenzumformung an:

$10x + 10 = -20$

$| \; ?$

$x + 1 = -2$

Lösung:

Schritt 1: Gleichungen vergleichen

Vorher: $10x + 10 = -20$ Nachher: $x + 1 = -2$

Schritt 2: Hypothese für die einfache Seite

Wir schauen auf die rechte Seite: Wie kommt man von $-20$ zu $-2$?

• Möglichkeit A (Addition): $-20 \textcolor{#08BFFF}{+ 18} = -2$
• Möglichkeit B (Division): $-20 \textcolor{#53E5D6}{\div 10} = -2$

Schritt 3: Hypothesen testen

Wir testen beide Möglichkeiten auf der linken Seite ($10x + 10$):

• Test A: $(10x + 10) \textcolor{#08BFFF}{+ 18} = 10x + 28$. Das ist nicht $x+1$.
• Test B: $(10x + 10) \textcolor{#53E5D6}{\div 10} = (10x \div 10) + (10 \div 10) = x + 1$. Das passt!

Schritt 4: Ergebnis überprüfen

Die Umformung $\div 10$ führt auf beiden Seiten zum richtigen Ergebnis. Die gesuchte Äquivalenzumformung ist also $\textcolor{#53E5D6}{\div 10}$.

Ergebnis: Die gesuchte Äquivalenzumformung ist $\div 10$.

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Beispiel 2

Aufgabe: Gib die fehlende Äquivalenzumformung an:

$x + 1 = -2$

$| \; ?$

$x = -3$

Lösung:

Schritt 1: Gleichungen vergleichen

Vorher: $x + 1 = -2$ Nachher: $x = -3$

Schritt 2: Hypothese für die einfache Seite

Wir schauen auf die rechte Seite: Wie kommt man von $-2$ zu $-3$?

• Möglichkeit A (Subtraktion): $-2 \textcolor{#08BFFF}{- 1} = -3$
• Möglichkeit B (Multiplikation): $-2 \textcolor{#53E5D6}{\cdot 1{,}5} = -3$

Schritt 3: Hypothesen testen

Wir testen beide Möglichkeiten auf der linken Seite ($x + 1$):

• Test A: $(x + 1) \textcolor{#08BFFF}{- 1} = x$. Das passt!
• Test B: $(x + 1) \textcolor{#53E5D6}{\cdot 1{,}5} = 1{,}5x + 1{,}5$. Das ist nicht $x$.

Schritt 4: Ergebnis überprüfen

Die Umformung $-1$ führt zum richtigen Ergebnis. Die gesuchte Äquivalenzumformung ist also $\textcolor{#08BFFF}{-1}$.

Ergebnis: Die gesuchte Äquivalenzumformung ist $-1$.

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Beispiel 3

Aufgabe: Gib die fehlende Äquivalenzumformung an:

$5y - 10 = 15$

$| \; ?$

$5y = 25$

Lösung:

Schritt 1: Gleichungen vergleichen

Vorher: $5y - 10 = 15$ Nachher: $5y = 25$

Schritt 2: Hypothese für die einfache Seite

Wir schauen auf die rechte Seite: Wie kommt man von $15$ zu $25$?

• Die einzige einfache Möglichkeit ist Addition: $15 \textcolor{#08BFFF}{+ 10} = 25$.

Schritt 3: Hypothese testen

Wir testen $+10$ auf der linken Seite ($5y - 10$):

• Test: $(5y - 10) \textcolor{#08BFFF}{+ 10} = 5y$. Das passt!

Schritt 4: Ergebnis überprüfen

Die Umformung $+10$ ist korrekt. Die gesuchte Äquivalenzumformung ist also $\textcolor{#08BFFF}{+10}$.

Ergebnis: Die gesuchte Äquivalenzumformung ist $+10$.

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Beispiel 4

Aufgabe: Gib die fehlende Äquivalenzumformung an:

$\frac{z}{4} + 1 = 3$

$| \; ?$

$z + 4 = 12$

Lösung:

Schritt 1: Gleichungen vergleichen

Vorher: $\frac{z}{4} + 1 = 3$ Nachher: $z + 4 = 12$

Schritt 2: Hypothese für die einfache Seite

Wir schauen auf die rechte Seite: Wie kommt man von $3$ zu $12$?

• Möglichkeit A (Addition): $3 \textcolor{#08BFFF}{+ 9} = 12$
• Möglichkeit B (Multiplikation): $3 \textcolor{#53E5D6}{\cdot 4} = 12$

Schritt 3: Hypothesen testen

Wir testen beide Möglichkeiten auf der linken Seite ($\frac{z}{4} + 1$):

• Test A: $(\frac{z}{4} + 1) \textcolor{#08BFFF}{+ 9} = \frac{z}{4} + 10$. Das ist nicht $z+4$.
• Test B: $(\frac{z}{4} + 1) \textcolor{#53E5D6}{\cdot 4} = (\frac{z}{4} \cdot 4) + (1 \cdot 4) = z + 4$. Das passt!

Schritt 4: Ergebnis überprüfen

Die Umformung $\cdot 4$ ist korrekt. Die gesuchte Äquivalenzumformung ist also $\textcolor{#53E5D6}{\cdot 4}$.

Ergebnis: Die gesuchte Äquivalenzumformung ist $\cdot 4$.

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Beispiel 5

Aufgabe: Gib die fehlende Äquivalenzumformung an:

$12 - 3x = 6x$

$| \; ?$

$12 = 9x$

Lösung:

Schritt 1: Gleichungen vergleichen

Vorher: $12 - 3x = 6x$ Nachher: $12 = 9x$

Schritt 2: Hypothese für die einfache Seite

Wir schauen auf die linke Seite: Wie kommt man von $12 - 3x$ zu $12$?

• Die einzige Möglichkeit ist, den Term $-3x$ zu entfernen. Das Gegenteil ist $+3x$: $(12 - 3x) \textcolor{#08BFFF}{+ 3x} = 12$.

Schritt 3: Hypothese testen

Wir testen $+3x$ auf der rechten Seite ($6x$):

• Test: $6x \textcolor{#08BFFF}{+ 3x} = 9x$. Das passt!

Schritt 4: Ergebnis überprüfen

Die Umformung $+3x$ ist korrekt. Die gesuchte Äquivalenzumformung ist also $\textcolor{#08BFFF}{+3x}$.

Ergebnis: Die gesuchte Äquivalenzumformung ist $+3x$.

Wichtige Erkenntnisse

• Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Was du auf einer Seite tust, musst du auch auf der anderen tun.
• Die vier grundlegenden Äquivalenzumformungen sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (niemals mit/durch 0).
• Achtung bei Mal und Geteilt: Du musst die Operation auf jeden einzelnen Term auf einer Seite anwenden. Setze am besten immer Klammern!
• Das Ziel ist immer, die Variable (z. B. x) zu isolieren, also allein auf einer Seite zu haben.
• Der Kommandostrich | zeigt an, welche Umformung im nächsten Schritt durchgeführt wird.