Gebrochenrationale Funktionen erstellen: Schritt für Schritt

Gebrochenrationale Funktionen begegnen dir überall dort, wo sich ein Wert einer Grenze annähert, ohne sie je ganz zu erreichen – zum Beispiel bei der Gravitationskraft eines Planeten oder der Stärke eines WLAN-Signals. Wenn du lernst, wie man solche Funktionen aufstellt, liest du quasi den „Source-Code" hinter solchen Phänomenen. In diesem Artikel zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du den Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion aus gegebenen Asymptoten und einem Punkt bestimmst – und wie du dieselben Informationen aus einem Graphen abliest.

Vorwissen

Bevor wir loslegen, solltest du diese Konzepte kennen:

• Asymptote: Eine Linie, der sich ein Graph immer weiter annähert, sie aber nie berührt oder schneidet.

  • Beispiel: Der Graph der Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ nähert sich der y-Achse (der Geraden $x=0$) unendlich an, erreicht sie aber nie.

• Koordinaten eines Punktes: Ein Punkt $P(x|y)$ hat einen x-Wert (gibt die Position nach links oder rechts an) und einen y-Wert (gibt die Position nach oben oder unten an).

  • Beispiel: Der Punkt $P(3|5)$ liegt 3 Einheiten rechts und 5 Einheiten oben vom Ursprung des Koordinatensystems.

• Gleichungen umstellen: Das Auflösen einer Gleichung nach einer gesuchten Variable durch gezielte Rechenoperationen auf beiden Seiten.

  • Beispiel: Um die Gleichung $8 = 2x + 2$ nach $x$ aufzulösen, ziehst du zuerst 2 ab ($6 = 2x$) und teilst dann durch 2, um $x=3$ zu erhalten.

Aufgabentyp 1: Funktionsterm aus Asymptoten und Punkt bestimmen

Eine einfache gebrochenrationale Funktion hat immer die gleiche Grundform:

$f(x) = \frac{a}{x+b} + c$

Unsere Aufgabe ist es, die drei Parameter $a$, $b$ und $c$ zu finden. Das Tolle ist: Zwei davon können wir direkt aus den Asymptoten ablesen!

1. Die senkrechte Asymptote und Parameter $b$ Die senkrechte Asymptote ist eine senkrechte Linie, an der der Nenner der Funktion null wird. Sie hat die Form $x = d$. Die Regel lautet: $x = -b$. Um $b$ zu finden, drehst du einfach das Vorzeichen des x-Wertes der Asymptote um: $b = -d$.

Beispiel: Ist die senkrechte Asymptote $x = 2$, dann ist $b = -2$.

2. Die waagerechte Asymptote und Parameter $c$ Die waagerechte Asymptote ist eine horizontale Linie, der sich die Funktion für sehr große und sehr kleine x-Werte annähert. Sie hat die Form $y = e$. Die Regel ist hier noch einfacher: $y = c$. Der Parameter $c$ ist also einfach der y-Wert der waagerechten Asymptote.

Beispiel: Ist die waagerechte Asymptote $y = 3$, dann ist $c = 3$.

3. Der Parameter $a$ Den letzten Parameter, $a$, finden wir, indem wir die Koordinaten eines zusätzlichen Punktes $P(x|y)$ in die halbfertige Funktionsgleichung einsetzen und die Gleichung dann nach $a$ auflösen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Bestimme $b$ und $c$ aus den Asymptoten: Lies die senkrechte Asymptote $x=d$ ab und berechne $b = -d$ (Achtung: Vorzeichenwechsel!). Lies die waagerechte Asymptote $y=c$ ab – der Wert für $c$ ist identisch.
2. Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Form ein: Trage die gefundenen Werte in $f(x) = \frac{a}{x+b} + c$ ein.
3. Setze den gegebenen Punkt ein: Nimm die Koordinaten des Punktes $P(x_P | y_P)$ und setze $x_P$ für $x$ und $y_P$ für $f(x)$ in die Gleichung ein.
4. Löse die Gleichung nach $a$ auf: Forme die entstandene Gleichung so um, dass $a$ alleine auf einer Seite steht.
5. Schreibe den vollständigen Funktionsterm auf: Setze den berechneten Wert für $a$ zusammen mit $b$ und $c$ in die allgemeine Form ein.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Funktionsterm aus einem Graphen bestimmen

Manchmal sind die Asymptoten und der Punkt nicht direkt als Text gegeben, sondern du musst sie aus einem Graphen ablesen. Das Vorgehen ist aber fast identisch. Der einzige neue Schritt ist ganz am Anfang: das sorgfältige Ablesen der Informationen.

So liest du die Informationen aus dem Graphen ab:

1. Senkrechte Asymptote: Suche die senkrechte Linie (oft gestrichelt), der sich der Graph von links und rechts annähert. Lies den x-Wert dieser Linie ab. Das ist deine senkrechte Asymptote $x=d$.
2. Waagerechte Asymptote: Suche die waagerechte Linie (oft gestrichelt), der sich der Graph nach ganz links und ganz rechts annähert. Lies den y-Wert dieser Linie ab. Das ist deine waagerechte Asymptote $y=c$.
3. Punkt: Suche einen Punkt auf dem Graphen, den du exakt ablesen kannst. Am besten eignen sich Punkte, deren Koordinaten ganze Zahlen sind, zum Beispiel der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Sobald du diese drei Informationen hast, machst du genau das Gleiche wie bei Aufgabentyp 1.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Lies die Informationen aus dem Graphen ab: Finde die senkrechte Asymptote ($x=...$), die waagerechte Asymptote ($y=...$) und einen gut ablesbaren Punkt $P(x|y)$ auf dem Graphen.
2. Bestimme $b$ und $c$ aus den Asymptoten: Aus $x=d$ folgt $b=-d$ (Vorzeichenwechsel!); aus $y=c$ folgt $c=c$.
3. Setze den Punkt ein und löse nach $a$ auf: Trage $b$, $c$ und die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Form $f(x) = \frac{a}{x+b}+c$ ein und löse nach $a$ auf.
4. Schreibe den vollständigen Funktionsterm auf: Setze die Werte für $a$, $b$ und $c$ in die allgemeine Form ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

In der Abbildung siehst du den Graphen einer elementar gebrochenrationalen Funktion. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Informationen aus dem Graphen ablesen
   • Senkrechte Asymptote: Die senkrechte gestrichelte Linie ist bei $x=1$.
   • Waagerechte Asymptote: Die waagerechte gestrichelte Linie ist bei $y=4$.
   • Punkt: Der Graph schneidet die y-Achse bei $P(0|2)$. Dieser Punkt ist gut ablesbar.
2. 2
   Schritt 2
   Parameter $b$ und $c$ aus den Asymptoten bestimmen
   • Aus $x=1$ folgt $b=-1$.
   • Aus $y=4$ folgt $c=4$.

   Die Funktion hat also die Form: $f(x) = \frac{a}{x-1} + 4$.

3. 3
   Schritt 3
   Punkt einsetzen und nach $a$ auflösen

   Wir setzen den Punkt $P(0|2)$ ein:

   $2 = \frac{a}{0-1} + 4$

   $2 = \frac{a}{-1} + 4$

   $2 = -a + 4 \quad | -4$

   $-2 = -a \quad | \cdot (-1)$

   $2 = a$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Vollständigen Funktionsterm aufschreiben

   $f(x) = \frac{2}{x-1} + 4$

Ergebnis:

Der gesuchte Funktionsterm lautet $f(x) = \frac{2}{x-1} + 4$.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Funktionsgleichung des abgebildeten Graphen.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Informationen aus dem Graphen ablesen
   • Senkrechte Asymptote: $x=-1$.
   • Waagerechte Asymptote: $y=2$.
   • Punkt: Der y-Achsenabschnitt ist bei $P(0|1)$.
2. 2
   Schritt 2
   Parameter $b$ und $c$ aus den Asymptoten bestimmen
   • Aus $x=-1$ folgt $b=-(-1)=1$.
   • Aus $y=2$ folgt $c=2$.

   Die Funktion hat die Form: $f(x) = \frac{a}{x+1} + 2$.

3. 3
   Schritt 3
   Punkt einsetzen und nach $a$ auflösen

   Wir setzen den Punkt $P(0|1)$ ein:

   $1 = \frac{a}{0+1} + 2$

   $1 = \frac{a}{1} + 2$

   $1 = a + 2 \quad | -2$

   $-1 = a$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Vollständigen Funktionsterm aufschreiben

   $f(x) = \frac{-1}{x+1} + 2$

Ergebnis:

Der gesuchte Funktionsterm lautet $f(x) = \frac{-1}{x+1} + 2$.

Beispiel 3

Aufgabe

Ermittle den Funktionsterm, der zum folgenden Graphen gehört.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Informationen aus dem Graphen ablesen
   • Senkrechte Asymptote: $x=2$.
   • Waagerechte Asymptote: $y=-1$.
   • Punkt: Ein gut ablesbarer Punkt ist $P(3|1)$.
2. 2
   Schritt 2
   Parameter $b$ und $c$ aus den Asymptoten bestimmen
   • Aus $x=2$ folgt $b=-2$.
   • Aus $y=-1$ folgt $c=-1$.

   Die Funktion hat die Form: $f(x) = \frac{a}{x-2} - 1$.

3. 3
   Schritt 3
   Punkt einsetzen und nach $a$ auflösen

   Wir setzen den Punkt $P(3|1)$ ein:

   $1 = \frac{a}{3-2} - 1$

   $1 = \frac{a}{1} - 1$

   $1 = a - 1 \quad | +1$

   $2 = a$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Vollständigen Funktionsterm aufschreiben

   $f(x) = \frac{2}{x-2} - 1$

Ergebnis:

Der gesuchte Funktionsterm lautet $f(x) = \frac{2}{x-2} - 1$.

Beispiel 4

Aufgabe

Gib die Funktionsgleichung für den Graphen in der Abbildung an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Informationen aus dem Graphen ablesen
   • Senkrechte Asymptote: $x=-2$.
   • Waagerechte Asymptote: $y=-3$.
   • Punkt: Ein gut ablesbarer Punkt ist $P(-1|-1)$.
2. 2
   Schritt 2
   Parameter $b$ und $c$ aus den Asymptoten bestimmen
   • Aus $x=-2$ folgt $b=-(-2)=2$.
   • Aus $y=-3$ folgt $c=-3$.

   Die Funktion hat die Form: $f(x) = \frac{a}{x+2} - 3$.

3. 3
   Schritt 3
   Punkt einsetzen und nach $a$ auflösen

   Wir setzen den Punkt $P(-1|-1)$ ein:

   $-1 = \frac{a}{-1+2} - 3$

   $-1 = \frac{a}{1} - 3$

   $-1 = a - 3 \quad | +3$

   $2 = a$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Vollständigen Funktionsterm aufschreiben

   $f(x) = \frac{2}{x+2} - 3$

Ergebnis:

Der gesuchte Funktionsterm lautet $f(x) = \frac{2}{x+2} - 3$.

Beispiel 5

Aufgabe

Welcher Funktionsterm passt zu diesem Graphen?

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1
   Informationen aus dem Graphen ablesen
   • Senkrechte Asymptote: $x=3$.
   • Waagerechte Asymptote: Die Asymptote ist die x-Achse, also $y=0$.
   • Punkt: Ein gut ablesbarer Punkt ist $P(4|2)$.
2. 2
   Schritt 2
   Parameter $b$ und $c$ aus den Asymptoten bestimmen
   • Aus $x=3$ folgt $b=-3$.
   • Aus $y=0$ folgt $c=0$.

   Die Funktion hat die Form: $f(x) = \frac{a}{x-3} + 0$, also $f(x) = \frac{a}{x-3}$.

3. 3
   Schritt 3
   Punkt einsetzen und nach $a$ auflösen

   Wir setzen den Punkt $P(4|2)$ ein:

   $2 = \frac{a}{4-3}$

   $2 = \frac{a}{1}$

   $2 = a$

4. 4
   Schritt 4 · Ergebnis
   Vollständigen Funktionsterm aufschreiben

   $f(x) = \frac{2}{x-3}$

Ergebnis:

Der gesuchte Funktionsterm lautet $f(x) = \frac{2}{x-3}$.

Wichtige Erkenntnisse

• Die allgemeine Form einer elementaren gebrochenrationalen Funktion ist $f(x) = \frac{a}{x+b} + c$.
• Die senkrechte Asymptote bei $x=d$ liefert den Parameter $b$ durch $b=-d$. Denk an den Vorzeichenwechsel!
• Die waagerechte Asymptote bei $y=c$ liefert direkt den Parameter $c$.
• Den Parameter $a$ findest du immer, indem du die Koordinaten eines bekannten Punktes in die halbfertige Gleichung einsetzt und nach $a$ auflöst.