Gebrochen-rationale Funktion vs. Standard-Hyperbel erklärt

Beim Vergleich von gebrochen-rationaler Funktion und Standard-Hyperbel stellst du dir am besten vor, du hast eine Schablone aus Plastik, in die die Form einer mathematischen Kurve gestanzt ist. Wenn du diese Schablone auf ein kariertes Blatt Papier legst, kannst du sie nach links, rechts, oben oder unten schieben. Die Form der Kurve ändert sich dabei nie – nur ihr Ort auf dem Papier!

Genau das machen wir heute mit gebrochen-rationalen Funktionen (den sogenannten Hyperbeln). Du wirst lernen, wie du allein durch einen Blick auf die Funktionsgleichung sofort erkennst, wohin und wie weit die „Schablone“ verschoben wurde, und wie du den passenden Graphen dazu findest.

Vorwissen

• Die Standard-Hyperbel: Die einfachste gebrochenrationale Funktion ist $f(x) = \frac{1}{x}$. Ihr Graph besteht aus zwei Kurvenästen. Beispiel: Setzt man $x=1$ ein, erhält man $y=1$. Setzt man $x=2$ ein, erhält man $y=0{,}5$.
• Asymptoten: Das sind unsichtbare Grenzlinien, denen sich der Graph unendlich nah annähert, ohne sie jemals zu berühren. Beispiel: Die Standard-Hyperbel $f(x) = \frac{1}{x}$ hat die x-Achse und die y-Achse als Asymptoten.

Aufgabentyp 1: Beschreibung der Verschiebung und Termumformung

Wenn wir die Standard-Hyperbel verschieben, verändert sich ihr Funktionsterm. Die allgemeine Formel für eine verschobene Hyperbel sieht so aus:

$h(x) = \frac{a}{x - \textcolor{#08BFFF}{d}} + \textcolor{#9570FF}{c}$

Die beiden Zahlen $\textcolor{#08BFFF}{d}$ und $\textcolor{#9570FF}{c}$ verraten uns genau, wohin die Reise geht:

1. Die vertikale Verschiebung (nach oben/unten) Die Zahl ganz am Ende, das $\textcolor{#9570FF}{c}$, ist sehr einfach zu verstehen. Sie verschiebt den Graphen nach oben oder unten.

• Ist die Zahl positiv (z.B. $\textcolor{#9570FF}{+2}$), wird der Graph um 2 Einheiten nach oben verschoben.
• Ist die Zahl negativ (z.B. $\textcolor{#9570FF}{-3}$), wird der Graph um 3 Einheiten nach unten verschoben.

2. Die horizontale Verschiebung (nach links/rechts) Die Zahl unten im Nenner beim $x$ ist etwas kniffliger. Hier gilt: Es ist genau das Gegenteil von dem, was man intuitiv denkt!

• Steht dort $x \textcolor{#08BFFF}{- 3}$, wird der Graph um 3 Einheiten nach rechts verschoben (in den positiven Bereich).
• Steht dort $x \textcolor{#08BFFF}{+ 4}$, wird der Graph um 4 Einheiten nach links verschoben (in den negativen Bereich).

Ein einfacher Trick für die Links/Rechts-Verschiebung: Frage dich immer: Welche Zahl muss ich für $x$ einsetzen, damit der Nenner Null wird? Wenn der Nenner $x - 3$ lautet, muss $x = 3$ sein, damit Null herauskommt. Die $+3$ verrät dir: Der Graph wurde um 3 nach rechts verschoben!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Ausgangsfunktion bestimmen: Finde heraus, wie die unverschobene Funktion aussieht. Lasse dafür einfach die Zahlen weg, die addiert oder subtrahiert werden.
2. Horizontale Verschiebung (links/rechts) analysieren: Betrachte den Nenner (unter dem Bruchstrich). Bestimme, welche Zahl du für $x$ einsetzen musst, damit der Nenner Null wird. Ergebnis positiv $\rightarrow$ Verschiebung nach rechts. Ergebnis negativ $\rightarrow$ Verschiebung nach links.
3. Vertikale Verschiebung (oben/unten) analysieren: Betrachte die Zahl, die ganz am Ende hinter dem Bruch steht. Zahl positiv $\rightarrow$ Verschiebung nach oben. Zahl negativ $\rightarrow$ Verschiebung nach unten.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Zuordnen von Funktion und Funktionsgraph

Wenn wir eine Hyperbel verschieben, verschieben sich ihre unsichtbaren Grenzlinien (die Asymptoten) einfach mit! Das ist extrem praktisch, denn wenn wir die Asymptoten kennen, können wir sofort erkennen, welcher Graph zu welcher Funktionsgleichung gehört.

Schauen wir uns die allgemeine Formel noch einmal an: $f(x) = \frac{a}{x - d} + c$

1. Die senkrechte Asymptote (vertikal) Die senkrechte Asymptote entsteht dort, wo der Nenner Null wird (denn durch Null darf man nicht teilen!). Wenn der Term $f(x) = \frac{1}{x \textcolor{#08BFFF}{- 2}} + 3$ lautet, wird der Nenner bei $x = 2$ zu Null. Die senkrechte Asymptote liegt also genau bei $\textcolor{#08BFFF}{x = 2}$.

2. Die waagrechte Asymptote (horizontal) Die waagrechte Asymptote können wir direkt an der Zahl ganz hinten ablesen. Bei $f(x) = \frac{1}{x - 2} \textcolor{#9570FF}{+ 3}$ liegt die waagrechte Asymptote genau bei $\textcolor{#9570FF}{y = 3}$.

Um einen Funktionsterm einem Graphen zuzuordnen, musst du also gar nichts rechnen. Du suchst einfach die beiden Asymptoten im Term und schaust, welcher Graph genau diese Grenzlinien hat.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Senkrechte Asymptote ablesen: Setze den Nenner des Funktionsterms gedanklich gleich Null. Der x-Wert, der diese Gleichung löst, ist deine senkrechte Asymptote (z.B. $x = 2$).
2. Waagrechte Asymptote ablesen: Lies die Zahl ab, die hinter dem Bruch addiert oder subtrahiert wird. Dieser y-Wert ist deine waagrechte Asymptote (z.B. $y = 3$).
3. Graphen vergleichen: Suche in den vorgegebenen Graphen nach dem Koordinatensystem, in dem die Kurven genau diese beiden Werte als unsichtbare Grenzen haben.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Weise die beiden angegebenen Funktionsterme ihren zugehörigen Funktionsgraphen zu.

Funktion (I): $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$

Funktion (II): $g(x) = \frac{1}{x-3} + 5$

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

4 / 4

1. 1
   Schritt 1 & 2
   Asymptoten von Funktion (I) bestimmen

   Wir betrachten die Funktion $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$.

   • Senkrechte Asymptote: Der Nenner ist $x+2$. Er wird Null, wenn $x = -2$ ist. Die senkrechte Asymptote liegt bei $\textcolor{#08BFFF}{x = -2}$.
   • Waagrechte Asymptote: Die Zahl hinter dem Bruch ist $-4$. Die waagrechte Asymptote liegt bei $\textcolor{#9570FF}{y = -4}$.
2. 2
   Schritt 3
   Graph für Funktion (I) finden

   Wir suchen den Graphen mit den Grenzen $x = -2$ und $y = -4$. Wenn wir die Bilder betrachten, sehen wir, dass Graph A genau diese Eigenschaften hat.

3. 3
   Schritt 1 & 2
   Asymptoten von Funktion (II) bestimmen

   Wir betrachten die Funktion $g(x) = \frac{1}{x-3} + 5$.

   • Senkrechte Asymptote: Der Nenner ist $x-3$. Er wird Null, wenn $x = 3$ ist. Die senkrechte Asymptote liegt bei $\textcolor{#08BFFF}{x = 3}$.
   • Waagrechte Asymptote: Die Zahl hinter dem Bruch ist $+5$. Die waagrechte Asymptote liegt bei $\textcolor{#9570FF}{y = 5}$.
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   Schritt 3 · Ergebnis
   Graph für Funktion (II) finden

   Wir suchen den Graphen mit den Grenzen $x = 3$ und $y = 5$. Dies trifft exakt auf Graph B zu.

Ergebnis:

Funktion (I) gehört zu Graph A, und Funktion (II) gehört zu Graph B.

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Wichtige Erkenntnisse

• Senkrechte Verschiebung / Waagrechte Asymptote: Die Zahl hinter dem Bruch ($c$) verschiebt den Graphen nach oben/unten. Sie ist gleichzeitig die waagrechte Asymptote ($y = c$).
• Waagrechte Verschiebung / Senkrechte Asymptote: Der Nenner bestimmt die Links/Rechts-Verschiebung. Setze den Nenner gleich Null, um die senkrechte Asymptote zu finden.
• Achtung Vorzeichen: Ein Minus im Nenner (z.B. $x-5$) bedeutet eine Verschiebung nach rechts (Asymptote bei $x=5$). Ein Plus im Nenner (z.B. $x+5$) bedeutet eine Verschiebung nach links (Asymptote bei $x=-5$).