Flächenschätzung einfach erklärt: Gitter & Ergänzung

Wir schauen uns die Abbildung an und zählen alle Kästchen, die komplett innerhalb des Tatzenabdrucks liegen. Das sind 15 Kästchen.

Jetzt zählen wir die Kästchen am Rand, die nur angeschnitten sind. Das sind 12 Kästchen.

Wir nehmen die 12 teilweisen Kästchen und teilen sie durch 2, was 6 ergibt. Diese addieren wir zu den 15 vollen Kästchen.

$\text{Gesamtanzahl} \approx 15 + \frac{12}{2}$

$= 15 + 6 = 21$

Die Fläche entspricht also ungefähr 21 Kästchen.

Ein Kästchen hat die Seitenlänge 1 cm. Die Fläche eines Kästchens ist also $1 \text{ cm} \cdot 1 \text{ cm} = 1 \text{ cm}^2$.

Die Gesamtfläche der Tatze ist daher ca. $21 \cdot 1 \text{ cm}^2 = 21 \text{ cm}^2$.

Wir zählen die vollständig ausgefüllten Kästchen im Brandgebiet. Es sind 28 Kästchen.

Wir zählen die nur teilweise bedeckten Kästchen am Rand. Es sind 18 Kästchen.

Wir berechnen die geschätzte Gesamtanzahl der Kästchen:

$\text{Gesamtanzahl} \approx 28 + \frac{18}{2}$

$= 28 + 9 = 37$

Laut Aufgabenstellung entspricht ein Kästchen einer Fläche von 1 km². Die Gesamtfläche ist also $37 \cdot 1 \text{ km}^2 = 37 \text{ km}^2$.

Die Fläche eines Blattes ist mit 1500 Kästchen angegeben.

Ein Kästchen hat eine Fläche von 1 mm². Die Fläche eines Blattes ist also $1500 \text{ mm}^2$.

Zuerst berechnen wir die Gesamtfläche aller Blätter in mm²:

$\text{Gesamtfläche (mm}^2\text{)} = 1500 \frac{\text{mm}^2}{\text{Blatt}} \cdot 200\,000 \text{ Blätter}$

$= 300\,000\,000 \text{ mm}^2$

Jetzt müssen wir von mm² in m² umrechnen. Wir wissen: $1 \text{ m} = 100 \text{ cm} = 1000 \text{ mm}$

Also ist $1 \text{ m}^2 = 1000 \text{ mm} \cdot 1000 \text{ mm} = 1\,000\,000 \text{ mm}^2$.

Wir müssen unsere Gesamtfläche also durch 1.000.000 teilen:

$\text{Gesamtfläche (m}^2\text{)} = \frac{300\,000\,000 \text{ mm}^2}{1\,000\,000 \frac{\text{mm}^2}{\text{m}^2}} = 300 \text{ m}^2$

Wir zählen 10 volle Kästchen.

Wir zählen 14 teilweise bedeckte Kästchen.

$\text{Gesamtanzahl} \approx 10 + \frac{14}{2}$

$= 10 + 7 = 17$

Die Fläche entspricht also 17 Kästchen.

Hier müssen wir aufpassen. Die Seitenlänge eines Kästchens ist 0,5 cm. Die Fläche eines Kästchens ist also:

$A_{\text{Kästchen}} = 0{,}5 \text{ cm} \cdot 0{,}5 \text{ cm} = 0{,}25 \text{ cm}^2$

Jetzt multiplizieren wir die Anzahl der Kästchen mit dieser Fläche:

$\text{Gesamtfläche} = 17 \cdot 0{,}25 \text{ cm}^2 = 4{,}25 \text{ cm}^2$

Anzahl der vollen Kästchen: 25 Anzahl der teilweisen Kästchen: 10

$\text{Gesamtanzahl} \approx 25 + \frac{10}{2}$

$= 25 + 5 = 30$

Die Scherbe hat eine Fläche von 30 Kästchen.

Ein Kästchen hat eine Fläche von 4 cm². Die Fläche der Scherbe ist also:

$A_{\text{Scherbe}} = 30 \cdot 4 \text{ cm}^2 = 120 \text{ cm}^2$

Die Scherbe ist nur ein Viertel (1/4) des ganzen Tellers. Um die Fläche des ganzen Tellers zu finden, müssen wir die Fläche der Scherbe mit 4 multiplizieren.

$A_{\text{Teller}} = A_{\text{Scherbe}} \cdot 4$

$= 120 \text{ cm}^2 \cdot 4 = 480 \text{ cm}^2$

Das Dreieck ist bereits in ein passendes Rechteck eingebettet. Die Maße des Rechtecks sind: Länge = 6 cm, Breite = 4 cm.

Wir berechnen die Fläche des umschließenden Rechtecks.

$A_{\text{Rechteck}} = 6 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2$

Ein rechtwinkliges Dreieck füllt genau die Hälfte des Rechtecks aus. Die andere Hälfte ist die „überschüssige" Fläche, die genauso groß ist wie das Dreieck selbst.

Um die Fläche des Dreiecks zu erhalten, teilen wir die Fläche des Rechtecks durch 2.

$A_{\text{Dreieck}} = \frac{A_{\text{Rechteck}}}{2}$

$= \frac{24 \text{ cm}^2}{2} = 12 \text{ cm}^2$

Wir stellen uns ein Rechteck um das Trapez vor. Die Maße des Rechtecks sind die längste Seite des Trapezes (50 m) und seine Höhe (20 m).

$A_{\text{Rechteck}} = 50 \text{ m} \cdot 20 \text{ m} = 1000 \text{ m}^2$

Es gibt eine überschüssige Fläche: ein kleines rechtwinkliges Dreieck an der Seite.

Wir bestimmen die Maße des Dreiecks:

• Höhe: 20 m (gleich wie die des Trapezes)
• Grundseite: $50 \text{ m} - 30 \text{ m} = 20 \text{ m}$

Die Fläche dieses Dreiecks ist die Hälfte des umgebenden Rechtecks ($20 \text{ m} \times 20 \text{ m}$):

$A_{\text{Dreieck}} = \frac{20 \text{ m} \cdot 20 \text{ m}}{2} = \frac{400 \text{ m}^2}{2} = 200 \text{ m}^2$

Wir ziehen die Fläche des Dreiecks von der Fläche des großen Rechtecks ab.

$A_{\text{Trapez}} = A_{\text{Rechteck}} - A_{\text{Dreieck}}$

$= 1000 \text{ m}^2 - 200 \text{ m}^2 = 800 \text{ m}^2$

Das ursprüngliche Rechteck hat die Maße 10 cm und 8 cm.

$A_{\text{Rechteck}} = 10 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} = 80 \text{ cm}^2$

Der ausgeschnittene Teil ist ein Dreieck. Wir bestimmen seine Maße aus der Zeichnung:

• Grundseite: $7 \text{ cm} - 2 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$
• Höhe: $8 \text{ cm} - 5 \text{ cm} = 3 \text{ cm}$

Die Fläche des Dreiecks ist die Hälfte des umschließenden Rechtecks ($5 \text{ cm} \times 3 \text{ cm}$):

$A_{\text{Dreieck}} = \frac{5 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm}}{2} = \frac{15 \text{ cm}^2}{2} = 7{,}5 \text{ cm}^2$

Wir ziehen die Fläche des Dreiecks von der Fläche des Rechtecks ab.

$A_{\text{Figur}} = A_{\text{Rechteck}} - A_{\text{Dreieck}}$

$= 80 \text{ cm}^2 - 7{,}5 \text{ cm}^2 = 72{,}5 \text{ cm}^2$

Wir betten das Trapez in ein Rechteck mit der Länge 9 cm und der Höhe 5 cm ein.

$A_{\text{Rechteck}} = 9 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 45 \text{ cm}^2$

In diesem Fall (ein rechtwinkliges Trapez) gibt es nur ein überschüssiges Dreieck.

Wir bestimmen die Maße des Dreiecks:

• Höhe: 5 cm
• Grundseite: $9 \text{ cm} - 4 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$

Die Fläche des Dreiecks ist:

$A_{\text{Dreieck}} = \frac{5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm}}{2} = \frac{25 \text{ cm}^2}{2} = 12{,}5 \text{ cm}^2$

$A_{\text{Trapez}} = A_{\text{Rechteck}} - A_{\text{Dreieck}}$

$= 45 \text{ cm}^2 - 12{,}5 \text{ cm}^2 = 32{,}5 \text{ cm}^2$

Das ursprüngliche Quadrat hat die Maße 10 cm x 10 cm.

$A_{\text{Quadrat}} = 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2$

Es wurden zwei identische, rechtwinklige Dreiecke an der oberen linken und rechten Ecke weggeschnitten.

Betrachten wir eines der weggeschnittenen Dreiecke. Seine Maße sind:

• Höhe: Die obere Hälfte des Quadrats, also 5 cm.
• Grundseite: Die Hälfte der oberen Seite, also 5 cm.

Die Fläche eines Dreiecks ist: $A_{\text{ein Dreieck}} = \frac{5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm}}{2} = 12{,}5 \text{ cm}^2$

Da es zwei solcher Dreiecke gibt, ist die gesamte abgeschnittene Fläche: $A_{\text{überschüssig}} = 2 \cdot 12{,}5 \text{ cm}^2 = 25 \text{ cm}^2$

$A_{\text{Pfeil}} = A_{\text{Quadrat}} - A_{\text{überschüssig}}$

$= 100 \text{ cm}^2 - 25 \text{ cm}^2 = 75 \text{ cm}^2$