Flächeninhalt von Polygonen berechnen: So geht's

Wir zerlegen die Figur in zwei Rechtecke, A1 und A2.

• Rechteck A1: Die Breite ist 2 cm. Die Höhe ist die Gesamthöhe (6 cm) minus die Höhe des unteren Teils (2 cm), also $6 - 2 = 4$ cm.
• Rechteck A2: Die Breite ist 5 cm, die Höhe ist 2 cm.

• Fläche von A1: $A_1 = \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 2 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm}^2$
• Fläche von A2: $A_2 = \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 5 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 10 \text{ cm}^2$

Wir addieren die beiden Teilflächen.

$A_{gesamt} = A_1 + A_2$

$A_{gesamt} = 8 \text{ cm}^2 + 10 \text{ cm}^2 = 18 \text{ cm}^2$

Wir stellen uns ein großes Rechteck vor, das die U-Form umschließt, und identifizieren das fehlende Stück in der Mitte.

Das große Rechteck hat eine Breite von 7 cm und eine Höhe von 5 cm.

$A_{groß} = 7 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 35 \text{ cm}^2$

Das fehlende Stück ist ein Rechteck mit einer Breite von 3 cm und einer Höhe (Tiefe) von 3 cm.

$A_{fehlend} = 3 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} = 9 \text{ cm}^2$

Wir ziehen die fehlende Fläche von der großen Fläche ab.

$A_{gesamt} = A_{groß} - A_{fehlend}$

$A_{gesamt} = 35 \text{ cm}^2 - 9 \text{ cm}^2 = 26 \text{ cm}^2$

Wir zerlegen die T-Form in zwei Rechtecke: den oberen Querbalken (A1) und den senkrechten Steg (A2).

• Oberer Balken A1: Breite = 8 cm, Höhe = 2 cm. $A_1 = 8 \text{ cm} \cdot 2 \text{ cm} = 16 \text{ cm}^2$
• Senkrechter Steg A2: Breite = 2 cm, Höhe = 4 cm. $A_2 = 2 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm}^2$

$A_{gesamt} = A_1 + A_2$

$A_{gesamt} = 16 \text{ cm}^2 + 8 \text{ cm}^2 = 24 \text{ cm}^2$

• Fläche des gesamten Grundstücks ($A_{\text{groß}}$): $A_{groß} = 10 \text{ m} \cdot 10 \text{ m} = 100 \text{ m}^2$
• Fläche des Pools ($A_{\text{abzug}}$): $A_{abzug} = 4 \text{ m} \cdot 4 \text{ m} = 16 \text{ m}^2$

Wir subtrahieren die Poolfläche von der Grundstücksfläche.

$A_{Rasen} = A_{groß} - A_{abzug}$

$A_{Rasen} = 100 \text{ m}^2 - 16 \text{ m}^2 = 84 \text{ m}^2$

Wir können die Figur in ein zentrales Quadrat und vier identische Rechtecke zerlegen.

• Zentrales Quadrat ($A_{\text{mitte}}$): Die Seiten sind 1 cm lang. Die Breite des gesamten Kreuzes ist 5 cm. Die äußeren Arme sind jeweils 2 cm lang. Also ist die mittlere Breite $5 - 2 - 2 = 1$ cm. Genauso für die Höhe. $A_{mitte} = 1 \text{ cm} \cdot 1 \text{ cm} = 1 \text{ cm}^2$
• Vier Rechtecke ($A_{\text{arm}}$): Jeder Arm ist 2 cm lang und 1 cm breit. $A_{arm} = 2 \text{ cm} \cdot 1 \text{ cm} = 2 \text{ cm}^2$

Wir addieren die Fläche des Quadrats und die Flächen der vier Arme.

$A_{gesamt} = A_{mitte} + 4 \cdot A_{arm}$

$A_{gesamt} = 1 \text{ cm}^2 + 4 \cdot 2 \text{ cm}^2$

$A_{gesamt} = 1 \text{ cm}^2 + 8 \text{ cm}^2 = 9 \text{ cm}^2$

Wir zeichnen die Punkte A, B und C in ein Koordinatensystem und verbinden sie. Wir sehen, dass es ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Da es ein rechtwinkliges Dreieck ist, können wir die Flächenformel direkt anwenden. Wir brauchen nur die Längen der beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen (Katheten).

• Länge der Grundseite AB (waagerecht): Unterschied der x-Koordinaten von A und B: $\text{Länge}_{AB} = 4 - (-2) = 6$ Längeneinheiten (LE).
• Länge der Höhe BC (senkrecht): Unterschied der y-Koordinaten von B und C: $\text{Länge}_{BC} = 4 - 1 = 3$ LE.

Wir verwenden die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks.

$A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$

$A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3$

$A = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ Flächeneinheiten (FE).

Wir zeichnen die Figur und das umschließende Rechteck. Die äußersten Punkte sind: $x_{min}=1, x_{max}=7, y_{min}=1, y_{max}=5$.

• Breite des Rechtecks: $x_{max} - x_{min} = 7 - 1 = 6$ LE.
• Höhe des Rechtecks: $y_{max} - y_{min} = 5 - 1 = 4$ LE.

$A_{groß} = 6 \cdot 4 = 24$ FE.

Wir berechnen die Flächen der vier rechtwinkligen Dreiecke in den Ecken.

• Dreieck 2 (unten rechts, bei B): Seitenlängen $7-1=6$ und $2-1=1$. $A_1 = \frac{1}{2} \cdot (7-1) \cdot (2-1) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3$ FE.
• Dreieck 3 (oben rechts, bei C): Seitenlängen $7-6=1$ und $5-2=3$. $A_2 = \frac{1}{2} \cdot (7-6) \cdot (5-2) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1,5$ FE.
• Dreieck 4 (oben links, bei D): Seitenlängen $6-2=4$ und $5-4=1$. $A_3 = \frac{1}{2} \cdot (6-2) \cdot (5-4) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2$ FE.
• Dreieck 5 (links, bei A/D): Seitenlängen $2-1=1$ und $4-1=3$. $A_4 = \frac{1}{2} \cdot (2-1) \cdot (4-1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1,5$ FE.

$A_{Figur} = A_{groß} - A_1 - A_2 - A_3 - A_4$

$A_{Figur} = 24 - 3 - 1,5 - 2 - 1,5$

$A_{Figur} = 24 - 8 = 16$ FE.

Wir zeichnen das Trapez. Da die oberen und unteren Seiten waagerecht sind, können wir es einfach in ein Rechteck in der Mitte und zwei rechtwinklige Dreiecke an den Seiten zerlegen.

• Linkes Dreieck: Grundseite (waagerecht): $-2 - (-4) = 2$ LE. Höhe (senkrecht): $4 - 1 = 3$ LE. $A_{links} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$ FE.
• Mittleres Rechteck: Breite: $3 - (-2) = 5$ LE. Höhe: $4 - 1 = 3$ LE. $A_{mitte} = 5 \cdot 3 = 15$ FE.
• Rechtes Dreieck: Grundseite: $5 - 3 = 2$ LE. Höhe: $4 - 1 = 3$ LE. $A_{rechts} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$ FE.

$A_{gesamt} = A_{links} + A_{mitte} + A_{rechts}$

$A_{gesamt} = 3 + 15 + 3 = 21$ FE.

Wir zeichnen die Figur. Wir sehen, dass wir sie gut in ein Rechteck und ein Dreieck zerlegen können, indem wir eine horizontale Linie von E nach rechts ziehen.

Alternative Zerlegung: Die Linie von $E(-3|1)$ nach $C(3|1)$ teilt die Figur.

• Unteres Trapez (ABCE): Parallele Seiten AB und EC. AB ist $1 - (-3) = 4$ LE. EC ist $3 - (-3) = 6$ LE. Höhe ist $1 - (-2) = 3$ LE. $A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (4+6) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15$ FE.

• Oberes Dreieck (CDE): Grundseite EC ist 6 LE lang. Höhe ist der y-Unterschied von D zu der Linie EC: $4 - 1 = 3$ LE. $A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$ FE.

$A_{gesamt} = A_{Trapez} + A_{Dreieck} = 15 + 9 = 24$ FE.

Wir zeichnen das Viereck PQRS. Es ist ein Trapez mit einer senkrechten Seite. Wir können es aber auch mit einem Rechteck umschließen. $x_{min}=-4, x_{max}=5, y_{min}=0, y_{max}=5$.

• Breite: $5 - (-4) = 9$ LE.
• Höhe: $5 - 0 = 5$ LE.

$A_{groß} = 9 \cdot 5 = 45$ FE.

Es gibt nur eine fehlende Fläche: ein rechtwinkliges Dreieck in der oberen linken Ecke. Seine Eckpunkte sind S(0|2), (-4|2) und (-4|5).

• Waagerechte Seite: $0 - (-4) = 4$ LE.
• Senkrechte Seite: $5 - 2 = 3$ LE.

$A_{fehlend} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ FE.

$A_{Figur} = A_{groß} - A_{fehlend}$

$A_{Figur} = 45 - 6 = 39$ FE.