Division durch Kommazahlen einfach erklärt: Regeln & Beispiele

Stell dir vor, du hast $1{,}5 \text{ Liter}$ Saft und möchtest ihn in Gläser füllen, die genau $0{,}3 \text{ Liter}$ fassen. Wie viele Gläser kannst du füllen? Mathematisch gesehen ist das die Aufgabe $1{,}5 : 0{,}3$.

Wie das Bild zeigt, passt die $0{,}3$ genau $5$-mal in die $1{,}5$. Das Ergebnis ist also $5$. Aber was machen wir, wenn die Zahlen größer oder komplizierter werden und wir sie nicht mehr einfach aufzeichnen können? Dafür gibt es bei der Division durch Kommazahlen einen genialen Trick: Wir verschieben einfach das Komma, bis die Aufgabe kinderleicht wird!

Vorwissen

• Komma verschieben (Multiplikation mit 10, 100, ...): Wenn du eine Kommazahl mit $10$ malnimmst, rückt das Komma um eine Stelle nach rechts. Bei $100$ um zwei Stellen. Beispiel: $4{,}25 \cdot 10 = 42{,}5$ und $4{,}25 \cdot 100 = 425$.
• Schriftliche Division mit Komma im Dividenden: Du rechnest ganz normal. Sobald du die erste Ziffer nach dem Komma herunterholst, setzt du auch im Ergebnis ein Komma. Beispiel: Bei $12{,}6 : 3$ rechnest du erst $12 : 3 = 4$. Dann holst du die $6$ (nach dem Komma) und setzt im Ergebnis das Komma: $4{,}2$.

Aufgabentyp 1: Im Kopf durch Kommazahlen teilen

Durch eine Zahl mit Komma zu teilen, ist im Kopf sehr schwierig. Die gute Nachricht ist: Wir können die Aufgabe verändern, ohne dass sich das Ergebnis ändert!

Der Trick ist die Kommaverschiebung. Wenn wir bei beiden Zahlen das Komma um die gleiche Anzahl an Stellen nach rechts verschieben, bleibt das Ergebnis der Geteiltaufgabe exakt gleich.

Unser Ziel ist es immer, die zweite Zahl (den Divisor) zu einer ganzen Zahl ohne Komma zu machen.

Schauen wir uns die Aufgabe $30 : \textcolor{#08BFFF}{0{,}5}$ an. Die zweite Zahl ist $\textcolor{#08BFFF}{0{,}5}$. Sie stört uns.

Um aus der $\textcolor{#08BFFF}{0{,}5}$ eine ganze Zahl (die $\textcolor{#08BFFF}{5}$) zu machen, müssen wir das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben. Das bedeutet, wir müssen auch bei der $30$ das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben. Da die $30$ kein sichtbares Komma hat, stellen wir sie uns als $30{,}0$ vor. Wenn wir hier das Komma verschieben, wird daraus $300$ (wir hängen also eine Null an).

Aus der schweren Aufgabe wird eine leichte Aufgabe:

$300 : \textcolor{#08BFFF}{5} = 60$

Da das Ergebnis gleich bleibt, wissen wir nun auch:

$30 : \textcolor{#08BFFF}{0{,}5} = 60$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Die zweite Zahl betrachten: Schau dir die Zahl an, durch die du teilen sollst (den Divisor). Zähle, wie viele Stellen das Komma nach rechts rücken muss, damit sie eine ganze Zahl wird.
2. Komma bei beiden Zahlen verschieben: Verschiebe das Komma bei beiden Zahlen um genau diese Anzahl an Stellen nach rechts. Wenn eine Zahl keine Nachkommastellen mehr hat, hängst du für jede weitere Verschiebung eine Null an.
3. Die neue Aufgabe ausrechnen: Rechne die neue, leichtere Aufgabe im Kopf aus. Das Ergebnis ist dasselbe wie bei der ursprünglichen Aufgabe.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Schriftlich durch Kommazahlen teilen

Manchmal sind die Zahlen zu groß oder zu krumm, um sie im Kopf zu rechnen. Dann nutzen wir die schriftliche Division.

Die Vorbereitung ist hierbei exakt dieselbe wie beim Kopfrechnen: Wir verschieben das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts, bis die zweite Zahl eine ganze Zahl ist.

Schauen wir uns die Aufgabe $4{,}26 : \textcolor{#08BFFF}{0{,}3}$ an.

Die zweite Zahl ist $\textcolor{#08BFFF}{0{,}3}$. Wir verschieben das Komma um eine Stelle nach rechts, um eine $\textcolor{#08BFFF}{3}$ zu bekommen. Also müssen wir auch bei der $4{,}26$ das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben. Daraus wird $42{,}6$.

Unsere neue Aufgabe lautet nun:

$42{,}6 : \textcolor{#08BFFF}{3}$

Diese Aufgabe können wir nun ganz normal schriftlich rechnen. Wir teilen Schritt für Schritt. Sobald wir beim Rechnen das Komma in der $42{,}6$ überschreiten (also die $6$ herunterholen), setzen wir auch in unserem Ergebnis ein Komma.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Komma verschieben: Verschiebe das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts, bis die zweite Zahl (der Divisor) kein Komma mehr hat.
2. Schriftlich teilen: Beginne mit der normalen schriftlichen Division der neuen Aufgabe.
3. Komma im Ergebnis setzen: Sobald du die erste Ziffer nach dem Komma der ersten Zahl herunterholst, musst du sofort ein Komma in dein Ergebnis schreiben. Danach rechnest du ganz normal weiter, bis kein Rest mehr übrig ist (notfalls hängst du Nullen an den Rest an).

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Die goldene Regel: Verschiebe das Komma immer bei beiden Zahlen um genau dieselbe Anzahl an Stellen nach rechts.
• Das Ziel: Die zweite Zahl (der Divisor) muss eine ganze Zahl ohne Komma werden.
• Fehlende Stellen: Wenn du das Komma weiter verschieben musst, als die Zahl Stellen hat, hängst du einfach Nullen an (z. B. wird aus $8$ bei zwei Verschiebungen $800$).
• Komma im Ergebnis: Bei der schriftlichen Division setzt du das Komma im Ergebnis genau in dem Moment, in dem du die erste Ziffer nach dem Komma herunterholst.