Dezimalzahlen durch ganze Zahlen teilen einfach erklärt

Stell dir vor, du warst mit drei Freunden in der Stadt. Ihr habt euch zusammen Snacks gekauft und die Rechnung beträgt genau $8{,}40\ \text{€}$. Ihr wollt den Betrag fair durch $4$ Personen teilen. Aber wie teilt man eine Zahl mit Komma? Wenn du Dezimalzahlen durch ganze Zahlen teilen möchtest, bist du hier genau richtig.

Genau das lernst du jetzt! Egal ob im Kopf oder schriftlich auf dem Papier: Das Teilen von Kommazahlen ist viel einfacher, als es aussieht. Wenn du normale Zahlen teilen kannst, kennst du schon das wichtigste Geheimnis!

Vorwissen

• Vorzeichenregeln bei der Division: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, unterschiedliche Vorzeichen ergeben Minus.

  Beispiel: $(-12) : (-3) = 4$ und $12 : (-3) = -4$.

• Brüche als Dezimalzahlen: Einfache Brüche kannst du in Kommazahlen umschreiben.

  Beispiel: $\frac{1}{2} = 0{,}5$ oder $\frac{1}{5} = 0{,}2$.

Aufgabentyp 1: Kopfrechnen: Dezimalzahlen und Brüche teilen

Wenn die Zahlen klein genug sind, können wir sie ganz einfach im Kopf teilen, wenn wir Dezimalzahlen durch ganze Zahlen teilen. Der beste Trick dafür ist: Wir tun für einen Moment so, als gäbe es gar kein Komma!

Schauen wir uns die Aufgabe $0{,}15 : 3$ an:

1. Komma ignorieren: Wir lassen das Komma weg und rechnen einfach $15 : 3 = 5$.

2. Komma zurückholen: Jetzt schauen wir uns die ursprüngliche Zahl an. Die Zahl $\textcolor{#08BFFF}{0{,}15\text{ hat zwei Stellen nach dem Komma}}$. Also muss unser Ergebnis auch genau zwei Stellen nach dem Komma haben.

Wir nehmen unsere $5$ und füllen mit Nullen auf, bis wir zwei Nachkommastellen haben: Das ergibt $\textcolor{#08BFFF}{0{,}05}$.

Wenn in der Aufgabe ein Bruch steht (wie $\frac{1}{5} : 2$), wandelst du den Bruch einfach zuerst in eine Kommazahl um ($0{,}2 : 2$) und rechnest dann mit dem gleichen Trick weiter.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Bruch umwandeln (falls nötig): Steht in der Aufgabe ein Bruch? Wandle ihn zuerst in eine Dezimalzahl um (z.B. $\frac{1}{4} = 0{,}25$).
2. Ohne Komma und Vorzeichen rechnen: Ignoriere das Minuszeichen und das Komma. Teile die reinen Zahlen wie gewohnt im Kopf.
3. Komma setzen: Zähle, wie viele Stellen die Ausgangszahl nach dem Komma hatte. Setze das Komma im Ergebnis so, dass es genauso viele Nachkommastellen hat.
4. Vorzeichen bestimmen: Prüfe die Vorzeichen der ursprünglichen Aufgabe. Plus durch Minus (oder Minus durch Plus) ergibt ein negatives Ergebnis.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Schriftlich dividieren mit Komma

Bei größeren Zahlen nutzen wir die schriftliche Division, um Dezimalzahlen durch ganze Zahlen zu teilen. Das funktioniert fast genauso wie bei normalen Zahlen ohne Komma. Es gibt nur eine einzige, sehr wichtige goldene Regel:

Sobald du die erste Ziffer hinter dem Komma nach unten ziehst, musst du auch im Ergebnis ein Komma setzen!

Manchmal geht eine Rechnung am Ende nicht auf und du hast noch einen Rest, aber keine Ziffern mehr zum Herunterziehen. In diesem Fall darfst du dir einfach eine $0$ ausdenken und herunterziehen. Das darfst du tun, weil man an jede Zahl nach dem Komma unendlich viele Nullen anhängen kann (z.B. ist $38$ das Gleiche wie $38{,}00$).

Alltagswissen: Der Stückpreis

Diese Rechnungen brauchen wir oft beim Einkaufen, um den Stückpreis zu berechnen. Wenn du weißt, was eine ganze Packung kostet, teilst du den Gesamtpreis einfach durch die Anzahl der Teile in der Packung. So findest du heraus, was ein einzelnes Teil kostet und kannst vergleichen, welches Angebot wirklich günstiger ist.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Normal dividieren: Teile die Zahl ganz normal von links nach rechts, als gäbe es kein Komma. Schreibe die Ergebnisse und Reste auf.
2. Das Komma überschreiten: Sobald du an die Stelle kommst, an der du die erste Ziffer nach dem Komma der Ausgangszahl nach unten ziehst, machst du sofort ein Komma in dein Ergebnis.
3. Weiterrechnen und Nullen ergänzen: Rechne ganz normal weiter. Wenn du am Ende einen Rest hast, aber keine Ziffern mehr da sind, hänge einfach eine $0$ an den Rest an und rechne weiter, bis der Rest $0$ ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Im Schreibwarenladen gibt es zwei Angebote für Stifte. Angebot A: $4$ Stifte kosten $5{,}20\ \text{€}$. Angebot B: $6$ Stifte kosten $7{,}50\ \text{€}$. Berechne den Stückpreis für beide Angebote und entscheide, welches günstiger ist.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Stückpreis für Angebot A berechnen

   Wir teilen den Gesamtpreis durch die Anzahl: $5{,}20 : 4$.

   $ \begin{array}{l} \hspace{1mm} 5{,}20 : 4 = 1{,}30 \

   • \underline{4} \ \hspace{5mm} 12 \ \hspace{2mm} - \underline{12} \ \hspace{8mm} 00 \ \hspace{5mm} - \underline{0} \ \hspace{11mm} 0 \end{array} $

   Ein Stift bei Angebot A kostet $1{,}30\ \text{€}$.

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   Schritt 2 · Ergebnis
   Stückpreis für Angebot B berechnen

   Wir rechnen $7{,}50 : 6$.

   $ \begin{array}{l} \hspace{1mm} 7{,}50 : 6 = 1{,}25 \

   • \underline{6} \ \hspace{5mm} 15 \ \hspace{2mm} - \underline{12} \ \hspace{8mm} 30 \ \hspace{5mm} - \underline{30} \ \hspace{11mm} 0 \end{array} $

   Ein Stift bei Angebot B kostet $1{,}25\ \text{€}$.

Ergebnis:

Da $1{,}25\ \text{€}$ weniger ist als $1{,}30\ \text{€}$, ist Angebot B günstiger.

Wichtige Erkenntnisse

• Im Kopf: Ignoriere das Komma beim Rechnen. Gib dem Ergebnis am Ende genau so viele Nachkommastellen, wie die Ausgangszahl hatte.
• Schriftlich: Sobald du die erste Ziffer hinter dem Komma nach unten ziehst, musst du im Ergebnis ein Komma setzen.
• Nullen anhängen: Wenn du beim schriftlichen Teilen am Ende noch einen Rest hast, darfst du einfach eine $0$ anhängen und weiterrechnen.