Brüche vereinfachen einfach erklärt: Kürzen und anwenden

Stell dir vor, du hast eine riesige Tafel Schokolade, die aus $24$ Stücken besteht. Du isst $6$ Stücke davon. Hast du viel gegessen oder eher wenig?

Um solche Fragen genau zu beantworten, nutzen wir Brüche! Brüche helfen uns, alltägliche Situationen in Zahlen zu übersetzen. Heute lernen wir, wie du aus Texten ganz einfach einen Bruch aufstellst und wie du Brüche vereinfachen kannst, damit die Zahlen schön klein und übersichtlich werden.

Vorwissen

• Aufbau eines Bruchs: Der Zähler (oben) gibt den Anteil an, der Nenner (unten) gibt das Ganze an.

  Beispiel: Bei $\frac{3}{4}$ ist $3$ der Zähler und $4$ der Nenner.

• Primzahlen: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als $1$, die nur durch $1$ und durch sich selbst teilbar ist.

  Beispiel: Die ersten Primzahlen sind $2, 3, 5, 7, 11, 13$.

Aufgabentyp 1: Bruchteile aus dem Alltag berechnen

Oft begegnen uns Brüche in Texten oder im Alltag. Um aus einer Situation einen Bruch zu machen, musst du nur zwei Dinge herausfinden: Was ist das Ganze und was ist der Teil davon?

Die allgemeine Formel dafür ist sehr einfach:

$\text{Bruchteil} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{\text{Teil}}}{\textcolor{#9570FF}{\text{Ganze}}}$

Wenn du zum Beispiel $100 \text{ €}$ Taschengeld hast und $40 \text{ €}$ ausgibst, dann ist das gesamte Taschengeld das Ganze ($100$) und das ausgegebene Geld ist der Teil ($40$). Der Bruch lautet also $\frac{\textcolor{#08BFFF}{40}}{\textcolor{#9570FF}{100}}$.

Damit der Bruch leichter zu lesen ist, kürzen wir ihn am Ende. Kürzen bedeutet, dass wir den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl teilen. Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht, nur die Zahlen werden kleiner.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Das Ganze finden Lies den Text und suche die Zahl, die die Gesamtmenge beschreibt. Diese Zahl wird dein Nenner (unten).
2. Schritt 2: Den Teil finden Suche die Zahl, die nur einen bestimmten Anteil beschreibt. Diese Zahl wird dein Zähler (oben).
3. Schritt 3: Bruch aufstellen Schreibe den Bruch auf: $\frac{\text{Teil}}{\text{Ganze}}$.
4. Schritt 4: Bruch kürzen Teile den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl, bis es nicht mehr weitergeht.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

An einem Schulausflug nehmen $15$ von $45$ Schülern der 6. Klasse teil. Bestimme den Bruchteil der teilnehmenden Schüler und gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Das Ganze finden

   Die Gesamtzahl der Schüler in der Klasse ist das Ganze. Das sind $\textcolor{#9570FF}{45}$ Schüler.

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   Schritt 2
   Den Teil finden

   Die Anzahl der Schüler, die am Ausflug teilnehmen, ist der Teil. Das sind $\textcolor{#08BFFF}{15}$ Schüler.

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   Schritt 3
   Bruch aufstellen

   Wir setzen die Zahlen in unsere Formel ein:

   $\text{Bruchteil} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{15}}{\textcolor{#9570FF}{45}}$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Bruch kürzen

   Wir müssen den Bruch $\frac{15}{45}$ nun kürzen. Wir suchen eine Zahl, durch die wir $15$ und $45$ teilen können. Beide Zahlen enden auf $5$, also können wir sie durch $5$ teilen:

   $\frac{15 : 5}{45 : 5} = \frac{3}{9}$

   Wir können noch weiter kürzen, denn $3$ und $9$ sind beide durch $3$ teilbar:

   $\frac{3 : 3}{9 : 3} = \frac{1}{3}$

Ergebnis:

Der vollständig gekürzte Bruchteil der teilnehmenden Schüler ist $\frac{1}{3}$.

Aufgabentyp 2: Brüche vollständig kürzen (mit dem ggT)

Bei kleinen Zahlen ist das Kürzen einfach. Aber was machst du bei einem Bruch wie $\frac{36}{120}$? Hier ist es schwer zu raten, durch welche Zahl man teilen soll.

Um einen Bruch sofort vollständig zu kürzen, suchen wir die größtmögliche Zahl, durch die Zähler und Nenner teilbar sind. Diese Zahl nennt man den größten gemeinsamen Teiler (ggT).

Den ggT finden wir mit einem tollen Trick: der Primfaktorzerlegung. Dabei zerlegen wir eine Zahl in eine Malaufgabe, die nur aus Primzahlen besteht.

Beispiel für die Zahl $12$: $12 = 2 \cdot 6$ Da $6$ keine Primzahl ist, zerlegen wir sie weiter in $2 \cdot 3$. Also ist die Primfaktorzerlegung: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.

Wenn wir das für den Zähler und den Nenner machen, können wir die gemeinsamen Primzahlen finden und daraus den ggT berechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schritt 1: Primfaktorzerlegung Zerlege den Zähler und den Nenner jeweils in ihre Primfaktoren (nur durch Primzahlen wie $2, 3, 5, 7$ teilen).
2. Schritt 2: Gemeinsame Faktoren finden (ggT) Suche alle Primzahlen, die in beiden Zerlegungen vorkommen. Multipliziere diese gemeinsamen Primzahlen miteinander. Das Ergebnis ist der ggT.
3. Schritt 3: Kürzen Teile den Zähler und den Nenner durch den berechneten ggT. Dein Bruch ist nun vollständig gekürzt!

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Bruchteil aufstellen: $\text{Bruchteil} = \frac{\text{Teil}}{\text{Ganze}}$.
• Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl geteilt. Der Wert des Bruchs bleibt gleich.
• Vollständig kürzen: Wenn du den Zähler und den Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT) teilst, ist der Bruch sofort vollständig gekürzt und kann nicht weiter vereinfacht werden.