Wertgleiche Brüche einfach erklärt: Erweitern und Kürzen

Stell dir vor, du bestellst eine Pizza. Du kannst sie in der Mitte durchschneiden und eine riesige Hälfte essen. Oder du schneidest sie in vier Stücke und isst zwei davon. In beiden Fällen hast du genau gleich viel Pizza im Bauch!

In der Mathematik nennen wir das wertgleiche Brüche. Obwohl die Zahlen anders aussehen, beschreiben sie genau denselben Anteil. In diesem Artikel lernst du, wie du Brüche verändern kannst, ohne ihren echten Wert zu verändern. Das ist wie ein Zaubertrick mit Zahlen!

Vorwissen

• Zähler und Nenner: Ein Bruch besteht aus zwei Zahlen. Die obere Zahl heißt Zähler, die untere Zahl heißt Nenner. Der Bruchstrich trennt sie.

  Beispiel: Beim Bruch $\frac{3}{4}$ ist die $3$ der Zähler und die $4$ der Nenner.

• Multiplizieren und Dividieren: Du solltest das kleine Einmaleins sicher beherrschen und einfache Geteilt-Aufgaben im Kopf lösen können.

  Beispiel: $4 \cdot 5 = 20$ und $20 : 5 = 4$.

Aufgabentyp 1: Fehlende Werte bei wertgleichen Brüchen berechnen

Um wertgleiche Brüche vollständig zu verstehen und fehlende Werte zu berechnen, schauen wir uns zunächst die Grundlagen des Erweiterns und Kürzens an.

1. Die Erweiterungszahl finden

Manchmal hast du zwei Brüche, die genau denselben Wert haben, aber der zweite Bruch hat größere Zahlen. Das passiert durch das Erweitern. Beim Erweitern wurden der Zähler und der Nenner mit genau derselben Zahl malgenommen. Diese geheime Zahl nennen wir die Erweiterungszahl.

Wenn wir zwei Brüche haben, können wir diese Zahl ganz leicht herausfinden, indem wir rückwärts rechnen (also teilen).

Schauen wir uns das an einem Beispiel an:

$\frac{3}{7} = \frac{12}{28}$

Um die Erweiterungszahl zu finden, nehmen wir den neuen, größeren Zähler und teilen ihn durch den alten Zähler:

$12 : 3 = \textcolor{#53E5D6}{4}$

Zur Sicherheit können wir das auch mit den Nennern (den unteren Zahlen) machen. Das Ergebnis muss genau dasselbe sein:

$28 : 7 = \textcolor{#53E5D6}{4}$

Der Bruch wurde also mit der Zahl $\textcolor{#53E5D6}{4}$ erweitert.

2. Einen Bruch erweitern

Wenn du die Erweiterungszahl kennst, kannst du jeden Bruch selbst erweitern.

Die Regel ist ganz einfach: Multipliziere den Zähler (oben) und den Nenner (unten) mit genau derselben Zahl. Dadurch werden die Stücke des Bruchs kleiner, aber du hast mehr davon. Der Gesamtwert bleibt gleich.

Lass uns den Bruch $\frac{4}{5}$ mit der Zahl $\textcolor{#53E5D6}{3}$ erweitern. Wir rechnen oben mal $3$ und unten mal $3$:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot \textcolor{#53E5D6}{3}}{5 \cdot \textcolor{#53E5D6}{3}} = \frac{12}{15}$

Der neue, erweiterte Bruch heißt nun $\frac{12}{15}$. Er ist genauso viel wert wie $\frac{4}{5}$.

3. Einen Bruch kürzen

Das Kürzen ist das genaue Gegenteil vom Erweitern. Anstatt die Zahlen größer zu machen, machen wir sie kleiner. Das ist sehr praktisch, um Brüche übersichtlicher zu machen.

Die Regel lautet: Teile den Zähler (oben) und den Nenner (unten) durch genau dieselbe Zahl. Auch hierbei ändert sich der Wert des Bruchs nicht.

Lass uns den Bruch $\frac{15}{35}$ mit der Zahl $\textcolor{#53E5D6}{5}$ kürzen. Wir rechnen oben geteilt durch $5$ und unten geteilt durch $5$:

$\frac{15}{35} = \frac{15 : \textcolor{#53E5D6}{5}}{35 : \textcolor{#53E5D6}{5}} = \frac{3}{7}$

Der neue, gekürzte Bruch heißt $\frac{3}{7}$. Er sieht viel einfacher aus, bedeutet aber genau dasselbe wie $\frac{15}{35}$.

4. Fehlende Werte berechnen

Oft bekommst du in Matheaufgaben ein kleines Puzzle. Du hast zwei Brüche, die gleich sein sollen, aber eine Zahl fehlt (oft als Kästchen $\square$ dargestellt).

Um die fehlende Zahl zu finden, musst du wie ein Detektiv vorgehen. Du schaust dir das Zahlenpaar an, das bereits komplett ist (entweder beide Zähler oder beide Nenner). Mit diesem Paar findest du heraus, ob erweitert oder gekürzt wurde und mit welcher Zahl. Diese Zahl wendest du dann auf den fehlenden Teil an.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Das bekannte Paar finden: Schau dir die Gleichung an. Sind beide Zähler (oben) gegeben oder beide Nenner (unten)? Konzentriere dich nur auf dieses Paar.
2. Die geheime Zahl berechnen: Überlege, wie du von der ersten zur zweiten Zahl des Paares kommst. Wird die Zahl größer? Dann teile die große durch die kleine Zahl, um die Erweiterungszahl zu finden. Wird die Zahl kleiner? Dann teile die große durch die kleine Zahl, um die Kürzungszahl zu finden.
3. Die Zahl anwenden: Nimm die Zahl, die du in Schritt 2 gefunden hast. Wenn erweitert wurde, multipliziere den anderen Teil des Bruchs damit. Wenn gekürzt wurde, teile den anderen Teil des Bruchs dadurch. Das Ergebnis ist dein Platzhalter!

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren (malnehmen).
• Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren (teilen).
• Wertgleichheit: Egal wie oft du einen Bruch erweiterst oder kürzt, sein tatsächlicher Wert (die Menge, die er beschreibt) bleibt immer exakt gleich.
• Platzhalter finden: Finde immer zuerst heraus, was mit dem kompletten Zahlenpaar (Zähler oder Nenner) passiert ist, und mache dann genau dasselbe mit dem anderen Teil.