Was sind äquivalente Brüche?

Äquivalente Brüche sind Brüche, die denselben Wert haben, aber unterschiedlich aussehen. Zum Beispiel sind 1/2 , 2/4 und 3/6 alle äquivalent – sie beschreiben jeweils genau die gleiche Menge. Du erhältst äquivalente Brüche, indem du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst (Erweitern) oder durch dieselbe Zahl dividierst (Kürzen). Das Verständnis äquivalenter Brüche ist die Grundlage für das Addieren und Vergleichen von Brüchen.

Wie erweiterst du einen Bruch Schritt für Schritt?

Beim Erweitern eines Bruchs gehst du in vier Schritten vor: Identifiziere den Bruch und die Erweiterungszahl . Multipliziere den Zähler mit der Erweiterungszahl. Multipliziere den Nenner mit der Erweiterungszahl. Schreibe den neuen Bruch mit den berechneten Werten auf. Beispiel: 2/3 mit 8 erweitern ergibt 16/24 , weil 2 · 8 = 16 und 3 · 8 = 24 .

Wie kürzt du einen Bruch richtig?

Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Kürzungszahl . Das funktioniert nur, wenn beide Zahlen ohne Rest teilbar sind. Beispiel: 24/56 durch 8 kürzen ergibt 3/7 , weil 24 : 8 = 3 und 56 : 8 = 7 . Der Wert des Bruchs bleibt dabei gleich – er wird nur übersichtlicher dargestellt.

Wie findest du die Erweiterungszahl zwischen zwei Brüchen?

Um die Erweiterungszahl zwischen zwei äquivalenten Brüchen zu finden, teilst du den neuen Zähler durch den alten Zähler. Zur Kontrolle kannst du dasselbe mit den Nennern machen – das Ergebnis muss übereinstimmen. Beispiel: Von 3/7 zu 12/28 gilt 12 : 3 = 4 und 28 : 7 = 4 , also ist die Erweiterungszahl 4 .

Wie berechnest du einen fehlenden Wert in äquivalenten Brüchen?

Wenn in einer Gleichung wie 2/9 = □/45 eine Zahl fehlt, gehst du so vor: Vergleiche zunächst die bekannten Teile (hier die Nenner 9 und 45). Teile die größere durch die kleinere Zahl, um die Erweiterungszahl zu finden: 45 : 9 = 5 . Multipliziere dann den bekannten Zähler mit dieser Zahl: 2 · 5 = 10 . Der fehlende Wert ist also 10, und die vollständige Gleichung lautet 2/9 = 10/45 .

Äquivalente Brüche einfach erklärt

Äquivalente Brüche begegnen dir überall in der Mathematik – beim Addieren von Brüchen, beim Vergleichen von Größen und in Textaufgaben. Stell dir vor, du teilst eine Pizza. Ob du sagst: „Ich habe die Hälfte" ( $\frac{1}{2}$ ) oder „Ich habe zwei Viertel" ( $\frac{2}{4}$ ), du hast immer noch gleich viel Pizza vor dir. Das ist die Kernidee hinter äquivalenten Brüchen: Sie sehen unterschiedlich aus, haben aber genau denselben Wert. Wenn du diesen Trick einmal verstanden hast, wird das Rechnen mit Brüchen viel einfacher und du kannst Aufgaben lösen, an denen andere ewig knobeln.

Schnellantwort

Äquivalente Brüche sind Brüche, die denselben Wert haben, aber unterschiedlich geschrieben sind – zum Beispiel $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$ . Du erhältst sie, indem du Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multiplizierst (Erweitern) oder durch dieselbe Zahl dividierst (Kürzen). Der Wert des Bruchs bleibt dabei immer gleich.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen eines Bruchs:

Bruch: Ein Bruch stellt einen Teil eines Ganzen dar. Er besteht aus einem Zähler, einem Nenner und einem Bruchstrich.
- Beispiel: Der Bruch $\frac{3}{4}$ bedeutet, dass wir 3 von 4 gleich großen Teilen eines Ganzen haben.
Zähler: Die Zahl über dem Bruchstrich. Sie zählt, wie viele Teile wir haben.
- Beispiel: Im Bruch $\frac{3}{4}$ ist die 3 der Zähler.
Nenner: Die Zahl unter dem Bruchstrich. Sie benennt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wurde.
- Beispiel: Im Bruch $\frac{3}{4}$ ist die 4 der Nenner.

Aufgabentyp 1: Brüche mit einer gegebenen Zahl erweitern

Einen Bruch zu erweitern bedeutet, seine Einteilung zu verfeinern. Stell dir vor, du schneidest die Stücke einer Pizza in noch kleinere Teile. Die Gesamtmenge an Pizza ändert sich nicht, nur die Anzahl und Größe der Stücke.

Beim Erweitern multiplizierst du den Zähler (obere Zahl) und den Nenner (untere Zahl) mit derselben Zahl, der sogenannten Erweiterungszahl. Der Wert des Bruches bleibt dabei exakt gleich.

Zum Beispiel ist $\frac{1}{2}$ dasselbe wie $\frac{2}{4}$ . Wir haben Zähler und Nenner mit 2 erweitert.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Bruch und Erweiterungszahl identifizieren – Lies die Aufgabe und finde den Bruch, der erweitert werden soll, und die Zahl, mit der du erweitern sollst (die Erweiterungszahl).
Schritt 2: Zähler multiplizieren – Nimm den Zähler des ursprünglichen Bruchs und multipliziere ihn mit der Erweiterungszahl.
Schritt 3: Nenner multiplizieren – Nimm den Nenner des ursprünglichen Bruchs und multipliziere ihn ebenfalls mit der Erweiterungszahl.
Schritt 4: Neuen Bruch aufschreiben – Schreibe das Ergebnis aus Schritt 2 als neuen Zähler und das Ergebnis aus Schritt 3 als neuen Nenner. Das ist dein erweiterter Bruch.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Erweitere den Bruch $\frac{4}{7}$ mit der Zahl $5$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Bruch und Erweiterungszahl identifizieren
Der Bruch ist $\frac{4}{7}$ und die Erweiterungszahl ist $5$ .
Schritt 2
Zähler multiplizieren
Wir multiplizieren den Zähler $4$ mit der Erweiterungszahl $5$ .

$4 \cdot 5 = 20$
Schritt 3
Nenner multiplizieren
Wir multiplizieren den Nenner $7$ mit der Erweiterungszahl $5$ .

$7 \cdot 5 = 35$
Schritt 4 · Ergebnis
Neuen Bruch aufschreiben
Der erweiterte Bruch ist $\frac{20}{35}$ .

$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{20}{35}$

Ergebnis:

$\frac{4}{7}$ erweitert mit $5$ ergibt $\frac{20}{35}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Erweitere den Bruch $\frac{2}{3}$ mit der Zahl $8$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Bruch und Erweiterungszahl identifizieren
Der Bruch ist $\frac{2}{3}$ und die Erweiterungszahl ist $8$ .
Schritt 2
Zähler multiplizieren
$2 \cdot 8 = 16$
Schritt 3
Nenner multiplizieren
$3 \cdot 8 = 24$
Schritt 4 · Ergebnis
Neuen Bruch aufschreiben
Der erweiterte Bruch ist $\frac{16}{24}$ .

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$

Ergebnis:

$\frac{2}{3}$ erweitert mit $8$ ergibt $\frac{16}{24}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Erweitere den Bruch $\frac{5}{6}$ mit der Zahl $11$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Bruch und Erweiterungszahl identifizieren
Der Bruch ist $\frac{5}{6}$ und die Erweiterungszahl ist $11$ .
Schritt 2
Zähler multiplizieren
$5 \cdot 11 = 55$
Schritt 3
Nenner multiplizieren
$6 \cdot 11 = 66$
Schritt 4 · Ergebnis
Neuen Bruch aufschreiben
Der erweiterte Bruch ist $\frac{55}{66}$ .

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 11}{6 \cdot 11} = \frac{55}{66}$

Ergebnis:

$\frac{5}{6}$ erweitert mit $11$ ergibt $\frac{55}{66}$ .

Aufgabentyp 2: Die Erweiterungszahl zwischen zwei Brüchen finden

Manchmal hast du zwei Brüche, die gleich sind (äquivalent), und du sollst herausfinden, mit welcher Zahl der erste Bruch erweitert wurde, um den zweiten zu erhalten. Das ist wie Detektivarbeit!

Um die Erweiterungszahl zu finden, musst du nur den neuen Zähler durch den alten Zähler teilen. Zur Kontrolle kannst du auch den neuen Nenner durch den alten Nenner teilen. Das Ergebnis muss dasselbe sein!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Zähler vergleichen – Nimm den Zähler des zweiten (erweiterten) Bruchs und teile ihn durch den Zähler des ersten (ursprünglichen) Bruchs.
Schritt 2: Nenner vergleichen (zur Kontrolle) – Nimm den Nenner des zweiten Bruchs und teile ihn durch den Nenner des ersten Bruchs. Das Ergebnis sollte dasselbe sein wie in Schritt 1.
Schritt 3: Erweiterungszahl notieren – Das Ergebnis der Division ist die gesuchte Erweiterungszahl.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Mit welcher Zahl wurde der Bruch $\frac{3}{7}$ erweitert, um $\frac{12}{28}$ zu erhalten?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler vergleichen
Wir teilen den neuen Zähler ( $12$ ) durch den alten Zähler ( $3$ ).

$12 : 3 = 4$
Schritt 2
Nenner vergleichen (zur Kontrolle)
Wir teilen den neuen Nenner ( $28$ ) durch den alten Nenner ( $7$ ).

$28 : 7 = 4$
Schritt 3 · Ergebnis
Erweiterungszahl notieren
Beide Ergebnisse sind 4. Die Erweiterungszahl ist also $4$ .

Ergebnis:

Der Bruch $\frac{3}{7}$ wurde mit $4$ erweitert, um $\frac{12}{28}$ zu erhalten.

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Erweiterungszahl für die Gleichung $\frac{4}{5} = \frac{60}{75}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler vergleichen
Wir teilen den neuen Zähler ( $60$ ) durch den alten Zähler ( $4$ ).

$60 : 4 = 15$
Schritt 2
Nenner vergleichen (zur Kontrolle)
Wir teilen den neuen Nenner ( $75$ ) durch den alten Nenner ( $5$ ).

$75 : 5 = 15$
Schritt 3 · Ergebnis
Erweiterungszahl notieren
Die Erweiterungszahl ist $15$ .

Ergebnis:

$\frac{4}{5}$ wurde mit $15$ erweitert, um $\frac{60}{75}$ zu erhalten.

Beispiel 3

Aufgabe

Mit welcher Zahl wurde von $\frac{6}{11}$ auf $\frac{78}{143}$ erweitert?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zähler vergleichen
Wir teilen den neuen Zähler ( $78$ ) durch den alten Zähler ( $6$ ).

$78 : 6 = 13$
Schritt 2
Nenner vergleichen (zur Kontrolle)
Wir teilen den neuen Nenner ( $143$ ) durch den alten Nenner ( $11$ ).

$143 : 11 = 13$
Schritt 3 · Ergebnis
Erweiterungszahl notieren
Die Erweiterungszahl ist $13$ .

Ergebnis:

Der Bruch $\frac{6}{11}$ wurde mit $13$ erweitert, um $\frac{78}{143}$ zu erhalten.

Aufgabentyp 3: Brüche mit einer gegebenen Zahl kürzen

Kürzen ist das genaue Gegenteil von Erweitern. Statt die Pizzastücke kleiner zu schneiden, fasst du mehrere kleine Stücke zu einem größeren zusammen. Der Wert des Bruchs bleibt wieder gleich, aber die Zahlen im Zähler und Nenner werden kleiner und übersichtlicher.

Beim Kürzen dividierst du den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl, die sogenannte Kürzungszahl. Das funktioniert natürlich nur, wenn beide Zahlen ohne Rest durch die Kürzungszahl teilbar sind.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Bruch und Kürzungszahl identifizieren – Lies die Aufgabe und finde den Bruch, der gekürzt werden soll, und die Zahl, mit der du kürzen sollst.
Schritt 2: Zähler dividieren – Nimm den Zähler des Bruchs und teile ihn durch die Kürzungszahl.
Schritt 3: Nenner dividieren – Nimm den Nenner des Bruchs und teile ihn ebenfalls durch die Kürzungszahl.
Schritt 4: Gekürzten Bruch aufschreiben – Schreibe das Ergebnis aus Schritt 2 als neuen Zähler und das Ergebnis aus Schritt 3 als neuen Nenner.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Kürze den Bruch $\frac{24}{56}$ mit der Zahl $8$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Bruch und Kürzungszahl identifizieren
Der Bruch ist $\frac{24}{56}$ und die Kürzungszahl ist $8$ .
Schritt 2
Zähler dividieren
Wir teilen den Zähler $24$ durch die Kürzungszahl $8$ .

$24 : 8 = 3$
Schritt 3
Nenner dividieren
Wir teilen den Nenner $56$ durch die Kürzungszahl $8$ .

$56 : 8 = 7$
Schritt 4 · Ergebnis
Gekürzten Bruch aufschreiben
Der gekürzte Bruch ist $\frac{3}{7}$ .

$\frac{24}{56} = \frac{24 : 8}{56 : 8} = \frac{3}{7}$

Ergebnis:

$\frac{24}{56}$ gekürzt mit $8$ ergibt $\frac{3}{7}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Kürze den Bruch $\frac{77}{132}$ mit der Zahl $11$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Bruch und Kürzungszahl identifizieren
Der Bruch ist $\frac{77}{132}$ und die Kürzungszahl ist $11$ .
Schritt 2
Zähler dividieren
$77 : 11 = 7$
Schritt 3
Nenner dividieren
$132 : 11 = 12$
Schritt 4 · Ergebnis
Gekürzten Bruch aufschreiben
Der gekürzte Bruch ist $\frac{7}{12}$ .

$\frac{77}{132} = \frac{77 : 11}{132 : 11} = \frac{7}{12}$

Ergebnis:

$\frac{77}{132}$ gekürzt mit $11$ ergibt $\frac{7}{12}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Kürze den Bruch $\frac{60}{135}$ mit der Zahl $15$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Bruch und Kürzungszahl identifizieren
Der Bruch ist $\frac{60}{135}$ und die Kürzungszahl ist $15$ .
Schritt 2
Zähler dividieren
$60 : 15 = 4$
Schritt 3
Nenner dividieren
$135 : 15 = 9$
Schritt 4 · Ergebnis
Gekürzten Bruch aufschreiben
Der gekürzte Bruch ist $\frac{4}{9}$ .

$\frac{60}{135} = \frac{60 : 15}{135 : 15} = \frac{4}{9}$

Ergebnis:

$\frac{60}{135}$ gekürzt mit $15$ ergibt $\frac{4}{9}$ .

Aufgabentyp 4: Einen fehlenden Wert in äquivalenten Brüchen berechnen

Das ist die Meisterdisziplin! Hier kombinierst du alles, was du gelernt hast. Du bekommst eine Gleichung mit zwei Brüchen, bei der eine Zahl fehlt. Deine Aufgabe ist es, diese Lücke zu füllen.

Der Trick ist, zuerst herauszufinden, was mit dem bekannten Teil des Bruchs (also Zähler oder Nenner) passiert ist. Wurde erweitert oder gekürzt? Sobald du die Erweiterungs- oder Kürzungszahl kennst, wendest du sie auf den anderen Teil des Bruchs an, um die fehlende Zahl zu finden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schritt 1: Bekannte Teile vergleichen – Schau dir die beiden Zähler oder die beiden Nenner an, von denen beide Zahlen gegeben sind.
Schritt 2: Erweiterungszahl finden – Teile die größere Zahl durch die kleinere Zahl, um die Erweiterungszahl zu finden.
Schritt 3: Fehlenden Wert berechnen – Nimm die Zahl aus dem unvollständigen Teil des Bruchs und multipliziere sie mit der in Schritt 2 gefundenen Erweiterungszahl.
Schritt 4: Vollständige Gleichung aufschreiben – Setze die berechnete Zahl in die Lücke ein und schreibe die vollständige, korrekte Gleichung auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme den Wert des Platzhalters: $\frac{2}{9} = \frac{\square}{45}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Bekannte Teile vergleichen
Wir kennen beide Nenner: $9$ und $45$ .
Schritt 2
Erweiterungszahl finden
Wir teilen den größeren Nenner durch den kleineren, um die Erweiterungszahl zu finden.

$45 : 9 = 5$

Die Erweiterungszahl ist 5.
Schritt 3
Fehlenden Wert berechnen
Jetzt multiplizieren wir den alten Zähler ( $2$ ) mit der Erweiterungszahl ( $5$ ).

$2 \cdot 5 = 10$

Der fehlende Zähler ist 10.
Schritt 4 · Ergebnis
Vollständige Gleichung aufschreiben
$\frac{2}{9} = \frac{10}{45}$

Ergebnis:

Der gesuchte Platzhalter ist $10$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme den Wert des Platzhalters: $\frac{7}{4} = \frac{49}{\square}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Bekannte Teile vergleichen
Wir kennen beide Zähler: $7$ und $49$ .
Schritt 2
Erweiterungszahl finden
Wir teilen den größeren Zähler durch den kleineren.

$49 : 7 = 7$

Die Erweiterungszahl ist 7.
Schritt 3
Fehlenden Wert berechnen
Jetzt multiplizieren wir den alten Nenner ( $4$ ) mit der Erweiterungszahl ( $7$ ).

$4 \cdot 7 = 28$

Der fehlende Nenner ist 28.
Schritt 4 · Ergebnis
Vollständige Gleichung aufschreiben
$\frac{7}{4} = \frac{49}{28}$

Ergebnis:

Der gesuchte Platzhalter ist $28$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme den Wert des Platzhalters: $\frac{12}{25} = \frac{\square}{150}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Bekannte Teile vergleichen
Wir kennen beide Nenner: $25$ und $150$ .
Schritt 2
Erweiterungszahl finden
Wir teilen den größeren Nenner durch den kleineren.

$150 : 25 = 6$

Die Erweiterungszahl ist 6.
Schritt 3
Fehlenden Wert berechnen
Wir multiplizieren den alten Zähler ( $12$ ) mit der Erweiterungszahl ( $6$ ).

$12 \cdot 6 = 72$

Der fehlende Zähler ist 72.
Schritt 4 · Ergebnis
Vollständige Gleichung aufschreiben
$\frac{12}{25} = \frac{72}{150}$

Ergebnis:

Der gesuchte Platzhalter ist $72$ .

Wichtige Erkenntnisse

Äquivalente Brüche haben den gleichen Wert, auch wenn sie anders aussehen (z. B. $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ ).
Erweitern: Du multiplizierst Zähler und Nenner mit derselben Zahl.
Kürzen: Du dividierst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.
Fehlende Zahl finden: Finde zuerst die Erweiterungszahl, indem du die bekannten Teile (Zähler oder Nenner) dividierst. Wende diese Zahl dann auf den anderen Teil an.

Äquivalente Brüche einfach erklärt: Erweitern & Kürzen