Was ist fortgeschrittene Bruchrechnung?

Fortgeschrittene Bruchrechnung umfasst drei Aufgabentypen, die über das einfache Addieren und Multiplizieren hinausgehen: negative Hochzahlen bei Brüchen , Doppelbrüche und Gleichungen mit fehlenden Zahlen . Diese Aufgaben tauchen regelmäßig in Tests und Prüfungen auf und entscheiden oft über die Note. Wer die drei Grundregeln beherrscht, kann sie sicher und schnell lösen.

Wie rechnest du einen Bruch mit negativer Hochzahl aus?

Bei einem Bruch mit negativer Hochzahl wie $( \frac{2}{3})^{-2}$ gehst du in drei Schritten vor: Bilde den Kehrwert des Bruchs – tausche Zähler und Nenner. Mache die Hochzahl positiv – das Minuszeichen fällt weg. Berechne die neue Potenz für Zähler und Nenner getrennt. Aus $( \frac{2}{3})^{-2}$ wird so $( \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

Was ist ein Doppelbruch und wie löst du ihn auf?

Ein Doppelbruch ist eine andere Schreibweise für die Division zweier Brüche: $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$. Du löst ihn auf, indem du den oberen Bruch mit dem Kehrwert des unteren Bruchs multiplizierst: $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$. Kürze dabei vor dem Multiplizieren, um die Zahlen klein zu halten. Das Ergebnis ist ein einfacher Bruch.

Wie findest du eine fehlende Zahl in einer Gleichung mit Brüchen?

Wenn eine Zahl in einer Gleichung fehlt, nutzt du die passende Umkehroperation . Fehlt der erste Faktor bei einer Multiplikation ($\square \cdot a = b$), teilst du: $\square = b : a$. Fehlt der Divisor ($a : \square = b$), gilt $\square = a : b$. Fehlt der Dividend ($\square : a = b$), multiplizierst du: $\square = b \cdot a$. Gemischte Zahlen immer zuerst umwandeln.

Wann musst du bei Gleichungen mit Brüchen den Kehrwert benutzen?

Du brauchst den Kehrwert immer dann, wenn du durch einen Bruch dividierst – also bei Doppelbrüchen, beim Umstellen von Gleichungen mit fehlendem Divisor oder fehlendem ersten Faktor. Die Faustregel lautet: Division durch einen Bruch = Multiplikation mit seinem Kehrwert. Das gilt sowohl für einfache Divisionsaufgaben als auch für alle drei Gleichungstypen in der fortgeschrittenen Bruchrechnung.

Bruchrechnung für Fortgeschrittene

Bruchrechnung für Fortgeschrittene kann sich zunächst einschüchternd anfühlen – aber hier geht es nicht um langweilige Grundlagen, sondern um die echten Profi-Tricks. Negative Hochzahlen bei Brüchen, Doppelbrüche auflösen und fehlende Zahlen in Gleichungen finden: Das sind genau die Aufgaben, die in Tests den Unterschied zwischen einer guten und einer sehr guten Note ausmachen. Wenn du diese Regeln draufhast, löst du Aufgaben, bei denen andere ins Schwitzen kommen, in Rekordzeit. Lass uns diese Codes knacken, damit du bei der nächsten Prüfung der Experte im Raum bist.

Vorwissen

Bevor wir die Profi-Tricks lernen, wiederholen wir kurz die Basics:

Brüche multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
- Beispiel: $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$
Kehrwert eines Bruchs: Zähler und Nenner vertauschen.
- Beispiel: Der Kehrwert von $\frac{4}{7}$ ist $\frac{7}{4}$ .
Brüche dividieren: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
- Beispiel: $\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Gemischte Zahlen umwandeln: Ganze Zahl mal Nenner plus Zähler.
- Beispiel: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
Potenzen: Eine Zahl wird mehrmals mit sich selbst multipliziert.
- Beispiel: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Aufgabentyp 1: Potenzen mit Bruch und negativer Hochzahl

Was passiert, wenn eine Hochzahl (Exponent) negativ ist, wie bei $(\frac{2}{3})^{-2}$ ? Keine Sorge, es gibt eine einfache Regel.

Eine negative Hochzahl bedeutet immer: „Bilde den Kehrwert der Basis und mache die Hochzahl positiv."

Die Basis ist die Zahl oder der Bruch, der potenziert wird. Der Kehrwert eines Bruchs entsteht durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

Die Regel lautet also:

$(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$

Beispiel:

$(\frac{2}{3})^{-2}$

Kehrwert bilden: Aus $\frac{2}{3}$ wird $\frac{3}{2}$ .
Hochzahl positiv machen: Aus $-2$ wird $2$ .

Das Ergebnis ist $(\frac{3}{2})^2$ . Das können wir jetzt einfach ausrechnen:

$(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere den Bruch in der Klammer und notiere Zähler und Nenner.
Bilde den Kehrwert des Bruchs, indem du Zähler und Nenner vertauschst.
Mache die Hochzahl positiv – das Minuszeichen fällt weg.
Berechne die neue Potenz, indem du sowohl den neuen Zähler als auch den neuen Nenner mit der positiven Hochzahl potenzierst.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme den Wert von $(\frac{1}{4})^{-2}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kehrwert des Bruchs bilden
Der Bruch ist $\frac{1}{4}$ . Der Kehrwert ist $\frac{4}{1}$ .
Schritt 2
Vorzeichen der Hochzahl umdrehen
Die Hochzahl ist $-2$ . Wir machen sie positiv, also $2$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Neue Potenz berechnen
Wir müssen $(\frac{4}{1})^2$ berechnen. Da $\frac{4}{1}$ das Gleiche wie $4$ ist, rechnen wir:

$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$

Ergebnis:

$(\frac{1}{4})^{-2} = 16$

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme den Wert von $(\frac{2}{3})^{-3}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kehrwert des Bruchs bilden
Der Bruch ist $\frac{2}{3}$ . Der Kehrwert ist $\frac{3}{2}$ .
Schritt 2
Vorzeichen der Hochzahl umdrehen
Die Hochzahl ist $-3$ . Sie wird zu $3$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Neue Potenz berechnen
Wir berechnen $(\frac{3}{2})^3$ .

$(\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{27}{8}$

Ergebnis:

$(\frac{2}{3})^{-3} = \frac{27}{8}$

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme den Wert von $(\frac{5}{2})^{-2}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kehrwert des Bruchs bilden
Der Bruch ist $\frac{5}{2}$ . Der Kehrwert ist $\frac{2}{5}$ .
Schritt 2
Vorzeichen der Hochzahl umdrehen
Die Hochzahl ist $-2$ . Sie wird zu $2$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Neue Potenz berechnen
Wir berechnen $(\frac{2}{5})^2$ .

$(\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$

Ergebnis:

$(\frac{5}{2})^{-2} = \frac{4}{25}$

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme den Wert von $(\frac{1}{10})^{-4}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kehrwert des Bruchs bilden
Der Bruch ist $\frac{1}{10}$ . Der Kehrwert ist $\frac{10}{1}$ oder einfach $10$ .
Schritt 2
Vorzeichen der Hochzahl umdrehen
Die Hochzahl ist $-4$ . Sie wird zu $4$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Neue Potenz berechnen
Wir berechnen $10^4$ .

$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$

Ergebnis:

$(\frac{1}{10})^{-4} = 10000$

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme den Wert von $(3)^{-3}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Kehrwert des Bruchs bilden
Der Bruch ist $\frac{3}{1}$ . Der Kehrwert ist $\frac{1}{3}$ .
Schritt 2
Vorzeichen der Hochzahl umdrehen
Die Hochzahl ist $-3$ . Sie wird zu $3$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Neue Potenz berechnen
Wir berechnen $(\frac{1}{3})^3$ .

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$

Ergebnis:

$(3)^{-3} = \frac{1}{27}$

Aufgabentyp 2: Brüche durch Doppelbrüche dividieren

Eine Division von zwei Brüchen, wie $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$ , kann man auch als Doppelbruch schreiben. Das sieht kompliziert aus, ist aber nur eine andere Schreibweise:

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$

Oben steht der Zählerbruch, unten der Nennerbruch. Die Regel zum Auflösen ist dieselbe, die du schon kennst: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

In der Doppelbruch-Schreibweise bedeutet das:

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Man nimmt also den oberen Bruch und multipliziert ihn mit dem Kehrwert des unteren Bruchs.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schreibe die Aufgabe als Doppelbruch, wenn sie als Division wie $(a:b) : (c:d)$ gegeben ist – zuerst in die Bruch-Schreibweise $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$ , dann als Doppelbruch $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$ .
Wandle den Doppelbruch in eine Multiplikation um: Nimm den oberen Bruch und multipliziere ihn mit dem Kehrwert des unteren Bruchs.
Kürze die Brüche vor dem Multiplizieren, wenn möglich. Multipliziere dann Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne $(3:4) : \frac{9}{8}$ indem du es zuerst als Doppelbruch schreibst.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Aufgabe als Doppelbruch schreiben
Zuerst schreiben wir $(3:4)$ als Bruch $\frac{3}{4}$ . Die Aufgabe lautet also $\frac{3}{4} : \frac{9}{8}$ .

Als Doppelbruch geschrieben:

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{8}}$
Schritt 2
Mit dem Kehrwert multiplizieren
Wir multiplizieren den oberen Bruch mit dem Kehrwert des unteren. Der Kehrwert von $\frac{9}{8}$ ist $\frac{8}{9}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$
Schritt 3 · Ergebnis
Kürzen und ausrechnen
Wir kürzen die $3$ mit der $9$ (beide durch $3$ ) und die $4$ mit der $8$ (beide durch $4$ ).

$\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{4}^1} \cdot \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{9}^3} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $\frac{2}{3}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne $\frac{2}{5} : (8:15)$ indem du es zuerst als Doppelbruch schreibst.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Aufgabe als Doppelbruch schreiben
Wir schreiben $(8:15)$ als Bruch $\frac{8}{15}$ . Die Aufgabe ist $\frac{2}{5} : \frac{8}{15}$ .

Als Doppelbruch:

$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{15}}$
Schritt 2
Mit dem Kehrwert multiplizieren
Wir multiplizieren den oberen Bruch $\frac{2}{5}$ mit dem Kehrwert von $\frac{8}{15}$ , also mit $\frac{15}{8}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{15}{8}$
Schritt 3 · Ergebnis
Kürzen und ausrechnen
Wir kürzen die $2$ mit der $8$ (beide durch $2$ ) und die $5$ mit der $15$ (beide durch $5$ ).

$\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{5}^1} \cdot \frac{\cancel{15}^3}{\cancel{8}^4} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $\frac{3}{4}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne $\frac{4}{9} : 2$ indem du es zuerst als Doppelbruch schreibst.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Aufgabe als Doppelbruch schreiben
Wir schreiben die ganze Zahl $2$ als Bruch $\frac{2}{1}$ . Die Aufgabe ist $\frac{4}{9} : \frac{2}{1}$ .

Als Doppelbruch:

$\frac{\frac{4}{9}}{\frac{2}{1}}$
Schritt 2
Mit dem Kehrwert multiplizieren
Wir multiplizieren $\frac{4}{9}$ mit dem Kehrwert von $\frac{2}{1}$ , also mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2}$
Schritt 3 · Ergebnis
Kürzen und ausrechnen
Wir kürzen die $4$ mit der $2$ (beide durch $2$ ).

$\frac{\cancel{4}^2}{9} \cdot \frac{1}{\cancel{2}^1} = \frac{2 \cdot 1}{9 \cdot 1} = \frac{2}{9}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $\frac{2}{9}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne $(1:6) : (1:3)$ indem du es zuerst als Doppelbruch schreibst.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Aufgabe als Doppelbruch schreiben
Wir schreiben die Divisionen als Brüche: $\frac{1}{6} : \frac{1}{3}$ .

Als Doppelbruch:

$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}$
Schritt 2
Mit dem Kehrwert multiplizieren
Wir multiplizieren $\frac{1}{6}$ mit dem Kehrwert von $\frac{1}{3}$ , also mit $\frac{3}{1}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1}$
Schritt 3 · Ergebnis
Kürzen und ausrechnen
Wir kürzen die $3$ mit der $6$ (beide durch $3$ ).

$\frac{1}{\cancel{6}^2} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{1} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $\frac{1}{2}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne $\frac{21}{10} : (7:5)$ indem du es zuerst als Doppelbruch schreibst.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Aufgabe als Doppelbruch schreiben
Wir schreiben $(7:5)$ als Bruch $\frac{7}{5}$ . Die Aufgabe ist $\frac{21}{10} : \frac{7}{5}$ .

Als Doppelbruch:

$\frac{\frac{21}{10}}{\frac{7}{5}}$
Schritt 2
Mit dem Kehrwert multiplizieren
Wir multiplizieren $\frac{21}{10}$ mit dem Kehrwert von $\frac{7}{5}$ , also mit $\frac{5}{7}$ .

$\frac{21}{10} \cdot \frac{5}{7}$
Schritt 3 · Ergebnis
Kürzen und ausrechnen
Wir kürzen die $21$ mit der $7$ (beide durch $7$ ) und die $10$ mit der $5$ (beide durch $5$ ).

$\frac{\cancel{21}^3}{\cancel{10}^2} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{7}^1} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $\frac{3}{2}$ oder $1\frac{1}{2}$ .

Aufgabentyp 3: Gleichungen mit Brüchen lösen

Manchmal fehlt in einer Rechenaufgabe eine Zahl, die wir finden müssen. Das nennt man eine Gleichung lösen. Bei Brüchen gibt es drei Hauptfälle. Wir benutzen ein Kästchen $\square$ für die fehlende Zahl.

Fall 1: Der erste Faktor fehlt (Multiplikation)

$\square \cdot a = b$

Um die fehlende Zahl zu finden, machen wir die Umkehroperation: Division.

$\square = b : a$

Fall 2: Der Divisor fehlt (die Zahl, durch die geteilt wird)

$a : \square = b$

Um den Divisor zu finden, teilst du die erste Zahl durch das Ergebnis.

$\square = a : b$

Fall 3: Der Dividend fehlt (die Zahl, die geteilt wird)

$\square : a = b$

Um die fehlende Zahl zu finden, machen wir die Umkehroperation: Multiplikation.

$\square = b \cdot a$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere den Fall: Schau dir die Gleichung an und bestimme, welche der drei Fälle vorliegt. Fehlt der erste Faktor, der Divisor oder der Dividend?
Stelle die Gleichung um: Wende die passende Umkehrregel an, damit $\square$ alleine auf einer Seite steht.
Führe die Bruchrechnung durch: Löse die neue Rechenaufgabe. Denke daran, gemischte Zahlen umzuwandeln und beim Dividieren den Kehrwert zu benutzen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vervollständige die Gleichung: $\square \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{25}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Fall identifizieren
Der erste Faktor einer Multiplikation fehlt. Das ist Fall 1.
Schritt 2
Gleichung umstellen
Wir wenden die Regel $\square = b : a$ an.

$\square = \frac{6}{25} : \frac{3}{5}$
Schritt 3 · Ergebnis
Bruchrechnung durchführen
Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $\frac{3}{5}$ .

$\square = \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{3}$

Wir kürzen die $6$ mit der $3$ und die $25$ mit der $5$ .

$\square = \frac{\cancel{6}^2}{\cancel{25}^5} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{3}^1} = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{2}{5}$

Ergebnis:

Die fehlende Zahl ist $\frac{2}{5}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Vervollständige die Gleichung: $\frac{1}{2} : \square = \frac{3}{4}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Fall identifizieren
Der Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird) fehlt. Das ist Fall 2.
Schritt 2
Gleichung umstellen
Wir wenden die Regel $\square = a : b$ an.

$\square = \frac{1}{2} : \frac{3}{4}$
Schritt 3 · Ergebnis
Bruchrechnung durchführen
Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $\frac{3}{4}$ .

$\square = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Wir kürzen die $2$ mit der $4$ .

$\square = \frac{1}{\cancel{2}^1} \cdot \frac{\cancel{4}^2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$

Ergebnis:

Die fehlende Zahl ist $\frac{2}{3}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Vervollständige die Gleichung: $\square : \frac{2}{7} = \frac{14}{15}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Fall identifizieren
Der Dividend (die erste Zahl bei einer Division) fehlt. Das ist Fall 3.
Schritt 2
Gleichung umstellen
Wir wenden die Regel $\square = b \cdot a$ an.

$\square = \frac{14}{15} \cdot \frac{2}{7}$
Schritt 3 · Ergebnis
Bruchrechnung durchführen
Wir kürzen die $14$ mit der $7$ .

$\square = \frac{\cancel{14}^2}{15} \cdot \frac{2}{\cancel{7}^1} = \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 1} = \frac{4}{15}$

Ergebnis:

Die fehlende Zahl ist $\frac{4}{15}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Vervollständige die Gleichung: $\square \cdot 1\frac{1}{4} = \frac{5}{8}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Fall identifizieren
Der erste Faktor fehlt (Fall 1). Zuerst wandeln wir die gemischte Zahl um: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ . Die Gleichung ist: $\square \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{8}$ .
Schritt 2
Gleichung umstellen
$\square = \frac{5}{8} : \frac{5}{4}$
Schritt 3 · Ergebnis
Bruchrechnung durchführen
$\square = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{5}$

Wir kürzen die $5$ mit der $5$ und die $8$ mit der $4$ .

$\square = \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{8}^2} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{5}^1} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

Ergebnis:

Die fehlende Zahl ist $\frac{1}{2}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Vervollständige die Gleichung: $\frac{9}{10} : \square = 3$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Fall identifizieren
Der Divisor fehlt (Fall 2). Wir schreiben $3$ als Bruch $\frac{3}{1}$ . Die Gleichung ist: $\frac{9}{10} : \square = \frac{3}{1}$ .
Schritt 2
Gleichung umstellen
$\square = \frac{9}{10} : \frac{3}{1}$
Schritt 3 · Ergebnis
Bruchrechnung durchführen
$\square = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{3}$

Wir kürzen die $9$ mit der $3$ .

$\square = \frac{\cancel{9}^3}{10} \cdot \frac{1}{\cancel{3}^1} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 1} = \frac{3}{10}$

Ergebnis:

Die fehlende Zahl ist $\frac{3}{10}$ .

Wichtige Erkenntnisse

Negative Hochzahl bei Bruch: Bilde den Kehrwert des Bruchs und mache die Hochzahl positiv: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$
Doppelbruch lösen: Multipliziere den oberen Bruch mit dem Kehrwert des unteren Bruchs: $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
Gleichungen lösen: Nutze immer die passende Umkehroperation.
- Fehlt der Anfang einer Multiplikation → Ergebnis : Faktor
- Fehlt die Zahl, durch die geteilt wird → Anfang : Ergebnis
- Fehlt der Anfang einer Division → Ergebnis · Teiler

Bruchrechnung für Fortgeschrittene: Profi-Tricks erklärt