Was ist die goldene Regel beim Brüche dividieren?

Die goldene Regel beim Brüche dividieren lautet: Statt durch einen Bruch zu teilen, multiplizierst du mit seinem Kehrwert . Den Kehrwert bildest du, indem du Zähler und Nenner des Divisors vertauschst. Aus $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$ wird also $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$. Diese Regel gilt für einfache Brüche, ganze Zahlen und gemischte Zahlen – du musst sie nur einmal verstehen und kannst alle Aufgabentypen damit lösen.

Wie dividierst du einen Bruch durch eine ganze Zahl?

Schreibe die ganze Zahl zuerst als Bruch mit dem Nenner 1 – aus 4 wird $\frac{4}{1}$ . Danach wendest du die bekannte Regel an: Kehrwert des Divisors bilden und mit Multiplikationszeichen weiterrechnen. Kürze anschließend, bevor du multiplizierst, und vereinfache das Ergebnis am Ende. So wird zum Beispiel $\frac{3}{4} : 2$ zu $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$ .

Wie gehst du vor, wenn du gemischte Zahlen dividieren sollst?

Bei gemischten Zahlen gibt es einen wichtigen Vorbereitungsschritt: Wandle jede gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch um , bevor du dividierst. Die Formel lautet: $G\frac{Z}{N} = \frac{G \cdot N + Z}{N}$. Aus $2\frac{1}{2}$ wird zum Beispiel $\frac{5}{2}$ . Danach hast du eine normale Bruchdivision und kannst wie gewohnt den Kehrwert bilden und multiplizieren.

Warum multipliziert man beim Brüche dividieren mit dem Kehrwert?

Die Umwandlung in eine Multiplikation mit dem Kehrwert ist mathematisch gleichwertig zur Division. Teilen durch eine Zahl ist dasselbe wie Multiplizieren mit ihrem Kehrwert – das gilt für alle Zahlen. Bei Brüchen nutzt man diesen Trick, weil die Multiplikation von Brüchen direkt durchführbar ist: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. So wird eine Division zu einer einfachen Rechenoperation.

Wie erkennst du bei einer Textaufgabe, dass du Brüche dividieren musst?

Das Schlüsselwort ist: „Wie oft passt …?" oder „Teile … auf" . Immer wenn eine Gesamtmenge durch eine Teilmenge aufgeteilt wird, handelt es sich um eine Division . Auch bei fehlenden Seitenlängen (Fläche durch bekannte Seite) oder Geschwindigkeitsaufgaben (Strecke durch Zeit) steckt eine Division dahinter. Schreibe die Aufgabe als Bruchdivision auf und rechne dann mit der goldenen Regel.

Brüche dividieren einfach erklärt

Brüche dividieren klingt auf den ersten Blick schwierig – dabei steckt dahinter ein einziger, einfacher Trick. Stell dir vor, du hast ein Rezept für einen Kuchen, das für eine große Springform gedacht ist, aber du möchtest nur kleine Muffins backen. Das Rezept braucht $\frac{3}{4}$ Liter Milch, und in jeden Muffin passt genau $\frac{1}{16}$ Liter. Wie viele Muffins kannst du backen? Genau das ist eine Divisionsaufgabe mit Brüchen! Wenn du weißt, wie man Brüche dividiert, kannst du solche Alltagsprobleme blitzschnell lösen – vom Kochen über das Teilen von Geld bis hin zum Verstehen von Statistiken. In diesem Artikel lernst du alle vier Aufgabentypen der Bruchrechnung Division Schritt für Schritt kennen.

Schnellantwort

Brüche dividieren funktioniert nach einer goldenen Regel: Statt durch einen Bruch zu teilen, multiplizierst du mit seinem Kehrwert. Das heißt, du bildest den Kehrwert des Divisors (tauschst Zähler und Nenner), ersetzt das Divisionszeichen durch ein Multiplikationszeichen und rechnest dann ganz normal weiter. Diese Regel gilt für einfache Brüche, ganze Zahlen und gemischte Zahlen gleichermaßen.

Vorwissen

Bevor wir mit der Division von Brüchen starten, sollten wir ein paar Grundlagen wiederholen:

Der Kehrwert (Reziprok): Um den Kehrwert eines Bruchs zu bilden, vertauschst du einfach den Zähler und den Nenner.
- Beispiel: Der Kehrwert von $\frac{2}{3}$ ist $\frac{3}{2}$ .
Brüche kürzen: Du teilst den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl, um den Bruch zu vereinfachen.
- Beispiel: $\frac{8}{12}$ kann man mit 4 kürzen. $8:4=2$ und $12:4=3$ . Das Ergebnis ist $\frac{2}{3}$ .
Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln: Du multiplizierst die ganze Zahl mit dem Nenner und addierst den Zähler. Das Ergebnis ist der neue Zähler. Der Nenner bleibt gleich.
- Formel: $G\frac{Z}{N} = \frac{G \cdot N + Z}{N}$
- Beispiel: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$ .
Ganze Zahl als Bruch schreiben: Jede ganze Zahl kann als Bruch geschrieben werden, indem man eine 1 in den Nenner setzt.
- Beispiel: $5$ ist dasselbe wie $\frac{5}{1}$ .

Aufgabentyp 1: Zwei einfache Brüche dividieren

Das Dividieren von Brüchen ist überraschend einfach. Es gibt eine goldene Regel, die du dir merken musst: Statt durch einen Bruch zu teilen, multiplizierst du mit seinem Kehrwert.

Das bedeutet, die Divisionsaufgabe wird in eine Multiplikationsaufgabe umgewandelt. Schauen wir uns das an:

Wenn du $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$ rechnen sollst, machst du Folgendes:

Du nimmst den zweiten Bruch, $\frac{c}{d}$ , und bildest seinen Kehrwert: $\frac{d}{c}$ .
Du ersetzt das Divisionszeichen (:) durch ein Multiplikationszeichen ( $\cdot$ ).
Die neue Aufgabe lautet: $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ .

Das war's schon! Jetzt musst du nur noch die Brüche multiplizieren, was du bereits kannst.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere den Divisor und bilde seinen Kehrwert, indem du Zähler und Nenner vertauschst.
Ersetze das Divisionszeichen (:) durch ein Multiplikationszeichen ( $\cdot$ ) und schreibe den Kehrwert hin.
Prüfe, ob du kürzen kannst – suche gemeinsame Teiler zwischen Zählern und Nennern (auch über Kreuz).
Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.
Vereinfache das Ergebnis – wandle einen unechten Bruch bei Bedarf in eine gemischte Zahl um.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne: $\frac{2}{3} : \frac{4}{9}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der zweite Bruch ist $\frac{4}{9}$ . Der Kehrwert davon ist $\frac{9}{4}$ .
Schritt 2
Divisionsaufgabe in eine Multiplikationsaufgabe umwandeln
Wir ersetzen die Division durch die Multiplikation mit dem Kehrwert:

$\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}$
3
Schritt 3
Brüche kürzen
Wir können über Kreuz kürzen:
- Die 2 im Zähler und die 4 im Nenner sind beide durch 2 teilbar ( $2:2=1$ , $4:2=2$ ).
- Die 9 im Zähler und die 3 im Nenner sind beide durch 3 teilbar ( $9:3=3$ , $3:3=1$ ).
$\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{3}^1} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{4}^2}$
Schritt 4
Zähler und Nenner multiplizieren
Jetzt multiplizieren wir die gekürzten Zahlen:

$\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
Der Bruch $\frac{3}{2}$ ist ein unechter Bruch. Wir wandeln ihn in eine gemischte Zahl um:

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ergebnis:

$\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = 1\frac{1}{2}$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne: $\frac{5}{8} : \frac{15}{16}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{15}{16}$ ist $\frac{16}{15}$ .
Schritt 2
Divisionsaufgabe in eine Multiplikationsaufgabe umwandeln
$\frac{5}{8} : \frac{15}{16} = \frac{5}{8} \cdot \frac{16}{15}$
3
Schritt 3
Brüche kürzen
- 5 und 15 sind durch 5 teilbar ( $5:5=1$ , $15:5=3$ ).
- 16 und 8 sind durch 8 teilbar ( $16:8=2$ , $8:8=1$ ).
$\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{8}^1} \cdot \frac{\cancel{16}^2}{\cancel{15}^3}$
Schritt 4
Zähler und Nenner multiplizieren
$\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
Das Ergebnis $\frac{2}{3}$ ist bereits vollständig gekürzt.

Ergebnis:

$\frac{5}{8} : \frac{15}{16} = \frac{2}{3}$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne: $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{1}{2}$ ist $\frac{2}{1}$ .
Schritt 2
Divisionsaufgabe in eine Multiplikationsaufgabe umwandeln
$\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1}$
3
Schritt 3
Brüche kürzen
- 2 und 4 sind durch 2 teilbar ( $2:2=1$ , $4:2=2$ ).
$\frac{3}{\cancel{4}^2} \cdot \frac{\cancel{2}^1}{1}$
Schritt 4
Zähler und Nenner multiplizieren
$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
Wir wandeln den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um:

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ergebnis:

$\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne: $\frac{7}{10} : \frac{3}{5}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{3}{5}$ ist $\frac{5}{3}$ .
Schritt 2
Divisionsaufgabe in eine Multiplikationsaufgabe umwandeln
$\frac{7}{10} : \frac{3}{5} = \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{3}$
3
Schritt 3
Brüche kürzen
- 5 und 10 sind durch 5 teilbar ( $5:5=1$ , $10:5=2$ ).
$\frac{7}{\cancel{10}^2} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{3}$
Schritt 4
Zähler und Nenner multiplizieren
$\frac{7 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{7}{6}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
Wir wandeln den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um:

$\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$

Ergebnis:

$\frac{7}{10} : \frac{3}{5} = 1\frac{1}{6}$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne: $\frac{1}{5} : \frac{2}{3}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{2}{3}$ ist $\frac{3}{2}$ .
Schritt 2
Divisionsaufgabe in eine Multiplikationsaufgabe umwandeln
$\frac{1}{5} : \frac{2}{3} = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2}$
Schritt 3
Brüche kürzen
Hier gibt es keine gemeinsamen Teiler zwischen Zählern und Nennern. Wir können nicht kürzen.
Schritt 4
Zähler und Nenner multiplizieren
$\frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
Das Ergebnis $\frac{3}{10}$ ist bereits vollständig gekürzt.

Ergebnis:

$\frac{1}{5} : \frac{2}{3} = \frac{3}{10}$

Aufgabentyp 2: Brüche mit ganzen Zahlen dividieren

Was passiert, wenn eine ganze Zahl in der Divisionsaufgabe vorkommt, zum Beispiel $4 : \frac{1}{2}$ ? Die Regel bleibt genau dieselbe! Du musst nur einen kleinen Trick anwenden: Wandle die ganze Zahl in einen Bruch um.

Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch schreiben, indem man sie über eine 1 setzt.

Die Zahl $4$ wird zu $\frac{4}{1}$ .
Die Zahl $10$ wird zu $\frac{10}{1}$ .

Sobald du das gemacht hast, hast du wieder eine Division von zwei einfachen Brüchen und kannst die bekannte Regel anwenden: mit dem Kehrwert multiplizieren.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schreibe die ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1. Zum Beispiel wird aus 7 der Bruch $\frac{7}{1}$ .
Bilde den Kehrwert des Bruchs, durch den geteilt wird (den Divisor), indem du Zähler und Nenner vertauschst.
Ersetze das Divisionszeichen durch ein Multiplikationszeichen und nutze den Kehrwert.
Kürze die Brüche, wenn möglich, und multipliziere dann Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.
Vereinfache das Ergebnis – wandle es bei Bedarf in eine ganze oder gemischte Zahl um.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne: $6 : \frac{2}{3}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Ganze Zahl in einen Bruch umwandeln
Wir schreiben die $6$ als Bruch: $\frac{6}{1}$ . Die Aufgabe lautet nun: $\frac{6}{1} : \frac{2}{3}$ .
Schritt 2
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{2}{3}$ ist $\frac{3}{2}$ .
Schritt 3
Divisionsaufgabe in Multiplikationsaufgabe umwandeln
$\frac{6}{1} \cdot \frac{3}{2}$
Schritt 4
Kürzen und multiplizieren
Wir können die 6 im Zähler und die 2 im Nenner mit 2 kürzen:

$\frac{\cancel{6}^3}{1} \cdot \frac{3}{\cancel{2}^1} = \frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 1} = \frac{9}{1}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
$\frac{9}{1}$ ist dasselbe wie die ganze Zahl 9.

Ergebnis:

$6 : \frac{2}{3} = 9$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne: $\frac{3}{4} : 2$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Ganze Zahl in einen Bruch umwandeln
Wir schreiben die $2$ als Bruch: $\frac{2}{1}$ . Die Aufgabe lautet nun: $\frac{3}{4} : \frac{2}{1}$ .
Schritt 2
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{2}{1}$ ist $\frac{1}{2}$ .
Schritt 3
Divisionsaufgabe in Multiplikationsaufgabe umwandeln
$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$
Schritt 4
Kürzen und multiplizieren
Hier kann nichts gekürzt werden. Wir multiplizieren direkt:

$\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
Das Ergebnis $\frac{3}{8}$ ist bereits vollständig vereinfacht.

Ergebnis:

$\frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{8}$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne: $-5 : \frac{10}{11}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Ganze Zahl in einen Bruch umwandeln
Wir schreiben die $-5$ als Bruch: $-\frac{5}{1}$ . Das Vorzeichen nehmen wir mit.
Schritt 2
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{10}{11}$ ist $\frac{11}{10}$ .
Schritt 3
Divisionsaufgabe in Multiplikationsaufgabe umwandeln
$-\frac{5}{1} \cdot \frac{11}{10}$
Schritt 4
Kürzen und multiplizieren
Wir können die 5 und die 10 mit 5 kürzen:

$-\frac{\cancel{5}^1}{1} \cdot \frac{11}{\cancel{10}^2} = -\frac{1 \cdot 11}{1 \cdot 2} = -\frac{11}{2}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
Wir wandeln den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um:

$-\frac{11}{2} = -5\frac{1}{2}$

Ergebnis:

$-5 : \frac{10}{11} = -5\frac{1}{2}$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne: $\frac{12}{5} : 3$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Ganze Zahl in einen Bruch umwandeln
Die $3$ wird zu $\frac{3}{1}$ .
Schritt 2
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{3}{1}$ ist $\frac{1}{3}$ .
Schritt 3
Divisionsaufgabe in Multiplikationsaufgabe umwandeln
$\frac{12}{5} \cdot \frac{1}{3}$
Schritt 4
Kürzen und multiplizieren
Wir können die 12 und die 3 mit 3 kürzen:

$\frac{\cancel{12}^4}{5} \cdot \frac{1}{\cancel{3}^1} = \frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
Das Ergebnis $\frac{4}{5}$ ist bereits vollständig vereinfacht.

Ergebnis:

$\frac{12}{5} : 3 = \frac{4}{5}$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne: $1 : \frac{7}{8}$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Ganze Zahl in einen Bruch umwandeln
Die $1$ wird zu $\frac{1}{1}$ .
Schritt 2
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{7}{8}$ ist $\frac{8}{7}$ .
Schritt 3
Divisionsaufgabe in Multiplikationsaufgabe umwandeln
$\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{7}$
Schritt 4
Kürzen und multiplizieren
Hier kann nichts gekürzt werden.

$\frac{1 \cdot 8}{1 \cdot 7} = \frac{8}{7}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
Wir wandeln den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um:

$\frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$

Ergebnis:

$1 : \frac{7}{8} = 1\frac{1}{7}$

Aufgabentyp 3: Gemischte Zahlen dividieren

Wenn du gemischte Zahlen wie $2\frac{1}{2}$ dividieren sollst, gibt es eine wichtige Vorbereitung: Du musst zuerst alle gemischten Zahlen in unechte Brüche umwandeln. Mit gemischten Zahlen kann man nicht direkt dividieren.

Die Umwandlung funktioniert so: Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner und addiere den Zähler. Das Ergebnis ist der neue Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

Beispiel: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Sobald du alle gemischten Zahlen in unechte Brüche umgewandelt hast, ist es wieder eine normale Division von zwei Brüchen. Du wendest einfach die bekannte Regel an: mit dem Kehrwert multiplizieren.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wandle jede gemischte Zahl in der Aufgabe in einen unechten Bruch um.
Bilde den Kehrwert des zweiten Bruchs (des Divisors), indem du Zähler und Nenner vertauschst.
Ersetze das Divisionszeichen durch ein Multiplikationszeichen und verwende den Kehrwert.
Kürze die Brüche, wenn möglich, und multipliziere dann Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.
Wandle das Ergebnis zurück – wenn es ein unechter Bruch ist (Zähler größer als Nenner), wandle ihn in eine gemischte Zahl um.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne: $2\frac{1}{3} : 1\frac{1}{6}$

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln
- $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
- $1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$
Die Aufgabe lautet jetzt: $\frac{7}{3} : \frac{7}{6}$
Schritt 2
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{7}{6}$ ist $\frac{6}{7}$ .
Schritt 3
Division in Multiplikation umwandeln
$\frac{7}{3} \cdot \frac{6}{7}$
4
Schritt 4
Kürzen und multiplizieren
- Die beiden 7en heben sich gegenseitig auf (kürzen mit 7).
- Die 6 und die 3 können mit 3 gekürzt werden.
$\frac{\cancel{7}^1}{\cancel{3}^1} \cdot \frac{\cancel{6}^2}{\cancel{7}^1} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{2}{1}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis in eine gemischte Zahl zurückwandeln
$\frac{2}{1}$ ist die ganze Zahl 2.

Ergebnis:

$2\frac{1}{3} : 1\frac{1}{6} = 2$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne: $3\frac{3}{4} : \frac{5}{8}$

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln
- $3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$
Die Aufgabe lautet jetzt: $\frac{15}{4} : \frac{5}{8}$
Schritt 2
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{5}{8}$ ist $\frac{8}{5}$ .
Schritt 3
Division in Multiplikation umwandeln
$\frac{15}{4} \cdot \frac{8}{5}$
4
Schritt 4
Kürzen und multiplizieren
- 15 und 5 mit 5 kürzen.
- 8 und 4 mit 4 kürzen.
$\frac{\cancel{15}^3}{\cancel{4}^1} \cdot \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{5}^1} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{6}{1}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis in eine gemischte Zahl zurückwandeln
$\frac{6}{1}$ ist die ganze Zahl 6.

Ergebnis:

$3\frac{3}{4} : \frac{5}{8} = 6$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne: $4\frac{1}{2} : 2\frac{1}{4}$

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln
- $4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$
- $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Die Aufgabe lautet jetzt: $\frac{9}{2} : \frac{9}{4}$
Schritt 2
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{9}{4}$ ist $\frac{4}{9}$ .
Schritt 3
Division in Multiplikation umwandeln
$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{9}$
4
Schritt 4
Kürzen und multiplizieren
- Die beiden 9en kürzen sich weg.
- 4 und 2 mit 2 kürzen.
$\frac{\cancel{9}^1}{\cancel{2}^1} \cdot \frac{\cancel{4}^2}{\cancel{9}^1} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{2}{1}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis in eine gemischte Zahl zurückwandeln
$\frac{2}{1}$ ist die ganze Zahl 2.

Ergebnis:

$4\frac{1}{2} : 2\frac{1}{4} = 2$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne: $5\frac{1}{5} : 2$

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Gemischte Zahlen und ganze Zahlen in unechte Brüche umwandeln
- $5\frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{26}{5}$
- $2 = \frac{2}{1}$
Die Aufgabe lautet jetzt: $\frac{26}{5} : \frac{2}{1}$
Schritt 2
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{2}{1}$ ist $\frac{1}{2}$ .
Schritt 3
Division in Multiplikation umwandeln
$\frac{26}{5} \cdot \frac{1}{2}$
4
Schritt 4
Kürzen und multiplizieren
- 26 und 2 mit 2 kürzen.
$\frac{\cancel{26}^{13}}{5} \cdot \frac{1}{\cancel{2}^1} = \frac{13 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{13}{5}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis in eine gemischte Zahl zurückwandeln
$\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$

Ergebnis:

$5\frac{1}{5} : 2 = 2\frac{3}{5}$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne: $1\frac{1}{2} : 1\frac{1}{3}$

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln
- $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
- $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Die Aufgabe lautet jetzt: $\frac{3}{2} : \frac{4}{3}$
Schritt 2
Kehrwert des zweiten Bruchs bilden
Der Kehrwert von $\frac{4}{3}$ ist $\frac{3}{4}$ .
Schritt 3
Division in Multiplikation umwandeln
$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4}$
Schritt 4
Kürzen und multiplizieren
Hier kann nichts gekürzt werden.

$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{9}{8}$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis in eine gemischte Zahl zurückwandeln
$\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$

Ergebnis:

$1\frac{1}{2} : 1\frac{1}{3} = 1\frac{1}{8}$

Aufgabentyp 4: Anwendungsaufgaben zur Bruchrechnung

Die Division von Brüchen ist nicht nur eine Rechenübung, sondern löst auch Probleme aus dem echten Leben. Oft geht es darum, eine Gesamtmenge in gleich große Teile aufzuteilen.

Ein klassisches Beispiel ist die Berechnung einer fehlenden Seitenlänge bei einem Rechteck. Die Formel für den Flächeninhalt ist:

$A = \text{Länge} \cdot \text{Breite}$

Wenn du den Flächeninhalt $A$ und die Breite kennst, kannst du die Länge berechnen, indem du die Formel umstellst:

$\text{Länge} = A : \text{Breite}$

Der Schlüssel bei Textaufgaben ist, die Situation zu verstehen und sie in die richtige mathematische Operation zu übersetzen. Die Frage „Wie oft passt etwas Kleines in etwas Großes?" führt fast immer zu einer Divisionsaufgabe.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Lies die Aufgabe sorgfältig – was ist gegeben (z. B. Gesamtmenge, Größe eines Teils)? Was wird gesucht (z. B. Anzahl der Teile, eine Länge)?
Finde die richtige Rechenoperation – überlege, wie die gegebenen Informationen zusammenhängen. Wenn eine Gesamtmenge aufgeteilt wird, handelt es sich um eine Division. Stelle die Divisionsaufgabe auf.
Führe die Division durch – nach den bekannten Regeln (ggf. umwandeln, Kehrwert bilden, multiplizieren, kürzen).
Interpretiere das Ergebnis – beziehe es auf die ursprüngliche Frage. Vergiss nicht die Einheiten (z. B. m, kg, Stunden) und schreibe einen klaren Antwortsatz.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein rechteckiger Garten hat eine Fläche von $A = 15\frac{3}{4} \text{ m}^2$ . Die Länge des Gartens beträgt $L = 5\frac{1}{4} \text{ m}$ . Wie breit ist der Garten?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Text verstehen und Informationen sammeln
- Gegeben: Fläche $A = 15\frac{3}{4} \text{ m}^2$ , Länge $L = 5\frac{1}{4} \text{ m}$ .
- Gesucht: Breite B.
Schritt 2
Die richtige Rechenoperation finden
Die Formel lautet $A = L \cdot B$ . Um die Breite zu finden, müssen wir teilen: $B = A : L$ .

$B = 15\frac{3}{4} : 5\frac{1}{4}$
3
Schritt 3
Die Division durchführen
Zuerst wandeln wir die gemischten Zahlen in unechte Brüche um:
- $15\frac{3}{4} = \frac{15 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{63}{4}$
- $5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$
Die Aufgabe ist nun: $\frac{63}{4} : \frac{21}{4}$ .

Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $\frac{21}{4}$ , also mit $\frac{4}{21}$ .

$\frac{63}{4} \cdot \frac{4}{21}$

Wir kürzen:
- Die beiden 4en heben sich auf.
- 63 und 21 sind durch 21 teilbar ( $63:21=3$ , $21:21=1$ ).
$\frac{\cancel{63}^3}{\cancel{4}^1} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{21}^1} = \frac{3 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 3$
Schritt 4 · Ergebnis
Das Ergebnis interpretieren und einen Antwortsatz formulieren
Das Ergebnis ist 3. Die Einheit ist Meter.

Ergebnis:

Der Garten ist 3 m breit.

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Saftflasche enthält $\frac{3}{4}$ Liter Saft. Wie viele Gläser, die jeweils $\frac{1}{8}$ Liter fassen, können damit gefüllt werden?

Fortschritt

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Schritt 1
Text verstehen und Informationen sammeln
- Gegeben: Gesamtmenge Saft = $\frac{3}{4}$ Liter, Größe eines Glases = $\frac{1}{8}$ Liter.
- Gesucht: Anzahl der Gläser.
Schritt 2
Die richtige Rechenoperation finden
Wir wollen wissen, wie oft die kleine Menge ( $\frac{1}{8}$ L) in die große Menge ( $\frac{3}{4}$ L) passt. Das ist eine Division.

Anzahl = $\frac{3}{4} : \frac{1}{8}$
Schritt 3
Die Division durchführen
Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $\frac{1}{8}$ , also mit $\frac{8}{1}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{1}$

Wir kürzen die 8 und die 4 mit 4:

$\frac{3}{\cancel{4}^1} \cdot \frac{\cancel{8}^2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$
Schritt 4 · Ergebnis
Das Ergebnis interpretieren und einen Antwortsatz formulieren
Das Ergebnis ist 6. Die Einheit ist „Gläser".

Ergebnis:

Es können 6 Gläser gefüllt werden.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Läufer legt in $\frac{2}{3}$ Stunden eine Strecke von $5$ km zurück. Wie viele Kilometer legt er durchschnittlich in einer ganzen Stunde zurück (Geschwindigkeit in km/h)?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Text verstehen und Informationen sammeln
- Gegeben: Strecke = 5 km, Zeit = $\frac{2}{3}$ Stunden.
- Gesucht: Strecke pro 1 Stunde (Geschwindigkeit).
Schritt 2
Die richtige Rechenoperation finden
Geschwindigkeit wird berechnet als Strecke geteilt durch Zeit.

Geschwindigkeit = $5 : \frac{2}{3}$
Schritt 3
Die Division durchführen
Wir wandeln die 5 in $\frac{5}{1}$ um und multiplizieren mit dem Kehrwert von $\frac{2}{3}$ , also mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{5}{1} \cdot \frac{3}{2}$

Hier kann nicht gekürzt werden.

$\frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{15}{2}$

Wir wandeln das Ergebnis in eine gemischte Zahl um: $\frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$ oder 7,5.
Schritt 4 · Ergebnis
Das Ergebnis interpretieren und einen Antwortsatz formulieren
Das Ergebnis ist 7,5. Die Einheit ist km/h.

Ergebnis:

Der Läufer legt durchschnittlich $7\frac{1}{2}$ km in einer Stunde zurück.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Stück Stoff ist $4\frac{1}{2}$ Meter lang. Daraus sollen Bänder geschnitten werden, die jeweils $\frac{3}{4}$ Meter lang sind. Wie viele Bänder können geschnitten werden?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Text verstehen und Informationen sammeln
- Gegeben: Gesamtlänge Stoff = $4\frac{1}{2}$ m, Länge eines Bandes = $\frac{3}{4}$ m.
- Gesucht: Anzahl der Bänder.
Schritt 2
Die richtige Rechenoperation finden
Wir teilen die Gesamtlänge durch die Länge eines Bandes.

Anzahl = $4\frac{1}{2} : \frac{3}{4}$
3
Schritt 3
Die Division durchführen
Wir wandeln $4\frac{1}{2}$ in einen unechten Bruch um: $\frac{9}{2}$ .

Die Aufgabe ist: $\frac{9}{2} : \frac{3}{4}$ .

Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $\frac{3}{4}$ , also mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Wir kürzen:
- 9 und 3 mit 3.
- 4 und 2 mit 2.
$\frac{\cancel{9}^3}{\cancel{2}^1} \cdot \frac{\cancel{4}^2}{\cancel{3}^1} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$
Schritt 4 · Ergebnis
Das Ergebnis interpretieren und einen Antwortsatz formulieren
Das Ergebnis ist 6. Die Einheit ist „Bänder".

Ergebnis:

Es können 6 Bänder geschnitten werden.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Bauer erntet $\frac{7}{8}$ Tonnen Kartoffeln. Er verpackt sie in Säcke, die jeweils $\frac{1}{16}$ Tonnen fassen. Wie viele Säcke benötigt er?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Text verstehen und Informationen sammeln
- Gegeben: Gesamtmenge Kartoffeln = $\frac{7}{8}$ Tonnen, Sackgröße = $\frac{1}{16}$ Tonnen.
- Gesucht: Anzahl der Säcke.
Schritt 2
Die richtige Rechenoperation finden
Wir teilen die Gesamtmenge durch die Menge pro Sack.

Anzahl = $\frac{7}{8} : \frac{1}{16}$
Schritt 3
Die Division durchführen
Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $\frac{1}{16}$ , also mit $\frac{16}{1}$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{16}{1}$

Wir kürzen die 16 und die 8 mit 8:

$\frac{7}{\cancel{8}^1} \cdot \frac{\cancel{16}^2}{1} = \frac{7 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 14$
Schritt 4 · Ergebnis
Das Ergebnis interpretieren und einen Antwortsatz formulieren
Das Ergebnis ist 14. Die Einheit ist „Säcke".

Ergebnis:

Der Bauer benötigt 14 Säcke.

Wichtige Erkenntnisse

Die goldene Regel: Statt durch einen Bruch zu dividieren, multiplizierst du mit seinem Kehrwert.
Vorbereitung ist alles: Gemischte Zahlen und ganze Zahlen müssen vor dem Dividieren immer zuerst in unechte Brüche umgewandelt werden.
Kürzen macht's leichter: Kürze die Brüche vor dem Multiplizieren über Kreuz. Das erspart dir große Zahlen und komplizierte Rechnungen.
Am Ende vereinfachen: Wenn dein Ergebnis ein unechter Bruch ist, wandle ihn wieder in eine gemischte Zahl um.

Brüche dividieren einfach erklärt: Schritt für Schritt