Box Plot einfach erklärt: Kennzahlen & Beispiele

Ein Box Plot (auch Boxplot genannt) ist eines der nützlichsten Werkzeuge der Statistik – und in der Schule kaum zu umgehen. Stell dir vor, du vergleichst zwei Basketballspieler. Einer wirft manchmal spektakuläre Körbe, ist aber total unzuverlässig. Der andere trifft nicht ganz so oft, aber dafür konstant. Wer ist der bessere Spieler für dein Team? Ein einfacher Durchschnittswert kann das nicht verraten. Aber ein Boxplot kann es! Mit einem einzigen Blick siehst du, wer zuverlässiger ist, wer die größeren Ausreißer hat und wer im Durchschnitt besser abschneidet. Boxplots sind wie ein Röntgenbild für Daten – sie zeigen dir die verborgene Struktur und helfen dir, blitzschnell kluge Entscheidungen zu treffen, sei es im Sport, bei der Auswahl von Gadgets oder beim Vergleichen von Noten.

Schnellantwort

Ein Boxplot ist die grafische Darstellung der sogenannten Fünf-Punkte-Zusammenfassung einer Datenliste. Er zeigt Minimum, unteres Quartil (Q1), Median (Q2), oberes Quartil (Q3) und Maximum auf einen Blick. Jeder der vier Abschnitte des Boxplots enthält genau 25 % aller Datenpunkte. So erkennst du sofort, wie weit die Daten streuen und wo die Mitte liegt – ohne jeden einzelnen Wert kennen zu müssen.

Vorwissen

Bevor wir mit Boxplots starten, solltest du diese Grundlagen kennen:

• Datenliste (geordnet): Eine Liste von Zahlen, die der Größe nach sortiert sind.

  • Beispiel: Die Noten $4, 2, 5, 2, 3$ werden zur geordneten Liste $2, 2, 3, 4, 5$.

• Minimum und Maximum: Der kleinste und der größte Wert in einer Datenliste.

  • Beispiel: In der Liste $2, 2, 3, 4, 5$ ist das Minimum $2$ und das Maximum $5$.

• Median (Zentralwert): Der Wert, der genau in der Mitte einer geordneten Datenliste liegt.

  • Bei ungerader Anzahl: Der Median ist die mittlere Zahl. Beispiel: In der Liste $2, 2, 3, 4, 5$ ist der Median die $3$.
  • Bei gerader Anzahl: Der Median ist der Durchschnitt der beiden mittleren Zahlen. Beispiel: In der Liste $2, 3, 5, 8$ ist der Median $(3 + 5) / 2 = 4$.

Aufgabentyp 1: Die fünf Kennzahlen eines Boxplots bestimmen

Um einen Boxplot zeichnen oder lesen zu können, musst du zunächst die fünf Kennzahlen eines Boxplots aus einer Datenliste berechnen. Ein Boxplot fasst eine Datenliste mit fünf wichtigen Werten zusammen. Diese nennt man die Fünf-Punkte-Zusammenfassung. Bevor wir einen Boxplot zeichnen oder lesen können, müssen wir diese fünf Kennzahlen aus einer Datenliste berechnen können.

Die fünf Kennzahlen sind:

1. Minimum: Der kleinste Wert der Liste.
2. Unteres Quartil (Q1): Der Median der unteren Hälfte der Daten.
3. Median (Q2): Der Wert genau in der Mitte der gesamten Datenliste.
4. Oberes Quartil (Q3): Der Median der oberen Hälfte der Daten.
5. Maximum: Der größte Wert der Liste.

Der Interquartilsabstand (IQR) ist auch eine wichtige Größe. Er ist die Differenz zwischen dem oberen und unteren Quartil: $IQR = Q3 - Q1$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Datenliste sortieren: Ordne alle Zahlen der Größe nach, von der kleinsten zur größten.
2. Minimum und Maximum finden: Lies den kleinsten und den größten Wert der sortierten Liste ab.
3. Median (Q2) bestimmen: Finde die Mitte der gesamten Liste.
4. Datenliste aufteilen: Teile die Liste am Median in eine untere und eine obere Hälfte. Der Median selbst gehört zu keiner der beiden Hälften.
5. Quartile (Q1 und Q3) bestimmen: Finde den Median der unteren Hälfte (= Q1) und den Median der oberen Hälfte (= Q3).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Eine Schülerin hat bei 11 Vokabeltests folgende Punktzahlen erreicht: 18, 15, 20, 12, 17, 19, 16, 14, 18, 13, 10. Bestimme alle fünf Kennzahlen.

Lösung:

Schritt 1: Datenliste sortieren

10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 19, 20

Schritt 2: Minimum und Maximum finden

• Minimum: Der kleinste Wert ist 10.
• Maximum: Der größte Wert ist 20.

Schritt 3: Median (Q2) bestimmen

Die Liste hat 11 Werte (ungerade). Der mittlere Wert ist der 6. Wert. 10, 12, 13, 14, 15, 16 , 17, 18, 18, 19, 20

• Median: 16.

Schritt 4: Datenliste aufteilen

• Untere Hälfte: 10, 12, 13, 14, 15
• Obere Hälfte: 17, 18, 18, 19, 20

Schritt 5: Quartile (Q1 und Q3) bestimmen

• Für die untere Hälfte (10, 12, 13 , 14, 15): Der Median ist 13. Also ist Q1 = 13.
• Für die obere Hälfte (17, 18, 18 , 19, 20): Der Median ist 18. Also ist Q3 = 18.

Ergebnis: Minimum = 10, Q1 = 13, Median = 16, Q3 = 18, Maximum = 20.

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Beispiel 2

Aufgabe: Die Körpergrößen (in cm) von 8 Kindern sind: 135, 142, 133, 148, 150, 138, 145, 130. Bestimme die fünf Kennzahlen.

Lösung:

Schritt 1: Datenliste sortieren

130, 133, 135, 138, 142, 145, 148, 150

Schritt 2: Minimum und Maximum finden

• Minimum: 130
• Maximum: 150

Schritt 3: Median (Q2) bestimmen

Die Liste hat 8 Werte (gerade). Die Mitte liegt zwischen dem 4. und 5. Wert. 130, 133, 135, 138, 142 , 145, 148, 150

• Median: (138 + 142) / 2 = 140.

Schritt 4: Datenliste aufteilen

• Untere Hälfte: 130, 133, 135, 138
• Obere Hälfte: 142, 145, 148, 150

Schritt 5: Quartile (Q1 und Q3) bestimmen

• Untere Hälfte (130, 133, 135 , 138): Der Median ist (133 + 135) / 2 = 134. Also ist Q1 = 134.
• Obere Hälfte (142, 145, 148 , 150): Der Median ist (145 + 148) / 2 = 146.5. Also ist Q3 = 146.5.

Ergebnis: Minimum = 130, Q1 = 134, Median = 140, Q3 = 146.5, Maximum = 150.

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Beispiel 3

Aufgabe: In einer Arztpraxis wurden die Wartezeiten von 15 Patienten erfasst (in Minuten): 10, 5, 25, 30, 15, 12, 18, 22, 8, 10, 20, 35, 40, 15, 5. Bestimme die fünf Kennzahlen.

Lösung:

Schritt 1: Datenliste sortieren

5, 5, 8, 10, 10, 12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 30, 35, 40

Schritt 2: Minimum und Maximum finden

• Minimum: 5
• Maximum: 40

Schritt 3: Median (Q2) bestimmen

Die Liste hat 15 Werte (ungerade). Der mittlere Wert ist der 8. Wert. 5, 5, 8, 10, 10, 12, 15, 15 , 18, 20, 22, 25, 30, 35, 40

• Median: 15

Schritt 4: Datenliste aufteilen

• Untere Hälfte: 5, 5, 8, 10, 10, 12, 15
• Obere Hälfte: 18, 20, 22, 25, 30, 35, 40

Schritt 5: Quartile (Q1 und Q3) bestimmen

• Untere Hälfte (5, 5, 8, 10 , 10, 12, 15): Der Median ist der 4. Wert, also 10. Q1 = 10.
• Obere Hälfte (18, 20, 22, 25 , 30, 35, 40): Der Median ist der 4. Wert, also 25. Q3 = 25.

Ergebnis: Minimum = 5, Q1 = 10, Median = 15, Q3 = 25, Maximum = 40.

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Beispiel 4

Aufgabe: Bestimme den Median der Wartezeiten aus dem folgenden Diagramm. Insgesamt wurden 47 Patienten befragt.

Lösung:

Schritt 1: Datenliste verstehen (nicht ausschreiben!)

Das Diagramm zeigt eine bereits sortierte Häufigkeitsverteilung. Wir haben 5-mal die 10, 8-mal die 20, usw. Die Gesamtzahl der Patienten ist $n = 47$.

Schritt 2: Position des Medians bestimmen

Da die Anzahl der Werte ungerade ist ($n=47$), ist der Median der Wert an der mittleren Position. Position = (n + 1) / 2 = (47 + 1) / 2 = 24. Wir suchen also den 24. Wert in der sortierten Liste.

Schritt 3: Den 24. Wert finden

Wir zählen die Häufigkeiten zusammen, bis wir die Position 24 erreichen:

• Position 1 bis 5: Wartezeit 10 min (insgesamt 5 Patienten)
• Position 6 bis 13: Wartezeit 20 min (5 + 8 = 13 Patienten)
• Position 14 bis 25: Wartezeit 30 min (13 + 12 = 25 Patienten)

Der 24. Patient fällt in die Gruppe mit 30 Minuten Wartezeit.

Ergebnis: Der Median der Wartezeiten beträgt 30 Minuten.

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Beispiel 5

Aufgabe: Die täglichen Verkaufszahlen eines Kiosks über 12 Tage waren: 45, 51, 38, 62, 55, 48, 41, 58, 65, 43, 50, 53. Bestimme die fünf Kennzahlen.

Lösung:

Schritt 1: Datenliste sortieren

38, 41, 43, 45, 48, 50, 51, 53, 55, 58, 62, 65

Schritt 2: Minimum und Maximum finden

• Minimum: 38
• Maximum: 65

Schritt 3: Median (Q2) bestimmen

Die Liste hat 12 Werte (gerade). Die Mitte liegt zwischen dem 6. und 7. Wert. 38, 41, 43, 45, 48, 50, 51 , 53, 55, 58, 62, 65

• Median: (50 + 51) / 2 = 50.5.

Schritt 4: Datenliste aufteilen

• Untere Hälfte: 38, 41, 43, 45, 48, 50
• Obere Hälfte: 51, 53, 55, 58, 62, 65

Schritt 5: Quartile (Q1 und Q3) bestimmen

• Untere Hälfte (38, 41, 43, 45 , 48, 50): Der Median ist (43 + 45) / 2 = 44. Also ist Q1 = 44.
• Obere Hälfte (51, 53, 55, 58 , 62, 65): Der Median ist (55 + 58) / 2 = 56.5. Also ist Q3 = 56.5.

Ergebnis: Minimum = 38, Q1 = 44, Median = 50.5, Q3 = 56.5, Maximum = 65.

Aufgabentyp 2: Werte aus einem Boxplot ablesen

Mindestens genauso wichtig wie das Berechnen ist das Ablesen eines Boxplots – denn in der Klausur liegt oft ein fertiges Diagramm vor. Ein Boxplot ist die grafische Darstellung der Fünf-Punkte-Zusammenfassung. Jede Linie und jeder Kasten im Diagramm steht für eine der fünf Kennzahlen.

• Der linke Endpunkt des „Whiskers" (Antenne) ist das Minimum.
• Der linke Rand der Box ist das untere Quartil (Q1).
• Der Strich innerhalb der Box ist der Median (Q2).
• Der rechte Rand der Box ist das obere Quartil (Q3).
• Der rechte Endpunkt des „Whiskers" ist das Maximum.

Der Interquartilsabstand (IQR) ist die Breite der Box. Man berechnet ihn, indem man den Wert von Q1 vom Wert von Q3 abzieht.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Minimum und Maximum ablesen: Finde den äußersten linken und den äußersten rechten Punkt des gesamten Diagramms. Lies die zugehörigen Werte auf der Zahlenskala ab.
2. Quartile ablesen: Finde die linke und die rechte Kante der Box. Lies die zugehörigen Werte auf der Zahlenskala ab. Das sind Q1 und Q3.
3. Median ablesen: Finde den senkrechten Strich innerhalb der Box. Lies den zugehörigen Wert auf der Zahlenskala ab. Das ist der Median.
4. Interquartilsabstand berechnen: Ziehe den Wert von Q1 vom Wert von Q3 ab: $IQR = Q3 - Q1$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Die Boxplots zeigen die Ergebnisse der Klassen 9a und 9b im Hochsprung. Entnimm für die Klasse 9a den Median, die Quartile, den Quartilsabstand, den Minimal- und den Maximalwert.

Lösung für Klasse 9a:

Schritt 1: Minimum und Maximum ablesen

• Der linke Whisker endet bei 120. Minimum = 120 cm.
• Der rechte Whisker endet bei 170. Maximum = 170 cm.

Schritt 2: Quartile ablesen

• Die linke Kante der Box ist bei 136. Unteres Quartil (Q1) = 136 cm.
• Die rechte Kante der Box ist bei 158. Oberes Quartil (Q3) = 158 cm.

Schritt 3: Median ablesen

• Der Strich in der Box ist bei 147,5. Median = 147,5 cm.

Schritt 4: Interquartilsabstand berechnen

• $IQR = 158 - 136 = 22$ cm.

Ergebnis: Minimum = 120 cm, Q1 = 136 cm, Median = 147,5 cm, Q3 = 158 cm, Maximum = 170 cm, IQR = 22 cm.

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Beispiel 2

Aufgabe: Der Boxplot zeigt die täglichen Besucherzahlen eines Museums im August. Lies alle fünf Kennzahlen und den Interquartilsabstand ab.

Lösung:

Schritt 1: Minimum und Maximum ablesen

• Minimum: 120 Besucher.
• Maximum: 380 Besucher.

Schritt 2: Quartile ablesen

• Unteres Quartil (Q1): 180 Besucher.
• Oberes Quartil (Q3): 300 Besucher.

Schritt 3: Median ablesen

• Median: 240 Besucher.

Schritt 4: Interquartilsabstand berechnen

• $IQR = 300 - 180 = 120$ Besucher.

Ergebnis: Minimum = 120, Q1 = 180, Median = 240, Q3 = 300, Maximum = 380, IQR = 120 Besucher.

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Beispiel 3

Aufgabe: Der Boxplot stellt die Preise für ein Smartphone-Modell bei verschiedenen Online-Händlern dar. Lies alle Kennzahlen ab.

Lösung:

Schritt 1: Minimum und Maximum ablesen

• Minimum: 475 €.
• Maximum: 625 €.

Schritt 2: Quartile ablesen

• Unteres Quartil (Q1): 510 €.
• Oberes Quartil (Q3): 580 €.

Schritt 3: Median ablesen

• Median: 540 €.

Schritt 4: Interquartilsabstand berechnen

• $IQR = 580 - 510 = 70 €$.

Ergebnis: Minimum = 475 €, Q1 = 510 €, Median = 540 €, Q3 = 580 €, Maximum = 625 €, IQR = 70 €.

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Beispiel 4

Aufgabe: Der Boxplot zeigt die erreichten Punkte in einer Klassenarbeit. Lies die Kennzahlen ab.

Lösung:

Schritt 1: Minimum und Maximum ablesen

• Minimum: 12 Punkte.
• Maximum: 49 Punkte.

Schritt 2: Quartile ablesen

• Unteres Quartil (Q1): 25 Punkte.
• Oberes Quartil (Q3): 41 Punkte.

Schritt 3: Median ablesen

• Median: 33 Punkte.

Schritt 4: Interquartilsabstand berechnen

• $IQR = 41 - 25 = 16$ Punkte.

Ergebnis: Minimum = 12, Q1 = 25, Median = 33, Q3 = 41, Maximum = 49, IQR = 16 Punkte.

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Beispiel 5

Aufgabe: Der Boxplot zeigt die monatlichen Niederschlagsmengen (in mm) für eine Stadt über ein Jahr. Lies die Kennzahlen ab.

Lösung:

Schritt 1: Minimum und Maximum ablesen

• Minimum: 30 mm.
• Maximum: 95 mm.

Schritt 2: Quartile ablesen

• Unteres Quartil (Q1): 45 mm.
• Oberes Quartil (Q3): 80 mm.

Schritt 3: Median ablesen

• Median: 60 mm.

Schritt 4: Interquartilsabstand berechnen

• $IQR = 80 - 45 = 35$ mm.

Ergebnis: Minimum = 30 mm, Q1 = 45 mm, Median = 60 mm, Q3 = 80 mm, Maximum = 95 mm, IQR = 35 mm.

Aufgabentyp 3: Aussagen über Boxplots interpretieren

Beim Boxplot interpretieren geht es darum, Aussagen auf Grundlage der grafischen Darstellung zu prüfen. Ein Boxplot verrät mehr als nur fünf Zahlen. Er zeigt, wie die Daten verteilt sind. Jeder der vier Abschnitte des Boxplots (linker Whisker, linke Boxhälfte, rechte Boxhälfte, rechter Whisker) enthält immer genau 25 % (ein Viertel) aller Datenpunkte.

• Die Box (von Q1 bis Q3) enthält die mittleren 50 % der Daten.
• Eine kurze Box bedeutet, dass die mittleren 50 % der Werte sehr nah beieinander liegen (hohe Konsistenz).
• Ein langer Whisker bedeutet, dass die oberen oder unteren 25 % der Werte weit verstreut sind.

Wichtig: Ein Boxplot verrät nichts über die genaue Anzahl der Datenpunkte, den Durchschnittswert (arithmetisches Mittel) oder die Reihenfolge, in der die Daten erfasst wurden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Aussage analysieren: Lies die Aussage genau durch. Welche Kennzahlen (Median, Maximum, Quartile) oder Bereiche (die Box, ein Whisker) werden angesprochen?
2. Relevante Werte ablesen: Lies die benötigten Werte aus dem oder den Boxplots ab. Zum Beispiel: Wenn die Aussage den „besten Sprung" erwähnt, musst du die Maxima vergleichen.
3. Aussage mit den Regeln überprüfen: Vergleiche die abgelesenen Werte mit der Aussage. Nutze dein Wissen über die 25 %-Abschnitte. – Wahr: Die abgelesenen Daten und die Regeln bestätigen die Aussage. – Falsch: Die abgelesenen Daten widersprechen der Aussage. – Nicht überprüfbar: Die Aussage bezieht sich auf Informationen, die ein Boxplot nicht enthält (z. B. Durchschnitt, genaue Anzahl, einzelne Datenpunkte, Reihenfolge).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Die Boxplots zeigen die Hochsprung-Ergebnisse der Klassen 9a und 9b. Überprüfe die Aussage: „Klasse 9b hatte den besten Sprung."

Lösung:

Schritt 1: Aussage analysieren

Die Aussage „den besten Sprung" bezieht sich auf den höchsten Wert, also das Maximum.

Schritt 2: Relevante Werte ablesen

• Maximum von Klasse 9a: 170 cm.
• Maximum von Klasse 9b: 175 cm.

Schritt 3: Aussage überprüfen

Da 175 cm > 170 cm ist, hatte Klasse 9b tatsächlich den höchsten Sprung.

Ergebnis: Die Aussage ist wahr.

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Beispiel 2

Aufgabe: Die Boxplots zeigen die Hochsprung-Ergebnisse. Überprüfe die Aussage: „Mindestens 75 % der Schüler aus Klasse 9a sind höher als 136 cm gesprungen."

Lösung:

Schritt 1: Aussage analysieren

Die Aussage bezieht sich auf den Wert 136 cm und den Prozentsatz der Schüler, die darüber liegen.

Schritt 2: Relevante Werte ablesen

• Für Klasse 9a ist das untere Quartil (Q1) genau bei 136 cm.

Schritt 3: Aussage überprüfen

Q1 markiert die Grenze, unter der 25 % der Daten liegen. Das bedeutet, dass 75 % der Daten über diesem Wert liegen (25 % von Q1 bis Median, 25 % von Median bis Q3, 25 % von Q3 bis Maximum).

Ergebnis: Die Aussage ist wahr.

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Beispiel 3

Aufgabe: Die Boxplots zeigen die Hochsprung-Ergebnisse. Überprüfe die Aussage: „Die durchschnittliche Sprunghöhe von Klasse 9b ist größer als die von Klasse 9a."

Lösung:

Schritt 1: Aussage analysieren

Die Aussage spricht von der „durchschnittlichen Sprunghöhe". Das ist das arithmetische Mittel.

Schritt 2: Relevante Werte ablesen

Ein Boxplot zeigt den Median, aber nicht den Durchschnittswert (arithmetisches Mittel).

Schritt 3: Aussage überprüfen

Wir können zwar die Mediane vergleichen (152,5 cm > 147,5 cm), aber das erlaubt keine sichere Aussage über den Durchschnitt. Der Durchschnitt könnte durch einige sehr hohe oder sehr niedrige Werte beeinflusst werden, was der Boxplot nicht im Detail zeigt.

Ergebnis: Die Aussage ist nicht überprüfbar.

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Beispiel 4

Aufgabe: Die Boxplots zeigen die Hochsprung-Ergebnisse. Überprüfe die Aussage: „Die mittleren 50 % der Sprünge von Klasse 9a sind stärker gestreut als die von Klasse 9b."

Lösung:

Schritt 1: Aussage analysieren

Die „Streuung der mittleren 50 %" ist der Interquartilsabstand (IQR), also die Breite der Box.

Schritt 2: Relevante Werte ablesen und berechnen

• Klasse 9a: $IQR = Q3 - Q1 = 158 - 136 = 22$ cm.
• Klasse 9b: $IQR = Q3 - Q1 = 164 - 142 = 22$ cm.

Schritt 3: Aussage überprüfen

Beide Klassen haben einen IQR von 22 cm. Die Streuung der mittleren 50 % ist also gleich, nicht stärker bei Klasse 9a.

Ergebnis: Die Aussage ist falsch.

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Beispiel 5

Aufgabe: Die Boxplots zeigen die Hochsprung-Ergebnisse. Überprüfe die Aussage: „In Klasse 9a gab es genau einen Sprung von 170 cm."

Lösung:

Schritt 1: Aussage analysieren

Die Aussage bezieht sich auf einen einzelnen, spezifischen Datenpunkt (170 cm) und dessen Häufigkeit („genau einen").

Schritt 2: Relevante Werte ablesen

• Das Maximum von Klasse 9a liegt bei 170 cm.

Schritt 3: Aussage überprüfen

Wir wissen nur, dass der höchste Sprung 170 cm war. Es könnten aber auch zwei oder mehr Schüler genau 170 cm gesprungen sein. Ein Boxplot zeigt keine Häufigkeiten von einzelnen Werten.

Ergebnis: Die Aussage ist nicht überprüfbar.

Aufgabentyp 4: Datenliste zu einem Boxplot erstellen

Manchmal soll man zu einem gegebenen Boxplot eine passende Datenliste erfinden – ein Aufgabentyp, der am Anfang überraschend wirkt. Manchmal soll man zu einem gegebenen Boxplot eine passende Datenliste erfinden. Es gibt unendlich viele richtige Lösungen, aber alle müssen die fünf Kennzahlen des Boxplots erfüllen.

Der Trick besteht darin, die Kennzahlen zuerst abzulesen und dann eine Liste mit einer bestimmten Länge (z. B. 10 Zahlen) zu konstruieren, die genau diese Kennzahlen erzeugt. Man platziert die Kennzahlen an den richtigen Positionen in der Liste und füllt die Lücken mit passenden Zahlen auf.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Alle fünf Kennzahlen aus dem Boxplot ablesen: Bestimme Minimum, Q1, Median, Q3 und Maximum.
2. Länge der Liste festlegen: Die Aufgabenstellung gibt meistens eine Länge vor (z. B. „eine Liste mit 10 Zahlen").
3. Positionen der Kennzahlen bestimmen: Überlege, an welchen Stellen der sortierten Liste die Kennzahlen liegen müssen. Bei einer Liste der Länge 10: Minimum (1.), Q1 (3.), Median (Durchschnitt aus 5. und 6.), Q3 (8.), Maximum (10.).
4. Liste mit Kennzahlen füllen: Setze die abgelesenen Werte an die bestimmten Positionen. Für den Median wählst du zwei Zahlen, deren Durchschnitt den Median ergibt.
5. Lücken auffüllen: Fülle die restlichen Plätze mit beliebigen Zahlen, die die Sortierung nicht verletzen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Gib eine Zahlenliste mit 10 Zahlen an, die zum Boxplot passt.

Lösung:

Schritt 1: Alle fünf Kennzahlen ablesen

• Minimum = 5
• Q1 = 30
• Median = 50
• Q3 = 55
• Maximum = 100

Schritt 2: Länge der Liste festlegen

Die Länge ist $n=10$.

Schritt 3: Positionen der Kennzahlen bestimmen (für n=10)

• Minimum: 1. Wert
• Q1: 3. Wert
• Median: Durchschnitt aus 5. und 6. Wert
• Q3: 8. Wert
• Maximum: 10. Wert

Schritt 4: Liste mit Kennzahlen füllen

Wir erstellen eine Liste mit 10 Plätzen und setzen die Werte ein:

• 1. Wert = 5
• 3. Wert = 30
• 5. und 6. Wert: Wir brauchen einen Durchschnitt von 50. Wir wählen einfach 50 und 50.
• 8. Wert = 55
• 10. Wert = 100

Unsere Liste sieht so aus: 5, __, 30, __, 50, 50, __, 55, __, 100

Schritt 5: Lücken auffüllen

Wir füllen die Lücken mit passenden Zahlen:

• 2. Wert (zwischen 5 und 30): z. B. 15
• 4. Wert (zwischen 30 und 50): z. B. 40
• 7. Wert (zwischen 50 und 55): z. B. 52
• 9. Wert (zwischen 55 und 100): z. B. 80

Ergebnis: Eine mögliche Liste ist 5, 15, 30, 40, 50, 50, 52, 55, 80, 100.

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Beispiel 2

Aufgabe: Erstelle eine passende Datenliste mit 11 Werten für den gegebenen Boxplot.

Lösung:

Schritt 1: Alle fünf Kennzahlen ablesen

• Minimum = 15
• Q1 = 25
• Median = 40
• Q3 = 60
• Maximum = 75

Schritt 2: Länge der Liste festlegen

Die Länge ist $n=11$.

Schritt 3: Positionen der Kennzahlen bestimmen (für n=11)

• Minimum: 1. Wert
• Maximum: 11. Wert
• Median: Der mittlere (6.) Wert
• Untere Hälfte (Werte 1–5): Q1 ist der mittlere (3.) Wert
• Obere Hälfte (Werte 7–11): Q3 ist der mittlere (9.) Wert

Schritt 4: Liste mit Kennzahlen füllen

• 1. Wert = 15
• 3. Wert = 25
• 6. Wert = 40
• 9. Wert = 60
• 11. Wert = 75

Liste: 15, __, 25, __, __, 40, __, __, 60, __, 75

Schritt 5: Lücken auffüllen

Wir füllen die Lücken auf: 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 75

Ergebnis: Eine mögliche Liste ist 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 75.

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Beispiel 3

Aufgabe: Gib eine Zahlenliste mit 8 Zahlen an, die zum Boxplot passt.

Lösung:

Schritt 1: Alle fünf Kennzahlen ablesen

• Minimum = 5
• Q1 = 15
• Median = 25
• Q3 = 35
• Maximum = 48

Schritt 2: Länge der Liste festlegen

Die Länge ist $n=8$.

Schritt 3: Positionen der Kennzahlen bestimmen (für n=8)

• Minimum: 1. Wert
• Maximum: 8. Wert
• Median: Durchschnitt aus 4. und 5. Wert
• Untere Hälfte (Werte 1–4): Q1 ist Durchschnitt aus 2. und 3. Wert
• Obere Hälfte (Werte 5–8): Q3 ist Durchschnitt aus 6. und 7. Wert

Schritt 4: Liste mit Kennzahlen füllen

• 1. Wert = 5
• 2. und 3. Wert: Durchschnitt muss 15 sein, z. B. 14 und 16.
• 4. und 5. Wert: Durchschnitt muss 25 sein, z. B. 24 und 26.
• 6. und 7. Wert: Durchschnitt muss 35 sein, z. B. 34 und 36.
• 8. Wert = 48

Schritt 5: Lücken auffüllen

Alle Plätze sind bereits gefüllt.

Ergebnis: Eine mögliche Liste ist 5, 14, 16, 24, 26, 34, 36, 48.

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Beispiel 4

Aufgabe: Erstelle eine passende Datenliste mit 9 Werten für den Boxplot.

Lösung:

Schritt 1: Alle fünf Kennzahlen ablesen

• Minimum = 110
• Q1 = 130
• Median = 155
• Q3 = 180
• Maximum = 195

Schritt 2: Länge der Liste festlegen

Die Länge ist $n=9$.

Schritt 3: Positionen der Kennzahlen bestimmen (für n=9)

• Minimum: 1. Wert
• Maximum: 9. Wert
• Median: Der mittlere (5.) Wert
• Untere Hälfte (Werte 1–4): Q1 ist Durchschnitt aus 2. und 3. Wert
• Obere Hälfte (Werte 6–9): Q3 ist Durchschnitt aus 7. und 8. Wert

Schritt 4: Liste mit Kennzahlen füllen

• 1. Wert = 110
• 2. und 3. Wert: Durchschnitt muss 130 sein, z. B. 125 und 135.
• 5. Wert = 155
• 7. und 8. Wert: Durchschnitt muss 180 sein, z. B. 175 und 185.
• 9. Wert = 195

Liste: 110, 125, 135, __, 155, __, 175, 185, 195

Schritt 5: Lücken auffüllen

• 4. Wert (zwischen 135 und 155): z. B. 145
• 6. Wert (zwischen 155 und 175): z. B. 165

Ergebnis: Eine mögliche Liste ist 110, 125, 135, 145, 155, 165, 175, 185, 195.

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Beispiel 5

Aufgabe: Gib eine Zahlenliste mit 12 Zahlen an, die zum Boxplot passt.

Lösung:

Schritt 1: Alle fünf Kennzahlen ablesen

• Minimum = 2.5
• Q1 = 4
• Median = 6
• Q3 = 8.5
• Maximum = 10

Schritt 2: Länge der Liste festlegen

Die Länge ist $n=12$.

Schritt 3: Positionen der Kennzahlen bestimmen (für n=12)

• Minimum: 1. Wert
• Maximum: 12. Wert
• Median: Durchschnitt aus 6. und 7. Wert
• Untere Hälfte (Werte 1–6): Q1 ist Durchschnitt aus 3. und 4. Wert
• Obere Hälfte (Werte 7–12): Q3 ist Durchschnitt aus 9. und 10. Wert

Schritt 4: Liste mit Kennzahlen füllen

• 1. Wert = 2.5
• 3. und 4. Wert: Durchschnitt muss 4 sein, z. B. 4 und 4.
• 6. und 7. Wert: Durchschnitt muss 6 sein, z. B. 6 und 6.
• 9. und 10. Wert: Durchschnitt muss 8.5 sein, z. B. 8 und 9.
• 12. Wert = 10

Liste: 2.5, __, 4, 4, __, 6, 6, __, 8, 9, __, 10

Schritt 5: Lücken auffüllen

• 2. Wert (zwischen 2.5 und 4): z. B. 3
• 5. Wert (zwischen 4 und 6): z. B. 5
• 8. Wert (zwischen 6 und 8): z. B. 7
• 11. Wert (zwischen 9 und 10): z. B. 9.5

Ergebnis: Eine mögliche Liste ist 2.5, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9.5, 10.

Wichtige Erkenntnisse

• Ein Boxplot visualisiert die Fünf-Punkte-Zusammenfassung: Minimum, Q1, Median, Q3, Maximum.
• Jeder der vier Abschnitte (2 Whiskers, 2 Boxhälften) enthält immer genau 25 % der Daten.
• Die Box selbst repräsentiert die mittleren 50 % der Daten. Ihre Breite ist der Interquartilsabstand (IQR).
• Ein Boxplot zeigt niemals den Durchschnittswert, die Anzahl der Datenpunkte oder einzelne Werte (außer Min/Max).