Quartile einfach erklärt: Berechnen & Interpretieren

Quartile sind eines der wichtigsten Werkzeuge der Statistik – und sie begegnen dir öfter, als du denkst. Hast du dich jemals gefragt, wie fair Vermögen, Noten oder sogar die Spielzeit in deinem Lieblingsteam verteilt sind? Oft hört man vom „Durchschnitt", aber der kann total irreführend sein. Wenn ein Milliardär in eine Bar mit 99 normalen Leuten kommt, beträgt das „durchschnittliche" Vermögen plötzlich über eine Million Euro pro Person – was offensichtlich Quatsch ist. Quartile sind wie ein eingebauter Lügendetektor für Statistiken: Statt alles in einen Topf zu werfen, teilen sie die Daten in vier faire Viertel auf. So siehst du sofort, wo die Mehrheit wirklich steht und ob einige wenige Werte das ganze Bild verzerren.

Schnellantwort

Quartile sind drei Trennwerte (Q1, Q2, Q3), die eine geordnete Datenliste in vier gleich große Viertel aufteilen. Das untere Quartil Q1 markiert die Grenze der unteren 25 %, der Median Q2 die exakte Mitte (50 %), und das obere Quartil Q3 die Grenze der oberen 25 %. Mit diesem Wissen kannst du Datensätze schnell einschätzen, ohne jeden einzelnen Wert kennen zu müssen.

Vorwissen

Bevor wir die Daten in Viertel zerlegen, sollten wir uns an ein paar Grundlagen erinnern:

• Eine Liste ordnen: Werte müssen immer der Größe nach sortiert werden, vom kleinsten zum größten.

  • Beispiel: Die Liste 5, 2, 8 wird zu 2, 5, 8.

• Median (Zentralwert): Der Wert, der genau in der Mitte einer geordneten Liste liegt.

  • Beispiel (ungerade Anzahl): In der Liste 2, 5, 8 ist der Median die 5.
  • Beispiel (gerade Anzahl): In der Liste 2, 5, 8, 10 liegt die Mitte zwischen 5 und 8. Der Median ist der Durchschnitt: $(5+8) \div 2 = 6{,}5$.

• Prozent in absolute Zahlen umwandeln: Um herauszufinden, wie viele Elemente ein bestimmter Prozentsatz ausmacht, rechnest du: $Gesamtzahl \cdot (Prozentsatz \div 100)$.

  • Beispiel: 20% von 30 Schülern sind $30 \cdot 0{,}20 = 6$ Schüler.

Aufgabentyp 1: Quartile aus einer Liste bestimmen

Quartile berechnen ist der grundlegende Aufgabentyp, dem du in der Klausur am häufigsten begegnest. Quartile sind Werte, die eine geordnete Datenliste in vier gleich große Teile zerlegen. Stell dir vor, du reihst alle deine Datenpunkte wie Perlen auf einer Kette auf. Die Quartile sind die drei Schnitte, die diese Kette in vier gleich lange Abschnitte teilen.

• Unteres Quartil (Q1): Der Median der unteren Hälfte der Daten. 25 % aller Werte sind kleiner oder gleich Q1.
• Median (Q2): Der Wert genau in der Mitte der gesamten Liste. 50 % aller Werte sind kleiner oder gleich Q2.
• Oberes Quartil (Q3): Der Median der oberen Hälfte der Daten. 75 % aller Werte sind kleiner oder gleich Q3.

Der Median teilt die Liste in eine untere und eine obere Hälfte. Das untere Quartil ist dann einfach der Median der unteren Hälfte, und das obere Quartil ist der Median der oberen Hälfte.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Liste erstellen und ordnen: Falls die Daten noch nicht als Liste vorliegen, erstelle eine vollständige Liste aller Werte. Ordne diese von der kleinsten zur größten Zahl.
2. Median (Q2) bestimmen: Zähle die Anzahl aller Werte ($n$). Bei ungerader Anzahl ist der Median der Wert an Position $\frac{n+1}{2}$. Bei gerader Anzahl ist er der Durchschnitt der Werte an den Positionen $\frac{n}{2}$ und $\frac{n}{2}+1$.
3. Liste aufteilen: Der Median teilt die Liste in eine untere und eine obere Hälfte. Der Median selbst gehört zu keiner der beiden Hälften.
4. Unteres Quartil (Q1) bestimmen: Bestimme den Median der unteren Hälfte. Das Ergebnis ist Q1.
5. Oberes Quartil (Q3) bestimmen: Bestimme den Median der oberen Hälfte. Das Ergebnis ist Q3.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Bestimme die Quartile für die folgende Liste von Testergebnissen: 5, 8, 2, 9, 4, 7, 3.

Schritt 1: Liste ordnen

Wir sortieren die Zahlen von klein nach groß. 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9

Schritt 2: Median (Q2) bestimmen

Die Liste hat $n=7$ Werte (ungerade Anzahl). Die Position des Medians ist $\frac{7+1}{2} = 4$. Der 4. Wert in der Liste ist die 5.

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9

Der Median (Q2) ist also $\textcolor{#9570FF}{5}$.

Schritt 3: Liste aufteilen

Die untere Hälfte sind die Zahlen links vom Median, die obere Hälfte die Zahlen rechts vom Median.

Untere Hälfte: 2, 3, 4 Obere Hälfte: 7, 8, 9

Schritt 4: Unteres Quartil (Q1) bestimmen

Wir finden den Median der unteren Hälfte (2, 3, 4). Die Mitte ist die 3.

Das untere Quartil (Q1) ist $\textcolor{#08BFFF}{3}$.

Schritt 5: Oberes Quartil (Q3) bestimmen

Wir finden den Median der oberen Hälfte (7, 8, 9). Die Mitte ist die 8.

Das obere Quartil (Q3) ist $\textcolor{#53E5D6}{8}$.

Ergebnis: Q1 = 3, Q2 = 5, Q3 = 8.

---

Beispiel 2

Die Körpergrößen (in cm) von 10 Personen sind: 175, 168, 182, 165, 171, 185, 169, 178, 180, 173. Berechne die Quartile.

Schritt 1: Liste ordnen

165, 168, 169, 171, 173, 175, 178, 180, 182, 185

Schritt 2: Median (Q2) bestimmen

Die Liste hat $n=10$ Werte (gerade Anzahl). Wir brauchen den Durchschnitt des 5. und 6. Wertes ($\frac{10}{2}=5$ und $\frac{10}{2}+1=6$).

Die Werte sind 173 und 175.

165, 168, 169, 171, 173, 175, 178, 180, 182, 185

$Q2 = \frac{173 + 175}{2} = \frac{348}{2} = 174$

Der Median (Q2) ist $\textcolor{#9570FF}{174}$.

Schritt 3: Liste aufteilen

Die untere Hälfte besteht aus den ersten 5 Werten, die obere aus den letzten 5 Werten.

Untere Hälfte: 165, 168, 169, 171, 173 Obere Hälfte: 175, 178, 180, 182, 185

Schritt 4: Unteres Quartil (Q1) bestimmen

Der Median der unteren Hälfte (5 Werte) ist der 3. Wert: 169.

Das untere Quartil (Q1) ist $\textcolor{#08BFFF}{169}$.

Schritt 5: Oberes Quartil (Q3) bestimmen

Der Median der oberen Hälfte (5 Werte) ist der 3. Wert dieser Hälfte: 180.

Das obere Quartil (Q3) ist $\textcolor{#53E5D6}{180}$.

Ergebnis: Q1 = 169, Q2 = 174, Q3 = 180.

---

Beispiel 3

In einer Umfrage wurden 12 Leute nach der Anzahl ihrer Geschwister gefragt. Die Antworten waren: 1, 0, 2, 1, 3, 4, 0, 1, 2, 1, 5, 2. Bestimme die Quartile.

Schritt 1: Liste ordnen

0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5

Schritt 2: Median (Q2) bestimmen

Die Liste hat $n=12$ Werte (gerade Anzahl). Wir brauchen den Durchschnitt des 6. und 7. Wertes.

Die Werte sind 1 und 2.

0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5

$Q2 = \frac{1 + 2}{2} = 1{,}5$

Der Median (Q2) ist $\textcolor{#9570FF}{1{,}5}$.

Schritt 3: Liste aufteilen

Die untere Hälfte besteht aus den ersten 6 Werten, die obere aus den letzten 6 Werten.

Untere Hälfte: 0, 0, 1, 1, 1, 1 Obere Hälfte: 2, 2, 2, 3, 4, 5

Schritt 4: Unteres Quartil (Q1) bestimmen

Der Median der unteren Hälfte (6 Werte) ist der Durchschnitt des 3. und 4. Wertes. Beide sind 1.

$Q1 = \frac{1 + 1}{2} = 1$

Das untere Quartil (Q1) ist $\textcolor{#08BFFF}{1}$.

Schritt 5: Oberes Quartil (Q3) bestimmen

Der Median der oberen Hälfte (6 Werte) ist der Durchschnitt des 3. und 4. Wertes dieser Hälfte. Das sind 2 und 3.

$Q3 = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5$

Das obere Quartil (Q3) ist $\textcolor{#53E5D6}{2{,}5}$.

Ergebnis: Q1 = 1, Q2 = 1,5, Q3 = 2,5.

---

Beispiel 4

Ein Basketballteam hat in 9 Spielen folgende Punktzahlen erzielt: 101, 98, 110, 98, 105, 112, 95, 108, 101. Finde Q1, Q2 und Q3.

Schritt 1: Liste ordnen

95, 98, 98, 101, 101, 105, 108, 110, 112

Schritt 2: Median (Q2) bestimmen

Die Liste hat $n=9$ Werte (ungerade Anzahl). Die Position des Medians ist $\frac{9+1}{2} = 5$. Der 5. Wert ist 101.

95, 98, 98, 101, 101, 105, 108, 110, 112

Der Median (Q2) ist $\textcolor{#9570FF}{101}$.

Schritt 3: Liste aufteilen

Die untere Hälfte sind die 4 Werte links vom Median, die obere Hälfte die 4 Werte rechts vom Median.

Untere Hälfte: 95, 98, 98, 101 Obere Hälfte: 105, 108, 110, 112

Schritt 4: Unteres Quartil (Q1) bestimmen

Wir finden den Median der unteren Hälfte (4 Werte). Das ist der Durchschnitt des 2. und 3. Wertes: 98 und 98.

$Q1 = \frac{98 + 98}{2} = 98$

Das untere Quartil (Q1) ist $\textcolor{#08BFFF}{98}$.

Schritt 5: Oberes Quartil (Q3) bestimmen

Wir finden den Median der oberen Hälfte (4 Werte). Das ist der Durchschnitt des 2. und 3. Wertes dieser Hälfte: 108 und 110.

$Q3 = \frac{108 + 110}{2} = 109$

Das obere Quartil (Q3) ist $\textcolor{#53E5D6}{109}$.

Ergebnis: Q1 = 98, Q2 = 101, Q3 = 109.

---

Beispiel 5

Die täglichen Verkaufszahlen eines kleinen Cafés über 8 Tage waren: 45, 51, 48, 62, 38, 41, 55, 58. Berechne die Quartile der Verkaufszahlen.

Schritt 1: Liste ordnen

38, 41, 45, 48, 51, 55, 58, 62

Schritt 2: Median (Q2) bestimmen

Die Liste hat $n=8$ Werte (gerade Anzahl). Wir brauchen den Durchschnitt des 4. und 5. Wertes ($\frac{8}{2}=4$ und $\frac{8}{2}+1=5$).

Die Werte sind 48 und 51.

38, 41, 45, 48, 51, 55, 58, 62

$Q2 = \frac{48 + 51}{2} = \frac{99}{2} = 49{,}5$

Der Median (Q2) ist $\textcolor{#9570FF}{49{,}5}$.

Schritt 3: Liste aufteilen

Die untere Hälfte besteht aus den ersten 4 Werten, die obere aus den letzten 4 Werten.

Untere Hälfte: 38, 41, 45, 48 Obere Hälfte: 51, 55, 58, 62

Schritt 4: Unteres Quartil (Q1) bestimmen

Der Median der unteren Hälfte (4 Werte) ist der Durchschnitt des 2. und 3. Wertes: 41 und 45.

$Q1 = \frac{41 + 45}{2} = \frac{86}{2} = 43$

Das untere Quartil (Q1) ist $\textcolor{#08BFFF}{43}$.

Schritt 5: Oberes Quartil (Q3) bestimmen

Der Median der oberen Hälfte (4 Werte) ist der Durchschnitt des 2. und 3. Wertes dieser Hälfte: 55 und 58.

$Q3 = \frac{55 + 58}{2} = \frac{113}{2} = 56{,}5$

Das obere Quartil (Q3) ist $\textcolor{#53E5D6}{56{,}5}$.

Ergebnis: Q1 = 43, Q2 = 49,5, Q3 = 56,5.

Aufgabentyp 2: Quartile interpretieren und aus Diagrammen ablesen

Quartile interpretieren ist genauso wichtig wie sie zu berechnen. Quartile sind nicht nur Zahlen – sie erzählen eine Geschichte über die Verteilung der Daten. Wenn du die Quartile kennst, kannst du wichtige Aussagen treffen, ohne jeden einzelnen Datenpunkt zu sehen.

• Q1: 25 % der Leute/Dinge sind unter diesem Wert, 75 % sind darüber. Das sind sozusagen die „unteren 25 %".
• Q2 (Median): Die exakte Mitte. 50 % sind darunter, 50 % sind darüber.
• Q3: 75 % der Leute/Dinge sind unter diesem Wert, nur noch 25 % sind darüber. Das sind die „oberen 25 %".

In einem Kreisdiagramm, das nach Größe geordnet ist, kannst du die Quartile direkt ablesen. Die Linien bei 25 %, 50 % und 75 % des Kreises markieren genau die Quartile.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Quartile identifizieren: Finde die Werte für das untere Quartil (Q1), den Median (Q2) und das obere Quartil (Q3). Lies sie entweder aus der Aufgabe ab oder aus einem Diagramm (z. B. an den 25 %-, 50 %-, 75 %-Markierungen).
2. Die vier Viertel beschreiben: Formuliere Sätze, die die vier durch die Quartile gebildeten Gruppen beschreiben: das unterste Viertel (bis Q1), das zweite Viertel (Q1 bis Median), das dritte Viertel (Median bis Q3) und das oberste Viertel (ab Q3).
3. Frage im Sachzusammenhang beantworten: Nutze deine Beschreibung aus Schritt 2, um die konkrete Frage zu beantworten. Vergleiche die Größen der Viertel oder beurteile die Verteilung.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Die Quartile der monatlichen Ausgaben für Süßigkeiten in einer Klasse sind: Q1 = 5 €, Median = 8 €, Q3 = 15 €. Welche Aussage ist korrekt?

A) 50 % der Schüler geben mehr als 15 € aus. B) 25 % der Schüler geben 5 € oder weniger aus. C) 75 % der Schüler geben genau 15 € aus.

Schritt 1: Quartile identifizieren

• Unteres Quartil (Q1) = 5 €
• Median (Q2) = 8 €
• Oberes Quartil (Q3) = 15 €

Schritt 2: Die vier Viertel beschreiben

• Das untere Quartil Q1 = 5 € bedeutet: 25 % der Schüler geben 5 € oder weniger aus.
• Der Median = 8 € bedeutet: 50 % der Schüler geben 8 € oder weniger aus.
• Das obere Quartil Q3 = 15 € bedeutet: 75 % der Schüler geben 15 € oder weniger aus. Umgekehrt heißt das auch, dass 25 % der Schüler 15 € oder mehr ausgeben.

Schritt 3: Frage beantworten

Wir prüfen die Aussagen: A) Falsch. Nur 25 % geben mehr als 15 € aus. B) Richtig. Per Definition bedeutet Q1 = 5 €, dass 25 % der Werte kleiner oder gleich 5 € sind. C) Falsch. Q3 = 15 € ist eine Grenze, nicht der exakte Wert für 75 % der Schüler.

Ergebnis: Aussage B ist korrekt.

---

Beispiel 2

Das Diagramm zeigt die Verteilung der Noten in einer Klausur. Die dicken Linien teilen den Kreis in vier gleich große Sektoren (jeweils 25 %). In welchem Notenbereich liegt der Median?

Schritt 1: Quartile identifizieren

Der Median (Q2) ist die Markierung, die die Daten in zwei 50 %-Hälften teilt. Im Kreisdiagramm ist das die Linie bei der 50 %-Marke.

Schritt 2: Die Viertel beschreiben

Wir suchen die 50 %-Linie im Diagramm. Sie verläuft durch den Sektor, der mit „Note 4" beschriftet ist.

Schritt 3: Frage beantworten

Da die 50 %-Marke im Bereich der Note 4 liegt, bedeutet das, dass der Median eine 4 ist. 50 % der Schüler haben also eine 4 oder eine schlechtere Note geschrieben, und 50 % haben eine 4 oder eine bessere Note.

Ergebnis: Der Median liegt im Bereich der Note 4.

---

Beispiel 3

Bei einem Weitsprungwettbewerb waren die Ergebnisse (in Metern): Q1 = 4,20 m, Median = 4,50 m, Q3 = 4,90 m. Beschreibe die Leistung der besten 25 % der Teilnehmer.

Schritt 1: Quartile identifizieren

• Q1 = 4,20 m
• Median = 4,50 m
• Q3 = 4,90 m

Schritt 2: Die vier Viertel beschreiben

Die „besten 25 %" sind die Springer mit den weitesten Sprüngen. Das ist das oberste Viertel der Daten, also die Werte, die über dem oberen Quartil (Q3) liegen.

Schritt 3: Frage beantworten

Das obere Quartil ist bei 4,90 m. Das bedeutet, 75 % aller Teilnehmer sind 4,90 m oder kürzer gesprungen. Die besten 25 % sind also diejenigen, die 4,90 m oder weiter gesprungen sind.

Ergebnis: Die besten 25 % der Teilnehmer sind 4,90 m oder weiter gesprungen.

---

Beispiel 4

Ein Unternehmen analysiert die Lieferzeiten in Tagen. Der Median beträgt 5 Tage und das obere Quartil (Q3) beträgt 6 Tage. Was bedeutet das für die 25 % der Lieferungen, die direkt über dem Median liegen?

Schritt 1: Quartile identifizieren

• Median (Q2) = 5 Tage
• Oberes Quartil (Q3) = 6 Tage

Schritt 2: Die vier Viertel beschreiben

Wir interessieren uns für das dritte Viertel der Daten. Das sind die 25 % der Werte, die zwischen dem Median und dem oberen Quartil liegen.

Schritt 3: Frage beantworten

Die untere Grenze dieses Bereichs ist der Median (5 Tage), die obere Grenze ist das obere Quartil (6 Tage). Das bedeutet, dass 25 % aller Lieferungen eine Dauer zwischen 5 und 6 Tagen hatten.

Ergebnis: 25 % der Lieferungen dauerten zwischen 5 und 6 Tagen.

---

Beispiel 5

Die monatlichen Klickzahlen eines Blogs werden analysiert. Q1 = 1200, Median = 2500, Q3 = 4000. Sind die Klickzahlen eher gleichmäßig verteilt oder gibt es große Unterschiede zwischen den besseren und schlechteren Monaten?

Schritt 1: Quartile identifizieren

• Q1 = 1200
• Median = 2500
• Q3 = 4000

Schritt 2: Die vier Viertel beschreiben

Wir vergleichen die Abstände zwischen den Quartilen.

• Abstand zwischen Q1 und Median: $2500 - 1200 = 1300$
• Abstand zwischen Median und Q3: $4000 - 2500 = 1500$

Der Abstand zwischen dem Minimum und Q1 sowie der Abstand zwischen Q3 und dem Maximum sind unbekannt, aber wir können die mittleren 50 % der Daten betrachten.

Schritt 3: Frage beantworten

Die mittleren 50 % der Monate hatten Klickzahlen zwischen 1200 und 4000. Die Spanne zwischen den Quartilen (der Interquartilsabstand) ist $4000 - 1200 = 2800$. Im Vergleich zum Median von 2500 ist das eine recht große Streuung. Die Klickzahlen sind also nicht sehr gleichmäßig verteilt; es gibt deutliche Unterschiede zwischen den Monaten.

Ergebnis: Es gibt große Unterschiede, die Verteilung ist nicht gleichmäßig.

Aufgabentyp 3: Eine Liste mit bestimmten Quartilen erstellen

Manchmal musst du kreativ werden und eine Datenliste erfinden, die bestimmte Bedingungen erfüllt. Der Trick dabei ist zu verstehen, welche Zahlen in der Liste den Median und die Quartile beeinflussen – und welche nicht.

• Der Median hängt nur von der (den) Zahl(en) in der Mitte ab.
• Das untere Quartil hängt nur von der (den) Zahl(en) in der Mitte der unteren Hälfte ab.
• Das obere Quartil hängt nur von der (den) Zahl(en) in der Mitte der oberen Hälfte ab.

Das bedeutet, du kannst die Zahlen an den Rändern der Liste (die kleinsten und größten Werte) fast beliebig verändern, solange die Reihenfolge erhalten bleibt, ohne dass sich die Quartile ändern! Das gibt dir viel Flexibilität.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Eine einfache Start-Liste wählen: Beginne mit einer einfachen, geordneten Liste mit der geforderten Mindestanzahl an Werten. Zum Beispiel: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
2. Quartile der Start-Liste berechnen: Berechne Q1, Median und Q3 für deine einfache Liste, um einen Ausgangspunkt zu haben.
3. Werte vergleichen und Ziel definieren: Vergleiche die berechneten Quartile mit den Bedingungen aus der Aufgabenstellung. Finde heraus, welche Quartile du ändern musst.
4. Zahlen gezielt anpassen: Ändere die Zahlen in deiner Liste, die für die Berechnung des betreffenden Quartils verantwortlich sind. Um den Median zu ändern, passe die mittlere(n) Zahl(en) an. Um Q1 zu ändern, passe die mittlere(n) Zahl(en) der unteren Hälfte an. Um Q3 zu ändern, passe die mittlere(n) Zahl(en) der oberen Hälfte an.
5. Liste überprüfen und korrigieren: Stelle sicher, dass deine neue Liste immer noch der Größe nach geordnet ist. Wenn nicht, passe benachbarte Zahlen an, die die Quartile nicht beeinflussen. Überprüfe am Ende, ob alle Bedingungen erfüllt sind.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Erstelle eine Liste mit 11 Zahlen, bei der der Median genau 50 ist.

Schritt 1: Eine einfache Start-Liste wählen

Wir nehmen 11 einfache Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Schritt 2: Quartile der Start-Liste berechnen

Bei 11 Werten ist der Median der $\frac{11+1}{2} = 6$. Wert. In unserer Start-Liste ist der Median die 6.

Schritt 3: Werte vergleichen und Ziel definieren

Der Median ist 6, soll aber 50 sein.

Schritt 4: Zahlen gezielt anpassen

Wir müssen nur den 6. Wert in der Liste ändern. Wir ersetzen die 6 durch 50.

Schritt 5: Liste überprüfen und korrigieren

Die neue Liste ist: 1, 2, 3, 4, 5, 50, 7, 8, 9, 10, 11. Diese Liste ist nicht mehr geordnet. Wir müssen die Zahlen nach der 50 anpassen, damit sie größer sind. Wir können sie einfach erhöhen.

Eine mögliche korrekte Liste ist: 1, 2, 3, 4, 5, 50, 51, 52, 53, 54, 55.

Der 6. Wert ist 50, also ist der Median 50. Die Bedingung ist erfüllt.

Ergebnis: Eine mögliche Liste ist 1, 2, 3, 4, 5, 50, 51, 52, 53, 54, 55.

---

Beispiel 2

Gib eine Liste mit 10 Zahlen an, bei der das untere Quartil (Q1) 5 und das obere Quartil (Q3) 20 ist.

Schritt 1: Eine einfache Start-Liste wählen

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Schritt 2: Quartile der Start-Liste berechnen

• Untere Hälfte: 1, 2, 3, 4, 5. Der Median davon (Q1) ist der 3. Wert: 3.
• Obere Hälfte: 6, 7, 8, 9, 10. Der Median davon (Q3) ist der 3. Wert dieser Hälfte (also der 8. Wert der Gesamtliste): 8.

Schritt 3: Werte vergleichen und Ziel definieren

• Q1 ist 3, soll 5 sein.
• Q3 ist 8, soll 20 sein.

Schritt 4: Zahlen gezielt anpassen

• Um Q1 zu 5 zu machen, müssen wir den 3. Wert der Liste zu 5 ändern.
• Um Q3 zu 20 zu machen, müssen wir den 8. Wert der Liste zu 20 ändern.

Schritt 5: Liste überprüfen und korrigieren

Unsere Liste wird zu: 1, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 20, 9, 10. Sie ist nicht mehr geordnet. Wir korrigieren sie: 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 21, 22.

Überprüfung:

• Untere Hälfte: 1, 2, 5, 6, 7. Q1 ist der 3. Wert: 5. Korrekt.
• Obere Hälfte: 8, 9, 20, 21, 22. Q3 ist der 3. Wert dieser Hälfte: 20. Korrekt.

Ergebnis: Eine mögliche Liste ist 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 21, 22.

---

Beispiel 3

Erstelle eine Liste mit 12 Zahlen, sodass der Median 10 ist und das obere Quartil (Q3) ebenfalls 10 ist.

Schritt 1: Eine einfache Start-Liste wählen

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Schritt 2: Quartile der Start-Liste berechnen

• Median (Q2): Durchschnitt des 6. und 7. Wertes: $(6+7)/2 = 6{,}5$.
• Obere Hälfte: 7, 8, 9, 10, 11, 12. Q3 ist der Durchschnitt des 3. und 4. Wertes dieser Hälfte (also 9. und 10. Wert der Gesamtliste): $(9+10)/2 = 9{,}5$.

Schritt 3: Werte vergleichen und Ziel definieren

• Median ist 6,5, soll 10 sein.
• Q3 ist 9,5, soll 10 sein.

Schritt 4: Zahlen gezielt anpassen

• Damit der Median 10 ist, muss der Durchschnitt des 6. und 7. Wertes 10 sein. Wir können z. B. 10 und 10 wählen.
• Damit Q3 10 ist, muss der Durchschnitt des 9. und 10. Wertes 10 sein. Wir können z. B. 10 und 10 wählen.

Schritt 5: Liste überprüfen und korrigieren

Setzen wir diese Werte ein und füllen den Rest so auf, dass die Liste geordnet ist: 1, 2, 3, 4, 5, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 12.

Überprüfung:

• Median: $(10+10)/2 = 10$. Korrekt.
• Obere Hälfte: 10, 10, 10, 10, 11, 12. Q3 ist der Durchschnitt des 3. und 4. Wertes: $(10+10)/2 = 10$. Korrekt.

Ergebnis: Eine mögliche Liste ist 1, 2, 3, 4, 5, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 12.

---

Beispiel 4

Gib eine Liste mit mindestens 10 Zahlen an, bei der das obere Quartil um 50 % größer ist als der Median.

Schritt 1: Eine einfache Start-Liste wählen

Wir nehmen 10 Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Schritt 2: Quartile der Start-Liste berechnen

• Median (Q2): Durchschnitt des 5. und 6. Wertes: $(5+6)/2 = 5{,}5$.
• Obere Hälfte: 6, 7, 8, 9, 10. Q3 ist der 3. Wert dieser Hälfte: 8.

Schritt 3: Werte vergleichen und Ziel definieren

Die Bedingung ist: $Q3 = Median \cdot 1{,}5$.

• Aktuell: $Q3 = 8$. $Median \cdot 1{,}5 = 5{,}5 \cdot 1{,}5 = 8{,}25$. Die Bedingung ist knapp nicht erfüllt.

Schritt 4: Zahlen gezielt anpassen

Wir können den Median oder Q3 anpassen. Es ist einfacher, Q3 anzupassen. Wir brauchen einen Q3-Wert von 8,25. Q3 ist der 8. Wert in der Liste.

Schritt 5: Liste überprüfen und korrigieren

Wir ersetzen den 8. Wert (8) durch 8,25. Liste: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.25, 9, 10. Die Liste ist geordnet.

Überprüfung:

• Median: $(5+6)/2 = 5{,}5$. Unverändert.
• Obere Hälfte: 6, 7, 8.25, 9, 10. Q3 ist der 3. Wert: 8,25.
• Bedingung: $5{,}5 \cdot 1{,}5 = 8{,}25$. Erfüllt.

Ergebnis: Eine mögliche Liste ist 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.25, 9, 10.

---

Beispiel 5

Finde eine Liste mit 11 Zahlen, bei der alle drei Quartile (Q1, Median, Q3) den gleichen Wert haben.

Schritt 1: Eine einfache Start-Liste wählen

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Schritt 2: Quartile der Start-Liste berechnen

Bei 11 Werten:

• Median (Q2) ist der 6. Wert: 6.
• Untere Hälfte: 1, 2, 3, 4, 5. Q1 ist der 3. Wert: 3.
• Obere Hälfte: 7, 8, 9, 10, 11. Q3 ist der 9. Wert: 9.

Schritt 3: Werte vergleichen und Ziel definieren

Alle drei Quartile sollen gleich sein. Wählen wir einen Zielwert, z. B. 10.

• Q1 soll 10 sein.
• Median soll 10 sein.
• Q3 soll 10 sein.

Schritt 4: Zahlen gezielt anpassen

• Der 3. Wert muss 10 sein (für Q1).
• Der 6. Wert muss 10 sein (für den Median).
• Der 9. Wert muss 10 sein (für Q3).

Schritt 5: Liste überprüfen und korrigieren

Setzen wir die Werte ein: _, _, 10, _, _, 10, _, _, 10, _, _. Damit die Liste geordnet ist, müssen alle Zahlen dazwischen und davor auch 10 oder kleiner sein. Die einfachste Lösung ist, viele Zahlen gleich zu machen.

8, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 12.

Überprüfung:

• Median (6. Wert): 10. Korrekt.
• Untere Hälfte: 8, 9, 10, 10, 10. Q1 (3. Wert): 10. Korrekt.
• Obere Hälfte: 10, 10, 10, 11, 12. Q3 (3. Wert dieser Hälfte): 10. Korrekt.

Ergebnis: Eine mögliche Liste ist 8, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 12.

Wichtige Erkenntnisse

• Immer zuerst sortieren! Quartile können nur von einer geordneten Liste bestimmt werden.
• Quartile teilen die Daten in vier 25 %-Abschnitte.
• Das untere Quartil (Q1) ist der Median der unteren Datenhälfte.
• Der Median (Q2) ist der Wert genau in der Mitte der gesamten Liste.
• Das obere Quartil (Q3) ist der Median der oberen Datenhälfte.
• Bei einer geraden Anzahl von Werten ist der Median immer der Durchschnitt der beiden mittleren Zahlen.