Was sind Potenzen von rationalen Zahlen?

Potenzen von rationalen Zahlen sind Ausdrücke, bei denen die Basis ein Bruch oder eine Dezimalzahl ist. Sie geben an, wie oft diese Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Die Rechenregeln funktionieren dabei genauso wie bei ganzen Zahlen.

Wie potenziert man einen Bruch?

Um einen Bruch zu potenzieren, rechnest du den Exponenten einfach für den Zähler und den Nenner einzeln aus. Aus (2/5)² wird also 2² / 5² , was 4/25 ergibt.

Wie bestimmt man das Vorzeichen bei einer negativen Basis?

Ist die Basis negativ, schaust du dir den Exponenten an: Bei einem geraden Exponenten (wie 2, 4, 6) wird das Ergebnis positiv. Bei einem ungeraden Exponenten (wie 1, 3, 5) bleibt das Ergebnis negativ.

Potenzen von rationalen Zahlen

Stell dir vor, du hast ein quadratisches Blatt Papier und halbierst es. Du hast nun ein halbes Blatt. Wenn du diese Hälfte noch einmal halbierst, erhältst du ein Viertel der ursprünglichen Größe.

Quadratisches Blatt Papier wird halbiert

Mathematisch gesehen hast du gerade $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ gerechnet. Wenn du Potenzen von rationalen Zahlen berechnen möchtest, funktioniert das nicht nur mit ganzen Zahlen, sondern auch mit Brüchen und Kommazahlen. Mit ein paar einfachen Regeln lassen sich selbst kompliziert aussehende Ausdrücke mit negativen Vorzeichen problemlos knacken.

Vorwissen

Brüche multiplizieren: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Beispiel: $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$
Dezimalzahlen multiplizieren: Die Anzahl der Kommastellen im Ergebnis ist die Summe der Kommastellen aller Faktoren. Beispiel: $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$ (Eine plus eine Kommastelle ergibt zwei Kommastellen).
Potenzen: Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für wiederholtes Multiplizieren. Beispiel: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Aufgabentyp 1: Potenzen mit Brüchen und Dezimalzahlen

Eine Potenz sagt uns, wie oft wir eine Zahl mit sich selbst multiplizieren sollen. Das funktioniert mit Brüchen und Dezimalzahlen genauso wie mit ganzen Zahlen.

1. Brüche potenzieren

Wenn die Basis ein Bruch ist, potenzieren wir einfach den Zähler und den Nenner einzeln.

Beispiel: $\textcolor{#08BFFF}{(\frac{2}{5})^2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}$ $= \frac{2^2}{5^2} = \textcolor{#08BFFF}{\frac{4}{25}}$

2. Dezimalzahlen potenzieren

Bei Kommazahlen multiplizieren wir die Zahl zunächst ohne Komma. Danach setzen wir das Komma so, dass das Ergebnis die richtige Anzahl an Nachkommastellen hat.

Regel: Die Anzahl der Kommastellen der Basis wird mit dem Exponenten multipliziert.

Beispiel: $\textcolor{#9570FF}{0{,}2^3} = 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = \textcolor{#9570FF}{0{,}008}$ (Eine Kommastelle $\cdot 3 = 3$ Kommastellen im Ergebnis).

3. Negative Basis

Ist die Basis negativ, entscheidet der Exponent über das Vorzeichen des Ergebnisses:

Gerader Exponent ( $2, 4, 6, \dots$ ): Das Ergebnis wird positiv ( $+$ ). Beispiel: $(-\frac{1}{3})^2 = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) = +\frac{1}{9}$
Ungerader Exponent ( $1, 3, 5, \dots$ ): Das Ergebnis bleibt negativ ( $-$ ). Beispiel: $(-0{,}4)^3 = -0{,}064$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Vorzeichen bestimmen: Ist die Basis negativ? Bei einem geraden Exponenten wird das Ergebnis positiv. Bei einem ungeraden Exponenten bleibt das Ergebnis negativ.
Potenz berechnen (Brüche): Potenziere Zähler und Nenner einzeln.
Potenz berechnen (Dezimalzahlen): Rechne zuerst ohne Komma. Setze danach das Komma so, dass das Ergebnis die richtige Anzahl an Kommastellen hat (Kommastellen der Basis $\cdot$ Exponent).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die folgenden Potenzen: a) $(-\frac{2}{3})^3$ b) $(\frac{1}{5})^2$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Vorzeichen bestimmen
Bei Aufgabe a) ist die Basis negativ ( $-\frac{2}{3}$ ) und der Exponent ungerade ( $3$ ). Das Ergebnis wird also negativ. Bei Aufgabe b) ist die Basis positiv, das Ergebnis bleibt positiv.
Schritt 2 · Ergebnis
Potenz berechnen
Zu a): Wir potenzieren Zähler und Nenner einzeln und behalten das negative Vorzeichen. $(-\frac{2}{3})^3 = -\frac{2^3}{3^3}$ $= -\frac{8}{27}$

Zu b): Wir potenzieren Zähler und Nenner einzeln. $(\frac{1}{5})^2 = \frac{1^2}{5^2} = \frac{1}{25}$

Ergebnis:

Die Potenzen sind $-\frac{8}{27}$ und $\frac{1}{25}$ .

Quiz zu Potenzen von rationalen Zahlen: Teste dein Wissen

Löse eine kostenlose Quizfrage zu Potenzen von rationalen Zahlen und prüfe, ob du die wichtigsten Schritte verstanden hast.

Quizfrage 1 zu Potenzen von rationalen Zahlen

Wie viele Kommastellen hat das Ergebnis bei der Multiplikation von Dezimalzahlen?

Quizfrage 2 zu Potenzen von rationalen Zahlen

Nur mit Account

Was ist das Ergebnis der Rechnung $(\frac{2}{5})^2$ ?

Übungsaufgabe zu Potenzen von rationalen Zahlen

Nur mit Account

Kostenlos freischalten

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne die folgenden Potenzen: a) $(-0{,}3)^2$ b) $(-0{,}1)^3$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Vorzeichen bestimmen
Zu a): Die Basis ist negativ ( $-0{,}3$ ) und der Exponent ist gerade ( $2$ ). Das Ergebnis wird positiv. Zu b): Die Basis ist negativ ( $-0{,}1$ ) und der Exponent ist ungerade ( $3$ ). Das Ergebnis bleibt negativ.
Schritt 2 · Ergebnis
Potenz berechnen
Zu a): Wir rechnen zuerst ohne Komma: $3^2 = 9$ . Die Basis hat $1$ Kommastelle, der Exponent ist $2$ . Das Ergebnis braucht also $1 \cdot 2 = 2$ Kommastellen. $(-0{,}3)^2 = 0{,}09$

Zu b): Wir rechnen ohne Komma: $1^3 = 1$ . Die Basis hat $1$ Kommastelle, der Exponent ist $3$ . Das Ergebnis braucht also $1 \cdot 3 = 3$ Kommastellen. $(-0{,}1)^3 = -0{,}001$

Ergebnis:

Die Potenzen sind $0{,}09$ und $-0{,}001$ .

Wichtige Erkenntnisse

Brüche: Zähler und Nenner werden einzeln potenziert: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ .
Dezimalzahlen: Die Kommastellen der Basis werden mit dem Exponenten multipliziert, um die Kommastellen des Ergebnisses zu finden.
Vorzeichen: Eine negative Basis ergibt bei geradem Exponenten ein positives, bei ungeradem Exponenten ein negatives Ergebnis.

Potenzen von rationalen Zahlen einfach erklärt: Alle Regeln