Rationale Zahlen: Textaufgaben und Potenzen erklärt

• Maximale Tragkraft: $0{,}5 \text{ t}$
• Person 1: $75 \text{ kg}$
• Person 2: $82 \text{ kg}$
• Person 3: $68 \text{ kg}$
• Gepäck: $0{,}28 \text{ t}$
• Frage: Ist die Tragkraft überschritten?
• Wir sehen zwei verschiedene Einheiten für das Gewicht: Tonnen (t) und Kilogramm (kg).

Wir wandeln alles in Kilogramm (kg) um. Wir wissen: $1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}$.

• Maximale Tragkraft: $0{,}5 \text{ t} \cdot 1000 = 500 \text{ kg}$
• Gepäck: $0{,}28 \text{ t} \cdot 1000 = 280 \text{ kg}$

Wir addieren das Gewicht der Personen und des Gepäcks, um das Gesamtgewicht zu erhalten.

$\text{Gesamtgewicht} = 75 \text{ kg} + 82 \text{ kg} + 68 \text{ kg} + 280 \text{ kg}$

$75 + 82 = 157$

$157 + 68 = 225$

$225 + 280 = 505 \text{ kg}$

Das Gesamtgewicht im Aufzug beträgt $505 \text{ kg}$.

Wir vergleichen das Gesamtgewicht mit der maximalen Tragkraft.

$505 \text{ kg} > 500 \text{ kg}$

Das Gesamtgewicht ist höher als die erlaubte Tragkraft.

• Benötigtes Mehl: $1{,}5 \text{ kg}$
• Vorrat 1: $0{,}45 \text{ kg}$
• Vorrat 2: $1000 \text{ g}$
• Frage: Reicht das Mehl?
• Wir haben die Einheiten Kilogramm (kg) und Gramm (g).

Wir wandeln alles in Kilogramm (kg) um. Wir wissen: $1000 \text{ g} = 1 \text{ kg}$.

• Vorrat 2: $1000 \text{ g} = 1 \text{ kg}$

Wir addieren die beiden Vorräte, um die Gesamtmenge an Mehl zu berechnen.

$\text{Gesamtmehl} = 0{,}45 \text{ kg} + 1 \text{ kg} = 1{,}45 \text{ kg}$

Der Bäcker hat insgesamt $1{,}45 \text{ kg}$ Mehl.

Wir vergleichen die vorhandene Menge mit der benötigten Menge.

$1{,}45 \text{ kg} < 1{,}5 \text{ kg}$

Die vorhandene Menge ist geringer als die benötigte Menge.

• Gesamtstrecke: $12{,}5 \text{ km}$
• Strecke Tag 1: $\frac{1}{3}$ der Gesamtstrecke
• Strecke Tag 2: $4500 \text{ m}$
• Frage: Wie viele km bleiben für Tag 3?
• Wir haben die Einheiten Kilometer (km) und Meter (m).

Wir wandeln alles in Kilometer (km) um. Wir wissen: $1000 \text{ m} = 1 \text{ km}$.

• Strecke Tag 2: $4500 \text{ m} = 4500 : 1000 \text{ km} = 4{,}5 \text{ km}$

Zuerst berechnen wir die Strecke von Tag 1.

$\text{Strecke Tag 1} = \frac{1}{3} \cdot 12{,}5 \text{ km} = 12{,}5 : 3 \approx 4{,}17 \text{ km}$

Jetzt addieren wir die Strecken der ersten beiden Tage.

$\text{Strecke bisher} = 4{,}17 \text{ km} + 4{,}5 \text{ km} = 8{,}67 \text{ km}$

Nun ziehen wir die bereits zurückgelegte Strecke von der Gesamtstrecke ab.

$\text{Reststrecke} = 12{,}5 \text{ km} - 8{,}67 \text{ km} = 3{,}83 \text{ km}$

Die Rechnung ist schlüssig. Die Reststrecke ist kleiner als die Gesamtstrecke.

• Fassungsvermögen: $120 \text{ l}$
• Füllstand: $\frac{3}{4}$ voll
• Flaschengröße: $750 \text{ ml}$
• Frage: Wie viele Flaschen passen noch rein?
• Wir haben die Einheiten Liter (l) und Milliliter (ml).

Wir wandeln alles in Liter (l) um. Wir wissen: $1000 \text{ ml} = 1 \text{ l}$.

• Flaschengröße: $750 \text{ ml} = 750 : 1000 \text{ l} = 0{,}75 \text{ l}$

Zuerst berechnen wir, wie viel Platz noch im Aquarium ist. Wenn es zu $\frac{3}{4}$ voll ist, ist noch $\frac{1}{4}$ frei.

$\text{Freier Platz} = \frac{1}{4} \cdot 120 \text{ l} = 120 : 4 \text{ l} = 30 \text{ l}$

Jetzt teilen wir den freien Platz durch das Volumen einer Flasche.

$\text{Anzahl Flaschen} = \frac{\text{Freier Platz}}{\text{Flaschengröße}} = \frac{30 \text{ l}}{0{,}75 \text{ l}}$

$30 : 0{,}75 = 3000 : 75 = 40$

Die Berechnung ergibt eine ganze Zahl, was sinnvoll ist. $40 \cdot 0{,}75 = 30$. Das passt.

• Strecke: $100 \text{ m}$
• Zeit Sprinter: $12{,}5 \text{ s}$
• Geschwindigkeit Auto: $30 \frac{\text{m}}{\text{s}}$
• Frage: Wie groß ist der Vorsprung des Autos in Metern?
• Alle Einheiten (Meter und Sekunden) sind bereits konsistent. Wir müssen nichts umwandeln.

Keine Umwandlung nötig.

Wir müssen berechnen, welche Strecke das Auto in der Zeit zurücklegt, die der Sprinter für die $100 \text{ m}$ benötigt.

Die Zeit beträgt $12{,}5 \text{ s}$. Die Geschwindigkeit des Autos ist $30 \text{ m}$ pro Sekunde.

$\text{Strecke Auto} = \text{Geschwindigkeit} \cdot \text{Zeit}$

$\text{Strecke Auto} = 30 \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 12{,}5 \text{ s} = 375 \text{ m}$

Das Auto hat nach $12{,}5$ Sekunden also $375 \text{ m}$ zurückgelegt. Der Sprinter ist bei $100 \text{ m}$.

Um den Vorsprung zu berechnen, ziehen wir die Strecke des Sprinters von der Strecke des Autos ab.

$\text{Vorsprung} = 375 \text{ m} - 100 \text{ m} = 275 \text{ m}$

Das Auto ist viel schneller, also ist ein großer Vorsprung zu erwarten. Das Ergebnis ist plausibel.

• Basis: $\frac{3}{4}$
• Exponent: $3$

Die Basis $\frac{3}{4}$ ist positiv. Daher ist das Ergebnis auch positiv.

Wir potenzieren Zähler und Nenner getrennt mit 3.

$\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{3^3}{4^3}$

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Der Betrag ist also $\frac{27}{64}$.

Das Vorzeichen ist positiv, der Betrag ist $\frac{27}{64}$.

• Basis: $-\frac{2}{5}$
• Exponent: $2$

Die Basis ist negativ. Der Exponent $2$ ist gerade. Daher wird das Ergebnis positiv.

Wir potenzieren den Bruch ohne Vorzeichen.

$\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 5} = \frac{4}{25}$

Das Vorzeichen ist positiv, der Betrag ist $\frac{4}{25}$.

• Basis: $-0{,}3$
• Exponent: $3$

Die Basis ist negativ. Der Exponent $3$ ist ungerade. Daher wird das Ergebnis negativ.

Wir berechnen $0{,}3^3$ ohne Vorzeichen.

$0{,}3^3 = 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3$

Rechne zuerst $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Die Zahl $0{,}3$ hat eine Nachkommastelle. Da wir dreimal multiplizieren, hat das Ergebnis $1+1+1=3$ Nachkommastellen.

$0{,}3^3 = 0{,}027$

Das Vorzeichen ist negativ, der Betrag ist $0{,}027$.

• Basis: $1{,}1$
• Exponent: $2$

Die Basis ist positiv, also ist das Ergebnis auch positiv.

Wir berechnen $1{,}1^2$.

$1{,}1^2 = 1{,}1 \cdot 1{,}1$

Rechne zuerst $11 \cdot 11 = 121$. Die Zahl $1{,}1$ hat eine Nachkommastelle. Da wir zweimal multiplizieren, hat das Ergebnis $1+1=2$ Nachkommastellen.

$1{,}1^2 = 1{,}21$

Das Ergebnis ist positiv.

• Basis: $-\frac{1}{10}$
• Exponent: $4$

Die Basis ist negativ. Der Exponent $4$ ist gerade. Daher wird das Ergebnis positiv.

Wir potenzieren den Bruch ohne Vorzeichen.

$\left(\frac{1}{10}\right)^4 = \frac{1^4}{10^4} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{1}{10000}$

Das Vorzeichen ist positiv, der Betrag ist $\frac{1}{10000}$.