Was sind rationale Zahlen und wie rechnet man mit ihnen?

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen – also ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche. Beim Rechnen mit ihnen gelten dieselben Grundrechenarten wie gewohnt, aber du musst besonders auf die Vorzeichen achten. Die Kernregel: Gleiche Vorzeichen bei Multiplikation oder Division ergeben Plus, ungleiche ergeben Minus. Bei Addition und Subtraktion entscheidet der größere Betrag über das Vorzeichen des Ergebnisses.

Wie bestimmst du das Vorzeichen beim Rechnen mit rationalen Zahlen?

Schau dir zuerst die Vorzeichen der beteiligten Zahlen und die Rechenart an. Bei Multiplikation und Division gilt: Gleiche Zeichen → Plus, ungleiche Zeichen → Minus. Bei Addition und Subtraktion mit ungleichen Vorzeichen ziehst du den kleineren Betrag vom größeren ab und übernimmst das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. Bei Potenzen mit negativer Basis entscheidet der Exponent: gerader Exponent → positiv, ungerader Exponent → negativ.

Was ist der Unterschied zwischen Kehrwert und Gegenzahl?

Der Kehrwert entsteht, indem du Zähler und Nenner eines Bruchs vertauschst – das Vorzeichen bleibt gleich. Du brauchst ihn, wenn ein Produkt den Wert 1 ergeben soll. Die Gegenzahl erhältst du, indem du das Vorzeichen einer Zahl umdrehst. Sie wird gebraucht, wenn eine Summe 0 oder ein Quotient −1 ergeben soll. Kurz: Kehrwert dreht Zähler und Nenner, Gegenzahl dreht das Vorzeichen.

Wann solltest du bei rationalen Zahlen in Brüche umwandeln?

Bei Multiplikation und Division lohnt es sich fast immer, alles in Brüche umzuwandeln, weil du dann kürzen kannst und riesige Zahlen vermeidest. Auch wenn eine periodische Dezimalzahl vorkommt (z. B. 0,3̄ ), musst du in Brüche umwandeln, da periodische Zahlen im Dezimalformat ungenau sind. Bei Addition und Subtraktion mit einfachen Brüchen (Nenner 2, 4, 5, 10 …) ist die Umwandlung in Dezimalzahlen oft bequemer.

Wie gehst du bei gemischten Aufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen vor?

Gehe systematisch vor: Bestimme zuerst die Rechenreihenfolge (Punkt vor Strich, Klammern zuerst). Wähle dann für jede Teilrechnung die beste Strategie – Brüche bei Multiplikation, Division und periodischen Zahlen; Dezimalzahlen bei einfacher Addition oder Subtraktion. Führe die Teilrechnung durch, schreibe den Term neu und wiederhole, bis das Endergebnis feststeht. Kürze den Ergebnisbruch am Ende so weit wie möglich.

Rechnen mit rationalen Zahlen

Rechnen mit rationalen Zahlen begegnet dir überall im Alltag: Stell dir vor, du willst mit Freunden eine Pizza teilen, aber einer will nur $\frac{1}{8}$ , ein anderer isst $0{,}5$ (also die Hälfte) und am Ende müsst ihr die Rechnung von $15{,}50 €$ fair aufteilen. Plötzlich bist du mittendrin im Rechnen mit rationalen Zahlen! Dieses Thema ist kein trockenes Mathe-Zeug, sondern ein echtes Alltags-Werkzeug – der „Cheat Code", um Rabatte im Laden sofort zu checken, Rezepte easy anzupassen oder sicherzustellen, dass du bei der Abrechnung nicht über den Tisch gezogen wirst. Wenn du das hier draufhast, macht dir bei Zahlen so schnell keiner mehr was vor!

Vorwissen

Bevor wir starten, frischen wir kurz ein paar Grundlagen auf:

Rationale Zahlen: Das sind alle Zahlen, die du als Bruch schreiben kannst. Dazu gehören ganze Zahlen, Dezimalzahlen und natürlich Brüche.
- Beispiel: $5$ (als $\frac{5}{1}$ ), $-0{,}75$ (als $-\frac{3}{4}$ ) und $\frac{2}{3}$ sind alles rationale Zahlen.
Betrag einer Zahl: Der Abstand einer Zahl von der Null, immer positiv.
- Schreibweise: $|-3| = 3$ und $|3| = 3$ .
- Beispiel: Der Betrag von $-5{,}5$ ist $5{,}5$ .
Brüche in Dezimalzahlen umwandeln: Du teilst den Zähler durch den Nenner.
- Beispiel: $\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75$ .
Dezimalzahlen in Brüche umwandeln: Schreibe die Dezimalzahl ohne Komma in den Zähler und in den Nenner eine 1 mit so vielen Nullen, wie die Dezimalzahl Nachkommastellen hat. Dann kürzen!
- Beispiel: $0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .

Aufgabentyp 1: Grundrechenarten mit rationalen Zahlen

Beim Rechnen mit rationalen Zahlen sind die Vorzeichen (+ und –) das Wichtigste. Hier sind die goldenen Regeln:

Multiplikation ( $\cdot$ ) und Division (:)

Die Regeln sind hier ganz einfach:

Plus $\cdot$ Plus $\to$ Plus
Minus $\cdot$ Minus $\to$ Plus (Gleiche Zeichen ergeben Plus)
Plus $\cdot$ Minus $\to$ Minus (Ungleiche Zeichen ergeben Minus)

Addition (+) und Subtraktion (-)

Gleiche Vorzeichen: Addiere die Beträge und behalte das gemeinsame Vorzeichen.
- Beispiel: $(-2) + (-3) = -5$
Ungleiche Vorzeichen: Ziehe den kleineren Betrag vom größeren ab. Das Ergebnis bekommt das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
- Beispiel: $(-7) + 4 \to$ Beträge sind $7$ und $4$ . Differenz ist $3$ . Da $7 > 4$ und die $7$ negativ war, ist das Ergebnis $-3$ .

Potenzen

Bei Potenzen mit negativer Basis entscheidet der Exponent über das Vorzeichen:

Gerader Exponent: Das Ergebnis ist immer positiv.
- Beispiel: $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = +4$
Ungerader Exponent: Das Ergebnis ist immer negativ.
- Beispiel: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen: Schau dir die Vorzeichen der Zahlen und die Rechenart an. Wende die Vorzeichenregeln an, um zu entscheiden, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein wird.
Mit den Beträgen rechnen: Ignoriere die Vorzeichen für einen Moment und führe die Berechnung mit den reinen Zahlen (den Beträgen) durch.
Ergebnis zusammensetzen: Setze das in Schritt 1 bestimmte Vorzeichen und den in Schritt 2 berechneten Wert zum Endergebnis zusammen.

Sonderfall: Gemischte Schreibweisen (Bruch und Dezimalzahl)

Wenn du eine Aufgabe wie $-1{,}2 + \frac{1}{4}$ hast, wandle zuerst eine der Zahlen um, sodass beide entweder Dezimalzahlen oder beide Brüche sind. Meist ist es einfacher, einfache Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne: $(+0{,}5) + (-8)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir addieren eine positive und eine negative Zahl. Der Betrag von $-8$ (also 8) ist größer als der Betrag von $+0{,}5$ (also 0,5). Das Ergebnis übernimmt das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag, also wird es negativ sein.
Schritt 2
Mit den Beträgen rechnen
Wir ziehen den kleineren Betrag vom größeren ab.

$8 - 0{,}5 = 7{,}5$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist negativ, der Wert ist 7,5.

Ergebnis:

$(+0{,}5) + (-8) = -7{,}5$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne: $(-20) \cdot 0{,}4$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir multiplizieren eine negative Zahl mit einer positiven Zahl. Die Regel lautet: „Minus mal Plus ergibt Minus". Das Ergebnis wird also negativ sein.
Schritt 2
Mit den Beträgen rechnen
Wir multiplizieren die Beträge.

$20 \cdot 0{,}4 = 8$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist negativ, der Wert ist 8.

Ergebnis:

$(-20) \cdot 0{,}4 = -8$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne: $-3{,}5 + (-1{,}5)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir addieren zwei negative Zahlen. Die Summe von zwei negativen Zahlen ist immer negativ.
Schritt 2
Mit den Beträgen rechnen
Wir addieren die Beträge.

$3{,}5 + 1{,}5 = 5{,}0$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist negativ, der Wert ist 5.

Ergebnis:

$-3{,}5 + (-1{,}5) = -5$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne: $(-2)^5$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Die Basis ist negativ ( $-2$ ) und der Exponent ist ungerade ( $5$ ). Daher muss das Ergebnis negativ sein.
Schritt 2
Mit den Beträgen rechnen
Wir berechnen die Potenz des Betrags.

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist negativ, der Wert ist 32.

Ergebnis:

$(-2)^5 = -32$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne: $-2{,}5 + \frac{1}{2}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir addieren eine negative und eine positive Zahl. Der Betrag von $-2{,}5$ (also 2,5) ist größer als der Betrag von $+0{,}5$ (also 0,5). Das Ergebnis wird also negativ sein.
Schritt 2
Mit den Beträgen rechnen
Wir ziehen den kleineren Betrag vom größeren ab.

$2{,}5 - 0{,}5 = 2{,}0$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist negativ, der Wert ist 2.

Ergebnis:

$-2{,}5 + \frac{1}{2} = -2$

Aufgabentyp 2: Fehlende Zahlen finden: Kehrwert und Gegenzahl

Manchmal musst du die fehlende Zahl in einer Rechnung finden. Dafür gibt es zwei superwichtige Begriffe:

Die Gegenzahl Die Gegenzahl ist die Zahl, die auf der Zahlengeraden genau gegenüber von der Null liegt. Einfach das Vorzeichen umdrehen!
- Beispiel: Die Gegenzahl von $5$ ist $-5$ . Die Gegenzahl von $-\frac{2}{9}$ ist $+\frac{2}{9}$ .
- Wann brauchst du sie?
  - Wenn eine Summe $0$ ergeben soll: $a + (\text{Gegenzahl von } a) = 0$ .
  - Wenn ein Quotient $-1$ ergeben soll: $a : (\text{Gegenzahl von } a) = -1$ .
Der Kehrwert Den Kehrwert eines Bruchs bildest du, indem du Zähler und Nenner vertauschst. Das Vorzeichen bleibt gleich.
- Beispiel: Der Kehrwert von $\frac{3}{4}$ ist $\frac{4}{3}$ . Der Kehrwert von $-2$ (also $-\frac{2}{1}$ ) ist $-\frac{1}{2}$ .
- Wann brauchst du ihn?
  - Wenn ein Produkt $1$ ergeben soll: $a \cdot (\text{Kehrwert von } a) = 1$ .

Identität bei der Division

Wenn das Ergebnis einer Division $1$ ist, müssen Dividend (die erste Zahl) und Divisor (die zweite Zahl) identisch sein.

Beispiel: $a : a = 1$ . Wenn du also $-1\frac{3}{4}$ durch eine Zahl teilst und $1$ herauskommt, muss diese Zahl auch $-1\frac{3}{4}$ sein.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Aufgabe in eine Gleichung übersetzen: Lies die Frage genau und schreibe sie als mathematische Gleichung auf. Benutze ein $x$ für die gesuchte Zahl. Zum Beispiel: „Welcher Faktor ergibt mit $-2$ das Produkt $1$ ?" $\to -2 \cdot x = 1$
Das Ergebnis analysieren: Schau dir die rechte Seite der Gleichung an. Ist das Ergebnis einer Multiplikation $1$ ? → Kehrwert. Ist das Ergebnis einer Division $1$ ? → Die gesuchte Zahl ist identisch mit der gegebenen Zahl. Ist das Ergebnis einer Division $-1$ ? → Die gesuchte Zahl ist die Gegenzahl der gegebenen Zahl.
Die gesuchte Zahl bestimmen: Wende die Regel aus Schritt 2 an. Wandle falls nötig gemischte Brüche in unechte Brüche um, um den Kehrwert zu bilden.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Welcher Faktor ergibt zusammen mit $-2\frac{1}{3}$ das Produkt $1$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Aufgabe in eine Gleichung übersetzen
Wir suchen eine Zahl $x$ , für die gilt:

$(-2\frac{1}{3}) \cdot x = 1$
Schritt 2
Das Ergebnis analysieren
Das Produkt soll $1$ sein. Das bedeutet, wir suchen den Kehrwert von $-2\frac{1}{3}$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Die gesuchte Zahl bestimmen
Zuerst wandeln wir den gemischten Bruch in einen unechten Bruch um:

$-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$

Jetzt bilden wir den Kehrwert, indem wir Zähler und Nenner vertauschen. Das Vorzeichen bleibt negativ.

Kehrwert von $-\frac{7}{3}$ ist $-\frac{3}{7}$ .

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $-\frac{3}{7}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Durch welche Zahl muss man $-\frac{4}{5}$ teilen, damit das Ergebnis $-1$ ist?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Aufgabe in eine Gleichung übersetzen
Wir suchen eine Zahl $x$ , für die gilt:

$(-\frac{4}{5}) : x = -1$
Schritt 2
Das Ergebnis analysieren
Das Ergebnis der Division ist $-1$ . Das bedeutet, der Divisor ( $x$ ) muss die Gegenzahl des Dividenden ( $-\frac{4}{5}$ ) sein.
Schritt 3 · Ergebnis
Die gesuchte Zahl bestimmen
Wir bilden die Gegenzahl von $-\frac{4}{5}$ , indem wir das Vorzeichen umdrehen.

Gegenzahl von $-\frac{4}{5}$ ist $+\frac{4}{5}$ .

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $\frac{4}{5}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Welcher Divisor führt bei der Division von $-0{,}8$ zum Ergebnis $1$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Aufgabe in eine Gleichung übersetzen
Wir suchen eine Zahl $x$ , für die gilt:

$-0{,}8 : x = 1$
Schritt 2
Das Ergebnis analysieren
Das Ergebnis der Division ist $1$ . Das bedeutet, der Divisor ( $x$ ) muss identisch mit dem Dividenden ( $-0{,}8$ ) sein.
Schritt 3 · Ergebnis
Die gesuchte Zahl bestimmen
Die gesuchte Zahl ist also $-0{,}8$ .

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $-0{,}8$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Welcher Dividend ergibt, geteilt durch $-\frac{7}{10}$ , den Wert $1$ ?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Aufgabe in eine Gleichung übersetzen
Wir suchen eine Zahl $x$ , für die gilt:

$x : (-\frac{7}{10}) = 1$
Schritt 2
Das Ergebnis analysieren
Das Ergebnis der Division ist $1$ . Das bedeutet, der Dividend ( $x$ ) muss identisch mit dem Divisor ( $-\frac{7}{10}$ ) sein.
Schritt 3 · Ergebnis
Die gesuchte Zahl bestimmen
Die gesuchte Zahl ist also $-\frac{7}{10}$ .

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $-\frac{7}{10}$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Mit welcher Zahl muss man $5$ multiplizieren, um $-1$ zu erhalten?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Aufgabe in eine Gleichung übersetzen
Wir suchen eine Zahl $x$ , für die gilt:

$5 \cdot x = -1$
Schritt 2
Das Ergebnis analysieren
Das Ergebnis ist $-1$ . Das ist eine Kombination: Das Produkt soll den Betrag 1 haben, aber ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, wir suchen den Kehrwert von $5$ und geben ihm das entgegengesetzte Vorzeichen (machen ihn also zur Gegenzahl des Kehrwerts).
Schritt 3 · Ergebnis
Die gesuchte Zahl bestimmen
Der Kehrwert von $5$ (also $\frac{5}{1}$ ) ist $\frac{1}{5}$ .

Da das Ergebnis negativ sein soll ( $5 \cdot x = -1$ ), muss $x$ negativ sein.

Die gesuchte Zahl ist also $-\frac{1}{5}$ .

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $-\frac{1}{5}$ .

Aufgabentyp 3: Rechentricks: Wann Bruch, wann Dezimalzahl?

Bei gemischten Aufgaben (Bruch und Dezimalzahl) ist die Wahl des richtigen Rechenwegs entscheidend. Hier sind ein paar Faustregeln, die dir helfen:

Wann solltest du in Dezimalzahlen umwandeln?

Bei Addition und Subtraktion, wenn der Bruch eine einfache, endliche Dezimalzahl ergibt. Das sind Brüche mit Nennern wie 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 50, 100.
- Beispiel: Bei $-3{,}45 - \frac{1}{4}$ ist es clever, $\frac{1}{4}$ in $0{,}25$ umzuwandeln. Das ist Kopfrechnen!

Wann solltest du in Brüche umwandeln?

Immer, wenn eine periodische Dezimalzahl vorkommt. Rechnen mit $0{,}\overline{6}$ $0, \overline{6}$ ist ungenau, aber mit $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$ ist es exakt.
- Beispiel: Bei $12 : (-0{,}\overline{6})$ musst du $0{,}\overline{6}$ in $\frac{2}{3}$ umwandeln.
Bei Multiplikation und Division. Hier ist das Umwandeln in Brüche fast immer ein Vorteil, weil du oft vor dem Ausrechnen kürzen kannst. Das spart riesige Zahlen und viel Arbeit.
- Beispiel: Bei $-2{,}4 \cdot \frac{5}{8}$ wandelt man $-2{,}4$ in $-\frac{12}{5}$ um. Dann sieht man sofort: $-\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{8}$ . Die 5en heben sich auf!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zahlen und Rechenart analysieren: Welche Zahlen sind gegeben? (Endliche Dezimalzahl, periodische Dezimalzahl, einfacher Bruch, komplizierter Bruch?) Welche Rechenart wird verlangt? (+, -, ·, :)
Strategie wählen: Ist eine periodische Zahl dabei? → Unbedingt alles in Brüche umwandeln. Ist es eine Multiplikation oder Division? → Wandle alles in Brüche um, um kürzen zu können. Bei Addition/Subtraktion: Lässt sich der Bruch leicht in eine endliche Dezimalzahl umwandeln? → Ja: Dezimalzahl. Nein: Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln.
Umwandeln und berechnen: Führe die Umwandlung gemäß deiner Strategie durch und löse die Aufgabe.
Ergebnis prüfen und vereinfachen: Kürze den Ergebnisbruch so weit wie möglich oder runde die Dezimalzahl, falls verlangt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Finde den vorteilhaftesten Rechenweg für $-5{,}8 + \frac{2}{5}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zahlen und Rechenart analysieren
Wir haben eine Addition (+) einer Dezimalzahl ( $-5{,}8$ ) und eines einfachen Bruchs ( $\frac{2}{5}$ ).
Schritt 2
Strategie wählen
Es ist eine Addition. Wir prüfen, ob der Bruch eine einfache Dezimalzahl ist. Der Nenner ist 5, das geht super! Wir wandeln den Bruch in eine Dezimalzahl um.
Schritt 3 · Ergebnis
Umwandeln und berechnen
$\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4$

Die Aufgabe lautet jetzt:

$-5{,}8 + 0{,}4$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $-5{,}4$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde den vorteilhaftesten Rechenweg für $0{,}7 + \frac{4}{9}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zahlen und Rechenart analysieren
Wir haben eine Addition (+) einer Dezimalzahl ( $0{,}7$ ) und eines Bruchs ( $\frac{4}{9}$ ).
Schritt 2
Strategie wählen
Es ist eine Addition. Wir prüfen den Bruch. Der Nenner ist 9. Das ergibt eine periodische Dezimalzahl ( $0{,}\overline{4}$ ). Rechnen mit periodischen Zahlen ist unpraktisch. Also wandeln wir die Dezimalzahl in einen Bruch um.
Schritt 3 · Ergebnis
Umwandeln und berechnen
$0{,}7 = \frac{7}{10}$

Die Aufgabe lautet jetzt:

$\frac{7}{10} + \frac{4}{9}$

Wir brauchen einen gemeinsamen Nenner. Der kleinste gemeinsame Nenner von 10 und 9 ist 90.

$\frac{7 \cdot 9}{10 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{63}{90} + \frac{40}{90}$

$= \frac{63+40}{90} = \frac{103}{90}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $\frac{103}{90}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Finde den vorteilhaftesten Rechenweg für $-1{,}25 \cdot \frac{4}{15}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zahlen und Rechenart analysieren
Wir haben eine Multiplikation ( $\cdot$ ) einer Dezimalzahl ( $-1{,}25$ ) und eines Bruchs ( $\frac{4}{15}$ ).
Schritt 2
Strategie wählen
Es ist eine Multiplikation. Hier ist es fast immer besser, alles in Brüche umzuwandeln, um kürzen zu können.
Schritt 3 · Ergebnis
Umwandeln und berechnen
$-1{,}25 = -1\frac{25}{100} = -1\frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$

Die Aufgabe lautet jetzt:

$-\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{15}$

Jetzt können wir kürzen! Die 4 im Zähler und Nenner heben sich auf. Die 5 im Zähler und die 15 im Nenner können wir durch 5 kürzen (übrig bleiben 1 und 3).

$-\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{4}^1} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{15}^3} = -\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $-\frac{1}{3}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Finde den vorteilhaftesten Rechenweg für $15 : (-0{,}\overline{3})$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zahlen und Rechenart analysieren
Wir haben eine Division (:) durch eine periodische Dezimalzahl ( $-0{,}\overline{3}$ ).
Schritt 2
Strategie wählen
Eine periodische Zahl ist dabei. Wir müssen alles in Brüche umwandeln.
Schritt 3 · Ergebnis
Umwandeln und berechnen
Die Regel für periodische Zahlen mit einer Ziffer in der Periode lautet: Ziffer in den Zähler, 9 in den Nenner.

$0{,}\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Also ist $-0{,}\overline{3} = -\frac{1}{3}$ .

Die Aufgabe lautet jetzt:

$15 : (-\frac{1}{3})$

Wir teilen durch einen Bruch, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren. Der Kehrwert von $-\frac{1}{3}$ ist $-3$ .

$15 \cdot (-3) = -45$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $-45$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Finde den vorteilhaftesten Rechenweg für $2{,}5 - \frac{3}{4} \cdot 2$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Zahlen und Rechenart analysieren
Wir haben eine gemischte Rechnung mit Punkt-vor-Strich. Zuerst die Multiplikation $\frac{3}{4} \cdot 2$ , dann die Subtraktion.
Schritt 2
Strategie wählen
Für die Multiplikation $\frac{3}{4} \cdot 2$ ist die Bruchschreibweise ideal.

$\frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Jetzt lautet die Aufgabe: $2{,}5 - \frac{3}{2}$ .

Nun haben wir eine Subtraktion. Der Bruch $\frac{3}{2}$ lässt sich sehr leicht in eine Dezimalzahl umwandeln. Das ist der beste Weg.
Schritt 3 · Ergebnis
Umwandeln und berechnen
$\frac{3}{2} = 1{,}5$

Die Aufgabe lautet jetzt:

$2{,}5 - 1{,}5 = 1$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $1$ .

Aufgabentyp 4: Alles zusammen: Gemischte Aufgaben lösen

In den meisten Aufgaben musst du alle bisher gelernten Regeln kombinieren. Du bekommst eine bunte Mischung aus Brüchen, Dezimalzahlen, positiven und negativen Werten. Der Schlüssel zum Erfolg ist, systematisch vorzugehen und immer zuerst die beste Rechenstrategie zu wählen.

Erinnere dich an die Kernpunkte:

Vorzeichenregeln: Bestimme immer zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses.
Punkt- vor Strichrechnung: Multiplikation und Division haben immer Vorrang vor Addition und Subtraktion.
Strategische Umwandlung: Entscheide klug, ob du mit Brüchen oder Dezimalzahlen rechnen willst. (Siehe Aufgabentyp 3)

Wenn du diese drei Punkte bei jeder Aufgabe beachtest, kannst du auch die kompliziertesten Terme Schritt für Schritt zerlegen und sicher lösen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Term analysieren und Rechenreihenfolge festlegen: Schau dir den gesamten Term an. Gibt es Klammern? Gilt Punkt- vor Strichrechnung? Lege fest, was du zuerst berechnen musst.
Strategie für die erste Teilrechnung wählen: Konzentriere dich auf die erste Berechnung. Entscheide, ob du die Zahlen als Brüche oder Dezimalzahlen darstellen willst.
Umwandeln und erste Teilrechnung durchführen: Wandle die Zahlen entsprechend deiner Strategie um und berechne das erste Teilergebnis. Achte auf die Vorzeichenregeln!
Term mit Teilergebnis neu aufschreiben: Ersetze die erste Teilrechnung im ursprünglichen Term durch dein Ergebnis. Jetzt hast du einen einfacheren Term.
Wiederholen, bis das Endergebnis feststeht: Wiederhole die Schritte 2 bis 4 für die nächste Teilrechnung, bis du den gesamten Term gelöst hast. Vereinfache das Endergebnis (z. B. Bruch kürzen).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $-1\frac{1}{2} \cdot 0{,}8$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Es ist eine einfache Multiplikation.
Schritt 2
Strategie wählen
Bei Multiplikation ist es vorteilhaft, alles in Brüche umzuwandeln, um kürzen zu können.
Schritt 3
Umwandeln und berechnen
$-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$

$0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Die Rechnung lautet: $(-\frac{3}{2}) \cdot \frac{4}{5}$ . Das Ergebnis wird negativ sein.

$-\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 5} = -\frac{12}{10}$
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
Wir kürzen den Bruch und wandeln ihn in eine Dezimalzahl um.

$-\frac{12}{10} = -\frac{6}{5} = -1{,}2$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $-1{,}2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $4\frac{1}{4} - 5\frac{1}{2}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Es ist eine Subtraktion von zwei gemischten Brüchen.
Schritt 2
Strategie wählen
Beide Brüche ( $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{2}$ ) lassen sich leicht in Dezimalzahlen umwandeln. Das Rechnen mit Dezimalzahlen ist hier einfacher.
Schritt 3
Umwandeln und berechnen
$4\frac{1}{4} = 4{,}25$

$5\frac{1}{2} = 5{,}5$

Die Rechnung lautet: $4{,}25 - 5{,}5$ .

$4{,}25 - 5{,}5 = -1{,}25$
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Ergebnis steht
Das Ergebnis ist $-1{,}25$ .

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $-1{,}25$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $-4{,}5 : 1\frac{1}{4}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Es ist eine Division.
Schritt 2
Strategie wählen
Bei Division ist es meist besser, alles in Brüche umzuwandeln.
Schritt 3
Umwandeln und berechnen
$-4{,}5 = -4\frac{1}{2} = -\frac{9}{2}$

$1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Die Rechnung lautet: $(-\frac{9}{2}) : \frac{5}{4}$ . Das Ergebnis wird negativ sein.

Wir multiplizieren mit dem Kehrwert:

$-\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 5} = -\frac{36}{10}$
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Ergebnis vereinfachen
$-\frac{36}{10} = -\frac{18}{5} = -3{,}6$

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $-3{,}6$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $-3\frac{1}{5} + 8{,}1$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Es ist eine Addition.
Schritt 2
Strategie wählen
Der Bruch $\frac{1}{5}$ lässt sich sehr leicht in eine Dezimalzahl umwandeln. Wir rechnen mit Dezimalzahlen.
Schritt 3
Umwandeln und berechnen
$-3\frac{1}{5} = -3{,}2$

Die Rechnung lautet: $-3{,}2 + 8{,}1$ . Das ist dasselbe wie $8{,}1 - 3{,}2$ .

$8{,}1 - 3{,}2 = 4{,}9$
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Ergebnis steht
Das Ergebnis ist $4{,}9$ .

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $4{,}9$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne den Wert des Terms: $-1{,}05 \cdot (-0{,}2)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Term analysieren
Es ist eine Multiplikation von zwei Dezimalzahlen.
Schritt 2
Strategie wählen
Da beide Zahlen bereits Dezimalzahlen sind, bleiben wir dabei. Es gibt keinen Grund, hier in Brüche umzuwandeln.
Schritt 3
Berechnen
Zuerst das Vorzeichen: Minus mal Minus ergibt Plus. Das Ergebnis ist positiv.

Jetzt die Beträge: $1{,}05 \cdot 0{,}2$ . Das ist dasselbe wie $1{,}05 \cdot 2$ und das Komma dann eine Stelle nach links verschieben.

$1{,}05 \cdot 2 = 2{,}10$

Komma eine Stelle nach links: $0{,}210$ oder $0{,}21$ .
Schritt 4 & 5 · Ergebnis
Ergebnis steht
Das Ergebnis ist $0{,}21$ .

Ergebnis:

Das Ergebnis ist $0{,}21$ .

Wichtige Erkenntnisse

Vorzeichenregeln bei · und :: Gleiche Zeichen $\to$ Plus. Ungleiche Zeichen $\to$ Minus.
Vorzeichenregeln bei + und -: Bei ungleichen Vorzeichen gewinnt das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
Potenzen: Negative Basis mit geradem Exponenten $\to$ positiv. Negative Basis mit ungeradem Exponenten $\to$ negativ.
Strategie: Bei Multiplikation/Division und periodischen Zahlen fast immer in Brüche umwandeln. Bei Addition/Subtraktion mit einfachen Brüchen in Dezimalzahlen umwandeln.
Kehrwert: Zähler und Nenner tauschen (für Produkt = 1).
Gegenzahl: Vorzeichen umdrehen (für Summe = 0 oder Quotient = -1).

Rechnen mit rationalen Zahlen einfach erklärt