Was sind Röntgenphysik und Innerschalenübergänge?

Die Röntgenphysik beschäftigt sich mit der Entstehung und den Eigenschaften von Röntgenstrahlung. Innerschalenübergänge passieren, wenn ein Elektron aus einer inneren Schale (z. B. der K-Schale) herausgeschlagen wird und ein Elektron aus einer höheren Schale in dieses Loch fällt. Dabei wird die überschüssige Energie als hochenergetisches Röntgenphoton abgestrahlt.

Wie berechnet man die Energie der charakteristischen Röntgenstrahlung?

Dafür nutzt du das Moseleysche Gesetz . Es ist eine angepasste Rydberg-Formel für schwere Atome. Die Formel lautet E = 13.6 eV · (Z - 1)² · (1/1² - 1/2²) für einen Übergang auf die K-Schale. Z ist dabei die Kernladungszahl des Elements.

Warum versagen normale optische Gitter bei Röntgenstrahlung?

Die Wellenlänge von Röntgenstrahlung ist mit etwa 100 Pikometern extrem klein. Ein normales optisches Gitter hat einen Spaltabstand von etwa 1 Mikrometer, was zehntausendmal größer ist. Der Beugungswinkel wird dadurch so winzig, dass die Ablenkung nicht mehr messbar ist.

Röntgenphysik und Innerschalenübergänge

Wenn du dir schon einmal einen Knochen gebrochen hast, kennst du Röntgenbilder. Diese unsichtbaren Strahlen durchdringen mühelos Haut und Muskeln, werden aber von Knochen gestoppt. Beim Thema Röntgenphysik und Innerschalenübergänge lernst du, wie Elektronen in den innersten Schalen schwerer Atome diese energiereichen Strahlen erzeugen und warum wir sie mit normalen optischen Geräten gar nicht messen können.

Vorwissen

Energie eines Photons: Die Energie eines Lichtteilchens (Photons) hängt von seiner Wellenlänge ab.

Formel: $E = \frac{h \cdot c}{\lambda}$

Beispiel: Ein Photon mit einer sehr kurzen Wellenlänge (wie Röntgenstrahlung) hat eine extrem hohe Energie.
Optisches Gitter: Ein Gitter beugt Wellen in bestimmte Winkel, abhängig von der Wellenlänge $\lambda$ und dem Spaltabstand $d$ .

Formel: $d \cdot \sin(\alpha) = k \cdot \lambda$

Beispiel: Rotes Licht wird an einem Gitter in einen messbaren Winkel abgelenkt, wodurch ein Interferenzmuster entsteht.

Aufgabentyp 1: Entstehung charakteristischer Röntgenstrahlung

In der Röntgenphysik und Innerschalenübergänge spielt die Entstehung der Strahlung eine zentrale Rolle. Atome besitzen verschiedene Elektronenschalen. Die innerste Schale nennt man K-Schale ( $n=1$ ), die nächste L-Schale ( $n=2$ ). Wenn in einer Röntgenröhre ein schnelles Elektron von außen auf ein schweres Atom trifft, kann es ein Elektron aus der innersten K-Schale herausschlagen. Es entsteht ein Loch.

Dieses Loch wird sofort gefüllt: Ein Elektron aus einer höheren Schale (z. B. der L-Schale) fällt hinab auf den freien Platz. Da die äußere Schale ein höheres Energieniveau hat als die innere, muss das Elektron seine überschüssige Energie loswerden. Es sendet diese Energie als ein einziges Röntgenphoton aus.

Wenn man diese Strahlung misst, findet man ganz scharfe, exakte Spektrallinien (die sogenannte K-Alpha-Linie). Das ist ein direkter Beweis dafür, dass ein Atom scharf getrennte, diskrete Energiezustände besitzt. Wären die Energieniveaus fließend, würden wir ein verschmiertes Spektrum sehen und keine scharfen Linien.

Um die Energie dieses Photons zu berechnen, nutzen wir das Moseleysche Gesetz (eine angepasste Rydberg-Formel für schwere Atome):

$E = 13.6 \text{ eV} \cdot (Z - 1)^{2} \cdot \left(\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}}\right)$

Hierbei ist $Z$ die Kernladungszahl (Ordnungszahl) des Elements. Wir rechnen $(Z - 1)$ , weil das eine verbleibende Elektron in der K-Schale die positive Ladung des Kerns ein wenig abschirmt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Kernladungszahl bestimmen: Finde die Ordnungszahl $Z$ des Elements im Periodensystem.
Energie des Photons berechnen: Setze $Z$ in das Moseleysche Gesetz für den Übergang von $n=2$ nach $n=1$ ein: $E = 13.6 \text{ eV} \cdot (Z - 1)^{2} \cdot 0.75$ .
Energie in Joule umrechnen: Da wir für die Wellenlänge Standardeinheiten brauchen, rechne die Energie von Elektronenvolt ( $\text{eV}$ ) in Joule ( $\text{J}$ ) um. Multipliziere dazu den Wert mit $1.602 \cdot 10^{-19} \text{ J/eV}$ .
Wellenlänge berechnen: Nutze die Formel $\lambda = \frac{h \cdot c}{E}$ . Setze das Plancksche Wirkungsquantum ( $h = 6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Js}$ ) und die Lichtgeschwindigkeit ( $c = 3.0 \cdot 10^{8} \text{ m/s}$ ) ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne die Wellenlänge der K-Alpha-Linie im charakteristischen Röntgenspektrum von Molybdän ( $Z = 42$ ), die dem Übergang von $n = 2$ nach $n = 1$ entspricht.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kernladungszahl bestimmen
Die Kernladungszahl ist gegeben: $Z = 42$ .
Schritt 2
Energie des Photons berechnen
Wir setzen $Z$ in die Formel ein:

$E = 13.6 \text{ eV} \cdot (42 - 1)^{2} \cdot \left(\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}}\right)$

$E = 13.6 \text{ eV} \cdot (41)^{2} \cdot \left(1 - 0.25\right)$

$E = 13.6 \text{ eV} \cdot 1681 \cdot 0.75$

$E = 17146.2 \text{ eV}$
Schritt 3
Energie in Joule umrechnen
$E = 17146.2 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ J}$

$E \approx 2.747 \cdot 10^{-15} \text{ J}$
Schritt 4 · Ergebnis
Wellenlänge berechnen
$\lambda = \frac{h \cdot c}{E}$

$\lambda = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \cdot 3.0 \cdot 10^{8} \text{ m/s}}{2.747 \cdot 10^{-15} \text{ J}}$

$\lambda = \frac{19.878 \cdot 10^{-26} \text{ Jm}}{2.747 \cdot 10^{-15} \text{ J}}$

$\lambda \approx 7.236 \cdot 10^{-11} \text{ m}$

Das entspricht $72.36 \text{ pm}$ (Pikometer).

Ergebnis:

Die Wellenlänge der charakteristischen Röntgenstrahlung von Molybdän beträgt etwa $72.4 \text{ pm}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Zeige rechnerisch, dass die Wellenlänge der charakteristischen Röntgenstrahlung einer Kupferanode ( $Z = 29$ ) beim Übergang von $n = 2$ nach $n = 1$ ungefähr den Wert $\lambda = 154 \text{ pm}$ hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Kernladungszahl bestimmen
Für Kupfer gilt: $Z = 29$ .
Schritt 2
Energie des Photons berechnen
$E = 13.6 \text{ eV} \cdot (29 - 1)^{2} \cdot 0.75$

$E = 13.6 \text{ eV} \cdot (28)^{2} \cdot 0.75$

$E = 13.6 \text{ eV} \cdot 784 \cdot 0.75$

$E = 7996.8 \text{ eV}$
Schritt 3
Energie in Joule umrechnen
$E = 7996.8 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ J}$

$E \approx 1.281 \cdot 10^{-15} \text{ J}$
Schritt 4 · Ergebnis
Wellenlänge berechnen
$\lambda = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Js} \cdot 3.0 \cdot 10^{8} \text{ m/s}}{1.281 \cdot 10^{-15} \text{ J}}$

$\lambda = \frac{19.878 \cdot 10^{-26} \text{ Jm}}{1.281 \cdot 10^{-15} \text{ J}}$

$\lambda \approx 1.55 \cdot 10^{-10} \text{ m}$

Ergebnis:

Die berechnete Wellenlänge beträgt $155 \text{ pm}$ . Dies liegt extrem nah an dem exakten gemessenen Wert von $154 \text{ pm}$ . Die winzige Abweichung entsteht, weil unsere Formel die Abschirmung durch andere Elektronen nur vereinfacht annimmt.

Aufgabentyp 2: Warum optische Gitter bei Röntgenstrahlung versagen

Wie wir gerade berechnet haben, liegen die Wellenlängen charakteristischer Röntgenlinien im Bereich von etwa $100 \text{ pm}$ (Pikometer). Das entspricht $0.1 \text{ nm}$ (Nanometer).

Um Wellenlängen von Licht zu messen, nutzt man normalerweise optische Gitter. Ein typisches optisches Standardgitter hat einen Spaltabstand (die Gitterkonstante d) von etwa $1 \text{ \mu m}$ , was $1000 \text{ nm}$ entspricht.

Das Problem: Die Gitterkonstante ist zehntausendmal größer als die Röntgenwellenlänge. Damit es zu einer gut messbaren Beugung kommt, müssen Wellenlänge und Gitterkonstante in einer ähnlichen Größenordnung liegen. Ist der Spalt im Vergleich zur Welle riesig, fliegt die Welle einfach geradeaus hindurch, ohne nennenswert abgelenkt zu werden. Der Beugungswinkel wird so winzig, dass wir ihn nicht mehr auflösen können. (Deshalb nutzt man für Röntgenstrahlen später Kristallgitter, deren Atomabstände viel kleiner sind).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Begründe rechnerisch, warum man ein optisches Gitter mit einer Gitterkonstante von $d = 1 \, \mu\text{m}$ kaum zur Messung von Röntgenwellenlängen ( $\lambda = 100 \text{ pm}$ ) verwenden kann. Berechne dazu den Beugungswinkel $\alpha$ für das erste Maximum ( $k = 1$ ).

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Werte in die gleiche Einheit umrechnen
Wir rechnen beide Werte in Meter ( $\text{m}$ ) um, um sie vergleichen zu können.

Wellenlänge: $\lambda = 100 \text{ pm} = 100 \cdot 10^{-12} \text{ m} = 10^{-10} \text{ m}$

Gitterkonstante: $d = 1 \mu\text{m} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ m}$
Schritt 2
Gittergleichung aufstellen
Die Bedingung für das erste Maximum ( $k = 1$ ) lautet:

$d \cdot \sin(\alpha) = 1 \cdot \lambda$
Schritt 3 · Ergebnis
Nach dem Winkel auflösen und Werte einsetzen
Wir teilen durch $d$ :

$\sin(\alpha) = \frac{\lambda}{d}$

$\sin(\alpha) = \frac{10^{-10} \text{ m}}{10^{-6} \text{ m}}$

$\sin(\alpha) = 10^{-4} = 0.0001$

Nun berechnen wir den Winkel $\alpha$ mit der Umkehrfunktion ( $\arcsin$ ):

$\alpha = \arcsin(0.0001)$

$\alpha \approx 0.0057^{\circ}$

Ergebnis:

Der Beugungswinkel für das erste Maximum beträgt nur etwa $0.0057^{\circ}$ . Dieser Winkel ist so extrem klein, dass der abgelenkte Strahl praktisch direkt auf dem Hauptstrahl liegt. Ein normales optisches Gitter kann diesen winzigen Unterschied nicht auflösen.

Wichtige Erkenntnisse

Charakteristische Röntgenstrahlung entsteht, wenn ein Elektron aus einer äußeren Schale in ein Loch einer inneren Schale (z. B. K-Schale) fällt.
Die dabei entstehenden scharfen Spektrallinien beweisen, dass Atome diskrete (fest definierte) Energiezustände besitzen.
Die Wellenlänge dieser Strahlung liegt bei etwa $100 \text{ pm}$ und kann mit dem Moseleyschen Gesetz berechnet werden.
Optische Gitter versagen bei Röntgenstrahlung, da ihre Gitterkonstante ( $d$ ) viel zu groß im Vergleich zur winzigen Wellenlänge ( $\lambda$ ) ist, was zu unmessbar kleinen Beugungswinkeln führt.

Röntgenphysik und Innerschalenübergänge einfach erklärt