Nichtlokalisierbarkeit und Superposition einfach erklärt

Das Thema Nichtlokalisierbarkeit und Superposition zeigt uns, wie faszinierend und anders die Quantenphysik im Vergleich zu unserer Alltagswelt funktioniert. Stell dir vor, du schießt einen Fußball auf eine Wand mit zwei offenen Türen. Der Ball fliegt entweder durch die linke oder durch die rechte Tür. Niemals durch beide gleichzeitig! In unserer Alltagswelt ist das völlig logisch.

In der Welt der kleinsten Teilchen, der Quantenphysik, gelten diese Alltagsregeln jedoch nicht mehr. In dieser Erklärung werden wir entdecken, warum Elektronen sich weigern, sich für eine einzige Tür zu entscheiden, und wie wir dieses seltsame Verhalten mathematisch berechnen können.

Vorwissen

• Doppelspaltexperiment: Quantenobjekte (wie Elektronen) erzeugen auf einem Schirm ein Interferenzmuster (Streifenmuster), wenn sie durch zwei Spalte fliegen. Beispiel: Schießt man einzelne Elektronen durch einen Doppelspalt, bauen sie nach und nach ein Streifenmuster auf.
• Bornsche Regel: Die Wahrscheinlichkeit $P$, ein Teilchen an einem Ort zu finden, ist das Quadrat seiner Wellenfunktion $\psi$. Formel: $P(x) = |\psi(x)|^2$ Beispiel: Wenn die Wellenfunktion an einem Ort den Wert $0{,}5$ hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit dort $0{,}5^2 = 0{,}25$.
• Erste binomische Formel: Eine mathematische Regel zum Ausmultiplizieren von Klammern. Formel: $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2 \cdot a \cdot b$ Beispiel: $(2 + 3)^2 = 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 = 4 + 9 + 12 = 25$.

Aufgabentyp 1: Wahrscheinlichkeiten bei Superposition berechnen

Wenn wir klassische Teilchen (wie kleine Steine) durch eine Wand mit zwei Spalten (Spalt A und Spalt B) werfen, passiert jeder Stein genau einen Spalt. Er fliegt entweder durch A oder durch B.

Die Wahrscheinlichkeit, einen Stein an einem bestimmten Ort auf dem Schirm zu finden, ist einfach die Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten: $\textcolor{#08BFFF}{P(x)} = P_A(x) + P_B(x)$. Das ergibt auf dem Schirm ein Muster mit zwei großen Haufen.

Wenn wir jedoch Quantenobjekte (wie Elektronen) durch den Doppelspalt schicken, sehen wir auf dem Schirm ein Streifenmuster (Interferenzmuster). Dieses Muster sieht völlig anders aus als unsere klassische Summe!

Da die Annahme „Das Elektron geht durch genau einen Spalt“ ein falsches Muster liefert, müssen wir diese Idee aufgeben.

In der Quantenphysik ist es möglich, dass einem Quantenobjekt klassisch wohldefinierte Eigenschaften (wie ein fester „Ort“ oder ein bestimmter „Weg“) nicht zugeschrieben werden können. Das Elektron befindet sich beim Durchqueren der Spalte in einem Zustand unbestimmten Ortes. Man nennt dies Nicht-Lokalisierbarkeit.

Wenn beide Spalte geöffnet sind, befindet sich das Elektron in einem Überlagerungszustand (Superposition). Das bedeutet, wir addieren nicht die fertigen Wahrscheinlichkeiten, sondern die Wellenfunktionen der beiden Spalte: $\psi(x) = \psi_A(x) + \psi_B(x)$.

Vergleichen wir die beiden Rechenwege:

Klassisch (falsch für Elektronen): Wir addieren die Wahrscheinlichkeiten. $\textcolor{#08BFFF}{P_{klassisch}(x)} = |\psi_A(x)|^2 + |\psi_B(x)|^2$

Quantenmechanisch (richtig): Wir addieren zuerst die Wellenfunktionen und quadrieren dann das Ergebnis, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten. $\textcolor{#9570FF}{P_{quanten}(x)} = |\psi_A(x) + \psi_B(x)|^2$

Wenn wir diesen Ausdruck mit der ersten binomischen Formel ausmultiplizieren, erhalten wir: $\textcolor{#9570FF}{P_{quanten}(x)} = |\psi_A(x)|^2 + |\psi_B(x)|^2 + \textcolor{#53E5D6}{2 \cdot \psi_A(x) \cdot \psi_B(x)}$

Fällt dir etwas auf? Der vordere Teil ist genau die klassische Summe. Aber am Ende steht ein zusätzlicher Teil: der $\textcolor{#53E5D6}{Interferenzterm}$.

Genau dieser $\textcolor{#53E5D6}{Interferenzterm}$ ist mathematisch dafür verantwortlich, dass auf dem Schirm das typische Streifenmuster entsteht!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Wellenfunktionen notieren: Schreibe die Werte für $\psi_A$ und $\psi_B$ an dem gesuchten Ort auf.
2. Klassische Wahrscheinlichkeit berechnen: Quadriere beide Werte einzeln und addiere sie: $\textcolor{#08BFFF}{P_{klassisch}} = \psi_A^2 + \psi_B^2$.
3. Quantenmechanische Wahrscheinlichkeit berechnen: Addiere zuerst beide Werte und quadriere dann das Ergebnis: $\textcolor{#9570FF}{P_{quanten}} = (\psi_A + \psi_B)^2$.
4. Interferenzterm bestimmen: Berechne den Unterschied oder nutze die Formel: $\textcolor{#53E5D6}{Interferenzterm} = \textcolor{#53E5D6}{2 \cdot \psi_A \cdot \psi_B}$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 0

Aufgabe

An einem bestimmten Punkt $x$ auf dem Schirm eines Doppelspaltexperiments betragen die Werte der Wellenfunktionen $\psi_A = 0{,}3$ und $\psi_B = 0{,}4$. Berechne die $\textcolor{#08BFFF}{klassische Wahrscheinlichkeit}$ sowie die tatsächliche $\textcolor{#9570FF}{quantenmechanische Wahrscheinlichkeit}$ für diesen Punkt. Bestimme anschließend den $\textcolor{#53E5D6}{Interferenzterm}$.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Wellenfunktionen notieren

   Gegeben sind $\psi_A = 0{,}3$ und $\psi_B = 0{,}4$.

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   Schritt 2
   Klassische Wahrscheinlichkeit berechnen

   $\textcolor{#08BFFF}{P_{klassisch}} = 0{,}3^2 + 0{,}4^2$ $= 0{,}09 + 0{,}16$ $= \textcolor{#08BFFF}{0{,}25}$

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   Schritt 3
   Quantenmechanische Wahrscheinlichkeit berechnen

   $\textcolor{#9570FF}{P_{quanten}} = (0{,}3 + 0{,}4)^2$ $= 0{,}7^2$ $= \textcolor{#9570FF}{0{,}49}$

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   Schritt 4 · Ergebnis
   Interferenzterm bestimmen

   $\textcolor{#53E5D6}{Interferenzterm} = \textcolor{#53E5D6}{2 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}4}$ $= \textcolor{#53E5D6}{0{,}24}$

Ergebnis:

Die $\textcolor{#08BFFF}{klassische Wahrscheinlichkeit}$ beträgt $\textcolor{#08BFFF}{0{,}25}$, die $\textcolor{#9570FF}{quantenmechanische Wahrscheinlichkeit}$ beträgt $\textcolor{#9570FF}{0{,}49}$ und der $\textcolor{#53E5D6}{Interferenzterm}$ ist $\textcolor{#53E5D6}{0{,}24}$. Realitätscheck: Die quantenmechanische Wahrscheinlichkeit ($\textcolor{#9570FF}{0{,}49}$) ist exakt die Summe aus der klassischen Wahrscheinlichkeit ($\textcolor{#08BFFF}{0{,}25}$) und dem Interferenzterm ($\textcolor{#53E5D6}{0{,}24}$). Das Ergebnis ist mathematisch logisch.

Wichtige Erkenntnisse

• Quantenobjekten kann im Doppelspaltexperiment kein eindeutiger Weg oder Ort zugeschrieben werden (Nicht-Lokalisierbarkeit).
• Die klassische Addition von Wahrscheinlichkeiten ($\textcolor{#08BFFF}{P_A + P_B}$) funktioniert für Quantenobjekte nicht.
• Im Überlagerungszustand (Superposition) werden stattdessen die Wellenfunktionen addiert: $\psi = \psi_A + \psi_B$.
• Der $\textcolor{#53E5D6}{Interferenzterm}$ ($\textcolor{#53E5D6}{2 \cdot \psi_A \cdot \psi_B}$) ist der mathematische Grund für das Entstehen des Streifenmusters.