LC-Schwingkreis einfach erklärt: Aufbau, Formeln & Beispiele

Stell dir vor, du drehst am Rädchen eines klassischen Radios, um deinen Lieblingssender zu finden. Woher weiß das Radio, welche der tausenden unsichtbaren Signale in der Luft es abspielen soll und welche es ignorieren muss?

Das Geheimnis dahinter ist ein sogenannter elektrischer Schwingkreis. Er funktioniert wie eine elektrische Stimmgabel, die nur auf eine ganz bestimmte Frequenz reagiert. In diesem Artikel schauen wir uns an, aus welchen Bauteilen dieser Kreis besteht, wie sich Strom und Spannung darin verhalten und wie du genau berechnen kannst, auf welche Frequenz dein LC-Schwingkreis eingestellt ist!

Vorwissen

• Kondensator: Speichert elektrische Ladung. Seine wichtigste Kenngröße ist die Kapazität $C$. Beispiel: Ein Kondensator in einem Kamera-Blitzlicht speichert Ladung, um sie schlagartig als hellen Blitz abzugeben.
• Spule: Erzeugt ein Magnetfeld, wenn Strom hindurchfließt. Ihre wichtigste Kenngröße ist die Induktivität $L$. Beispiel: Ein Elektromagnet auf dem Schrottplatz nutzt eine Spule, um schwere Autos anzuheben.
• Maschenregel (Kirchhoff): In einem geschlossenen Stromkreis ist die Summe aller Spannungen gleich null ($U_{1} + U_{2} = 0$). Beispiel: Wenn eine Batterie $9 \text{ V}$ liefert, fallen an den angeschlossenen Bauteilen im Kreis insgesamt genau $9 \text{ V}$ ab.

Aufgabentyp 1: Aufbau, Phasenbeziehung und Thomsonsche Schwingungsgleichung

Ein elektrischer Schwingkreis ist erstaunlich simpel aufgebaut. Er besteht aus nur zwei Bauteilen: einem Kondensator und einer Spule. Verbindet man diese beiden zu einem geschlossenen Ring, entsteht ein sogenannter LC-Schwingkreis (L steht für die Spule, C für den Kondensator).

Wenn wir den Kondensator aufladen und den Stromkreis schließen, passiert etwas Faszinierendes: Die Spannung ($U$) am Kondensator und die Stromstärke ($I$) in der Spule beginnen harmonisch zu schwingen. Sie werden abwechselnd größer, fallen auf null, wechseln die Richtung und steigen wieder an.

Das Wichtigste dabei ist: Sie schwingen nicht im gleichen Takt!

Wie du im Diagramm sehen kannst, erreicht die Spannung genau dann ihren Maximalwert, wenn die Stromstärke null ist. Umgekehrt fließt der Strom am stärksten, wenn die Spannung null ist. In der Physik nennt man dieses versetzte Verhalten eine Phasenverschiebung von $90^\text{\degree}$ (oder einer Viertelperiode).

Jeder Schwingkreis hat eine bestimmte „Lieblingsfrequenz“, mit der er schwingt. Diese Eigenfrequenz ($f$) hängt nur von der Größe der Spule ($L$) und des Kondensators ($C$) ab. Berechnet wird sie mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung:

$f = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$

Woher kommt diese Formel?

Um das zu verstehen, müssen wir die Mathematik des Schwingkreises aufstellen. Wir starten mit der Maschenregel. In unserem Kreis addieren sich die Spannung am Kondensator ($U_{C}$) und die Spannung an der Spule ($U_{L}$) zu null:

$U_{C} + U_{L} = 0$

Wir wissen aus den Grundlagen, dass $U_{C} = \frac{Q(t)}{C}$ (Ladung durch Kapazität) und $U_{L} = L \cdot \dot{I}(t)$ (Induktionsspannung der Spule). Setzen wir das ein:

$\frac{Q(t)}{C} + L \cdot \dot{I}(t) = 0$

Jetzt haben wir ein mathematisches Problem: Wir haben zwei verschiedene Variablen in der Gleichung, nämlich die Ladung $Q$ und die Änderung des Stroms $\dot{I}$. Um das zu lösen, nutzen wir einen Trick. Wir wissen, dass Strom fließende Ladung ist ($I(t) = \dot{Q}(t)$). Wenn wir nun die gesamte Gleichung nach der Zeit $t$ ableiten, wird aus der Ladung $Q(t)$ der Strom $I(t)$, und aus $\dot{I}(t)$ wird die zweite Ableitung $\ddot{I}(t)$:

$\frac{I(t)}{C} + L \cdot \ddot{I}(t) = 0$

Das ist die Differentialgleichung des LC-Schwingkreises. Die mathematische Lösung für so eine Gleichung ist ein Sinusansatz: $I(t) = I_{0} \cdot \sin(\omega \cdot t)$. Setzt man diesen Ansatz in die Differentialgleichung ein, erhält man die Winkelfrequenz $\omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$. Daraus lässt sich dann direkt die Thomsonsche Schwingungsgleichung für die Frequenz $f$ ableiten.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Werte notieren: Schreibe $L$ und $C$ auf und wandle sie zwingend in die SI-Basiseinheiten Henry ($\text{H}$) und Farad ($\text{F}$) um.
2. Gleichung aufstellen: Notiere die Thomsonsche Schwingungsgleichung $f = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$.
3. Werte einsetzen: Berechne zuerst das Produkt unter der Wurzel, ziehe die Wurzel und teile dann. Die Einheit ist Hertz ($\text{Hz}$).
4. Periodendauer berechnen: Nutze abschließend die Formel $T = \frac{1}{f}$, um die Zeit für eine volle Schwingung in Sekunden zu berechnen.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus einem Kondensator ($C$) und einer Spule ($L$).
• Die Spannung und die Stromstärke führen harmonische Schwingungen aus, sind aber um $90^\text{\degree}$ zueinander phasenverschoben.
• Die Eigenfrequenz des Schwingkreises wird mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung berechnet: $f = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$.
• Die Differentialgleichung des Schwingkreises lautet $\frac{I(t)}{C} + L \cdot \ddot{I}(t) = 0$ und wird direkt aus der Maschenregel hergeleitet.