Grundlagen des radioaktiven Zerfalls einfach erklärt

Stell dir vor, du machst Popcorn in einem großen Topf. Du hörst es ständig ploppen, aber du kannst unmöglich vorhersagen, welches einzelne Maiskorn als Nächstes aufplatzt. Was du aber sehr wohl messen kannst, ist, wie viele Körner pro Sekunde ploppen.

Genau so verhält es sich mit radioaktiven Stoffen! Wir wissen nicht, wann ein bestimmter Atomkern zerfällt. Aber wenn wir Milliarden von Kernen haben, können wir sehr genau berechnen, wie viele davon in einer bestimmten Zeit zerfallen. In dieser Lektion lernst du, wie man diese Zerfallsrate misst, was die berühmte Halbwertszeit bedeutet und wie du mit dem Zerfallsgesetz exakt berechnen kannst, wie viel von einem radioaktiven Stoff nach einer bestimmten Zeit noch übrig ist.

Vorwissen

• Die natürliche Exponentialfunktion: Beschreibt Prozesse, die exponentiell wachsen oder schrumpfen. Formel: $f(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ Beispiel: Wenn $k$ negativ ist, nimmt der Wert von $f(x)$ immer langsamer ab, je größer $x$ wird.
• Die Ableitung als Änderungsrate: Die erste Ableitung einer Funktion gibt an, wie schnell sich ein Wert zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert. Formel: $v(t) = \dot{s}(t)$ (Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung der Strecke). Beispiel: Wenn ein Auto bremst, ändert sich seine Position $s(t)$. Die Ableitung $\dot{s}(t)$ sagt uns, wie viele Meter pro Sekunde es genau in diesem Moment zurücklegt.

Aufgabentyp 1: Grundlagen des radioaktiven Zerfalls berechnen

Um die Grundlagen des radioaktiven Zerfalls mathematisch zu erfassen, schauen wir uns die Aktivität, die Halbwertszeit und das Zerfallsgesetz genauer an.

Ein radioaktiver Zerfallsprozess kann gemessen werden, indem man zählt, wie viele Kerne in einer bestimmten Zeit zerfallen. Dafür nutzt man oft ein Geiger-Müller-Zählrohr. Die gemessene Zählrate sagt uns, wie aktiv der Stoff ist.

Die Aktivität ist also ein Maß für die Zerfallsgeschwindigkeit. Sie gibt an, wie viele Kerne pro Zeitintervall zerfallen.

Wenn in einer Zeitspanne $\textcolor{#9570FF}{\Delta t}$ insgesamt $\textcolor{#08BFFF}{\Delta N}$ Kerne zerfallen, berechnet man die mittlere Aktivität $A$ so:

$\textcolor{#53E5D6}{A} = \frac{|\textcolor{#08BFFF}{\Delta N}|}{\textcolor{#9570FF}{\Delta t}}$

Die Einheit der Aktivität ist das Becquerel (Bq). Es gilt: $1 \text{ Bq} = 1 \text{ Zerfall pro Sekunde} = \frac{1}{\text{s}}$.

Wenn wir die Zeitspanne extrem kurz machen ($\textcolor{#9570FF}{\Delta t} \to 0$), erhalten wir die momentane Aktivität zu einem exakten Zeitpunkt $t$. Mathematisch ist das die zeitliche Ableitung der Kernanzahl. Da die Anzahl der Kerne abnimmt, setzen wir ein Minuszeichen davor, damit die Aktivität positiv bleibt:

$\textcolor{#53E5D6}{A(t)} = -\dot{N}(t)$

Ein häufiger Fehler ist zu glauben, dass radioaktiver Zerfall linear abläuft. Wenn in der ersten Minute 100 Kerne zerfallen, zerfallen in der zweiten Minute nicht wieder 100 Kerne! Da nun weniger Kerne vorhanden sind, zerfallen auch weniger.

Der Prozess ist exponentiell. Das bedeutet, es dauert immer gleich lang, bis sich die Menge der noch vorhandenen Kerne halbiert hat. Diese charakteristische Zeitspanne nennt man Halbwertszeit ($T_H$). Jeder radioaktive Atomkern hat seine eigene, unveränderliche Halbwertszeit.

• Nach einer Halbwertszeit ($1 \cdot T_H$) ist noch $\frac{1}{2}$ der ursprünglichen Menge vorhanden.
• Nach zwei Halbwertszeiten ($2 \cdot T_H$) ist noch $\frac{1}{4}$ vorhanden (die Hälfte der Hälfte).
• Nach zehn Halbwertszeiten ($10 \cdot T_H$) sind nur noch etwa $0,1\%$ der ursprünglichen Kerne übrig.

Da die Aktivität direkt von der Anzahl der Kerne abhängt, halbiert sich nach jeder Halbwertszeit auch die Aktivität.

Mit der Halbwertszeit können wir leicht im Kopf rechnen, aber was ist, wenn wir wissen wollen, wie viele Kerne nach exakt 17 Minuten übrig sind? Dafür brauchen wir eine kontinuierliche mathematische Funktion: das Zerfallsgesetz.

Das Gesetz berechnet die Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne $\textcolor{#08BFFF}{N(t)}$ zu einem beliebigen Zeitpunkt $\textcolor{#9570FF}{t}$:

$\textcolor{#08BFFF}{N(t)} = \textcolor{#08BFFF}{N_0} \cdot e^{-\lambda \cdot \textcolor{#9570FF}{t}}$

• $\textcolor{#08BFFF}{N_0}$ ist die Anzahl der Kerne ganz am Anfang (bei $t=0$).
• $e$ ist die Eulersche Zahl (eine feste mathematische Konstante auf deinem Taschenrechner).
• $\lambda$ (Lambda) ist die Zerfallskonstante. Sie gibt an, wie wahrscheinlich der Zerfall eines Kerns pro Sekunde ist. Ihre Einheit ist $\frac{1}{\text{s}}$.

Die Zerfallskonstante $\lambda$ und die Halbwertszeit $T_H$ hängen fest zusammen. Wenn du das eine kennst, kannst du das andere berechnen:

$\lambda = \frac{\ln(2)}{T_H} \quad \text{bzw.} \quad T_H = \frac{\ln(2)}{\lambda}$

Wichtig: Genau dieselbe Formel gilt auch für die Aktivität! Du kannst einfach $N$ durch $A$ ersetzen: $\textcolor{#53E5D6}{A(t)} = \textcolor{#53E5D6}{A_0} \cdot e^{-\lambda \cdot \textcolor{#9570FF}{t}}$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Notiere gegebene und gesuchte Werte: Lies die Aufgabe und schreibe Startwert, Zeit, Halbwertszeit oder Konstante auf.
2. Berechne die Zerfallskonstante: Falls nur die Halbwertszeit gegeben ist, berechne zuerst $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_H}$.
3. Stelle die Formel auf: Schreibe das Zerfallsgesetz auf und setze alle bekannten Zahlen ein.
4. Rechne das Ergebnis aus: Tippe die Werte in den Taschenrechner ein und achte auf das Minuszeichen im Exponenten.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Aktivität ($A$): Gibt an, wie viele Kerne pro Sekunde zerfallen. Die Einheit ist das Becquerel ($1 \text{ Bq} = 1 \text{ Zerfall/s}$).
• Halbwertszeit ($T_H$): Die Zeitspanne, in der genau die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Kerne zerfällt. Der Zerfall ist exponentiell, nicht linear!
• Zerfallsgesetz: Berechnet die verbleibenden Kerne zu jedem beliebigen Zeitpunkt: $\textcolor{#08BFFF}{N(t)} = \textcolor{#08BFFF}{N_0} \cdot e^{-\lambda \cdot \textcolor{#9570FF}{t}}$.
• Zusammenhang: Die Zerfallskonstante $\lambda$ und die Halbwertszeit hängen über $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_H}$ zusammen.