Gedämpfte elektrische Schwingungen einfach erklärt: Formeln

Stell dir vor, du schaukelst auf einem Spielplatz und hörst auf, Schwung zu holen. Was passiert? Du wirst langsam immer weniger hoch schwingen, bis du schließlich komplett stehen bleibst.

Genau das Gleiche passiert in der Physik bei gedämpften elektrischen Schwingungen! Ein elektrischer Schwingkreis schwingt nicht ewig weiter. In dieser Lektion lernen wir, wie der elektrische Widerstand wie eine unsichtbare Bremse wirkt und wie wir genau berechnen können, wann die elektrische Schwingung zum Stillstand kommt.

Vorwissen

• Idealer Schwingkreis: Ein System aus Spule und Kondensator, das theoretisch ewig schwingt. Formel: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ Beispiel: Ein idealer Schwingkreis tauscht elektrische Energie verlustfrei zwischen elektrischem und magnetischem Feld hin und her.
• Maschenregel (Kirchhoff): In einem geschlossenen Stromkreis ist die Summe aller Spannungen null. Formel: $\sum U = 0$ Beispiel: Die Spannung der Quelle entspricht exakt der Summe der Spannungen an allen Verbrauchern in der Masche.
• Mechanische Reibung: Ein Effekt, der Bewegung bremst und Bewegungsenergie in Wärme umwandelt. Beispiel: Ein rollendes Skateboard wird auf rauem Asphalt langsam abgebremst und stoppt schließlich.

Aufgabentyp 1: Gedämpfte Schwingkreise berechnen

In einer perfekten Welt würde ein elektrischer Schwingkreis ewig weiterschwingen. In der Realität besitzt jedoch jedes Kabel und jede Spule einen natürlichen ohmschen Widerstand ($R$).

Dieser Widerstand wirkt genau wie die mechanische Reibung bei einem Skateboard. Er entzieht dem System kontinuierlich Energie, indem er einen Teil der elektrischen Energie in Wärme umwandelt. Man nennt diesen Vorgang auch Dissipation.

Weil bei jedem Hin- und Herschwingen der Elektronen ein bisschen Energie als Wärme verloren geht, wird die Amplitude (der maximale Ausschlag von Spannung oder Stromstärke) mit der Zeit immer kleiner.

Wenn dem System keine neue Energie von außen zugeführt wird, nimmt die Schwingung exponentiell ab, bis sie schließlich ganz zum Erliegen kommt.

Um dieses "Ausfaden" mathematisch zu beschreiben, nutzen wir die Maschenregel. In unserem Stromkreis addieren sich die Spannungen von Kondensator ($\textcolor{#9570FF}{C}$), Widerstand ($\textcolor{#FF7D57}{R}$) und Spule ($\textcolor{#08BFFF}{L}$) zu null:

$U_C + U_R + U_L = 0$

Wir wissen, dass der Strom $I$ die Änderung der Ladung $\textcolor{#53E5D6}{\dot{Q}}$ ist. Setzen wir die passenden Formeln für die Bauteile ein, erhalten wir die Differentialgleichung des gedämpften Schwingkreises:

$\frac{1}{\textcolor{#9570FF}{C}} \cdot \textcolor{#53E5D6}{Q} + \textcolor{#FF7D57}{R} \cdot \textcolor{#53E5D6}{\dot{Q}} + \textcolor{#08BFFF}{L} \cdot \textcolor{#53E5D6}{\ddot{Q}} = 0$

Die Lösung dieser Gleichung verrät uns, wie sich die Ladung $\textcolor{#53E5D6}{Q}$ über die Zeit verhält:

$\textcolor{#53E5D6}{Q}(t) = Q_0 \cdot e^{-\delta \cdot t} \cdot \cos(\omega \cdot t)$

Diese Formel besteht aus zwei Teilen, die gleichzeitig passieren:

1. Das Abklingen ($e^{-\delta \cdot t}$): Die Dämpfungskonstante $\delta = \frac{\textcolor{#FF7D57}{R}}{2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{L}}$ bestimmt, wie schnell die Energie verloren geht.
2. Das Schwingen ($\cos(\omega \cdot t)$): Die neue, gedämpfte Kreisfrequenz ist $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}$. Sie ist etwas langsamer als beim idealen Schwingkreis.

Was passiert, wenn der Widerstand $\textcolor{#FF7D57}{R}$ extrem groß wird? Hier unterscheiden wir drei Fälle:

• Schwingfall ($\delta < \omega_0$): Der Widerstand ist klein. Das System schwingt und die Amplitude wird langsam kleiner.
• Aperiodischer Grenzfall ($\delta = \omega_0$): Der Widerstand ist genau so groß, dass das System gar nicht mehr schwingt. Die Ladung fällt auf dem schnellstmöglichen Weg auf null ab.
• Kriechfall ($\delta > \omega_0$): Der Widerstand ist riesig. Die Ladung "kriecht" extrem langsam auf null zurück, ohne zu schwingen.

Alle drei Fälle zeigen, wie der Widerstand das Verhalten des Stromkreises grundlegend verändert.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Werte notieren und Einheiten anpassen: Schreibe alle gegebenen Werte auf. Wandle Einheiten wie Millihenry ($\text{mH}$) in Henry ($\text{H}$) und Mikrofarad ($\mu\text{F}$) in Farad ($\text{F}$) um.
2. Ungedämpfte Eigenkreisfrequenz berechnen: Nutze die Formel für den idealen Schwingkreis: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$.
3. Dämpfungskonstante berechnen: Berechne den Einfluss des Widerstands mit der Formel: $\delta = \frac{R}{2 \cdot L}$.
4. Fall unterscheiden: Vergleiche $\delta$ und $\omega_0$. Ist $\delta < \omega_0$, liegt ein Schwingfall vor und du kannst weiterrechnen.
5. Gedämpfte Frequenz berechnen: Berechne zuerst die gedämpfte Kreisfrequenz $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}$. Teile das Ergebnis anschließend durch $2\pi$, um die Frequenz $f$ in Hertz ($\text{Hz}$) zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein realer Schwingkreis besteht aus einer Spule mit $L = 0.5 \text{ H}$, einem Kondensator mit $C = 2 \ \mu\text{F}$ und einem ohmschen Widerstand von $R = 100 \ \Omega$. Berechne die Dämpfungskonstante, prüfe, welcher Fall vorliegt, und berechne die Frequenz $f$ der gedämpften Schwingung.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Werte notieren und Einheiten anpassen

   Gegeben: $L = 0.5 \text{ H}$ $C = 2 \ \mu\text{F} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ F}$ $R = 100 \ \Omega$

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   Schritt 2
   Ungedämpfte Eigenkreisfrequenz berechnen

   $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0.5 \text{ H} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ F}}}$ $\omega_0 = 1000 \text{ s}^{-1}$

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   Schritt 3
   Dämpfungskonstante berechnen

   $\delta = \frac{R}{2 \cdot L}$ $\delta = \frac{100 \ \Omega}{2 \cdot 0.5 \text{ H}}$ $\delta = 100 \text{ s}^{-1}$

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   Schritt 4
   Fall unterscheiden

   Wir vergleichen $\delta$ und $\omega_0$: $100 \text{ s}^{-1} < 1000 \text{ s}^{-1}$ Da $\delta < \omega_0$, liegt der Schwingfall vor.

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   Schritt 5 · Ergebnis
   Gedämpfte Frequenz berechnen

   Zuerst berechnen wir die gedämpfte Kreisfrequenz $\omega$: $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}$ $\omega = \sqrt{(1000 \text{ s}^{-1})^2 - (100 \text{ s}^{-1})^2}$ $\omega = \sqrt{1000000 \text{ s}^{-2} - 10000 \text{ s}^{-2}}$ $\omega = \sqrt{990000 \text{ s}^{-2}} \approx 994.99 \text{ s}^{-1}$

   Nun berechnen wir die Frequenz $f$: $f = \frac{\omega}{2\pi}$ $f = \frac{994.99 \text{ s}^{-1}}{2 \cdot \pi} \approx 158.36 \text{ Hz}$

Ergebnis:

Die Dämpfungskonstante beträgt $100 \text{ s}^{-1}$, es liegt ein Schwingfall vor und die Frequenz der gedämpften Schwingung ist ca. $158.36 \text{ Hz}$. Realitätscheck: Die Frequenz ist mit ca. $158 \text{ Hz}$ etwas kleiner als die ungedämpfte Frequenz (ca. $159 \text{ Hz}$). Das ergibt physikalisch Sinn, da die Dämpfung die Schwingung leicht verlangsamt.

Wichtige Erkenntnisse

• Reale Schwingkreise besitzen einen ohmschen Widerstand, der wie mechanische Reibung wirkt und elektrische Energie in Wärme umwandelt.
• Durch diesen Energieverlust nimmt die Amplitude der Schwingung exponentiell ab (Dämpfung).
• Die Differentialgleichung kombiniert den exponentiellen Abfall ($e^{-\delta \cdot t}$) mit einer Schwingung ($\cos(\omega \cdot t)$).
• Ist der Widerstand zu groß, stoppt die Schwingung komplett. Man spricht dann vom aperiodischen Grenzfall oder Kriechfall.