Die Differentialgleichung eines Federpendels einfach erklärt

Stell dir vor, du beobachtest ein Gewicht, das an einer Feder auf und ab wippt. Wenn du genau vorhersagen möchtest, wo sich das Gewicht in exakt 3,5 Sekunden befindet, brauchst du mehr als nur eine einfache Formel – du brauchst den mathematischen Code dieser Bewegung.

In der Physik nutzen wir dafür die Differentialgleichung eines Federpendels. Das klingt kompliziert, ist aber eigentlich nur ein Rätsel: Wir suchen keine einzelne Zahl als Lösung (wie $x = 5$), sondern eine komplette Funktion, die die gesamte Bewegung wie ein Film beschreibt. In dieser Lektion lernst du, wie man dieses Rätsel für ein Federpendel aufstellt und löst!

Vorwissen

• Zweites Newtonsches Gesetz: Kraft ist Masse mal Beschleunigung.

  Formel: $F = m \cdot a$

  Beispiel: Um ein $2 \text{ kg}$ schweres Auto mit $3 \text{ m/s}^{2}$ zu beschleunigen, braucht man $6 \text{ N}$ Kraft.

• Hookesches Gesetz (Lineares Kraftgesetz): Die Rückstellkraft einer Feder hängt von ihrer Härte und der Auslenkung ab. Das Minus zeigt, dass die Kraft zurück zur Mitte zieht.

  Formel: $F = -D \cdot s$

  Beispiel: Zieht man eine Feder ($D = 10 \text{ N/m}$) um $0,5 \text{ m}$ nach unten, zieht sie mit $5 \text{ N}$ nach oben.

• Ableitungen in der Physik: Die Geschwindigkeit $v(t)$ ist die erste Ableitung des Ortes $s(t)$. Die Beschleunigung $a(t)$ ist die zweite Ableitung.

  Schreibweise: $v(t) = \dot{s}(t)$ und $a(t) = \ddot{s}(t)$

  Beispiel: Wenn der Ort $s(t) = 5t^2$ ist, dann ist die Beschleunigung $\ddot{s}(t) = 10$.

Aufgabentyp 1: Aufstellen der Differentialgleichung

Um die Bewegung eines Federpendels zu beschreiben, betrachten wir die wirkenden Kräfte. Wir haben zwei verschiedene physikalische Gesetze, die exakt dieselbe Kraft beschreiben:

1. Die Ursache der Bewegung (Hooke): Die Feder zieht die Masse zurück. Diese Kraft hängt von der Federhärte und der Auslenkung ab: $F = -\textcolor{#9570FF}{D} \cdot \textcolor{#53E5D6}{s(t)}$.

2. Die Wirkung der Bewegung (Newton): Jede Kraft führt dazu, dass eine Masse beschleunigt wird: $F = \textcolor{#08BFFF}{m} \cdot a(t)$.

Da beide Formeln dieselbe Kraft an der Feder beschreiben, können wir sie einfach gleichsetzen:

$\textcolor{#08BFFF}{m} \cdot a(t) = -\textcolor{#9570FF}{D} \cdot \textcolor{#53E5D6}{s(t)}$

Nun kommt der entscheidende Schritt: Wir wissen aus dem Vorwissen, dass die Beschleunigung $a(t)$ nichts anderes ist als die zweite zeitliche Ableitung des Ortes, also $\ddot{s}(t)$. Wir ersetzen $a(t)$:

$\textcolor{#08BFFF}{m} \cdot \ddot{s}(t) = -\textcolor{#9570FF}{D} \cdot \textcolor{#53E5D6}{s(t)}$

Was bedeutet diese Gleichung?

Das ist unsere Differentialgleichung. Sie ist keine normale Gleichung, bei der man am Ende $x = 3$ herausbekommt. Sie stellt eine Bedingung an eine Funktion: „Suche mir eine Funktion $\textcolor{#53E5D6}{s(t)}$, die, wenn ich sie zweimal ableite ($\ddot{s}(t)$) und mit $\textcolor{#08BFFF}{m}$ multipliziere, genau dasselbe ergibt, als würde ich die ursprüngliche Funktion mit -$\textcolor{#9570FF}{D}$ multiplizieren.“

Aufgabentyp 2: Überprüfung der Lösung und Herleitung der Periodenformel

Wie lösen wir dieses Rätsel? Wir wissen, dass ein Pendel harmonisch schwingt. Daher raten wir einfach, dass die Lösung eine Sinusfunktion ist:

$\textcolor{#53E5D6}{s(t)} = A \cdot \sin(\omega \cdot t)$

Um zu prüfen, ob das stimmt, müssen wir diese Funktion zweimal ableiten. Dabei müssen wir die Kettenregel beachten (die innere Ableitung von $\omega \cdot t$ ist $\omega$):

1. Ableitung (Geschwindigkeit): $\dot{s}(t) = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t)$

2. Ableitung (Beschleunigung): $\ddot{s}(t) = -A \cdot \omega^2 \cdot \sin(\omega \cdot t)$

Wenn wir genau hinsehen, erkennen wir unsere ursprüngliche Funktion $\textcolor{#53E5D6}{s(t)}$ in der zweiten Ableitung wieder (denn $A \cdot \sin(\omega \cdot t)$ ist ja $\textcolor{#53E5D6}{s(t)}$). Wir können also kürzer schreiben:

$\ddot{s}(t) = -\omega^2 \cdot \textcolor{#53E5D6}{s(t)}$

Nun setzen wir diese Erkenntnis in unsere Differentialgleichung ($\textcolor{#08BFFF}{m} \cdot \ddot{s}(t) = -\textcolor{#9570FF}{D} \cdot \textcolor{#53E5D6}{s(t)}$) ein:

$\textcolor{#08BFFF}{m} \cdot (-\omega^2 \cdot \textcolor{#53E5D6}{s(t)}) = -\textcolor{#9570FF}{D} \cdot \textcolor{#53E5D6}{s(t)}$

Da $\textcolor{#53E5D6}{s(t)}$ und das Minuszeichen auf beiden Seiten stehen, können wir sie wegkürzen. Es bleibt:

$\textcolor{#08BFFF}{m} \cdot \omega^2 = \textcolor{#9570FF}{D}$

Damit haben wir bewiesen: Die Sinusfunktion ist tatsächlich die richtige Lösung, aber nur, wenn diese Bedingung erfüllt ist!

Aus dieser Bedingung können wir nun die Formel für die Periodendauer $T$ (die Zeit für eine volle Schwingung) herleiten. Wir lösen zuerst nach $\omega$ auf:

$\omega^2 = \frac{\textcolor{#9570FF}{D}}{\textcolor{#08BFFF}{m}}$

$\omega = \sqrt{\frac{\textcolor{#9570FF}{D}}{\textcolor{#08BFFF}{m}}}$

Wir wissen aus dem Zeigermodell, dass $\omega = \frac{2\pi}{T}$ ist. Das setzen wir ein:

$\frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{\textcolor{#9570FF}{D}}{\textcolor{#08BFFF}{m}}}$

Um $T$ nach oben zu bekommen, drehen wir auf beiden Seiten die Brüche um (Kehrwert bilden):

$\frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{\textcolor{#08BFFF}{m}}{\textcolor{#9570FF}{D}}}$

Zuletzt multiplizieren wir mit $2\pi$ und erhalten die berühmte Formel für die Periodendauer:

$T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{\textcolor{#08BFFF}{m}}{\textcolor{#9570FF}{D}}}$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Funktion und Differentialgleichung notieren: Schreibe die gegebene Funktion $s(t)$ und die zugehörige Differentialgleichung (z.B. $m \cdot \ddot{s}(t) = -D \cdot s(t)$) übersichtlich auf.
2. Zweimal ableiten: Bilde die erste Ableitung $\dot{s}(t)$ und danach die zweite Ableitung $\ddot{s}(t)$. Vergiss dabei die Kettenregel (innere Ableitung) nicht!
3. In die Gleichung einsetzen: Ersetze in der Differentialgleichung das $\ddot{s}(t)$ durch dein Ergebnis aus Schritt 2. Ersetze das $s(t)$ durch die ursprüngliche Funktion.
4. Vereinfachen und Vergleichen: Kürze alles weg, was auf beiden Seiten gleich ist (meistens die Sinus- oder Kosinusfunktion). Wenn am Ende eine wahre Aussage (wie $m \cdot \omega^2 = D$) übrig bleibt, hast du die Lösung erfolgreich bewiesen.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Eine Differentialgleichung verknüpft eine Funktion mit ihren eigenen Ableitungen. Die Lösung ist immer eine Funktion, keine einzelne Zahl.
• Die Differentialgleichung des Federpendels lautet: $\textcolor{#08BFFF}{m} \cdot \ddot{s}(t) = -\textcolor{#9570FF}{D} \cdot \textcolor{#53E5D6}{s(t)}$. Sie entsteht durch das Gleichsetzen von Newton ($F=m \cdot a$) und Hooke ($F=-D \cdot s$).
• Die Schwingungsgleichung $\textcolor{#53E5D6}{s(t)} = A \cdot \sin(\omega \cdot t)$ ist die Lösung dieser Differentialgleichung.
• Die Periodendauer eines Federpendels hängt nur von der Masse und der Federhärte ab, nicht von der Auslenkung: $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{\textcolor{#08BFFF}{m}}{\textcolor{#9570FF}{D}}}$.