Was ist die Brechung von Wellen?

Die Brechung von Wellen ist ein physikalisches Phänomen, das auftritt, wenn eine Welle (wie Licht oder Wasser) von einem Medium in ein anderes übergeht und sich dabei ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert. Dadurch ändert die Welle ihre Richtung und knickt ab.

Wie lautet das Brechungsgesetz?

Das Brechungsgesetz (auch Snellius-Gesetz) setzt die Winkel und Geschwindigkeiten der beiden Medien ins Verhältnis. Die Formel lautet: sin(α) / sin(β) = c₁ / c₂ . Dabei sind α und β die Winkel zum Lot, und c₁ sowie c₂ die Ausbreitungsgeschwindigkeiten in den jeweiligen Medien.

Warum bricht eine Welle zum Lot hin?

Eine Welle bricht zum Lot hin , wenn sie von einem schnelleren in ein langsameres Medium übergeht. Weil die Ausbreitungsgeschwindigkeit im zweiten Medium geringer ist, kommen die neuen Elementarwellen nach dem Huygensschen Prinzip nicht so weit. Die neue Wellenfront kippt dadurch in Richtung des Lotes.

Was besagt das Huygenssche Prinzip bei der Brechung?

Das Huygenssche Prinzip besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront der Ausgangspunkt einer neuen, kreisförmigen Elementarwelle ist. Wenn eine Welle schräg auf eine Grenzfläche trifft, entstehen diese Elementarwellen nacheinander. Ändert sich die Geschwindigkeit im neuen Medium, ändert sich der Radius dieser Elementarwellen, was zur Brechung führt.

Brechung von Wellen einfach erklärt

Die Brechung von Wellen ist ein faszinierendes Phänomen in der Physik. Stell dir vor, du fährst mit einem Auto schräg von einer glatten Asphaltstraße in ein zähes Schlammfeld. Was passiert? Das Rad, das zuerst den Schlamm berührt, wird sofort abgebremst. Das andere Rad ist aber noch auf dem Asphalt und dreht sich schnell weiter. Dadurch wird das ganze Auto automatisch in eine neue Richtung gelenkt!

Genau das Gleiche passiert mit Wellen (wie Licht- oder Wasserwellen), wenn sie von einem Material in ein anderes wechseln und sich dabei ihre Geschwindigkeit ändert. Dieses Phänomen nennen wir Brechung. In diesem Artikel schauen wir uns an, wie wir die Brechung von Wellen geometrisch erklären und sogar genau berechnen können.

Vorwissen

Bevor wir uns die Brechung von Wellen genauer ansehen, solltest du zwei wichtige Konzepte kennen:

Huygens'sches Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront ist der Ausgangspunkt einer neuen, kreisförmigen Elementarwelle. Die neue Wellenfront ergibt sich als Einhüllende (Tangente) all dieser kleinen Elementarwellen.
Ausbreitungsgeschwindigkeit ( $c$ ): Gibt an, wie schnell sich eine Welle in einem bestimmten Medium bewegt. Beispiel: Licht bewegt sich in Luft schneller als in Wasser.

Aufgabentyp 1: Brechungswinkel berechnen

Um die Brechung von Wellen zu berechnen, müssen wir verstehen, was an der Grenzfläche passiert. Wenn eine Welle schräg auf die Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Materialien trifft, ändert sie ihre Richtung. Um zu verstehen, warum das passiert, nutzen wir das Huygens'sche Prinzip.

Stell dir vor, eine Wellenfront bewegt sich durch Medium 1 (z.B. Luft) und trifft schräg auf Medium 2 (z.B. Wasser). Da sie schräg auftrifft, erreicht ein Ende der Wellenfront die Grenzfläche früher als das andere Ende.

Sobald ein Punkt der Wellenfront die Grenzfläche berührt, entsteht dort eine neue Elementarwelle, die sich in das Medium 2 ausbreitet.

Der entscheidende Punkt: Wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit im zweiten Medium geringer ist ( $\textcolor{#9570FF}{c_2} < \textcolor{#08BFFF}{c_1}$ ), kommen diese neuen Elementarwellen in der gleichen Zeit nicht so weit. Ihr Radius ist kleiner!

Huygenssche Elementarwellen an Grenzfläche

Da die Elementarwellen im Medium 2 kleiner sind, ist die neue gemeinsame Wellenfront (die Einhüllende) nicht mehr parallel zur alten. Sie kippt. Wir messen die Winkel immer zu einer gedachten senkrechten Hilfslinie, dem Lot. Weil die Welle im zweiten Medium langsamer ist, knickt sie zum Lot hin ab. Das bedeutet, der Brechungswinkel ( $\textcolor{#9570FF}{\beta}$ ) ist kleiner als der Einfallswinkel ( $\textcolor{#08BFFF}{\alpha}$ ).

Wir können genau berechnen, wie stark eine Welle abknickt. Dafür nutzen wir das Brechungsgesetz (auch Snellius-Gesetz genannt). Es setzt die Winkel und die Geschwindigkeiten der beiden Medien ins Verhältnis.

Die Formel lautet:

$\frac{\sin(\textcolor{#08BFFF}{\alpha})}{\sin(\textcolor{#9570FF}{\beta})} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{c_1}}{\textcolor{#9570FF}{c_2}}$

$\textcolor{#08BFFF}{\alpha}$ = Einfallswinkel im Medium 1 (gemessen zum Lot)
$\textcolor{#9570FF}{\beta}$ = Brechungswinkel im Medium 2 (gemessen zum Lot)
$\textcolor{#08BFFF}{c_1}$ = Geschwindigkeit im Medium 1
$\textcolor{#9570FF}{c_2}$ = Geschwindigkeit im Medium 2

Woher kommt diese Formel? Wenn man sich die Wellenfronten an der Grenzfläche genau ansieht, bilden sie zwei rechtwinklige Dreiecke, die sich die Grenzfläche als gemeinsame längste Seite (Hypotenuse) teilen. In der Trigonometrie berechnet man den Sinus eines Winkels, indem man die Gegenkathete durch die Hypotenuse teilt. Die Gegenkatheten in unseren Dreiecken sind genau die Strecken, die die Welle in einer bestimmten Zeit zurücklegt (Strecke = Geschwindigkeit $\cdot$ Zeit). Da die Zeit für beide Dreiecke gleich ist, hängt das Verhältnis der Sinus-Werte direkt vom Verhältnis der Geschwindigkeiten ab.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Werte ordnen und Skizze machen: Notiere dir, welches Medium 1 (Start) und welches Medium 2 (Ziel) ist. Schreibe die gegebenen Geschwindigkeiten ( $c_1$ , $c_2$ ) und Winkel auf. Wichtig: Winkel werden immer zwischen dem Wellenstrahl und dem senkrechten Lot gemessen!
Formel aufstellen: Schreibe das Brechungsgesetz auf: $\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{c_1}{c_2}$ .
Nach der gesuchten Größe umstellen: Nutze Äquivalenzumformungen, um die Formel so umzustellen, dass die gesuchte Variable (z.B. $\sin(\beta)$ ) alleine auf einer Seite steht.
Werte einsetzen und Winkel berechnen: Setze die Zahlen ein. Wenn du einen Winkel suchst, musst du am Ende die Umkehrfunktion des Sinus ( $\arcsin$ oder $\sin^{-1}$ auf dem Taschenrechner) verwenden.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Welle bewegt sich in Medium 1 mit einer Geschwindigkeit von $1 \text{ cm/s}$ . Sie trifft unter einem Winkel von $30^\circ$ auf die Grenzfläche zu Medium 2. In Medium 2 beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit nur noch $0,5 \text{ cm/s}$ . Berechne den Brechungswinkel $\beta$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Werte ordnen und Skizze machen
Gegeben: Medium 1: $\textcolor{#08BFFF}{c_1} = 1 \text{ cm/s}$ , $\textcolor{#08BFFF}{\alpha} = 30^\circ$ Medium 2: $\textcolor{#9570FF}{c_2} = 0,5 \text{ cm/s}$

Gesucht: Brechungswinkel $\textcolor{#9570FF}{\beta} = ?$
Schritt 2
Formel aufstellen
$\frac{\sin(\textcolor{#08BFFF}{\alpha})}{\sin(\textcolor{#9570FF}{\beta})} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{c_1}}{\textcolor{#9570FF}{c_2}}$
Schritt 3
Nach der gesuchten Größe umstellen
Wir suchen $\textcolor{#9570FF}{\beta}$ , also müssen wir die Formel nach $\sin(\textcolor{#9570FF}{\beta})$ auflösen. Wir multiplizieren über Kreuz: $\sin(\textcolor{#08BFFF}{\alpha}) \cdot \textcolor{#9570FF}{c_2} = \sin(\textcolor{#9570FF}{\beta}) \cdot \textcolor{#08BFFF}{c_1}$

Dann teilen wir durch $\textcolor{#08BFFF}{c_1}$ : $\frac{\sin(\textcolor{#08BFFF}{\alpha}) \cdot \textcolor{#9570FF}{c_2}}{\textcolor{#08BFFF}{c_1}} = \sin(\textcolor{#9570FF}{\beta})$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte einsetzen und Winkel berechnen
$\sin(\textcolor{#9570FF}{\beta}) = \frac{\sin(30^\circ) \cdot 0,5 \text{ cm/s}}{1 \text{ cm/s}}$

Wir wissen (oder der Taschenrechner sagt uns), dass $\sin(30^\circ) = 0,5$ ist. Die Einheiten ( $\text{cm/s}$ ) kürzen sich weg: $\sin(\textcolor{#9570FF}{\beta}) = \frac{0,5 \cdot 0,5}{1}$ $\sin(\textcolor{#9570FF}{\beta}) = 0,25$

Um den Winkel zu bekommen, nutzen wir die Umkehrfunktion $\arcsin$ (oder $\sin^{-1}$ ): $\textcolor{#9570FF}{\beta} = \arcsin(0,25)$ $\textcolor{#9570FF}{\beta} \approx 14,48^\circ$

Ergebnis:

Der Brechungswinkel $\beta$ beträgt ca. $14,48^\circ$ . Reality Check: Die Welle wird im zweiten Medium langsamer ( $0,5 < 1$ ). Daher muss sie zum Lot hin gebrochen werden, der Winkel muss also kleiner werden. $14,48^\circ$ ist kleiner als $30^\circ$ . Das Ergebnis ist logisch!

Wichtige Erkenntnisse

Brechung entsteht, wenn eine Welle schräg in ein neues Medium eindringt und sich dort ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert.
Wechselt eine Welle von einem schnellen in ein langsames Medium, werden die Elementarwellen kleiner. Die Welle wird zum Lot hin gebrochen (der Winkel wird kleiner).
Winkel werden in der Physik immer zwischen dem Wellenstrahl und dem senkrechten Lot gemessen, niemals zur Oberfläche!
Mit dem Brechungsgesetz kannst du die genauen Winkel berechnen: $\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{c_1}{c_2}$ .

Brechung von Wellen einfach erklärt: Definition & Formel