3. Keplersches Gesetz einfach erklärt: Umlaufzeiten & Abstände

Ein Jahr auf der Erde dauert genau 365 Tage. Das ist die Zeit, die unser Planet braucht, um einmal die Sonne zu umrunden. Aber was ist mit dem Jupiter, der viel weiter draußen im Sonnensystem kreist?

Je weiter ein Planet von der Sonne entfernt ist, desto länger ist sein Weg und desto langsamer bewegt er sich. Johannes Kepler fand einen genialen mathematischen Trick, um genau zu berechnen, wie lange ein Planet für eine Runde braucht, wenn man nur seine Entfernung kennt. In diesem Artikel lernst du das 3. Keplersche Gesetz für Umlaufzeiten und Abstände kennen und erfährst, wie man es aus den Grundregeln der Physik herleiten kann!

Vorwissen

• Gravitationskraft ($F_G$): Die Anziehungskraft zwischen zwei Massen. Formel: $F_G = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2}$ Beispiel: Die Sonne (Masse $M$) zieht die Erde (Masse $m$) über die Entfernung $r$ an.

• Zentripetalkraft ($F_Z$): Die Kraft, die einen Körper auf einer Kreisbahn hält. Formel: $F_Z = m \cdot r \cdot \omega^2$ Beispiel: Ein Auto, das durch eine Kurve fährt, benötigt eine Zentripetalkraft, um nicht aus der Kurve zu fliegen.

• Winkelgeschwindigkeit ($\omega$): Gibt an, wie schnell ein Winkel überstrichen wird. Formel: $\omega = \frac{2 \cdot \pi}{T}$ (wobei $T$ die Umlaufzeit für eine volle Runde ist). Beispiel: Der Sekundenzeiger einer Uhr hat eine Umlaufzeit von $T = 60 \text{ s}$.

Aufgabentyp 1: Das dritte Keplersche Gesetz anwenden

Das dritte Keplersche Gesetz vergleicht zwei Himmelskörper (zum Beispiel zwei Planeten), die denselben Zentralkörper (die Sonne) umkreisen. Es besagt in Worten:

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich so zueinander wie die dritten Potenzen (Kuben) ihrer großen Halbachsen.

Was ist die große Halbachse? Planetenbahnen sind eigentlich leicht oval (elliptisch). Die große Halbachse (Formelzeichen $\textcolor{#08BFFF}{a}$) ist der mittlere Abstand des Planeten zur Sonne. Da die Bahnen der meisten Planeten fast perfekte Kreise sind, können wir für Berechnungen oft einfach den Radius $\textcolor{#08BFFF}{r}$ der Kreisbahn verwenden ($\textcolor{#08BFFF}{a} \approx \textcolor{#08BFFF}{r}$).

Mathematisch sieht das Gesetz so aus:

$\left(\frac{\textcolor{#9570FF}{T_1}}{\textcolor{#9570FF}{T_2}}\right)^2 = \left(\frac{\textcolor{#08BFFF}{a_1}}{\textcolor{#08BFFF}{a_2}}\right)^3$

Dieses Gesetz ist extrem mächtig: Wenn wir die Daten von einem bekannten Planeten (wie unserer Erde) haben, können wir die fehlenden Daten jedes anderen Planeten in unserem Sonnensystem berechnen!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Körper zuordnen: Lege fest, welcher Himmelskörper Nummer 1 (meistens der mit dem gesuchten Wert) und welcher Nummer 2 (der bekannte Vergleichskörper, z.B. die Erde) ist.
2. Gegebene Werte notieren: Schreibe die Umlaufzeiten ($\textcolor{#9570FF}{T_1}$, $\textcolor{#9570FF}{T_2}$) und Abstände ($\textcolor{#08BFFF}{a_1}$, $\textcolor{#08BFFF}{a_2}$) auf. Wichtig: Beide Zeiten und beide Abstände müssen jeweils die gleiche Einheit haben.
3. Formel aufstellen und umstellen: Schreibe das 3. Keplersche Gesetz auf und löse die Gleichung nach der gesuchten Variable auf (Wurzel oder Kubikwurzel ziehen).
4. Werte einsetzen und berechnen: Setze die Zahlen ein und tippe sie vorsichtig in den Taschenrechner ein.

Durchgerechnete Beispiele

Aufgabentyp 2: Herleitung aus der Newtonschen Mechanik

Warum gilt das Keplersche Gesetz überhaupt? Johannes Kepler fand das Gesetz durch reine Beobachtung. Erst Isaac Newton konnte später mit seinen Gesetzen der Mechanik beweisen, warum es funktioniert.

Für diese Herleitung nehmen wir zur Vereinfachung an, dass die Planeten sich auf perfekten Kreisbahnen bewegen. Der Abstand $\textcolor{#08BFFF}{a}$ ist also einfach der Radius $\textcolor{#08BFFF}{r}$.

Damit ein Planet (Masse $m$) auf einer Kreisbahn um die Sonne (Masse $M$) bleibt, braucht er eine Kraft, die ihn nach innen zieht: die Zentripetalkraft ($F_Z$). Diese Kraft wird im Weltraum durch die gegenseitige Anziehungskraft geliefert: die Gravitationskraft ($F_G$).

Wir setzen also beide Kräfte gleich:

$F_Z = F_G$

Nun setzen wir die Formeln für beide Kräfte ein:

$m \cdot \textcolor{#08BFFF}{r} \cdot \omega^2 = G \cdot \frac{m \cdot M}{\textcolor{#08BFFF}{r}^2}$

Wir wissen aus dem Vorwissen, dass die Winkelgeschwindigkeit $\omega = \frac{2 \cdot \pi}{\textcolor{#9570FF}{T}}$ ist. Das setzen wir für $\omega$ ein (Achtung: Alles muss quadriert werden!):

$m \cdot \textcolor{#08BFFF}{r} \cdot \frac{4 \cdot \pi^2}{\textcolor{#9570FF}{T}^2} = G \cdot \frac{m \cdot M}{\textcolor{#08BFFF}{r}^2}$

Jetzt vereinfachen wir die Gleichung. Wir teilen beide Seiten durch die Masse des Planeten ($m$). Das bedeutet: Die Masse des Planeten ist völlig egal für seine Umlaufzeit!

$\textcolor{#08BFFF}{r} \cdot \frac{4 \cdot \pi^2}{\textcolor{#9570FF}{T}^2} = G \cdot \frac{M}{\textcolor{#08BFFF}{r}^2}$

Unser Ziel ist es, alle Abstände ($\textcolor{#08BFFF}{r}$) auf die eine Seite und alle Zeiten ($\textcolor{#9570FF}{T}$) auf die andere Seite zu bringen. Wir multiplizieren beide Seiten mit $\textcolor{#08BFFF}{r}^2$ und teilen durch $4 \cdot \pi^2$:

$\frac{\textcolor{#08BFFF}{r}^3}{\textcolor{#9570FF}{T}^2} = G \cdot \frac{M}{4 \cdot \pi^2}$

Schau dir die rechte Seite der Gleichung an: Die Gravitationskonstante ($G$), die Masse der Sonne ($M$) und $4 \cdot \pi^2$ sind alles feste Zahlen (Konstanten). Das bedeutet, dass der Bruch $\frac{\textcolor{#08BFFF}{r}^3}{\textcolor{#9570FF}{T}^2}$ für jeden Planeten in unserem Sonnensystem exakt denselben Wert ergibt!

Wenn dieser Wert für Planet 1 und Planet 2 gleich ist, können wir sie gleichsetzen:

$\frac{\textcolor{#08BFFF}{r_1}^3}{\textcolor{#9570FF}{T_1}^2} = \frac{\textcolor{#08BFFF}{r_2}^3}{\textcolor{#9570FF}{T_2}^2}$

Wenn man diese Gleichung nun noch ein wenig umstellt (über Kreuz tauscht), erhält man genau die Standardform des 3. Keplerschen Gesetzes:

$\left(\frac{\textcolor{#9570FF}{T_1}}{\textcolor{#9570FF}{T_2}}\right)^2 = \left(\frac{\textcolor{#08BFFF}{r_1}}{\textcolor{#08BFFF}{r_2}}\right)^3$

Wichtige Erkenntnisse

• Das 3. Keplersche Gesetz verknüpft die Umlaufzeit ($T$) eines Himmelskörpers mit seinem mittleren Abstand ($a$ oder $r$) zum Zentrum.
• Die Formel lautet: $\left(\frac{\textcolor{#9570FF}{T_1}}{\textcolor{#9570FF}{T_2}}\right)^2 = \left(\frac{\textcolor{#08BFFF}{a_1}}{\textcolor{#08BFFF}{a_2}}\right)^3$.
• Das Gesetz gilt nur, wenn beide Körper denselben Zentralkörper umkreisen (z.B. zwei Planeten um die Sonne oder zwei Monde um den Jupiter).
• Die Masse des kreisenden Planeten spielt für seine Umlaufzeit keine Rolle.
• Physikalisch lässt sich das Gesetz herleiten, indem man die Gravitationskraft mit der Zentripetalkraft gleichsetzt ($F_G = F_Z$).