Erklärung
Die zweite Ableitung einer Funktion gibt an, wie sich die Steigung der Funktion verändert. Sie hilft dir, das Krümmungsverhalten einer Funktion zu bestimmen. Ist die zweite Ableitung positiv, so ist die Funktion linksgekrümmt (konvex), ist sie negativ, so ist die Funktion rechtsgekrümmt (konkav). Die zweite Ableitung berechnen kannst du, indem du die erste Ableitung nochmals ableitest.
Vorgehen
Um das Krümmungsverhalten einer Funktion zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:
1. Erste Ableitung der Funktion bilden.
2. Zweite Ableitung berechnen, indem du die erste Ableitung erneut ableitest.
3. Prüfen, ob die zweite Ableitung positiv oder negativ ist:
- Ist f''(x) > 0, dann ist die Funktion linksgekrümmt (konvex).
- Ist f''(x) < 0, dann ist die Funktion rechtsgekrümmt (konkav).
Beispiele
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = x^2.
1. Erste Ableitung: f'(x) = 2x
2. Zweite Ableitung berechnen: f''(x) = 2
Da f''(x) = 2 > 0, ist die Funktion überall linksgekrümmt.
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = -x^3 + 3x.
1. Erste Ableitung: f'(x) = -3x^2 + 3
2. Zweite Ableitung berechnen: f''(x) = -6x
3. Prüfen: Für x > 0 ist f''(x) < 0 (rechtsgekrümmt), für x < 0 ist f''(x) > 0 (linksgekrümmt).
Merkkasten
- ★Die zweite Ableitung gibt das Krümmungsverhalten einer Funktion an.
- ★Ist die zweite Ableitung positiv, ist die Funktion linksgekrümmt; ist sie negativ, ist die Funktion rechtsgekrümmt.
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