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Die zweite Ableitung und das Krümmungsverhalten
Oft gefürchtet, aber wichtig in der Schule: Erfahre hier, wie du das Krümmungsverhalten mit der zweiten Ableitung sicher bestimmen kannst!
Definition
Erklärung
Die zweite Ableitung einer Funktion gibt an, wie sich die Steigung der Funktion verändert. Sie hilft dir, das Krümmungsverhalten einer Funktion zu bestimmen. Ist die zweite Ableitung positiv, so ist die Funktion linksgekrümmt (konvex), ist sie negativ, so ist die Funktion rechtsgekrümmt (konkav). Die zweite Ableitung berechnen kannst du, indem du die erste Ableitung nochmals ableitest.
Die zweite Ableitung berechnen kannst du, indem du die erste Ableitung nochmals ableitest.
Schema
Vorgehen
Um das Krümmungsverhalten einer Funktion zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:
1. Erste Ableitung der Funktion bilden.
2. Zweite Ableitung berechnen, indem du die erste Ableitung erneut ableitest.
3. Prüfen, ob die zweite Ableitung positiv oder negativ ist:
- Ist f''(x) > 0, dann ist die Funktion linksgekrümmt (konvex).
- Ist f''(x) < 0, dann ist die Funktion rechtsgekrümmt (konkav).
f''(x) > 0 \quad \text{(linksgekrümmt)} \quad \quad f''(x) < 0 \quad \text{(rechtsgekrümmt)}
Beispiele
- Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = x^2.
- 1. Erste Ableitung: f'(x) = 2x
2. Zweite Ableitung berechnen: f''(x) = 2
3. Da f''(x) = 2 > 0, ist die Funktion überall linksgekrümmt.
- Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = -x^3 + 3x.
- 1. Erste Ableitung: f'(x) = -3x^2 + 3
2. Zweite Ableitung berechnen: f''(x) = -6x
3. Prüfen: Für x > 0 ist f''(x) < 0 (rechtsgekrümmt), für x < 0 ist f''(x) > 0 (linksgekrümmt).
Zusammenfassung
Merkkasten
- Die zweite Ableitung gibt das Krümmungsverhalten einer Funktion an.
- Ist die zweite Ableitung positiv, ist die Funktion linksgekrümmt; ist sie negativ, ist die Funktion rechtsgekrümmt.
Üben
Aufgaben
- Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = 3x^2 + 2x + 1.
- f'(x) = 6x + 2, f''(x) = 6 > 0, also überall linksgekrümmt.
- Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.
- f'(x) = 3x^2 - 12x + 9, f''(x) = 6x - 12.
Setze f''(x) = 0: 6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2.
Für x < 2 ist f''(x) < 0 (rechtsgekrümmt), für x > 2 ist f''(x) > 0 (linksgekrümmt).
- Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2.
- f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x, f''(x) = 12x^2 - 24x + 8.
Setze f''(x) = 0: 12x^2 - 24x + 8 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}.
Teste Intervalle:
- Für x < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} und x > 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} ist f''(x) > 0 (linksgekrümmt).
- Für 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} < x < 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} ist f''(x) < 0 (rechtsgekrümmt).
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