Volumen bestimmen durch Zählen und Verdrängung

Die Figur sieht aus wie ein „L". Wir können sie in einen senkrechten Turm und einen waagerechten Block zerlegen.

Wir zerlegen die Figur in einen senkrechten Teil und einen waagerechten Teil.

• Der senkrechte Teil besteht aus 3 übereinander gestapelten Würfeln.
• Der waagerechte Teil besteht aus 2 Würfeln, die neben dem senkrechten Turm liegen (der Eckwürfel wird nur einmal gezählt, nämlich beim senkrechten Teil).

Wir addieren die Würfel der beiden Teile:

$V = 3 + 2 = 5$

Die Figur ist eine Treppe mit drei Stufen. Jede Stufe ist eine Schicht.

Wir verwenden die Schichten-Methode von unten nach oben und zählen die Würfel für jede Stufe (Schicht) einzeln.

• Unterste Stufe: Sie ist 3 Würfel breit und 3 Würfel tief. Anzahl: $3 \times 3 = 9$ Würfel.
• Mittlere Stufe: Sie ist 3 Würfel breit und 2 Würfel tief. Anzahl: $3 \times 2 = 6$ Würfel.
• Oberste Stufe: Sie ist 3 Würfel breit und 1 Würfel tief. Anzahl: $3 \times 1 = 3$ Würfel.

Wir addieren die Würfel aller drei Stufen:

$V = 9 + 6 + 3 = 18$

Die Figur ist ein großer Würfel mit einem Loch in der Mitte.

Wir verwenden die Methode des Abziehens. Wir berechnen zuerst das Volumen des vollen Würfels (ohne Loch) und ziehen dann das Volumen des Lochs ab.

• Volumen des vollen Würfels: Der Würfel wäre 3 Würfel lang, 3 Würfel breit und 3 Würfel hoch. Das Volumen wäre $3 \times 3 \times 3 = 27$ Einheitswürfel.
• Volumen des Lochs: Das Loch geht von oben nach unten durch, ist also 3 Würfel hoch. Es ist eine Säule aus 3 Würfeln.

Wir ziehen die fehlenden Würfel vom vollen Würfel ab:

$V = 27 - 3 = 24$

Die Figur hat die Form eines Pluszeichens und besteht aus zwei identischen Schichten.

Wir verwenden die Schichten-Methode. Wir zählen die Würfel der unteren Schicht und multiplizieren das Ergebnis mit 2, da die obere Schicht genau gleich ist.

• Die untere Schicht besteht aus einem mittleren Würfel und vier Würfeln, die an jeder Seite anliegen. Das sind $1 + 4 = 5$ Würfel.
• Die obere Schicht ist identisch und hat ebenfalls 5 Würfel.

Wir addieren die Würfel beider Schichten:

$V = 5 + 5 = 10$

Oder als Multiplikation:

$V = 2 \times 5 = 10$

Der Körper besteht aus einer großen unteren Plattform und einer kleineren oberen Plattform.

Wir verwenden die Schichten-Methode und zählen die Würfel der unteren Schicht und der oberen Schicht getrennt.

• Untere Schicht: Sie ist 4 Würfel lang und 4 Würfel breit. Anzahl: $4 \times 4 = 16$ Würfel.
• Obere Schicht: Sie ist 2 Würfel lang und 2 Würfel breit. Anzahl: $2 \times 2 = 4$ Würfel.

Wir addieren die Würfel beider Schichten:

$V = 16 + 4 = 20$

Figur A ist ein Quader mit den Maßen 2x2x3 Würfel.

$V_A = 2 \times 2 \times 3 = 12$ Einheitswürfel.

Figur B ist ein Quader mit den Maßen 3x3x2 Würfel.

$V_B = 3 \times 3 \times 2 = 18$ Einheitswürfel.

Es gibt keine weiteren Körper.

Wir vergleichen die beiden Volumina:

$12 < 18$

Bauteil A (T-Form) besteht aus einem senkrechten Stamm (3 Würfel) und einem waagerechten Balken (2 zusätzliche Würfel).

$V_A = 3 + 2 = 5$ Einheitswürfel.

Bauteil B (C-Form) besteht aus einer senkrechten Säule (3 Würfel) und zwei einzelnen Würfeln oben und unten.

$V_B = 3 + 1 + 1 = 5$ Einheitswürfel.

Bauteil C ist ein Würfel mit Kantenlänge 2.

$V_C = 2 \times 2 \times 2 = 8$ Einheitswürfel.

Wir vergleichen die Volumina:

$V_A = 5$

$V_B = 5$

$V_C = 8$

Also: $V_A = V_B < V_C$

Kiste A hat die Maße 5x5x2.

$V_A = 5 \times 5 \times 2 = 50$ Einheitswürfel.

Kiste B hat die Maße 4x4x3.

$V_B = 4 \times 4 \times 3 = 48$ Einheitswürfel.

Keine weiteren Körper vorhanden.

Wir vergleichen die Volumina:

$50 > 48$

Der linke Körper ist ein massiver Würfel mit Kantenlänge 3.

$V_A = 3 \times 3 \times 3 = 27$ Einheitswürfel.

Der rechte Rahmen ist ein 4x4x4 Würfel, bei dem ein innerer 2x2x2 Würfel fehlt.

Volumen des vollen Würfels: $4 \times 4 \times 4 = 64$

Volumen des Hohlraums: $2 \times 2 \times 2 = 8$

$V_B = 64 - 8 = 56$ Einheitswürfel.

Wir vergleichen die Volumina:

$27 < 56$

Teil X ist ein Quader mit den Maßen 3x2x2.

$V_X = 3 \times 2 \times 2 = 12$ Einheitswürfel.

Teil Y (Kreuz) besteht aus einem mittleren 1x1x2 Block und vier 1x1x2 Armen.

Alternativ: Es sind zwei Schichten. Jede Schicht ist ein Plus-Zeichen aus 5 Würfeln. $V_Y = 5 + 5 = 10$ Einheitswürfel.

Teil Z (U-Form): Ein 3x3x2 Quader, aus dem ein 1x3x2 Block in der Mitte entfernt wurde.

Voller Quader: $3 \times 3 \times 2 = 18$

Entfernter Block: $1 \times 3 \times 2 = 6$

$V_Z = 18 - 6 = 12$ Einheitswürfel.

$V_X = 12$

$V_Y = 10$

$V_Z = 12$

Geordnet vom größten zum kleinsten: $12, 12, 10$.

Die Grundfläche ist 4 Würfel lang und 5 Würfel breit.

$\text{Grundfläche} = 4 \times 5 = 20$ Einheitsquadrate.

• Wasserstand alt: 3 Einheiten
• Wasserstand neu: 5 Einheiten

$\text{Anstieg} = 5 - 3 = 2$ Einheiten.

Wir multiplizieren die Grundfläche mit dem Anstieg.

$V_{Stein} = 20 \times 2 = 40$

Die Grundfläche ist direkt gegeben.

$\text{Grundfläche} = 10$ Einheitsquadrate.

• Wasserstand alt: 6 Einheiten
• Wasserstand neu: 11 Einheiten

$\text{Anstieg} = 11 - 6 = 5$ Einheiten.

Wir multiplizieren die Grundfläche mit dem Anstieg.

$V_{Kugel} = 10 \times 5 = 50$

$\text{Grundfläche} = 5 \times 6 = 30$ Einheitsquadrate.

Wir wissen: $V = \text{Grundfläche} \times \text{Anstieg}$. Wir stellen die Formel um, um den Anstieg zu finden.

$\text{Anstieg} = \frac{V}{\text{Grundfläche}}$

$\text{Anstieg} = \frac{60}{30} = 2$ Einheiten.

Der alte Wasserstand war 4 Einheiten. Das Wasser steigt um 2 Einheiten.

$\text{Wasserstand}_{neu} = \text{Wasserstand}_{alt} + \text{Anstieg}$

$\text{Wasserstand}_{neu} = 4 + 2 = 6$

$\text{Grundfläche} = 8 \times 10 = 80$ Einheitsquadrate.

Anfangshöhe = 5 Einheiten.

$V_{Wasser} = 80 \times 5 = 400$ Einheitswürfel.

$\text{Grundfläche} = 80$ Einheitsquadrate.

• Wasserstand alt: 5 Einheiten
• Wasserstand neu: 7 Einheiten

$\text{Anstieg} = 7 - 5 = 2$ Einheiten.

$V_{Objekt} = 80 \times 2 = 160$

$\text{Grundfläche} = 10 \times 10 = 100$ Einheitsquadrate.

Das Volumen des Objekts ist das verdrängte Volumen, also 300 Einheitswürfel.

$\text{Anstieg} = \frac{V_{Objekt}}{\text{Grundfläche}}$

$\text{Anstieg} = \frac{300}{100} = 3$ Einheiten.

Der alte Wasserstand war 8 Einheiten.

$\text{Wasserstand}_{neu} = \text{Wasserstand}_{alt} + \text{Anstieg}$

$\text{Wasserstand}_{neu} = 8 + 3 = 11$