Volumen bestimmen durch Zählen und Verdrängen einfach erklärt

Stell dir vor, du packst einen Umzugskarton mit vielen kleinen, gleich großen quadratischen Schachteln. Wenn du das Volumen bestimmen durch Zählen und Verdrängen lernen möchtest, stellst du dir genau diese Frage: Wie viele dieser kleinen Schachteln passen genau in den großen Karton?

Genau diese Frage stellen wir uns in der Mathematik, wenn wir das Volumen (den Rauminhalt) eines Körpers bestimmen wollen. Das Volumen gibt an, wie viel Platz ein Gegenstand wegnimmt. Anstatt mit echten Schachteln zu arbeiten, nutzen wir kleine mathematische Bausteine. Lass uns herausfinden, wie wir mit diesen Bausteinen die Größe von einfachen und sogar von ganz unregelmäßigen Figuren messen können!

Schnellantwort

Das Volumen gibt an, wie viel Platz ein Körper einnimmt. Du kannst das Volumen bestimmen, indem du die Anzahl der Einheitswürfel zählst, aus denen der Körper besteht (inklusive der unsichtbaren Stützwürfel). Bei unregelmäßigen Körpern nutzt du die Wasserverdrängung: Das Volumen des Körpers entspricht genau dem Volumen des Wassers, das er beim Eintauchen verdrängt.

Vorwissen

• Flächeninhalt eines Rechtecks: Man berechnet die Fläche, indem man die Länge mit der Breite multipliziert.

  Beispiel: Ein Rechteck, das $4$ Kästchen lang und $3$ Kästchen breit ist, besteht aus $4 \cdot 3 = 12$ Kästchen.

Aufgabentyp 1: Volumen durch Zählen von Einheitswürfeln bestimmen

Um das Volumen eines Körpers zu messen, verwenden wir einen Standard-Baustein: den Einheitswürfel. Das Volumen einer Figur ist einfach die Gesamtzahl der Einheitswürfel, aus denen sie besteht.

Wenn eine Figur auf dem Papier gezeichnet ist, können wir oft nicht alle Würfel sehen, weil einige von anderen verdeckt werden. Ein schwebender Würfel würde herunterfallen, also muss unter jedem sichtbaren oberen Würfel auch ein Würfel als Stütze liegen!

Um keinen Würfel zu vergessen, zerlegen wir die Figur in Gedanken in Schichten (wie die Stockwerke eines Hauses) oder in einfache Blöcke.

Wenn wir zum Beispiel die abgebildete Figur betrachten, zerlegen wir sie in zwei Schichten:

• Die untere Schicht ist $3$ Einheitswürfel lang und $2$ breit. Sie besteht aus $3 \cdot 2 = 6$ Einheitswürfeln.
• Die obere Schicht ist $1$ Einheitswürfel lang und $2$ breit. Sie besteht aus $1 \cdot 2 = 2$ Einheitswürfeln.
• Das Gesamtvolumen ist also $6 + 2 = 8$ Einheitswürfel.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Figur gedanklich zerlegen: Teile die Figur in einfache Teile auf. Das können horizontale Schichten (von unten nach oben) oder einzelne, gut erkennbare Blöcke sein.
2. Würfel pro Teil zählen: Zähle oder berechne die Anzahl der Würfel für jeden Teil einzeln. Denke daran, auch die unsichtbaren Würfel mitzuzählen, die als Stütze für obere Würfel dienen.
3. Ergebnisse addieren: Addiere die Würfelanzahl aller Teile zusammen. Das Ergebnis ist das Gesamtvolumen in Einheitswürfeln.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ermittle das Volumen der abgebildeten Figur in Einheitswürfeln.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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   Schritt 1
   Figur gedanklich zerlegen

   Wir zerlegen die Figur in horizontale Schichten, von unten nach oben.

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   Schritt 2
   Würfel pro Teil zählen
   • Unterste Schicht: Die Basis ist ein Quadrat, das $3$ Würfel lang und $3$ Würfel breit ist. Auch wenn der Turm einen Teil verdeckt, wissen wir, dass die Schicht vollständig ist. Sie besteht aus $3 \cdot 3 = 9$ Würfeln.
   • Mittlere Schicht: Hier steht nur der Turm. Das ist genau $1$ Würfel.
   • Oberste Schicht: Hier ist die Spitze des Turms. Das ist ebenfalls $1$ Würfel.
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   Schritt 3 · Ergebnis
   Ergebnisse addieren

   Wir addieren die Würfel aller Schichten: $9 + 1 + 1 = 11$

Ergebnis:

Das Volumen der Figur beträgt $11$ Einheitswürfel.

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Aufgabentyp 2: Volumen unregelmäßiger Körper bestimmen

Wie bestimmen wir das Volumen von einem Stein oder einer Spielfigur? Wir können sie nicht in Einheitswürfel zerschneiden! Hier hilft uns ein Trick: die Wasserverdrängung.

Wenn du einen Gegenstand in ein volles Wasserglas tauchst, steigt das Wasser nach oben. Der Gegenstand schiebt das Wasser zur Seite, weil zwei Dinge nicht gleichzeitig am selben Ort sein können.

Die wichtigste Regel lautet: Das Volumen des Gegenstands ist exakt so groß wie das Volumen des verdrängten Wassers.

Wenn wir ein quaderförmiges Becken mit einem Raster aus Einheitswürfeln nutzen, bildet das verdrängte Wasser eine flache, messbare Schicht oben auf dem Wasser. Um das Volumen dieser Schicht zu berechnen, müssen wir nur wissen, wie viele Würfel in eine einzelne Wasserschicht passen (die Grundfläche) und um wie viele Schichten das Wasser gestiegen ist (der Höhenunterschied).

Wenn die Grundfläche aus $10$ Würfeln besteht und das Wasser um $2$ Schichten steigt, ist das Volumen des verdrängten Wassers $10 \cdot 2 = 20$ Einheitswürfel.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Grundfläche des Behälters berechnen: Lies die Länge und die Breite des Behälters am Raster ab. Multipliziere sie, um herauszufinden, aus wie vielen Einheitswürfeln eine einzige Wasserschicht besteht. $\textcolor{#08BFFF}{\text{Grundfläche}} = \text{Länge} \cdot \text{Breite}$
2. Anstieg des Wasserstandes ermitteln: Lies den Wasserstand vor und nach dem Eintauchen ab. Subtrahiere den alten Wert vom neuen Wert. $\textcolor{#9570FF}{\text{Höhenunterschied}} = \text{Wasserstand nachher} - \text{Wasserstand vorher}$
3. Volumen berechnen: Multipliziere die Grundfläche mit dem Höhenunterschied. Das Ergebnis ist das Volumen des verdrängten Wassers und somit auch das Volumen des Gegenstands. $\text{Volumen} = \textcolor{#08BFFF}{\text{Grundfläche}} \cdot \textcolor{#9570FF}{\text{Höhenunterschied}}$

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Spielfigur wird in einen mit Wasser gefüllten Quader getaucht. Ermittle das Volumen der Figur in Einheitswürfeln.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

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1. 1
   Schritt 1
   Grundfläche des Behälters berechnen

   Wir lesen die Maße am Boden des Behälters ab. Die Länge beträgt $4$ Einheitswürfel und die Breite beträgt $3$ Einheitswürfel. $\textcolor{#08BFFF}{\text{Grundfläche}} = 4 \cdot 3 = \textcolor{#08BFFF}{12}$ Eine einzelne Wasserschicht besteht also aus $12$ Einheitswürfeln.

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   Schritt 2
   Anstieg des Wasserstandes ermitteln

   Wir vergleichen die Wasserstände:

   • Vorher: $3$ Würfel hoch
   • Nachher: $5$ Würfel hoch

   $\textcolor{#9570FF}{\text{Höhenunterschied}} = 5 - 3 = \textcolor{#9570FF}{2}$ Das Wasser ist um $2$ Schichten gestiegen.

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   Schritt 3 · Ergebnis
   Volumen berechnen

   Wir multiplizieren die Grundfläche mit dem Höhenunterschied, um das Volumen des verdrängten Wassers zu erhalten: $\text{Volumen} = \textcolor{#08BFFF}{12} \cdot \textcolor{#9570FF}{2} = 24$

Ergebnis:

Das Volumen der Spielfigur beträgt $24$ Einheitswürfel.

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Wichtige Erkenntnisse

• Das Volumen gibt an, wie viel Platz ein Körper einnimmt. Wir messen es hier in Einheitswürfeln.
• Beim Zählen von Würfeln in einer Zeichnung darfst du die unsichtbaren Würfel nicht vergessen. Zerlege die Figur am besten in horizontale Schichten.
• Bei unregelmäßigen Körpern nutzen wir die Wasserverdrängung: Das Volumen des Körpers ist genauso groß wie das Volumen des Wassers, das er nach oben drückt.
• Das verdrängte Volumen berechnest du so: $\text{Grundfläche} \cdot \text{Höhenunterschied}$.