Terme vereinfachen: Variablen zusammenfassen leicht erklärt

Terme vereinfachen – also Variablen zusammenfassen – ist einer der grundlegendsten Handgriffe in der Mathe. Stell dir vor, dein Schreibtisch ist voller Krimskrams: Stifte, Bücher, Ladekabel und leere Tassen. So kannst du nicht arbeiten! Was tust du? Du räumst auf: Stifte zu Stiften, Bücher zu Büchern.

Genau das Gleiche machen wir mit Termen. Ein langer, unordentlicher Term wie $3x + 2y - x + 5y$ ist wie ein chaotischer Schreibtisch. Ihn zu vereinfachen bedeutet, Ordnung zu schaffen. Du fasst alles zusammen, was zusammengehört. Das ist kein komplizierter Trick, sondern der wichtigste Aufräum-Hack in der Mathematik. Wenn du das kannst, werden alle zukünftigen Themen – von Gleichungen bis zu Funktionen – viel einfacher. Lass uns aufräumen!

Schnellantwort

Terme vereinfachen bedeutet, gleichartige Terme zu erkennen und ihre Koeffizienten zu addieren oder zu subtrahieren. Gleichartige Terme haben exakt den gleichen variablen Teil – also denselben Buchstaben mit derselben Hochzahl. Terme wie $3x$ und $5x$ kannst du zusammenfassen, Terme wie $3x$ und $5x^2$ dagegen nicht.

Vorwissen

Bevor wir loslegen, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

• Term: Ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen bestehen kann.

  • Beispiel: $5x + 3y - 2$ ist ein Term. Er besteht aus den drei Gliedern $5x$, $3y$ und $-2$.

• Variable: Ein Buchstabe (wie $x$ oder $y$), der als Platzhalter für eine unbekannte Zahl dient.

  • Beispiel: In $7x$ ist $x$ die Variable.

• Koeffizient: Die Zahl, die direkt vor einer Variablen steht und mit ihr multipliziert wird.

  • Beispiel: In $7x$ ist die $7$ der Koeffizient.

• Konstante: Eine Zahl in einem Term, die keine Variable hat.

  • Beispiel: In $7x - 4$ ist die $-4$ die Konstante.

• Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): Bei der Addition darf man die Reihenfolge der Summanden vertauschen, das Ergebnis bleibt gleich.

  • Beispiel: $4 + 5$ ist das Gleiche wie $5 + 4$. Das gilt auch für Terme: $4x + 5$ ist das Gleiche wie $5 + 4x$.

Aufgabentyp 1: Terme mit einer Variablen zusammenfassen

Das Wichtigste beim Vereinfachen von Termen ist das Erkennen von gleichartigen Termen. Gleichartige Terme sind wie Äpfel und Äpfel – man kann sie zusammenzählen. Ungleichartige Terme sind wie Äpfel und Birnen – man kann sie nicht direkt zusammenfassen.

Regel: Terme sind gleichartig, wenn sie denselben variablen Teil haben. Terme ohne Variable (Konstanten) sind ebenfalls untereinander gleichartig.

Schauen wir uns ein Beispiel an: $3x + 5 + 2x - 1$

• Die Terme $\textcolor{#08BFFF}{3x}$ und $\textcolor{#08BFFF}{2x}$ sind gleichartig, weil beide die Variable $x$ haben.
• Die Terme $\textcolor{#53E5D6}{5}$ und $\textcolor{#53E5D6}{-1}$ sind gleichartig, weil beide Konstanten (Zahlen ohne Variable) sind.

Um den Term zu vereinfachen, addieren oder subtrahieren wir die Koeffizienten der gleichartigen Terme.

$\textcolor{#08BFFF}{3x} + \textcolor{#08BFFF}{2x} = (3+2)x = 5x$

$\textcolor{#53E5D6}{5} - \textcolor{#53E5D6}{1} = 4$

Der vereinfachte Term lautet also: $5x + 4$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Identifiziere alle gleichartigen Terme und markiere sie mit derselben Farbe.
2. Sortiere den Term neu, sodass gleichartige Terme nebeneinander stehen – nimm dabei das Vorzeichen (+ oder –) mit.
3. Fasse die Koeffizienten jeder Gruppe durch Addition oder Subtraktion zusammen.
4. Fasse auch alle Konstanten (Zahlen ohne Variable) zusammen.
5. Schreibe den neuen, vereinfachten Term auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Fasse den Term $7x + 5 + 3x - 2$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $x$ und die Konstanten.

$\textcolor{#08BFFF}{7x} \textcolor{#53E5D6}{+ 5} \textcolor{#08BFFF}{+ 3x} \textcolor{#53E5D6}{- 2}$

Jetzt sortieren wir den Term neu:

$\textcolor{#08BFFF}{7x} \textcolor{#08BFFF}{+ 3x} \textcolor{#53E5D6}{+ 5} \textcolor{#53E5D6}{- 2}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen die $x$-Terme und die Konstanten getrennt zusammen.

Für die $x$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{7x + 3x} = (7+3)x = 10x$

Für die Konstanten: $\textcolor{#53E5D6}{5 - 2} = 3$

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$10x + 3$

Ergebnis: $10x + 3$

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Beispiel 2

Fasse den Term $4a - 9 - 10a + 3$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $a$ und die Konstanten.

$\textcolor{#08BFFF}{4a} \textcolor{#53E5D6}{- 9} \textcolor{#08BFFF}{- 10a} \textcolor{#53E5D6}{+ 3}$

Jetzt sortieren wir den Term neu (achte auf die Vorzeichen!):

$\textcolor{#08BFFF}{4a} \textcolor{#08BFFF}{- 10a} \textcolor{#53E5D6}{- 9} \textcolor{#53E5D6}{+ 3}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen die $a$-Terme und die Konstanten getrennt zusammen.

Für die $a$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{4a - 10a} = (4-10)a = -6a$

Für die Konstanten: $\textcolor{#53E5D6}{-9 + 3} = -6$

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$-6a - 6$

Ergebnis: $-6a - 6$

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Beispiel 3

Fasse den Term $\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} + \frac{8}{6}x - 1$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $x$ und die Konstanten.

$\textcolor{#08BFFF}{\frac{2}{3}x} \textcolor{#53E5D6}{+ \frac{2}{3}} \textcolor{#08BFFF}{+ \frac{8}{6}x} \textcolor{#53E5D6}{- 1}$

Wir sortieren den Term neu:

$\textcolor{#08BFFF}{\frac{2}{3}x} \textcolor{#08BFFF}{+ \frac{8}{6}x} \textcolor{#53E5D6}{+ \frac{2}{3}} \textcolor{#53E5D6}{- 1}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Für die $x$-Terme: Wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. $\frac{8}{6}$ können wir zu $\frac{4}{3}$ kürzen.

$\textcolor{#08BFFF}{\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}x} = (\frac{2}{3} + \frac{4}{3})x = \frac{6}{3}x = 2x$

Für die Konstanten: Wir schreiben $1$ als $\frac{3}{3}$.

$\textcolor{#53E5D6}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$2x - \frac{1}{3}$

Ergebnis: $2x - \frac{1}{3}$

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Beispiel 4

Fasse den Term $z + 8 - 5z - 8$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $z$ und die Konstanten. Beachte, dass $z$ dasselbe wie $1z$ ist.

$\textcolor{#08BFFF}{z} \textcolor{#53E5D6}{+ 8} \textcolor{#08BFFF}{- 5z} \textcolor{#53E5D6}{- 8}$

Wir sortieren den Term neu:

$\textcolor{#08BFFF}{z} \textcolor{#08BFFF}{- 5z} \textcolor{#53E5D6}{+ 8} \textcolor{#53E5D6}{- 8}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen die $z$-Terme und die Konstanten getrennt zusammen.

Für die $z$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{1z - 5z} = (1-5)z = -4z$

Für die Konstanten: $\textcolor{#53E5D6}{8 - 8} = 0$

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Da die Konstanten zu 0 werden, fallen sie weg. Der vereinfachte Term lautet:

$-4z$

Ergebnis: $-4z$

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Beispiel 5

Fasse den Term $-2{,}5y + 4{,}1 + 2{,}5y - 1{,}1$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $y$ und die Konstanten.

$\textcolor{#08BFFF}{-2{,}5y} \textcolor{#53E5D6}{+ 4{,}1} \textcolor{#08BFFF}{+ 2{,}5y} \textcolor{#53E5D6}{- 1{,}1}$

Wir sortieren den Term neu:

$\textcolor{#08BFFF}{-2{,}5y} \textcolor{#08BFFF}{+ 2{,}5y} \textcolor{#53E5D6}{+ 4{,}1} \textcolor{#53E5D6}{- 1{,}1}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen die $y$-Terme und die Konstanten getrennt zusammen.

Für die $y$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{-2{,}5y + 2{,}5y} = (-2{,}5+2{,}5)y = 0y = 0$

Für die Konstanten: $\textcolor{#53E5D6}{4{,}1 - 1{,}1} = 3$

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Da die $y$-Terme zu 0 werden, fallen sie weg. Der vereinfachte Term ist nur noch die Konstante:

$3$

Ergebnis: $3$

Aufgabentyp 2: Terme mit einer Variablen mit verschiedenen Potenzen zusammenfassen

Was passiert, wenn eine Variable mit unterschiedlichen Potenzen auftaucht, zum Beispiel $x^2$ und $x$? Auch hier hilft das Terme-vereinfachen-Prinzip – aber nur dann, wenn man die Regel für gleichartige Terme genau kennt.

Wichtige Regel: Der Exponent (die Hochzahl) ist Teil des variablen Teils. Das bedeutet, $x^2$ und $x$ sind nicht gleichartig.

Stell dir vor, $x$ steht für eine Länge (in Metern) und $x^2$ für eine Fläche (in Quadratmetern). Du kannst eine Strecke nicht einfach zu einer Fläche addieren. Genauso kannst du $x$ und $x^2$ nicht zusammenfassen.

Schauen wir uns den Term $4x^2 + 2x - x^2 + 3x$ an.

• Die Terme $\textcolor{#9570FF}{4x^2}$ und $\textcolor{#9570FF}{-x^2}$ sind gleichartig, weil beide $x^2$ haben.
• Die Terme $\textcolor{#08BFFF}{2x}$ und $\textcolor{#08BFFF}{3x}$ sind gleichartig, weil beide $x$ haben.

Wir fassen sie getrennt zusammen:

$\textcolor{#9570FF}{4x^2 - x^2} = (4-1)x^2 = 3x^2$

$\textcolor{#08BFFF}{2x + 3x} = (2+3)x = 5x$

Der vereinfachte Term lautet also: $3x^2 + 5x$. Man sortiert das Ergebnis üblicherweise nach fallenden Potenzen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Identifiziere alle Terme nach Variable und Potenz und markiere gleichartige Terme mit derselben Farbe (z. B. alle $x^2$-Terme in einer Farbe, alle $x$-Terme in einer anderen).
2. Sortiere den Term neu und gruppiere die gleichartigen Terme.
3. Fasse jede Gruppe für sich zusammen, indem du die Koeffizienten addierst oder subtrahierst.
4. Schreibe den neuen Term auf – ordne die Glieder nach der höchsten Potenz zuerst (z. B. erst $x^3$, dann $x^2$, dann $x$, dann die Konstante).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Fasse den Term $4x^3 + 5x + 3 - 2x^3 + 7x - 8$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $x^3$, $x$ und die Konstanten.

$\textcolor{#9570FF}{4x^3} \textcolor{#08BFFF}{+ 5x} \textcolor{#53E5D6}{+ 3} \textcolor{#9570FF}{- 2x^3} \textcolor{#08BFFF}{+ 7x} \textcolor{#53E5D6}{- 8}$

Jetzt sortieren wir den Term neu:

$\textcolor{#9570FF}{4x^3} \textcolor{#9570FF}{- 2x^3} \textcolor{#08BFFF}{+ 5x} \textcolor{#08BFFF}{+ 7x} \textcolor{#53E5D6}{+ 3} \textcolor{#53E5D6}{- 8}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen jede Gruppe getrennt zusammen.

Für die $x^3$-Terme: $\textcolor{#9570FF}{4x^3 - 2x^3} = (4-2)x^3 = 2x^3$

Für die $x$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{5x + 7x} = (5+7)x = 12x$

Für die Konstanten: $\textcolor{#53E5D6}{3 - 8} = -5$

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$2x^3 + 12x - 5$

Ergebnis: $2x^3 + 12x - 5$

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Beispiel 2

Fasse den Term $-5a^2 + 10a + 4 - a^2 - 3a$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $a^2$, $a$ und die Konstanten.

$\textcolor{#9570FF}{-5a^2} \textcolor{#08BFFF}{+ 10a} \textcolor{#53E5D6}{+ 4} \textcolor{#9570FF}{- a^2} \textcolor{#08BFFF}{- 3a}$

Jetzt sortieren wir den Term neu (denke daran, dass $-a^2$ dasselbe ist wie $-1a^2$):

$\textcolor{#9570FF}{-5a^2} \textcolor{#9570FF}{- a^2} \textcolor{#08BFFF}{+ 10a} \textcolor{#08BFFF}{- 3a} \textcolor{#53E5D6}{+ 4}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen jede Gruppe getrennt zusammen.

Für die $a^2$-Terme: $\textcolor{#9570FF}{-5a^2 - 1a^2} = (-5-1)a^2 = -6a^2$

Für die $a$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{10a - 3a} = (10-3)a = 7a$

Die Konstante $\textcolor{#53E5D6}{4}$ bleibt allein.

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$-6a^2 + 7a + 4$

Ergebnis: $-6a^2 + 7a + 4$

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Beispiel 3

Fasse den Term $y^4 + 3y^2 - 5y - 2y^4 + y^2$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $y^4$, $y^2$ und $y$.

$\textcolor{#9570FF}{y^4} \textcolor{#08BFFF}{+ 3y^2} \textcolor{#53E5D6}{- 5y} \textcolor{#9570FF}{- 2y^4} \textcolor{#08BFFF}{+ y^2}$

Jetzt sortieren wir den Term neu:

$\textcolor{#9570FF}{y^4} \textcolor{#9570FF}{- 2y^4} \textcolor{#08BFFF}{+ 3y^2} \textcolor{#08BFFF}{+ y^2} \textcolor{#53E5D6}{- 5y}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen jede Gruppe getrennt zusammen.

Für die $y^4$-Terme: $\textcolor{#9570FF}{1y^4 - 2y^4} = (1-2)y^4 = -y^4$

Für die $y^2$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{3y^2 + 1y^2} = (3+1)y^2 = 4y^2$

Der Term $\textcolor{#53E5D6}{-5y}$ bleibt allein.

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$-y^4 + 4y^2 - 5y$

Ergebnis: $-y^4 + 4y^2 - 5y$

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Beispiel 4

Fasse den Term $0{,}5x^2 - 2x + 1{,}5x^2 + x - 3$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $x^2$, $x$ und die Konstanten.

$\textcolor{#9570FF}{0{,}5x^2} \textcolor{#08BFFF}{- 2x} \textcolor{#9570FF}{+ 1{,}5x^2} \textcolor{#08BFFF}{+ x} \textcolor{#53E5D6}{- 3}$

Jetzt sortieren wir den Term neu:

$\textcolor{#9570FF}{0{,}5x^2} \textcolor{#9570FF}{+ 1{,}5x^2} \textcolor{#08BFFF}{- 2x} \textcolor{#08BFFF}{+ x} \textcolor{#53E5D6}{- 3}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen jede Gruppe getrennt zusammen.

Für die $x^2$-Terme: $\textcolor{#9570FF}{0{,}5x^2 + 1{,}5x^2} = (0{,}5+1{,}5)x^2 = 2x^2$

Für die $x$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{-2x + 1x} = (-2+1)x = -x$

Die Konstante $\textcolor{#53E5D6}{-3}$ bleibt allein.

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$2x^2 - x - 3$

Ergebnis: $2x^2 - x - 3$

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Beispiel 5

Fasse den Term $7 - 3z^3 + 5z - 3z^3 - 5z$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $z^3$, $z$ und die Konstanten.

$\textcolor{#53E5D6}{7} \textcolor{#9570FF}{- 3z^3} \textcolor{#08BFFF}{+ 5z} \textcolor{#9570FF}{- 3z^3} \textcolor{#08BFFF}{- 5z}$

Jetzt sortieren wir den Term neu:

$\textcolor{#9570FF}{-3z^3} \textcolor{#9570FF}{- 3z^3} \textcolor{#08BFFF}{+ 5z} \textcolor{#08BFFF}{- 5z} \textcolor{#53E5D6}{+ 7}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen jede Gruppe getrennt zusammen.

Für die $z^3$-Terme: $\textcolor{#9570FF}{-3z^3 - 3z^3} = (-3-3)z^3 = -6z^3$

Für die $z$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{5z - 5z} = (5-5)z = 0z = 0$

Die Konstante $\textcolor{#53E5D6}{7}$ bleibt allein.

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Die $z$-Terme fallen weg. Der vereinfachte Term lautet:

$-6z^3 + 7$

Ergebnis: $-6z^3 + 7$

Aufgabentyp 3: Terme mit mehreren Variablen zusammenfassen

Die Regel für gleichartige Terme gilt auch, wenn mehrere verschiedene Variablen wie $x$ und $y$ vorkommen. Beim Terme vereinfachen mit mehreren Variablen kommt es auf genaues Hinsehen an.

Erweiterte Regel: Terme sind nur dann gleichartig, wenn sie exakt die gleichen Variablen mit exakt den gleichen Potenzen haben.

Das bedeutet:

• $7x$ und $6x$ sind gleichartig.
• $-y^2$ und $-0{,}5y^2$ sind gleichartig.
• $7x$ und $2y$ sind nicht gleichartig (verschiedene Variablen).
• $-y^2$ und $2y$ sind nicht gleichartig (verschiedene Potenzen).

Schauen wir uns den Term $-y^2 + 7x + 2y + 3 - 0{,}5y^2 + 6x$ an.

Wir haben hier vier verschiedene Arten von Termen – $y^2$, $x$, $y$ und Konstanten – und fassen jede Gruppe separat zusammen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Identifiziere alle Terme, die exakt die gleiche Kombination aus Variablen und Potenzen haben, und markiere sie mit derselben Farbe.
2. Sortiere den Term neu, sodass die gleichartigen Terme nebeneinander stehen.
3. Fasse jede farbige Gruppe für sich zusammen, indem du die Koeffizienten addierst oder subtrahierst. Terme ohne „Partner" bleiben unverändert.
4. Schreibe den neuen, vereinfachten Term auf – eine übliche Sortierung ist alphabetisch und nach fallenden Potenzen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Fasse den Term $-y^2 + 7x + 2y + 3 - 0{,}5y^2 + 6x$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die vier verschiedenen Arten von Termen: $y^2$, $x$, $y$ und Konstanten.

$\textcolor{#9570FF}{-y^2} \textcolor{#08BFFF}{+ 7x} \textcolor{#1E90FF}{+ 2y} \textcolor{#53E5D6}{+ 3} \textcolor{#9570FF}{- 0{,}5y^2} \textcolor{#08BFFF}{+ 6x}$

Jetzt sortieren wir den Term neu:

$\textcolor{#9570FF}{-y^2} \textcolor{#9570FF}{- 0{,}5y^2} \textcolor{#08BFFF}{+ 7x} \textcolor{#08BFFF}{+ 6x} \textcolor{#1E90FF}{+ 2y} \textcolor{#53E5D6}{+ 3}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen jede Gruppe getrennt zusammen.

Für die $y^2$-Terme: $\textcolor{#9570FF}{-1y^2 - 0{,}5y^2} = (-1-0{,}5)y^2 = -1{,}5y^2$

Für die $x$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{7x + 6x} = (7+6)x = 13x$

Der Term $\textcolor{#1E90FF}{+2y}$ hat keinen Partner und bleibt, wie er ist.

Die Konstante $\textcolor{#53E5D6}{+3}$ hat ebenfalls keinen Partner und bleibt.

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$-1{,}5y^2 + 13x + 2y + 3$

Ergebnis: $-1{,}5y^2 + 13x + 2y + 3$

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Beispiel 2

Fasse den Term $5a + 2b - 3a + 4b$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $a$ und die Terme mit $b$.

$\textcolor{#08BFFF}{5a} \textcolor{#53E5D6}{+ 2b} \textcolor{#08BFFF}{- 3a} \textcolor{#53E5D6}{+ 4b}$

Jetzt sortieren wir den Term neu:

$\textcolor{#08BFFF}{5a} \textcolor{#08BFFF}{- 3a} \textcolor{#53E5D6}{+ 2b} \textcolor{#53E5D6}{+ 4b}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen die $a$-Terme und die $b$-Terme getrennt zusammen.

Für die $a$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{5a - 3a} = (5-3)a = 2a$

Für die $b$-Terme: $\textcolor{#53E5D6}{2b + 4b} = (2+4)b = 6b$

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$2a + 6b$

Ergebnis: $2a + 6b$

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Beispiel 3

Fasse den Term $3x^2 + 4xy - 2x^2 + 6xy - y$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir haben hier drei Arten von Termen: $x^2$, $xy$ und $y$.

$\textcolor{#9570FF}{3x^2} \textcolor{#08BFFF}{+ 4xy} \textcolor{#9570FF}{- 2x^2} \textcolor{#08BFFF}{+ 6xy} \textcolor{#53E5D6}{- y}$

Jetzt sortieren wir den Term neu:

$\textcolor{#9570FF}{3x^2} \textcolor{#9570FF}{- 2x^2} \textcolor{#08BFFF}{+ 4xy} \textcolor{#08BFFF}{+ 6xy} \textcolor{#53E5D6}{- y}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen jede Gruppe getrennt zusammen.

Für die $x^2$-Terme: $\textcolor{#9570FF}{3x^2 - 2x^2} = (3-2)x^2 = x^2$

Für die $xy$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{4xy + 6xy} = (4+6)xy = 10xy$

Der Term $\textcolor{#53E5D6}{-y}$ bleibt allein.

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$x^2 + 10xy - y$

Ergebnis: $x^2 + 10xy - y$

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Beispiel 4

Fasse den Term $10m - 4n + 2 - 8m + 5n - 6$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Wir markieren die Terme mit $m$, $n$ und die Konstanten.

$\textcolor{#08BFFF}{10m} \textcolor{#53E5D6}{- 4n} \textcolor{#9570FF}{+ 2} \textcolor{#08BFFF}{- 8m} \textcolor{#53E5D6}{+ 5n} \textcolor{#9570FF}{- 6}$

Jetzt sortieren wir den Term neu:

$\textcolor{#08BFFF}{10m} \textcolor{#08BFFF}{- 8m} \textcolor{#53E5D6}{- 4n} \textcolor{#53E5D6}{+ 5n} \textcolor{#9570FF}{+ 2} \textcolor{#9570FF}{- 6}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen jede Gruppe getrennt zusammen.

Für die $m$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{10m - 8m} = (10-8)m = 2m$

Für die $n$-Terme: $\textcolor{#53E5D6}{-4n + 5n} = (-4+5)n = 1n = n$

Für die Konstanten: $\textcolor{#9570FF}{2 - 6} = -4$

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$2m + n - 4$

Ergebnis: $2m + n - 4$

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Beispiel 5

Fasse den Term $a^2b + 3ab^2 - 4a^2b + ab^2$ so weit wie möglich zusammen.

Schritt 1: Gleichartige Terme identifizieren und sortieren

Hier müssen wir genau hinsehen: $a^2b$ und $ab^2$ sind nicht gleichartig, da die Potenzen bei den Variablen unterschiedlich sind.

Wir markieren die Terme mit $a^2b$ und die Terme mit $ab^2$.

$\textcolor{#08BFFF}{a^2b} \textcolor{#53E5D6}{+ 3ab^2} \textcolor{#08BFFF}{- 4a^2b} \textcolor{#53E5D6}{+ ab^2}$

Jetzt sortieren wir den Term neu:

$\textcolor{#08BFFF}{a^2b} \textcolor{#08BFFF}{- 4a^2b} \textcolor{#53E5D6}{+ 3ab^2} \textcolor{#53E5D6}{+ ab^2}$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen

Wir fassen die beiden Gruppen getrennt zusammen.

Für die $a^2b$-Terme: $\textcolor{#08BFFF}{1a^2b - 4a^2b} = (1-4)a^2b = -3a^2b$

Für die $ab^2$-Terme: $\textcolor{#53E5D6}{3ab^2 + 1ab^2} = (3+1)ab^2 = 4ab^2$

Schritt 3: Endergebnis aufschreiben

Der vereinfachte Term lautet:

$-3a^2b + 4ab^2$

Ergebnis: $-3a^2b + 4ab^2$

Wichtige Erkenntnisse

• Gleichartige Terme: Du kannst nur Terme zusammenfassen, die exakt den gleichen variablen Teil haben. Das schließt die Buchstaben und deren Potenzen (Hochzahlen) ein.

• Beispiele für gleichartige Terme: $3x$ und $-5x$; $4y^2$ und $y^2$; $2ab$ und $6ab$.

• Beispiele für ungleichartige Terme: $3x$ und $3y$; $4x^2$ und $4x$; $2a^2b$ und $2ab^2$.

• Vorgehen: 1. Sortieren, 2. Zusammenfassen. Nimm immer das Vorzeichen (+ oder –) mit, das vor einem Term steht.

• Koeffizienten addieren/subtrahieren: Beim Zusammenfassen werden nur die Zahlen vor den Variablen (die Koeffizienten) verrechnet. Der variable Teil bleibt gleich. Aus $7x + 2x$ wird $9x$, nicht $9x^2$.