Was ist das Distributivgesetz?

Das Distributivgesetz (auch Verteilungsgesetz genannt) besagt, dass du einen Faktor, der vor einer Klammer steht, mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multiplizieren musst. Die Formel lautet: a · (b + c) = a · b + a · c . Es ist die Grundregel des Ausmultiplizierens und eine der wichtigsten Rechenregeln in der Algebra.

Wie löse ich eine Minusklammer auf?

Steht ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer, ist das eine Abkürzung für –1 · (...) . Die Regel: Alle Vorzeichen in der Klammer werden umgedreht – aus + wird – und aus – wird +. Beispiel: –(3 – 4x) = –3 + 4x . Anschließend kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.

Wie multipliziere ich Klammer mal Klammer aus?

Bei der Multiplikation zweier Klammern gilt die Jeder-mit-jedem-Regel : Jeder Term der ersten Klammer wird mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert. Bei zwei Termen je Klammer entstehen vier Produkte: (a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd . Im letzten Schritt fasst du gleichartige Terme zusammen.

Wann kann ich gleichartige Terme zusammenfassen?

Gleichartige Terme sind Terme mit genau derselben Variable (und demselben Exponenten). Du kannst zum Beispiel 3x und 5x zu 8x addieren, aber 3x und 2y nicht. Das Zusammenfassen ist immer der letzte Schritt nach dem Ausmultiplizieren – so wird der Term so kurz und übersichtlich wie möglich.

Was ist der Unterschied zwischen Ausmultiplizieren und Ausklammern?

Beim Ausmultiplizieren verwendest du das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen: Ein Faktor wird auf alle Glieder in der Klammer verteilt. Beim Ausklammern (Faktorisieren) läuft der Prozess umgekehrt: Du findest einen gemeinsamen Faktor aller Terme und schreibst ihn vor die Klammer. Beides nutzt dieselbe Regel – einmal vorwärts, einmal rückwärts.

Terme vereinfachen: Distributivgesetz & Ausmultiplizieren

Stell dir vor, dein Mathebuch gibt dir eine riesige, unordentliche Anweisung wie $3 * (4x + 2y - 5) + 2 * (x - 3y)$ . Das sieht kompliziert aus, oder? Terme vereinfachen ist wie Aufräumen in deinem Zimmer: Du nimmst einen chaotischen Haufen und sortierst alles, bis es ordentlich und übersichtlich ist. Das Ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz ist dabei dein wichtigstes Werkzeug – der „Cheat Code", um komplizierte Klammer-Ausdrücke in einfache, handliche Teile zu zerlegen. Wenn du das beherrschst, löst du nicht nur diese Aufgaben schneller, sondern legst auch den Grundstein, um später komplexe Gleichungen zu knacken. Es ist eine Kernfähigkeit, die dir in Mathe immer wieder begegnen wird.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Was ist ein Term? Ein Term ist eine sinnvolle mathematische Zusammensetzung aus Zahlen, Variablen (wie x oder y) und Rechenzeichen.
- Beispiel: $5x - 3$ ist ein Term. $+(x-5)$ ist kein vollständiger Term.
Gleichartige Terme zusammenfassen: Du kannst nur Terme addieren oder subtrahieren, die dieselbe Variable haben. Stell dir vor, du kannst nur Äpfel mit Äpfeln und Birnen mit Birnen zusammenzählen.
- Beispiel: In $3x + 2y + 5x$ sind $3x$ und $5x$ gleichartig. Zusammengefasst ergibt das $8x + 2y$ . $2y$ kann nicht mit den anderen addiert werden.
Rechenregeln für Vorzeichen: Das ist super wichtig!
- Plus mal Minus ergibt Minus: $3 \cdot (-4) = -12$
- Minus mal Plus ergibt Minus: $-3 \cdot 4 = -12$
- Minus mal Minus ergibt Plus: $-3 \cdot (-4) = 12$

Aufgabentyp 1: Faktor mal Klammer (Ausmultiplizieren)

Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) ist der Schlüssel zum Auflösen von Klammern, vor denen ein Faktor (eine Zahl oder Variable) steht. Es besagt: Du musst den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multiplizieren.

Die Regel lautet:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Stell dir vor, $a$ ist die Anzahl der Tüten, die du kaufst. In jeder Tüte sind ein Apfel ( $b$ ) und eine Birne ( $c$ ). Wenn du $2$ Tüten kaufst, hast du am Ende $2$ Äpfel und $2$ Birnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere Faktor und Klammer: Finde die Zahl oder Variable, die direkt vor der Klammer steht (der Faktor), und die Glieder in der Klammer.
Ausmultiplizieren – erstes Glied: Multipliziere den Faktor mit dem ersten Glied in der Klammer. Schreibe das Ergebnis auf. Achte auf die Vorzeichen!
Ausmultiplizieren – weiteres Glied: Multipliziere den Faktor mit dem zweiten Glied in der Klammer. Schreibe das Ergebnis dahinter.
Zusammenfassen: Wenn die Klammer weg ist, schau, ob du gleichartige Terme zusammenfassen kannst, um den Term final zu vereinfachen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $3 \cdot (x + 5)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Identifiziere Faktor und Klammer
Der Faktor ist $3$ . Die Glieder in der Klammer sind $x$ und $5$ .
Schritt 2 & 3
Ausmultiplizieren
Wir multiplizieren den Faktor mit jedem Glied:

$3 \cdot (x + 5) = 3 \cdot x + 3 \cdot 5$

$= 3x + 15$
Schritt 4 · Ergebnis
Zusammenfassen
Es gibt keine gleichartigen Terme. Wir sind fertig.

Ergebnis:

$3x + 15$

Beispiel 2

Aufgabe

Vereinfache den Term $4 \cdot (2y - 3)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Identifiziere Faktor und Klammer
Der Faktor ist $4$ . Die Glieder sind $2y$ und $-3$ .
Schritt 2 & 3
Ausmultiplizieren
Achte auf das Minuszeichen!

$4 \cdot (2y - 3) = 4 \cdot 2y + 4 \cdot (-3)$

$= 8y - 12$
Schritt 4 · Ergebnis
Zusammenfassen
Keine gleichartigen Terme vorhanden.

Ergebnis:

$8y - 12$

Beispiel 3

Aufgabe

Vereinfache den Term $-5 \cdot (a + 2)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Identifiziere Faktor und Klammer
Der Faktor ist $-5$ . Die Glieder sind $a$ und $2$ .
Schritt 2 & 3
Ausmultiplizieren
Der negative Faktor ändert die Vorzeichen!

$(-5) \cdot (a + 2) = (-5) \cdot a + (-5) \cdot 2$

$= -5a - 10$
Schritt 4 · Ergebnis
Zusammenfassen
Nichts zum Zusammenfassen.

Ergebnis:

$-5a - 10$

Beispiel 4

Aufgabe

Vereinfache den Term $-2 \cdot (-4b + 6)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Identifiziere Faktor und Klammer
Der Faktor ist $-2$ . Die Glieder sind $-4b$ und $6$ .
Schritt 2 & 3
Ausmultiplizieren
Minus mal Minus ergibt Plus!

$(-2) \cdot (-4b + 6) = (-2) \cdot (-4b) + (-2) \cdot 6$

$= 8b - 12$
Schritt 4 · Ergebnis
Zusammenfassen
Wir sind fertig.

Ergebnis:

$8b - 12$

Beispiel 5

Aufgabe

Vereinfache den Term $3 + 2 \cdot (2x - 1.5)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Identifiziere Faktor und Klammer
Der Faktor ist $2$ . Die Glieder sind $2x$ und $-1.5$ . Die $3$ am Anfang wird erstmal ignoriert (Punkt vor Strich).
Schritt 2 & 3
Ausmultiplizieren
$3 + 2 \cdot (2x - 1.5) = 3 + 2 \cdot 2x + 2 \cdot (-1.5)$

$= 3 + 4x - 3$
Schritt 4 · Ergebnis
Zusammenfassen
Jetzt fassen wir die gleichartigen Terme ( $3$ und $-3$ ) zusammen.

$3 - 3 + 4x = 0 + 4x = 4x$

Ergebnis:

$4x$

Aufgabentyp 2: Minusklammer auflösen

Eine „Minusklammer" ist ein Spezialfall des Ausmultiplizierens und eine der häufigsten Fehlerquellen in Tests. Wenn nur ein Minuszeichen $-$ vor einer Klammer steht, ist das eine Abkürzung für $-1 \cdot (...)$ .

Die Regel ist ganz einfach: Ein Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen in der Klammer um.

Aus + wird -.
Aus - wird +.

Beispiel:

$-(a - b) = -a + b$

Das ist eine der häufigsten Fehlerquellen in Tests, also merke sie dir gut!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Minusklammer identifizieren: Suche nach einer Klammer, vor der direkt ein Minuszeichen $-$ steht.
Klammer auflösen und Vorzeichen umdrehen: Entferne das Minuszeichen und die Klammern. Schreibe alle Glieder, die in der Klammer waren, mit dem entgegengesetzten Vorzeichen auf.
Zusammenfassen: Fasse die neu entstandenen Terme mit den restlichen Termen der Aufgabe zusammen, falls möglich.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vereinfache den Term $12 - (x + 4)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Minusklammer identifizieren
Wir haben ein Minus vor der Klammer $(x + 4)$ .
Schritt 2
Vorzeichen umdrehen
In der Klammer steht $+x$ und $+4$ . Wir drehen beide Vorzeichen um.

$12 - (x + 4) = 12 - x - 4$
Schritt 3 · Ergebnis
Zusammenfassen
Wir fassen $12$ und $-4$ zusammen.

$12 - 4 - x = 8 - x$

Ergebnis:

$8 - x$

Beispiel 2

Aufgabe

Vereinfache den Term $5 - (3 - 4x)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Minusklammer identifizieren
Wir haben ein Minus vor der Klammer $(3 - 4x)$ .
Schritt 2
Vorzeichen umdrehen
In der Klammer steht $+3$ und $-4x$ . Wir drehen beide Vorzeichen um.

$5 - (3 - 4x) = 5 - 3 + 4x$
Schritt 3 · Ergebnis
Zusammenfassen
Wir fassen $5$ und $-3$ zusammen.

$5 - 3 + 4x = 2 + 4x$

Ergebnis:

$2 + 4x$

Beispiel 3

Aufgabe

Vereinfache den Term $9a - (5a - 7)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Minusklammer identifizieren
Wir haben ein Minus vor der Klammer $(5a - 7)$ .
Schritt 2
Vorzeichen umdrehen
In der Klammer steht $+5a$ und $-7$ . Wir drehen beide um.

$9a - (5a - 7) = 9a - 5a + 7$
Schritt 3 · Ergebnis
Zusammenfassen
Wir fassen $9a$ und $-5a$ zusammen.

$9a - 5a + 7 = 4a + 7$

Ergebnis:

$4a + 7$

Beispiel 4

Aufgabe

Vereinfache den Term $10 - (-2y + 3z - 5)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Minusklammer identifizieren
Wir haben ein Minus vor der Klammer $(-2y + 3z - 5)$ .
Schritt 2
Vorzeichen umdrehen
Wir drehen alle drei Vorzeichen in der Klammer um.

$10 - (-2y + 3z - 5) = 10 + 2y - 3z + 5$
Schritt 3 · Ergebnis
Zusammenfassen
Wir fassen $10$ und $5$ zusammen.

$10 + 5 + 2y - 3z = 15 + 2y - 3z$

Ergebnis:

$15 + 2y - 3z$

Beispiel 5

Aufgabe

Vereinfache den Term $x - (y - x)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Minusklammer identifizieren
Wir haben ein Minus vor der Klammer $(y - x)$ .
Schritt 2
Vorzeichen umdrehen
In der Klammer steht $+y$ und $-x$ . Wir drehen beide um.

$x - (y - x) = x - y + x$
Schritt 3 · Ergebnis
Zusammenfassen
Wir fassen $x$ und $x$ zusammen.

$x + x - y = 2x - y$

Ergebnis:

$2x - y$

Aufgabentyp 3: Klammer mal Klammer

Wenn du zwei Klammern miteinander multiplizierst, gilt die „Jeder-mit-jedem-Regel". Das bedeutet, du musst jeden Term aus der ersten Klammer mit jedem Term aus der zweiten Klammer multiplizieren.

Die allgemeine Formel sieht so aus:

$(a + b) \cdot (c + d) = ac + ad + bc + bd$

Am besten gehst du systematisch vor, damit du keinen Term vergisst. Male dir am Anfang ruhig Bögen, um die Multiplikationen zu visualisieren.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Erster Term mal zweite Klammer: Nimm den ersten Term der ersten Klammer und multipliziere ihn mit jedem Term der zweiten Klammer. Schreibe die Ergebnisse auf.
Zweiter Term mal zweite Klammer: Nimm den zweiten Term der ersten Klammer und multipliziere ihn ebenfalls mit jedem Term der zweiten Klammer. Schreibe die Ergebnisse dahinter.
Alle Produkte aufschreiben: Du solltest jetzt eine lange Kette von Produkten haben. Bei zwei mal zwei Gliedern sind das vier Produkte.
Zusammenfassen: Fasse alle gleichartigen Terme in der langen Kette zusammen, um das Endergebnis zu erhalten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Multipliziere aus: $(x + 2) \cdot (y + 3)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Jeder mit jedem multiplizieren
$(x + 2) \cdot (y + 3)$

$= x \cdot y + x \cdot 3 + 2 \cdot y + 2 \cdot 3$
Schritt 3
Produkte berechnen
$= xy + 3x + 2y + 6$
Schritt 4 · Ergebnis
Zusammenfassen
Es gibt keine gleichartigen Terme.

Ergebnis:

$xy + 3x + 2y + 6$

Beispiel 2

Aufgabe

Multipliziere aus: $(a - 4) \cdot (a + 5)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Jeder mit jedem multiplizieren
Achte auf die Vorzeichen!

$(a - 4) \cdot (a + 5)$

$= a \cdot a + a \cdot 5 + (-4) \cdot a + (-4) \cdot 5$
Schritt 3
Produkte berechnen
$= a^2 + 5a - 4a - 20$
Schritt 4 · Ergebnis
Zusammenfassen
Wir fassen $5a$ und $-4a$ zusammen.

$= a^2 + a - 20$

Ergebnis:

$a^2 + a - 20$

Beispiel 3

Aufgabe

Multipliziere aus: $(2x + 3) \cdot (4x - 1)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Jeder mit jedem multiplizieren
$(2x + 3) \cdot (4x - 1)$

$= 2x \cdot 4x + 2x \cdot (-1) + 3 \cdot 4x + 3 \cdot (-1)$
Schritt 3
Produkte berechnen
$= 8x^2 - 2x + 12x - 3$
Schritt 4 · Ergebnis
Zusammenfassen
Wir fassen $-2x$ und $12x$ zusammen.

$= 8x^2 + 10x - 3$

Ergebnis:

$8x^2 + 10x - 3$

Beispiel 4

Aufgabe

Multipliziere aus: $(-3a + \frac{1}{4}) \cdot (8 - 12a)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Jeder mit jedem multiplizieren
$(-3a + \frac{1}{4}) \cdot (8 - 12a)$

$= (-3a) \cdot 8 + (-3a) \cdot (-12a) + \frac{1}{4} \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot (-12a)$
Schritt 3
Produkte berechnen
$= -24a + 36a^2 + 2 - 3a$
Schritt 4 · Ergebnis
Zusammenfassen
Wir fassen $-24a$ und $-3a$ zusammen.

$= 36a^2 - 27a + 2$

Ergebnis:

$36a^2 - 27a + 2$

Beispiel 5

Aufgabe

Multipliziere aus: $(-y - 6) \cdot (-2y - 3)$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Jeder mit jedem multiplizieren
$(-y - 6) \cdot (-2y - 3)$

$= (-y) \cdot (-2y) + (-y) \cdot (-3) + (-6) \cdot (-2y) + (-6) \cdot (-3)$
Schritt 3
Produkte berechnen
$= 2y^2 + 3y + 12y + 18$
Schritt 4 · Ergebnis
Zusammenfassen
Wir fassen $3y$ und $12y$ zusammen.

$= 2y^2 + 15y + 18$

Ergebnis:

$2y^2 + 15y + 18$

Wichtige Erkenntnisse

Faktor mal Klammer: Multipliziere den Faktor mit jedem Glied in der Klammer. $a \cdot (b+c) = ab + ac$
Minusklammer: Ein Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen in der Klammer um. $-(b-c) = -b+c$
Klammer mal Klammer: Multipliziere jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer. $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$
Immer am Ende: Fasse alle gleichartigen Terme zusammen!

Terme vereinfachen: Distributivgesetz & Ausmultiplizieren

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Faktor mal Klammer (Ausmultiplizieren)

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Minusklammer auflösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Klammer mal Klammer

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Das könnte Dich auch interessieren

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.