Terme – Gleichwertigkeit einfach erklärt: Schritt für Schritt

Die Gleichwertigkeit von Termen ist eine der wichtigsten Grundlagen der Algebra. Stell dir vor, du hast eine superlange, komplizierte Formel und findest heraus, dass eine kurze, übersichtliche Version genau dasselbe Ergebnis liefert – das ist Gleichwertigkeit. Wenn du dieses Konzept beherrschst, kannst du Aufgaben deutlich schneller lösen und legst gleichzeitig den Grundstein für die gesamte höhere Mathematik.

Schnellantwort

Zwei Terme sind gleichwertig (äquivalent), wenn sie für alle möglichen Einsetzungen von Zahlen für ihre Variablen immer denselben Wert ergeben. Der einzig sichere Beweis für Gleichwertigkeit ist die algebraische Vereinfachung beider Terme. Das bloße Einsetzen einiger Zahlen reicht nicht als Beweis aus – es kann aber beweisen, dass zwei Terme nicht gleichwertig sind.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

• Term: Ein Term ist eine sinnvolle mathematische Rechenanweisung aus Zahlen, Variablen (wie x oder y) und Rechenzeichen.

  • Beispiel: $3x + 5$ ist ein Term. Für $x=2$ ist der Wert des Terms $3 \cdot 2 + 5 = 11$.

• Variable: Ein Buchstabe, der als Platzhalter für eine beliebige Zahl dient.

  • Beispiel: In $a + b$ sind $a$ und $b$ Variablen.

• Gleichartige Terme zusammenfassen: Du kannst nur Terme addieren oder subtrahieren, die dieselbe Variable mit demselben Exponenten haben.

  • Beispiel: In $5x + 3 - 2x$ kannst du $5x$ und $-2x$ zusammenfassen zu $3x$. Die 3 bleibt unverändert. Das Ergebnis ist $3x + 3$.

• Minuszeichen vor einer Klammer: Löst du eine Klammer auf, vor der ein Minuszeichen steht, drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer um.

  • Formel: $-(a - b + c) = -a + b - c$
  • Beispiel: $-(4x - 7) = -4x + 7$

Aufgabentyp 1: Gleichwertigkeit durch Einsetzen beweisen?

Zwei Terme sind gleichwertig (oder äquivalent), wenn sie für alle möglichen Einsetzungen von Zahlen für ihre Variablen immer denselben Wert ergeben.

Die große Frage: Reicht es, ein paar Zahlen auszuprobieren, um zu beweisen, dass zwei Terme gleichwertig sind?

Die klare Antwort ist: Nein!

Das Einsetzen von ein paar Zahlen ist nur eine Stichprobe. Es ist, als würdest du ein Auto dreimal starten und daraus schließen, dass es immer anspringen wird. Du könntest zufällig genau die Zahlen erwischen, bei denen das Ergebnis gleich ist. Um die Gleichwertigkeit sicher zu beweisen, musst du die Terme algebraisch umformen.

Wofür das Einsetzen aber nützlich ist: Du kannst damit beweisen, dass zwei Terme nicht gleichwertig sind. Findest du auch nur ein einziges Zahlenpaar, bei dem unterschiedliche Ergebnisse herauskommen, hast du bewiesen, dass die Terme nicht gleichwertig sind.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Methode verstehen: Analysiere die vorgeschlagene Methode. Hier wird behauptet, dass das Einsetzen einiger Zahlen ausreicht, um die Gleichwertigkeit zu beweisen.
2. Methode bewerten: Erinnere dich an die Definition von Gleichwertigkeit – sie muss für alle Zahlen gelten. Eine Stichprobe kann niemals alle unendlich vielen Möglichkeiten abdecken.
3. Gegenbeispiel finden (optional, aber überzeugend): Überlege dir zwei einfache Terme, die für eine Zahl gleich sind, aber sonst nicht. Zum Beispiel $2x$ und $x^2$: für $x=2$ sind beide 4, aber für $x=3$ sind sie 6 und 9.
4. Richtige Methode nennen: Erkläre, dass der einzig sichere Weg, Gleichwertigkeit zu beweisen, die algebraische Umformung ist. Beide Terme müssen so weit wie möglich vereinfacht werden.
5. Fazit formulieren: Fasse deine Argumentation zusammen und beantworte die Frage klar. Die Methode des Einsetzens ist kein gültiger Beweis für Gleichwertigkeit.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Anna testet die Terme $T_1: 2x$ und $T_2: x+2$. Sie setzt $x=2$ ein und erhält bei beiden Termen den Wert 4. Sie schließt daraus, dass die Terme gleichwertig sind. Hat sie Recht?

Lösung:

Schritt 1: Die Methode verstehen

Anna setzt eine einzelne Zahl ($x=2$) ein und erhält für beide Terme dasselbe Ergebnis.

Schritt 2: Die Methode bewerten

Das ist nur eine Stichprobe. Um gleichwertig zu sein, müssten die Terme für alle Werte von $x$ dasselbe Ergebnis liefern.

Schritt 3: Ein Gegenbeispiel finden

Wir testen eine andere Zahl, zum Beispiel $x=3$.

$T_1: 2 \cdot 3 = 6$

$T_2: 3 + 2 = 5$

Die Ergebnisse sind unterschiedlich ($6 \neq 5$).

Schritt 4 & 5: Fazit formulieren

Da wir ein Gegenbeispiel gefunden haben, sind die Terme nicht gleichwertig. Anna hat also nicht Recht. Ihr Test mit nur einer Zahl war nicht ausreichend.

Ergebnis: Die Terme sind nicht gleichwertig. Annas Schlussfolgerung ist falsch.

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Beispiel 2

Aufgabe: Tom sagt, die Terme $T_1: x^2$ und $T_2: 4x-4$ sind gleichwertig, weil für $x=2$ beide den Wert 4 ergeben. Stimmt das?

Lösung:

Schritt 1: Die Methode verstehen

Tom hat durch Einsetzen von $x=2$ für beide Terme das Ergebnis 4 erhalten und schließt daraus auf Gleichwertigkeit.

Schritt 2: Die Methode bewerten

Dies ist kein gültiger Beweis, da er nur einen von unendlich vielen Fällen getestet hat.

Schritt 3: Ein Gegenbeispiel finden

Wir wählen einen anderen Wert, z.B. $x=1$.

$T_1: 1^2 = 1$

$T_2: 4 \cdot 1 - 4 = 0$

Die Ergebnisse ($1$ und $0$) sind verschieden.

Schritt 4 & 5: Fazit formulieren

Die Terme sind nicht gleichwertig. Toms Schlussfolgerung ist falsch, da ein einziger Test nicht ausreicht.

Ergebnis: Die Terme sind nicht gleichwertig.

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Beispiel 3

Aufgabe: Sind die Terme $T_1: a+b$ und $T_2: a \cdot b$ gleichwertig? Ein Test mit $a=2$ und $b=2$ ergibt für beide Terme den Wert 4.

Lösung:

Schritt 1: Die Methode verstehen

Es wurde ein Zahlenpaar ($a=2, b=2$) gefunden, für das beide Terme das gleiche Ergebnis liefern.

Schritt 2: Die Methode bewerten

Die Gleichwertigkeit muss für alle möglichen Zahlenpaare gelten, nicht nur für ein spezielles.

Schritt 3: Ein Gegenbeispiel finden

Wir wählen ein anderes Zahlenpaar, z.B. $a=1$ und $b=3$.

$T_1: 1 + 3 = 4$

$T_2: 1 \cdot 3 = 3$

Die Ergebnisse ($4$ und $3$) sind unterschiedlich.

Schritt 4 & 5: Fazit formulieren

Die Terme sind nicht gleichwertig. Der eine Test war irreführend.

Ergebnis: Die Terme sind nicht gleichwertig.

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Beispiel 4

Aufgabe: Ein Schüler vereinfacht den Term $-(x-5)$ zu $-x-5$. Zur Probe setzt er $x=0$ ein. In beiden Fällen kommt $-5$ heraus. Ist seine Vereinfachung also korrekt?

Lösung:

Schritt 1: Die Methode verstehen

Der Schüler testet seine Umformung mit dem Wert $x=0$ und erhält eine Übereinstimmung.

Schritt 2: Die Methode bewerten

Ein einzelner Test beweist nicht die Korrektheit der Umformung (also die Gleichwertigkeit).

Schritt 3: Ein Gegenbeispiel finden

Wir testen mit $x=1$.

Originalterm: $-(1-5) = -(-4) = 4$

Vereinfachter Term: $-1-5 = -6$

Die Ergebnisse ($4$ und $-6$) sind verschieden.

Schritt 4: Die richtige Methode anwenden

Die korrekte Auflösung der Klammer wäre: $-(x-5) = -x+5$. Dies ist nicht dasselbe wie $-x-5$.

Schritt 5: Fazit formulieren

Die Vereinfachung des Schülers ist falsch. Der Test mit $x=0$ war ein Zufallstreffer.

Ergebnis: Die Vereinfachung ist falsch – der Test war ein Zufallstreffer.

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Beispiel 5

Aufgabe: Peter behauptet, $T_1: (a+1)^2$ und $T_2: a^2+1$ seien gleichwertig, weil es für $a=0$ stimmt. Widerlege seine Behauptung.

Lösung:

Schritt 1: Die Methode verstehen

Peter nutzt einen einzigen Testfall ($a=0$), um Gleichwertigkeit zu beweisen.

$T_1: (0+1)^2 = 1^2 = 1$

$T_2: 0^2+1 = 1$

Das Ergebnis ist für diesen Fall identisch.

Schritt 2: Die Methode bewerten

Die Methode ist unzureichend, da sie nicht alle möglichen Werte für $a$ abdeckt.

Schritt 3: Ein Gegenbeispiel finden

Wir wählen einen anderen Wert, z.B. $a=2$.

$T_1: (2+1)^2 = 3^2 = 9$

$T_2: 2^2+1 = 4+1 = 5$

Die Ergebnisse ($9$ und $5$) sind klar unterschiedlich.

Schritt 4 & 5: Fazit formulieren

Da wir ein Gegenbeispiel gefunden haben, ist bewiesen, dass die Terme nicht gleichwertig sind. Peters Behauptung ist widerlegt.

Ergebnis: Peters Behauptung ist widerlegt – die Terme sind nicht gleichwertig.

Aufgabentyp 2: Gleichwertigkeit von Termen mit einer Variable prüfen

Um sicher zu beweisen, dass zwei Terme mit einer Variable gleichwertig sind, müssen wir sie algebraisch vereinfachen. Das Ziel ist, beide Terme in ihre einfachste Form zu bringen. Wenn die vereinfachten Formen exakt identisch sind, dann sind die ursprünglichen Terme gleichwertig.

Die wichtigsten Werkzeuge dafür sind:

1. Klammern auflösen: Besonders auf Minuszeichen vor der Klammer achten!
2. Gleichartige Terme zusammenfassen: Alle Terme mit $x$ zusammenfassen und alle reinen Zahlen (Konstanten) zusammenfassen.

Wenn nach der Vereinfachung zum Beispiel auf beiden Seiten $3x + 10$ steht, dann weißt du mit 100%iger Sicherheit: Die Terme sind gleichwertig.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleichung aufstellen: Setze die beiden Terme mit einem Gleichheitszeichen dazwischen, um deine Arbeitsgrundlage zu schaffen. (Term 1 = Term 2)
2. Linke Seite vereinfachen: Fasse auf der linken Seite der Gleichung alle gleichartigen Terme zusammen. Sortiere sie am besten (z.B. erst die x-Terme, dann die Zahlen).
3. Rechte Seite vereinfachen: Vereinfache nun die rechte Seite der Gleichung. Oft musst du hier zuerst Klammern auflösen, bevor du zusammenfassen kannst.
4. Vereinfachte Seiten vergleichen: Schau dir die vereinfachten linken und rechten Seiten an. Sind sie Buchstabe für Buchstabe und Zahl für Zahl identisch? Ja: Die Terme sind gleichwertig. Nein: Die Terme sind nicht gleichwertig.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Prüfe, ob die Terme $T_1: 5x + 3 - 2x + 7$ und $T_2: -(-3x - 10)$ gleichwertig sind.

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$5x + 3 - 2x + 7 = -(-3x - 10)$

Schritt 2: Linke Seite vereinfachen

Wir fassen die $x$-Terme und die Zahlen zusammen.

$5x + 3 - 2x + 7$

$= (5x - 2x) + (3 + 7)$

$= 3x + 10$

Schritt 3: Rechte Seite vereinfachen

Wir lösen die Klammer auf. Das Minus davor kehrt alle Vorzeichen um.

$-(-3x - 10) = 3x + 10$

Schritt 4: Vereinfachte Seiten vergleichen

Linke Seite: $3x + 10$

Rechte Seite: $3x + 10$

Beide Seiten sind identisch. Also sind die Terme gleichwertig.

Ergebnis: Die Terme sind gleichwertig.

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Beispiel 2

Aufgabe: Sind die Terme $T_1: 4(x+2) - 3$ und $T_2: 4x + 5$ gleichwertig?

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$4(x+2) - 3 = 4x + 5$

Schritt 2: Linke Seite vereinfachen

Zuerst die Klammer ausmultiplizieren.

$4 \cdot x + 4 \cdot 2 - 3$

$= 4x + 8 - 3$

Jetzt die Zahlen zusammenfassen.

$= 4x + 5$

Schritt 3: Rechte Seite vereinfachen

Die rechte Seite $4x + 5$ ist bereits vollständig vereinfacht.

Schritt 4: Vereinfachte Seiten vergleichen

Linke Seite: $4x + 5$

Rechte Seite: $4x + 5$

Beide Seiten sind identisch. Die Terme sind gleichwertig.

Ergebnis: Die Terme sind gleichwertig.

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Beispiel 3

Aufgabe: Prüfe die Gleichwertigkeit von $T_1: 10 - (3x + 4)$ und $T_2: 6 - 3x$.

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$10 - (3x + 4) = 6 - 3x$

Schritt 2: Linke Seite vereinfachen

Wir lösen die Klammer auf. Das Minus davor ändert die Vorzeichen in der Klammer.

$10 - 3x - 4$

Jetzt fassen wir die Zahlen zusammen.

$(10 - 4) - 3x$

$= 6 - 3x$

Schritt 3: Rechte Seite vereinfachen

Die rechte Seite $6 - 3x$ ist bereits so einfach wie möglich.

Schritt 4: Vereinfachte Seiten vergleichen

Linke Seite: $6 - 3x$

Rechte Seite: $6 - 3x$

Die Seiten sind identisch. Die Terme sind gleichwertig.

Ergebnis: Die Terme sind gleichwertig.

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Beispiel 4

Aufgabe: Sind $T_1: 7x - 2x + 1$ und $T_2: 5x - 1$ gleichwertig?

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$7x - 2x + 1 = 5x - 1$

Schritt 2: Linke Seite vereinfachen

Wir fassen die $x$-Terme zusammen.

$(7x - 2x) + 1$

$= 5x + 1$

Schritt 3: Rechte Seite vereinfachen

Die rechte Seite $5x - 1$ ist bereits vereinfacht.

Schritt 4: Vereinfachte Seiten vergleichen

Linke Seite: $5x + 1$

Rechte Seite: $5x - 1$

Die Seiten sind nicht identisch ($+1$ ist nicht das Gleiche wie $-1$). Die Terme sind also nicht gleichwertig.

Ergebnis: Die Terme sind nicht gleichwertig.

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Beispiel 5

Aufgabe: Prüfe, ob $T_1: 2(3x-4)+x$ und $T_2: 3(2x-2)$ gleichwertig sind.

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$2(3x-4)+x = 3(2x-2)$

Schritt 2: Linke Seite vereinfachen

Klammer ausmultiplizieren:

$6x - 8 + x$

Terme zusammenfassen:

$7x - 8$

Schritt 3: Rechte Seite vereinfachen

Klammer ausmultiplizieren:

$6x - 6$

Schritt 4: Vereinfachte Seiten vergleichen

Linke Seite: $7x - 8$

Rechte Seite: $6x - 6$

Die Seiten sind nicht identisch. Die Terme sind nicht gleichwertig.

Ergebnis: Die Terme sind nicht gleichwertig.

Aufgabentyp 3: Gleichwertigkeit von Termen mit mehreren Variablen prüfen

Das Prinzip bleibt genau dasselbe wie bei einer Variable: Vereinfache beide Terme so weit wie möglich und vergleiche sie.

Der entscheidende Punkt bei mehreren Variablen ist: Du darfst nur Terme zusammenfassen, die exakt dieselben Variablen mit exakt denselben Potenzen haben.

• Du kannst $3a$ und $5a$ zu $8a$ zusammenfassen.
• Du kannst $7b^2$ und $-2b^2$ zu $5b^2$ zusammenfassen.
• Aber du kannst $2b^2$ und $2b^3$ nicht zusammenfassen, weil die Potenzen (Hochzahlen) unterschiedlich sind!

Sei hier besonders sorgfältig und gehe Schritt für Schritt vor.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleichung aufstellen: Schreibe die beiden Terme mit einem Gleichheitszeichen dazwischen auf: Term 1 = Term 2.
2. Linke Seite vereinfachen: Sortiere und fasse alle gleichartigen Terme zusammen. Achte darauf, dass sowohl die Variablen als auch deren Potenzen übereinstimmen.
3. Rechte Seite vereinfachen: Vereinfache auch die rechte Seite. Meistens bedeutet das, zuerst Klammern aufzulösen und dann zusammenzufassen.
4. Vereinfachte Seiten vergleichen: Vergleiche die beiden vereinfachten Terme. Jeder einzelne Summand (Teilterm) muss auf beiden Seiten exakt übereinstimmen. Ja: Die Terme sind gleichwertig. Nein: Sobald sich auch nur ein Teilterm unterscheidet (z.B. $b^2$ auf der einen und $b^3$ auf der anderen Seite), sind die Terme nicht gleichwertig.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Prüfe, ob die Terme $T_1: a+2b^2-7+2a$ und $T_2: -(-3a-2b^3+7)$ gleichwertig sind.

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$a+2b^2-7+2a = -(-3a-2b^3+7)$

Schritt 2: Linke Seite vereinfachen

Wir fassen die $a$-Terme zusammen.

$(a+2a) + 2b^2 - 7$

$= 3a + 2b^2 - 7$

Schritt 3: Rechte Seite vereinfachen

Wir lösen die Klammer auf (alle Vorzeichen drehen sich um).

$-(-3a-2b^3+7) = 3a+2b^3-7$

Schritt 4: Vereinfachte Seiten vergleichen

Linke Seite: $3a + 2b^2 - 7$

Rechte Seite: $3a + 2b^3 - 7$

Die Terme sind nicht identisch. Der eine Term enthält $b^2$, der andere $b^3$. Daher sind sie nicht gleichwertig.

Ergebnis: Die Terme sind nicht gleichwertig.

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Beispiel 2

Aufgabe: Sind die Terme $T_1: 5x + 2y - (x-y)$ und $T_2: 4x+3y$ gleichwertig?

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$5x + 2y - (x-y) = 4x+3y$

Schritt 2: Linke Seite vereinfachen

Zuerst die Klammer auflösen.

$5x + 2y - x + y$

Jetzt gleichartige Terme zusammenfassen.

$(5x - x) + (2y + y)$

$= 4x + 3y$

Schritt 3: Rechte Seite vereinfachen

Die rechte Seite $4x+3y$ ist bereits vereinfacht.

Schritt 4: Vereinfachte Seiten vergleichen

Linke Seite: $4x+3y$

Rechte Seite: $4x+3y$

Beide Seiten sind identisch. Die Terme sind gleichwertig.

Ergebnis: Die Terme sind gleichwertig.

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Beispiel 3

Aufgabe: Prüfe die Gleichwertigkeit von $T_1: 3a^2 + 2b - a^2$ und $T_2: 2(a^2+b)$.

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$3a^2 + 2b - a^2 = 2(a^2+b)$

Schritt 2: Linke Seite vereinfachen

Wir fassen die $a^2$-Terme zusammen.

$(3a^2 - a^2) + 2b$

$= 2a^2 + 2b$

Schritt 3: Rechte Seite vereinfachen

Wir multiplizieren die Klammer aus.

$2 \cdot a^2 + 2 \cdot b$

$= 2a^2 + 2b$

Schritt 4: Vereinfachte Seiten vergleichen

Linke Seite: $2a^2 + 2b$

Rechte Seite: $2a^2 + 2b$

Die Seiten sind identisch. Die Terme sind gleichwertig.

Ergebnis: Die Terme sind gleichwertig.

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Beispiel 4

Aufgabe: Sind $T_1: 4xy + 2x - xy$ und $T_2: 3x + 2y$ gleichwertig?

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$4xy + 2x - xy = 3x + 2y$

Schritt 2: Linke Seite vereinfachen

Wir fassen die $xy$-Terme zusammen.

$(4xy - xy) + 2x$

$= 3xy + 2x$

Schritt 3: Rechte Seite vereinfachen

Die rechte Seite $3x + 2y$ ist bereits vereinfacht.

Schritt 4: Vereinfachte Seiten vergleichen

Linke Seite: $3xy + 2x$

Rechte Seite: $3x + 2y$

Die Seiten sind nicht identisch. Der linke Term enthält $xy$, der rechte nicht. Die Terme sind nicht gleichwertig.

Ergebnis: Die Terme sind nicht gleichwertig.

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Beispiel 5

Aufgabe: Prüfe, ob $T_1: -(a-b) + (b-a)$ und $T_2: 2b-2a$ gleichwertig sind.

Lösung:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

$-(a-b) + (b-a) = 2b-2a$

Schritt 2: Linke Seite vereinfachen

Wir lösen beide Klammern auf.

$-a + b + b - a$

Jetzt fassen wir zusammen.

$(-a - a) + (b + b)$

$= -2a + 2b$

Wir können die Reihenfolge noch tauschen, um es besser vergleichen zu können: $2b - 2a$.

Schritt 3: Rechte Seite vereinfachen

Die rechte Seite $2b-2a$ ist bereits vereinfacht.

Schritt 4: Vereinfachte Seiten vergleichen

Linke Seite: $2b - 2a$

Rechte Seite: $2b - 2a$

Die Seiten sind identisch. Die Terme sind gleichwertig.

Ergebnis: Die Terme sind gleichwertig.

Wichtige Erkenntnisse

• Gleichwertigkeit bedeutet, dass zwei Terme für alle möglichen Einsetzungen denselben Wert ergeben.
• Das Einsetzen von ein paar Zahlen ist kein Beweis für Gleichwertigkeit. Es kann aber beweisen, dass Terme nicht gleichwertig sind.
• Der einzig sichere Beweis ist die algebraische Vereinfachung: Beide Terme müssen so weit wie möglich vereinfacht werden.
• Wenn die vereinfachten Formen exakt identisch sind, sind die Terme gleichwertig.
• Achte besonders auf das Auflösen von Klammern mit einem Minus davor und fasse nur Terme mit exakt gleichen Variablen und Potenzen zusammen.