Rechnen mit Gewichten einfach erklärt: Einheiten & Aufgaben

Wir haben zwei Divisionen (Punktrechnungen) und eine Addition sowie eine Subtraktion (Strichrechnungen). Wir müssen zuerst die beiden Divisionen berechnen.

Erste Division: $5 \text{ kg } 200 \text{ g} : 400 \text{ g}$

• Kleinste Einheit ist Gramm. Wir wandeln um: $5 \text{ kg } 200 \text{ g} = 5200 \text{ g}$.
• Wir rechnen: $5200 \text{ g} : 400 \text{ g} = 13$.

Zweite Division: $12 \text{ t} : 6000 \text{ kg}$

• Kleinste Einheit ist Kilogramm. Wir wandeln um: $12 \text{ t} = 12000 \text{ kg}$.
• Wir rechnen: $12000 \text{ kg} : 6000 \text{ kg} = 2$.

Wir setzen die Ergebnisse in die ursprüngliche Aufgabe ein: $13 + 2 - 10$

Jetzt rechnen wir von links nach rechts: $13 + 2 = 15$ $15 - 10 = 5$

Das Endergebnis ist eine reine Zahl.

Wir haben eine Division und eine Multiplikation (Punktrechnungen), die zuerst ausgeführt werden müssen, gefolgt von einer Addition.

Division: $8{,}016 \text{ kg} : 8$

• Wir können direkt mit der Kommazahl rechnen oder in Gramm umwandeln: $8016 \text{ g} : 8 = 1002 \text{ g}$.
• Das Ergebnis ist $1002 \text{ g}$ (oder $1{,}002 \text{ kg}$).

Multiplikation: $2 \text{ kg } 25 \text{ g} \cdot 4$

• Wir wandeln in die kleinste Einheit (Gramm) um: $2 \text{ kg } 25 \text{ g} = 2025 \text{ g}$.
• Wir rechnen: $2025 \text{ g} \cdot 4 = 8100 \text{ g}$.

Wir setzen die Ergebnisse zusammen. Beide müssen in der gleichen Einheit sein. Wir wählen Gramm. $1002 \text{ g} + 8100 \text{ g} = 9102 \text{ g}$

Wir wandeln das Ergebnis zurück in eine gemischte Schreibweise. $9102 \text{ g} = 9 \text{ kg } 102 \text{ g}$

Die Regel lautet: Klammern zuerst! Wir müssen also zuerst die Subtraktion in der Klammer berechnen.

$25 \text{ kg } 800 \text{ g} - 15 \text{ kg } 150 \text{ g}$

Wir können Kilogramm und Gramm getrennt voneinander subtrahieren:

• Kilogramm: $25 \text{ kg} - 15 \text{ kg} = 10 \text{ kg}$
• Gramm: $800 \text{ g} - 150 \text{ g} = 650 \text{ g}$

Das Ergebnis der Klammer ist $10 \text{ kg } 650 \text{ g}$.

Jetzt setzen wir das Ergebnis in die Aufgabe ein: $95 \text{ kg } 200 \text{ g} - 10 \text{ kg } 650 \text{ g}$

Hier sehen wir, dass $200 \text{ g}$ weniger als $650 \text{ g}$ ist. Wir müssen umwandeln oder einen Übertrag machen. Am einfachsten ist es, alles in Gramm umzurechnen.

$95200 \text{ g} - 10650 \text{ g} = 84550 \text{ g}$

Wir wandeln das Ergebnis zurück in Kilogramm und Gramm. $84550 \text{ g} = 84 \text{ kg } 550 \text{ g}$

Wir haben eine Multiplikation (Punktrechnung) und eine Subtraktion (Strichrechnung). Die Multiplikation kommt zuerst.

$15 \text{ g} \cdot 12$ $15 \cdot 12 = 180$ Das Ergebnis ist $180 \text{ g}$.

Die Aufgabe lautet jetzt: $180 \text{ g} - 0{,}15 \text{ kg}$. Wir müssen beide Terme in die gleiche Einheit bringen. Wir wählen Gramm. $0{,}15 \text{ kg} = 0{,}15 \cdot 1000 \text{ g} = 150 \text{ g}$.

$180 \text{ g} - 150 \text{ g} = 30 \text{ g}$

Das Ergebnis ist bereits in einer sinnvollen Einheit.

Wir haben eine Klammer, eine Division und eine Multiplikation. Die Reihenfolge ist: Klammer, dann Punktrechnungen, dann Strichrechnung.

$(1 \text{ t} - 950 \text{ kg})$

• Wir wandeln in die kleinere Einheit (kg) um: $1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}$.
• Wir rechnen: $1000 \text{ kg} - 950 \text{ kg} = 50 \text{ kg}$.

Die Aufgabe lautet jetzt: $50 \text{ kg} : 25 \text{ kg} + 5 \cdot 200 \text{ g}$.

Division: $50 \text{ kg} : 25 \text{ kg} = 2$ (Ergebnis ist ohne Einheit).

Multiplikation: $5 \cdot 200 \text{ g} = 1000 \text{ g}$.

Die Aufgabe lautet jetzt: $2 + 1000 \text{ g}$.

Hier ist Vorsicht geboten! Die 2 ist eine reine Zahl ohne Einheit. Man kann eine Zahl ohne Einheit nicht einfach zu einer Angabe mit Einheit addieren. Die Aufgabe ist so gestellt, dass man die Ergebnisse nicht weiter zusammenfassen kann. In der Regel sind solche Aufgaben so konstruiert, dass sich Einheiten am Ende ausgleichen. Hier ist das Ergebnis eine Kombination.

• Gegeben: 1,5 kg Äpfel, 500 g Erdbeeren, 2 kg Kartoffeln, 250 g Tomaten.
• Gesucht: Gesamtgewicht in Kilogramm (kg).

1. Alle Gewichte in eine gemeinsame Einheit (Gramm oder Kilogramm) umwandeln.
2. Alle Gewichte addieren.
3. Das Ergebnis in Kilogramm angeben.

Wir wandeln alles in Gramm um, um Kommazahlen zu vermeiden.

• Äpfel: $1{,}5 \text{ kg} = 1500 \text{ g}$
• Erdbeeren: $500 \text{ g}$
• Kartoffeln: $2 \text{ kg} = 2000 \text{ g}$
• Tomaten: $250 \text{ g}$

Jetzt addieren wir alles: $1500 \text{ g} + 500 \text{ g} + 2000 \text{ g} + 250 \text{ g} = 4250 \text{ g}$

Das Ergebnis soll in Kilogramm angegeben werden: $4250 \text{ g} = 4{,}25 \text{ kg}$

• Gegeben: Pro Kuchen: 250 g Mehl, 0,15 kg Zucker, 100 g Butter. Anzahl: 20 Kuchen.
• Gesucht: Gesamtgewicht aller Zutaten für 20 Kuchen in kg.

1. Gewicht der Zutaten für EINEN Kuchen berechnen.
2. Dieses Gewicht mit 20 multiplizieren.
3. Das Ergebnis in Kilogramm angeben.

Gewicht für einen Kuchen (alles in Gramm):

• Zucker: $0{,}15 \text{ kg} = 150 \text{ g}$
• Gesamt pro Kuchen: $250 \text{ g} + 150 \text{ g} + 100 \text{ g} = 500 \text{ g}$

Gewicht für 20 Kuchen: $500 \text{ g} \cdot 20 = 10000 \text{ g}$

Ergebnis in Kilogramm umwandeln: $10000 \text{ g} = 10 \text{ kg}$

• Gegeben: Max. Kapazität: 3,5 t. Ladung: 8 Kisten à 120 kg, 15 Säcke à 50 kg.
• Gesucht: Restliche Zuladung in kg.

1. Gesamtgewicht der Kisten berechnen.
2. Gesamtgewicht der Säcke berechnen.
3. Beide Gewichte addieren, um die aktuelle Ladung zu erhalten.
4. Maximale Kapazität in kg umwandeln.
5. Aktuelle Ladung von der maximalen Kapazität abziehen.

1. Gewicht Kisten: $8 \cdot 120 \text{ kg} = 960 \text{ kg}$
2. Gewicht Säcke: $15 \cdot 50 \text{ kg} = 750 \text{ kg}$
3. Aktuelle Ladung: $960 \text{ kg} + 750 \text{ kg} = 1710 \text{ kg}$
4. Max. Kapazität: $3{,}5 \text{ t} = 3500 \text{ kg}$
5. Restliche Zuladung: $3500 \text{ kg} - 1710 \text{ kg} = 1790 \text{ kg}$

• Gegeben: Gewicht pro Sack: 25 kg. Benötigte Menge: 1,2 t.
• Gesucht: Anzahl der Säcke.

1. Benötigte Menge in Kilogramm umwandeln.
2. Gesamtmenge durch das Gewicht eines Sacks teilen.

1. Benötigte Menge in kg: $1{,}2 \text{ t} = 1200 \text{ kg}$
2. Anzahl der Säcke: $1200 \text{ kg} : 25 \text{ kg} = 48$

• Gegeben: Futter pro Tag: 3,6 t. Zeitraum: 30 Tage.
• Gesucht: Gesamtmenge Futter in kg für 30 Tage.

1. Futtermenge pro Tag in kg umwandeln.
2. Tagesmenge mit 30 multiplizieren.

1. Futter pro Tag in kg: $3{,}6 \text{ t} = 3600 \text{ kg}$
2. Gesamtmenge: $3600 \text{ kg/Tag} \cdot 30 \text{ Tage} = 108000 \text{ kg}$

Wir runden $9{,}75 \text{ kg}$ auf $10 \text{ kg}$ auf. Überschlag: $10 \text{ kg} \cdot 8 = 80 \text{ kg}$.

Wir multiplizieren schriftlich: $9{,}75 \text{ kg} \cdot 8$

$975 \cdot 8 = 7800$

Die ursprüngliche Zahl $9{,}75$ hat zwei Nachkommastellen, also braucht das Ergebnis auch zwei. Das genaue Ergebnis ist $78{,}00 \text{ kg}$ oder einfach $78 \text{ kg}$.

Unser Schätzwert war $80 \text{ kg}$, das genaue Ergebnis ist $78 \text{ kg}$. Das passt sehr gut zusammen.

Wir runden $12{,}4 \text{ g}$ auf $12 \text{ g}$ ab und $3{,}1 \text{ g}$ auf $3 \text{ g}$ ab. Überschlag: $12 \text{ g} : 3 \text{ g} = 4$.

Der Divisor $3{,}1$ hat eine Nachkommastelle. Wir verschieben das Komma bei beiden Zahlen um eine Stelle nach rechts. $12{,}4 : 3{,}1$ wird zu $124 : 31$.

Wir rechnen $124 : 31$. Wir können probieren: $4 \cdot 30 = 120$. Versuchen wir es mit 4. $4 \cdot 31 = 124$. Das passt genau. Das Ergebnis ist 4.

Der Schätzwert (4) und das genaue Ergebnis (4) sind identisch. Perfekt.

Wir wandeln zuerst die Einheiten für die Schätzung um. $1{,}5 \text{ kg} = 1500 \text{ g}$. Die Aufgabe ist $1500 \text{ g} : 25 \text{ g}$. Das ist schon recht einfach zu rechnen. $1500 : 25 = (1500 : 100) \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60$. Unser Schätzwert ist 60.

Wir müssen die Einheiten umwandeln. Wir nehmen Gramm. $1{,}5 \text{ kg} = 1500 \text{ g}$. Die Aufgabe lautet: $1500 \text{ g} : 25 \text{ g}$.

$1500 : 25 = 60$.

Schätzung und genaues Ergebnis sind beide 60.

Wir runden $0{,}08 \text{ g}$ auf $0{,}1 \text{ g}$ auf. Überschlag: $0{,}1 \text{ g} \cdot 150 = 15 \text{ g}$.

Wir rechnen ohne Komma: $8 \cdot 150 = 1200$. Die Zahl $0{,}08$ hat zwei Nachkommastellen. Also braucht das Ergebnis auch zwei. Das Ergebnis ist $12{,}00 \text{ g}$ oder einfach $12 \text{ g}$.

Der Schätzwert ist $15 \text{ g}$, das genaue Ergebnis ist $12 \text{ g}$. Das liegt nahe beieinander.

Wir wandeln die Einheiten um. $4{,}5 \text{ t} = 4500 \text{ kg}$. Die Aufgabe ist $4500 \text{ kg} : 90 \text{ kg}$. Wir können bei beiden Zahlen eine Null streichen: $450 : 9 = 50$. Der Schätzwert ist 50.

Wir wandeln $4{,}5 \text{ t}$ in Kilogramm um. $4{,}5 \text{ t} = 4500 \text{ kg}$. Die Aufgabe lautet: $4500 \text{ kg} : 90 \text{ kg}$.

$4500 : 90 = 450 : 9 = 50$.

Schätzung und genaues Ergebnis sind identisch.