Rechnen in Sachaufgaben einfach erklärt: Schritt für Schritt

• Gegeben: 12 Reihen, 15 Bäume pro Reihe, 250 Äpfel pro Baum, 500 zusätzliche Äpfel.
• Gesucht: Gesamtzahl aller Äpfel.

1. Wie viele Bäume gibt es insgesamt auf den Reihen?
2. Wie viele Äpfel wachsen auf all diesen Bäumen?
3. Wie viele Äpfel sind es am Ende mit den zusätzlichen Äpfeln?

Zu 1. Anzahl der Bäume berechnen: Wir multiplizieren die Anzahl der Reihen mit der Anzahl der Bäume pro Reihe. $12 \text{ Reihen} \cdot 15 \text{ Bäume/Reihe} = 180 \text{ Bäume}$

Zu 2. Äpfel von diesen Bäumen berechnen: Wir multiplizieren die Anzahl der Bäume mit den Äpfeln pro Baum. $180 \text{ Bäume} \cdot 250 \text{ Äpfel/Baum} = 45.000 \text{ Äpfel}$

Zu 3. Gesamtanzahl der Äpfel berechnen: Wir addieren die zusätzlichen Äpfel. $45.000 \text{ Äpfel} + 500 \text{ Äpfel} = 45.500 \text{ Äpfel}$

• Gegeben: 25 Klassen, 8 Kuchen pro Klasse, 12 Stücke pro Kuchen, 150 Muffins.
• Gesucht: Gesamtzahl der Gebäckstücke.

1. Wie viele Kuchen werden insgesamt gebacken?
2. Wie viele Kuchenstücke ergibt das?
3. Wie viele Gebäckstücke sind es zusammen mit den Muffins?

Zu 1. Anzahl der Kuchen berechnen: $25 \text{ Klassen} \cdot 8 \text{ Kuchen/Klasse} = 200 \text{ Kuchen}$

Zu 2. Anzahl der Kuchenstücke berechnen: $200 \text{ Kuchen} \cdot 12 \text{ Stücke/Kuchen} = 2.400 \text{ Stücke}$

Zu 3. Gesamtanzahl der Gebäckstücke berechnen: $2.400 \text{ Stücke} + 150 \text{ Muffins} = 2.550 \text{ Gebäckstücke}$

• Gegeben: 110 große Boxen mit je 36 Artikeln, 45 kleine Boxen mit je 12 Artikeln.
• Gesucht: Gesamtzahl der Artikel.

1. Wie viele Artikel sind in allen großen Boxen?
2. Wie viele Artikel sind in allen kleinen Boxen?
3. Wie viele Artikel sind es insgesamt?

Zu 1. Artikel in großen Boxen: $110 \text{ Boxen} \cdot 36 \text{ Artikel/Box} = 3.960 \text{ Artikel}$

Zu 2. Artikel in kleinen Boxen: $45 \text{ Boxen} \cdot 12 \text{ Artikel/Box} = 540 \text{ Artikel}$

Zu 3. Gesamtanzahl der Artikel: $3.960 \text{ Artikel} + 540 \text{ Artikel} = 4.500 \text{ Artikel}$

• Gegeben: 4 Etagen, 5 Räume pro Etage, 20 Regale pro Raum, 150 Bücher pro Regal. Zusätzlich: 3 Regale mit je 200 Büchern.
• Gesucht: Ungefähre Gesamtzahl der Bücher.

1. Wie viele Räume gibt es insgesamt?
2. Wie viele Regale gibt es in all diesen Räumen?
3. Wie viele Bücher stehen in diesen Regalen?
4. Wie viele Bücher stehen in den zusätzlichen Regalen?
5. Wie viele Bücher sind es insgesamt?

Zu 1. Anzahl der Räume: $4 \text{ Etagen} \cdot 5 \text{ Räume/Etage} = 20 \text{ Räume}$

Zu 2. Anzahl der Regale in den Räumen: $20 \text{ Räume} \cdot 20 \text{ Regale/Raum} = 400 \text{ Regale}$

Zu 3. Bücher in diesen Regalen: $400 \text{ Regale} \cdot 150 \text{ Bücher/Regal} = 60.000 \text{ Bücher}$

Zu 4. Bücher in den zusätzlichen Regalen: $3 \text{ Regale} \cdot 200 \text{ Bücher/Regal} = 600 \text{ Bücher}$

Zu 5. Gesamtanzahl der Bücher: $60.000 \text{ Bücher} + 600 \text{ Bücher} = 60.600 \text{ Bücher}$

• Gegeben: 1.500 Tickets à 45 €, 2.200 Tickets à 35 €, 450 Tickets à 90 €.
• Gesucht: Gesamteinnahmen.

1. Wie hoch sind die Einnahmen aus der ersten Kategorie?
2. Wie hoch sind die Einnahmen aus der zweiten Kategorie?
3. Wie hoch sind die Einnahmen aus der VIP-Kategorie?
4. Wie hoch sind die Gesamteinnahmen?

Zu 1. Einnahmen Kategorie 1: $1.500 \cdot 45 \text{ €} = 67.500 \text{ €}$

Zu 2. Einnahmen Kategorie 2: $2.200 \cdot 35 \text{ €} = 77.000 \text{ €}$

Zu 3. Einnahmen VIP-Kategorie: $450 \cdot 90 \text{ €} = 40.500 \text{ €}$

Zu 4. Gesamteinnahmen: $67.500 \text{ €} + 77.000 \text{ €} + 40.500 \text{ €} = 185.000 \text{ €}$

• Wie viele Einwohner hat die Stadt?
• Wie viele davon putzen sich morgens die Zähne?
• Wie lange lassen sie das Wasser laufen?
• Wie viel Wasser fließt pro Minute aus dem Wasserhahn?

• Annahme 1: Meine Stadt ist eine mittelgroße Stadt mit 100.000 Einwohnern.
• Annahme 2: Ich nehme an, dass fast jeder, also ca. 90.000 Menschen, sich morgens die Zähne putzt.
• Annahme 3: Viele Leute lassen das Wasser laufen. Sagen wir, im Schnitt läuft der Hahn 1 Minute pro Person.
• Annahme 4: Aus einem Wasserhahn fließen ca. 10 Liter pro Minute.

Zuerst berechnen wir den Wasserverbrauch pro Person: $1 \text{ Minute} \cdot 10 \text{ Liter/Minute} = 10 \text{ Liter pro Person}$

Jetzt berechnen wir den Gesamtverbrauch für die ganze Stadt: $90.000 \text{ Personen} \cdot 10 \text{ Liter/Person} = 900.000 \text{ Liter}$

• Wie viele Kunden hat der Kiosk pro Tag?
• Wie viele dieser Kunden kaufen ein Brötchen?
• Gibt es Tage mit mehr oder weniger Verkäufen?

• Annahme 1: Der Kiosk liegt in der Nähe von Büros und einer Schule. Ich schätze, er hat ca. 200 Kunden pro Tag.
• Annahme 2: Nicht jeder kauft ein Brötchen. Ich nehme an, dass etwa die Hälfte der Kunden, also 100 Kunden, ein Brötchen kauft.
• Annahme 3: Am Samstag sind die Büros geschlossen, daher kommen nur halb so viele Kunden, also 100. Davon kauft wieder die Hälfte (50) ein Brötchen.

Verkauf von Montag bis Freitag (5 Tage): $5 \text{ Tage} \cdot 100 \text{ Brötchen/Tag} = 500 \text{ Brötchen}$

Verkauf am Samstag: $50 \text{ Brötchen}$

Gesamtverkauf pro Woche: $500 + 50 = 550 \text{ Brötchen}$

• Wie viele Autos gibt es in Deutschland?
• Wie viele Kilometer fährt ein durchschnittliches Auto pro Tag?

• Annahme 1: In Deutschland leben ca. 80 Millionen Menschen. Nicht jeder hat ein Auto, aber viele Familien haben zwei. Ich schätze, es gibt ungefähr 40 Millionen Autos.
• Annahme 2: Manche Autos fahren weite Strecken zur Arbeit (Pendler), andere nur kurz zum Einkaufen. Ich schätze eine durchschnittliche Fahrstrecke von 30 Kilometern pro Auto pro Tag. Das scheint ein vernünftiger Mittelwert.

Wir multiplizieren die Anzahl der Autos mit der durchschnittlichen Strecke pro Auto. $40.000.000 \text{ Autos} \cdot 30 \text{ km/Auto} = 1.200.000.000 \text{ km}$

• Wie groß ist ein Klassenraum (Länge, Breite, Höhe)?
• Wie groß ist ein Tennisball?
• Müssen wir Möbel berücksichtigen?

• Annahme 1: Ein typischer Klassenraum ist ca. 10 m lang, 7 m breit und 3 m hoch.
• Annahme 2: Ein Tennisball ist eine Kugel, aber zur Vereinfachung stellen wir uns vor, er passt in einen kleinen Würfel. Der Durchmesser ist ca. 7 cm. Sagen wir, der Würfel hat eine Kantenlänge von 10 cm (0,1 m). Das macht das Rechnen einfacher und berücksichtigt die Lücken zwischen den runden Bällen.
• Annahme 3: Wir ignorieren die Möbel und tun so, als wäre der Raum leer.

Volumen des Klassenraums: $V_{Raum} = 10 \text{ m} \cdot 7 \text{ m} \cdot 3 \text{ m} = 210 \text{ m}^3$

Volumen des Würfels für einen Tennisball: $V_{Ball} = 0,1 \text{ m} \cdot 0,1 \text{ m} \cdot 0,1 \text{ m} = 0,001 \text{ m}^3$

Anzahl der Bälle, die in den Raum passen: $\text{Anzahl} = \frac{V_{Raum}}{V_{Ball}} = \frac{210}{0,001} = 210.000$

• Wie viele Schüler hat die Schule?
• Wie oft kauft ein Schüler pro Woche etwas?
• Wie viel gibt ein Schüler im Durchschnitt pro Kauf aus?
• Wie viele Schultage hat ein Monat?

• Annahme 1: Meine Schule ist eine mittelgroße Schule mit ca. 600 Schülern.
• Annahme 2: Nicht jeder kauft jeden Tag etwas. Ich schätze, ein Schüler kauft im Schnitt 2 Mal pro Woche etwas am Kiosk.
• Annahme 3: Ein Snack (Getränk, Brötchen) kostet im Schnitt 1,50 €.
• Annahme 4: Ein Monat hat ungefähr 4 Schulwochen.

Ausgaben pro Schüler pro Woche: $2 \text{ Käufe/Woche} \cdot 1,50 \text{ €/Kauf} = 3,00 \text{ € pro Woche}$

Ausgaben aller Schüler pro Woche: $600 \text{ Schüler} \cdot 3,00 \text{ €/Schüler} = 1.800 \text{ € pro Woche}$

Ausgaben aller Schüler pro Monat: $1.800 \text{ €/Woche} \cdot 4 \text{ Wochen} = 7.200 \text{ € pro Monat}$

• Ziel: Mindestens 50 Liter Getränke kaufen.
• Option A: 2-Liter-Flaschen für je 1,80 €.
• Option B: 1,5-Liter-Flaschen für je 1,40 €.

Berechnung für Option A (2-Liter-Flaschen): Wir müssen herausfinden, wie viele Flaschen wir brauchen. $50 \text{ Liter} \div 2 \text{ Liter/Flasche} = 25 \text{ Flaschen}$ Die Rechnung geht glatt auf. Wir brauchen genau 25 Flaschen. Gesamtkosten: $25 \cdot 1,80 \text{ €} = 45,00 \text{ €}$

Berechnung für Option B (1,5-Liter-Flaschen): Wir teilen wieder, um die Anzahl der Flaschen zu ermitteln. $50 \div 1,5 = 33,33...$ Wir können keine Drittel-Flaschen kaufen. Also müssen wir aufrunden. Wir brauchen 34 Flaschen, um sicher über 50 Liter zu kommen. (33 Flaschen wären nur $33 \cdot 1,5 = 49,5$ Liter). Gesamtkosten: $34 \cdot 1,40 \text{ €} = 47,60 \text{ €}$

• Kosten mit 2-Liter-Flaschen: 45,00 €
• Kosten mit 1,5-Liter-Flaschen: 47,60 €

• Ziel: Genau 100 Setzlinge kaufen.
• Option A (klein): 8 Setzlinge für 12 €.
• Option B (groß): 25 Setzlinge für 35 €.

Wir können versuchen, so viele große Kisten wie möglich zu verwenden, da diese pro Setzling günstiger erscheinen.

• Kombination 1: Nur große Kisten.
• Kombination 2: 3 große Kisten + kleine Kisten.
• Kombination 3: 2 große Kisten + kleine Kisten.
• Kombination 4: 1 große Kiste + kleine Kisten.
• Kombination 5: Nur kleine Kisten.

Kombination 1 (Nur große): $100 \div 25 = 4$. Wir brauchen genau 4 große Kisten. Kosten: $4 \cdot 35 \text{ €} = 140 \text{ €}$.

Kombination 2 (3 große): $3 \cdot 25 = 75$ Setzlinge. Übrig: $100 - 75 = 25$ Setzlinge. $25 \div 8 = 3$ Rest 1. Das geht nicht auf, wir können nicht genau 100 kaufen.

Kombination 3 (2 große): $2 \cdot 25 = 50$ Setzlinge. Übrig: $100 - 50 = 50$ Setzlinge. $50 \div 8 = 6$ Rest 2. Geht auch nicht auf.

Kombination 4 (1 große): $1 \cdot 25 = 25$ Setzlinge. Übrig: $100 - 25 = 75$ Setzlinge. $75 \div 8 = 9$ Rest 3. Geht auch nicht auf.

Kombination 5 (Nur kleine): $100 \div 8 = 12$ Rest 4. Geht auch nicht auf.

Wir müssen die Kombinationen so anpassen, dass wir genau 100 erreichen. Wir sehen, dass 100 ein Vielfaches von 25 ist, aber nicht von 8. Jede Kombination, die kleine Kisten enthält, wird nicht genau 100 ergeben, wenn wir mit einer Anzahl von 25er-Schritten starten. Wir müssen anders denken: Wie können wir 100 aus Vielfachen von 8 und 25 zusammensetzen? $100 = 4 \cdot 25$ (schon berechnet). Geht es auch anders? $100 = 50 + 50 = 2 \cdot 25 + 50$. 50 ist kein Vielfaches von 8. $100 = 0 \cdot 25 + 100$. 100 ist kein Vielfaches von 8. Es scheint, dass die einzige Möglichkeit, genau 100 zu erreichen, die Kombination mit 4 großen Kisten ist.

• Ziel: Mindestens 12 Stunden Filmmaterial.
• Option A (Serie): $8 \cdot 1 = 8$ Stunden für 20 €.
• Option B (Trilogie): $3 \cdot 2 = 6$ Stunden für 15 €.

Möglichkeit 1: Nur Serien Eine Serie hat 8 Stunden. Das ist nicht genug. Wir brauchen also 2 Serien. Stunden: $2 \cdot 8 = 16$ Stunden (mehr als 12, also ok). Kosten: $2 \cdot 20 \text{ €} = 40 \text{ €}$.

Möglichkeit 2: Nur Trilogien Eine Trilogie hat 6 Stunden. Wir brauchen also 2 Trilogien, um auf 12 Stunden zu kommen. Stunden: $2 \cdot 6 = 12$ Stunden (genau passend). Kosten: $2 \cdot 15 \text{ €} = 30 \text{ €}$.

Möglichkeit 3: Gemischt Wir nehmen eine Serie (8 Stunden). Dann fehlen noch $12 - 8 = 4$ Stunden. Dafür brauchen wir eine Trilogie (6 Stunden), da es keine kleineren Pakete gibt. Stunden: $8 + 6 = 14$ Stunden (mehr als 12, also ok). Kosten: $20 \text{ €} + 15 \text{ €} = 35 \text{ €}$.

• Kosten für 2 Serien: 40 €
• Kosten für 2 Trilogien: 30 €
• Kosten für 1 Serie und 1 Trilogie: 35 €

• Ziel: Genau 200 Würstchen kaufen.
• Option A: 10er-Packung für 9 €.
• Option B: 25er-Packung für 20 €.

Möglichkeit 1: Nur 10er-Packungen $200 \div 10 = 20$. Wir brauchen 20 Packungen. Kosten: $20 \cdot 9 \text{ €} = 180 \text{ €}$.

Möglichkeit 2: Nur 25er-Packungen $200 \div 25 = 8$. Wir brauchen 8 Packungen. Kosten: $8 \cdot 20 \text{ €} = 160 \text{ €}$.

Möglichkeit 3: Gemischte Kombinationen Wir versuchen, so viele große Packungen wie möglich zu nehmen.

• 7 große Packungen: $7 \cdot 25 = 175$. Übrig: $200 - 175 = 25$. Dafür brauchen wir 3 kleine Packungen (30 Würstchen), da 25 nicht durch 10 teilbar ist. Das ergibt mehr als 200. Wir müssen genau 200 erreichen.
• 6 große Packungen: $6 \cdot 25 = 150$. Übrig: $200 - 150 = 50$. Dafür brauchen wir $50 \div 10 = 5$ kleine Packungen. Kosten: $(6 \cdot 20 \text{ €}) + (5 \cdot 9 \text{ €}) = 120 \text{ €} + 45 \text{ €} = 165 \text{ €}$.
• 4 große Packungen: $4 \cdot 25 = 100$. Übrig: $200 - 100 = 100$. Dafür brauchen wir $100 \div 10 = 10$ kleine Packungen. Kosten: $(4 \cdot 20 \text{ €}) + (10 \cdot 9 \text{ €}) = 80 \text{ €} + 90 \text{ €} = 170 \text{ €}$.
• 2 große Packungen: $2 \cdot 25 = 50$. Übrig: $200 - 50 = 150$. Dafür brauchen wir $150 \div 10 = 15$ kleine Packungen. Kosten: $(2 \cdot 20 \text{ €}) + (15 \cdot 9 \text{ €}) = 40 \text{ €} + 135 \text{ €} = 175 \text{ €}$.

• Nur kleine Packungen: 180 €
• Nur große Packungen: 160 €
• 6 große, 5 kleine: 165 €
• 4 große, 10 kleine: 170 €
• 2 große, 15 kleine: 175 €

• Ziel: 80 Bücher versenden.
• Option A: Kleiner Karton (5 Bücher) für 2 €.
• Option B: Großer Karton (12 Bücher) für 4 €.

Wir gehen systematisch vor und maximieren die Anzahl der großen Kartons.

Kombination 1 (6 große Kartons):

• Platz in großen Kartons: $6 \cdot 12 = 72$ Bücher.
• Übrige Bücher: $80 - 72 = 8$ Bücher.
• Benötigte kleine Kartons: $8 \div 5 = 1$ Rest 3. Wir brauchen also 2 kleine Kartons.
• Kosten: $(6 \cdot 4 \text{ €}) + (2 \cdot 2 \text{ €}) = 24 \text{ €} + 4 \text{ €} = 28 \text{ €}$.

Kombination 2 (5 große Kartons):

• Platz in großen Kartons: $5 \cdot 12 = 60$ Bücher.
• Übrige Bücher: $80 - 60 = 20$ Bücher.
• Benötigte kleine Kartons: $20 \div 5 = 4$. Wir brauchen genau 4 kleine Kartons.
• Kosten: $(5 \cdot 4 \text{ €}) + (4 \cdot 2 \text{ €}) = 20 \text{ €} + 8 \text{ €} = 28 \text{ €}$.

Kombination 3 (4 große Kartons):

• Platz in großen Kartons: $4 \cdot 12 = 48$ Bücher.
• Übrige Bücher: $80 - 48 = 32$ Bücher.
• Benötigte kleine Kartons: $32 \div 5 = 6$ Rest 2. Wir brauchen 7 kleine Kartons.
• Kosten: $(4 \cdot 4 \text{ €}) + (7 \cdot 2 \text{ €}) = 16 \text{ €} + 14 \text{ €} = 30 \text{ €}$.

Kombination 4 (Nur kleine Kartons):

• Benötigte kleine Kartons: $80 \div 5 = 16$. Wir brauchen genau 16 kleine Kartons.
• Kosten: $16 \cdot 2 \text{ €} = 32 \text{ €}$.

• 6 große, 2 kleine: 28 €
• 5 große, 4 kleine: 28 €
• 4 große, 7 kleine: 30 €
• Nur kleine: 32 €