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Quadratische Funktionen
Mit diesem Artikel lernst du, quadratische Funktionen zu meistern. Die folgenden Themen kamen 21-mal in den letzten Abitur-Prüfungen vor:
Definition
Erklärung
Quadratische Funktionen sind Funktionen zweiten Grades, meist dargestellt als f(x)=ax^2+bx+c. Dabei sind a, b und c reelle Zahlen, wobei a\neq0 sein muss. Diese Funktionen können in verschiedene Formen wie die Normalform, Scheitelpunktform und Nullstellenform umgewandelt werden. Zur Lösung quadratischer Gleichungen wird oft die Mitternachtsformel genutzt und mit der Methode der quadratischen Ergänzung erhält man zudem die Scheitelpunktform.
ax^2+bx+c
Schema
Vorgehen
Funktionsterm: Der Ausdruck einer quadratischen Funktion in der Grundform.
ax^2+bx+c
Beispiel
- Beispiel: f(x)=2x^2+3x-5 zeigt einen Funktionsterm.
Normalform: Die Standarddarstellung der quadratischen Funktion.
ax^2+bx+c
Beispiel
- Beispiel: f(x)=x^2+4x+4 ist in Normalform geschrieben.
Scheitelpunktform: Diese Form zeigt direkt den Scheitelpunkt der Parabel an. Die Umwandlung erfolgt über quadratische Ergänzung.
a(x-d)^2+e
Beispiel
- Beispiel: Wandle f(x)=2x^2+8x+6 in Scheitelpunktform um.
Nullstellenform: Mit dieser Form lassen sich die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse ablesen.
a(x-r1)(x-r2)
Beispiel
- Beispiel: f(x)=x^2-5x+6 hat die Nullstellen 2 und 3.
Mitternachtsformel: Zum Lösen quadratischer Gleichungen wird die Mitternachtsformel verwendet.
x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)
Beispiel
- Beispiel: Löse die Gleichung 0=2x^2+8x+6. Berechne zuerst die Diskriminante: Δ=16.
Häufige Fehler
Missverständnisse
- Es wird oft vergessen, dass a\neq0 sein muss.
- Es wird oft ein Fehler bei der quadratischen Ergänzung gemacht, indem der zu ergänzende Term falsch bestimmt wird.
- Es wird oft der Ausdruck unter der Quadratwurzel in der Mitternachtsformel fehlerhaft berechnet.
Üben
Aufgaben
- Aufgabe (Einfach): Schreibe die Funktion f(x)=x^2+6x+9 in Scheitelpunktform.
- Aufgabe (Mittel): Löse die Gleichung x^2-5x+6=0 mit der Mitternachtsformel.
- Aufgabe (Schwer): Wandle die Funktion f(x)=2x^2+8x+6 in Scheitelpunktform um.
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