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Die Produktregel beim Ableiten einfach erklärt
Die Produktregel beim Ableiten wird oft in der Schule benötigt und wirkt kompliziert. Hier lernst du einfach, wie du Produkte ableiten kannst!
Definition
Erklärung
Die Produktregel ist eine Ableitungsregel, die verwendet wird, wenn du zwei Funktionen, die miteinander multipliziert werden, ableiten möchtest. Wenn du Produkte ableiten willst, musst du die Produktregel anwenden. Die Produktregel Formel lautet:
Die Produktregel Formel lautet:
(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
Schema
Vorgehen
Um Produkte ableiten zu können, musst du zuerst die beiden Funktionen u(x) und v(x) bestimmen. Danach leitest du jede Funktion einzeln ab und setzt diese Ableitungen in die Produktregel Formel ein. Anschließend vereinfachst du den Ausdruck.
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
Beispiele
- Leite die Funktion f(x) = x \cdot sin(x) ab.
- Setze u(x) = x und v(x) = sin(x). Dann gilt u'(x) = 1 und v'(x) = cos(x).
Einsetzen in die Produktregel Formel ergibt:
f'(x) = 1 \cdot sin(x) + x \cdot cos(x)
Also ist die Ableitung:
f'(x) = sin(x) + x \cdot cos(x)
- Leite die Funktion f(x) = (2x² + 3) \cdot e^x ab.
- Setze u(x) = 2x² + 3 und v(x) = e^x. Dann gilt u'(x) = 4x und v'(x) = e^x.
Einsetzen in die Produktregel Formel ergibt:
f'(x) = 4x \cdot e^x + (2x² + 3) \cdot e^x
Vereinfacht ergibt sich:
f'(x) = e^x \cdot (4x + 2x² + 3)
Zusammenfassung
Merkkasten
- Die Produktregel wird verwendet, um Produkte zweier Funktionen abzuleiten.
- Die Produktregel Formel lautet: (u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).
Üben
Aufgaben
- Leite die Funktion f(x) = x \cdot cos(x) ab.
- u(x) = x, v(x) = cos(x), u'(x) = 1, v'(x) = -sin(x).
f'(x) = 1 \cdot cos(x) + x \cdot (-sin(x)) = cos(x) - x \cdot sin(x).
- Leite die Funktion f(x) = (3x - 2) \cdot ln(x) ab.
- u(x) = 3x - 2, v(x) = ln(x), u'(x) = 3, v'(x) = 1/x.
f'(x) = 3 \cdot ln(x) + (3x - 2) \cdot (1/x) = 3 \cdot ln(x) + (3 - 2/x).
- Leite die Funktion f(x) = (x² + 1) \cdot (sin(x) + cos(x)) ab.
- u(x) = x² + 1, v(x) = sin(x) + cos(x), u'(x) = 2x, v'(x) = cos(x) - sin(x).
f'(x) = 2x \cdot (sin(x) + cos(x)) + (x² + 1) \cdot (cos(x) - sin(x)).
Vereinfacht ergibt sich:
f'(x) = 2x \cdot sin(x) + 2x \cdot cos(x) + x² \cdot cos(x) - x² \cdot sin(x) + cos(x) - sin(x).
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