Erklärung
Die partielle Integration ist eine Methode, um Produkte von Funktionen zu integrieren. Sie entsteht durch das Umkehren der Produktregel aus der Differentialrechnung. Die Formel der partiellen Integration lautet:
Vorgehen
Um Produkte zu integrieren, wählt man zunächst geschickt u(x) und v'(x). Dabei sollte u(x) möglichst einfacher werden, wenn man es ableitet, und v'(x) sollte leicht integrierbar sein. Danach bestimmt man u'(x) und v(x) und setzt diese in die Formel der partiellen Integration ein.
Beispiele
Berechne \int x \cdot e^{x} \,dx.
Wähle u(x)=x und v'(x)=e^{x}. Dann ist u'(x)=1 und v(x)=e^{x}. Einsetzen ergibt: \int x \cdot e^{x} \,dx = x \cdot e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} \,dx = x \cdot e^{x} - e^{x} + C.
Berechne \int x^{2} \cdot \sin(x) \,dx.
Wähle u(x)=x^{2} und v'(x)=\sin(x). Dann ist u'(x)=2x und v(x)=-\cos(x). Einsetzen ergibt: \int x^{2}\sin(x)dx = -x^{2}\cos(x) + \int 2x\cos(x)dx. Nun erneut partielle Integration anwenden mit u(x)=2x und v'(x)=\cos(x). Ergebnis: -x^{2}\cos(x) + 2(x\sin(x)+\cos(x)) + C.
Merkkasten
- ★Partielle Integration ist das Umkehren der Produktregel.
- ★Wähle u(x) so, dass es durch Ableiten einfacher wird, und v'(x) so, dass es leicht integrierbar ist.
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