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Wie kann man Produkte integrieren?
Produkte integrieren ist oft gefürchtet, aber mit diesem Artikel lernst du die partielle Integration einfach und sicher zu beherrschen!
Definition
Erklärung
Die partielle Integration ist eine Methode, um Produkte von Funktionen zu integrieren. Sie entsteht durch das Umkehren der Produktregel aus der Differentialrechnung. Die Formel der partiellen Integration lautet:
\int u(x) \cdot v'(x) \,dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \,dx
Schema
Vorgehen
Um Produkte zu integrieren, wählt man zunächst geschickt u(x) und v'(x). Dabei sollte u(x) möglichst einfacher werden, wenn man es ableitet, und v'(x) sollte leicht integrierbar sein. Danach bestimmt man u'(x) und v(x) und setzt diese in die Formel der partiellen Integration ein.
\int u(x) \cdot v'(x) \,dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \,dx
Beispiele
- Berechne \int x \cdot e^{x} \,dx.
- Wähle u(x)=x und v'(x)=e^{x}. Dann ist u'(x)=1 und v(x)=e^{x}. Einsetzen ergibt: \int x \cdot e^{x} \,dx = x \cdot e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} \,dx = x \cdot e^{x} - e^{x} + C.
- Berechne \int x^{2} \cdot \sin(x) \,dx.
- Wähle u(x)=x^{2} und v'(x)=\sin(x). Dann ist u'(x)=2x und v(x)=-\cos(x). Einsetzen ergibt: \int x^{2}\sin(x)dx = -x^{2}\cos(x) + \int 2x\cos(x)dx. Nun erneut partielle Integration anwenden mit u(x)=2x und v'(x)=\cos(x). Ergebnis: -x^{2}\cos(x) + 2(x\sin(x)+\cos(x)) + C.
Zusammenfassung
Merkkasten
- Partielle Integration ist das Umkehren der Produktregel.
- Wähle u(x) so, dass es durch Ableiten einfacher wird, und v'(x) so, dass es leicht integrierbar ist.
Üben
Aufgaben
- Berechne \int x \cdot \sin(x) \,dx.
- Wähle u(x)=x, v'(x)=\sin(x). Dann u'(x)=1, v(x)=-\cos(x). Ergebnis: -x\cos(x) + \sin(x) + C.
- Berechne \int \ln(x) \,dx.
- Wähle u(x)=\ln(x), v'(x)=1. Dann u'(x)=1/x, v(x)=x. Ergebnis: x\ln(x) - \int 1 dx = x\ln(x)-x+C.
- Berechne \int x^{3} \cdot e^{x} \,dx.
- Wähle u(x)=x^{3}, v'(x)=e^{x}. Dann u'(x)=3x^{2}, v(x)=e^{x}. Ergebnis nach mehrfacher partieller Integration: e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+C.
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